第042講總復(fù)習(xí)：數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用提高知識梳理

1、數(shù)列求和與綜合應(yīng)用【考綱要求】.熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式；.掌握數(shù)列的通項 an與前n項和$之間的關(guān)系式.注意觀察數(shù)列的特點和規(guī)律，在分析通項的基礎(chǔ)上分解為基本數(shù)列求和或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和，熟 練掌握求數(shù)列的前 n項和的幾種常用方法；.能解決簡單的實際問題.【知識絡(luò)】【考點梳理】縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關(guān)數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高，不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復(fù)數(shù)相聯(lián)系，而且還與三角、立體幾何密切相關(guān)；數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實際問題中有著廣泛的應(yīng)用， 如增長率、銀行信貸、濃度匹配、養(yǎng)老保險、圓鋼堆壘等問題.這就要求同學(xué)們除熟練運用有關(guān)概念式外，還要善于觀察題設(shè)的特征，聯(lián)想有關(guān)

2、數(shù)學(xué)知識和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數(shù)列題的速度.與計算有關(guān)的問題主要有：求數(shù)列的某項，確定數(shù)列的通項公式，求有窮數(shù)列或無窮數(shù)列之和，計算數(shù)列的極限，將數(shù)列與方程，與不等式，與某些幾何問題等聯(lián)系起來，從而解決有關(guān)問題有關(guān)定性問題的論證問題主要有：考察或論證數(shù)列的單調(diào)性， 將數(shù)列分類定性，考察數(shù)列的圖像特征,考察數(shù)列的極限存在與否等等 .有關(guān)實際應(yīng)用問題： 某些與非零自然數(shù)有關(guān)的實際應(yīng)用題，可用數(shù)列的各項與之對應(yīng)，然后利用數(shù)列 有關(guān)知識解答此類應(yīng)用題.數(shù)列的函數(shù)屬性： 因數(shù)列是函數(shù)的特例，故解答有關(guān)問題時，常與函數(shù)知識聯(lián)系起來考慮【典型例題】類型一：數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用例1.對于數(shù)列an

3、,規(guī)定數(shù)列Aan為數(shù)列an的一階差分?jǐn)?shù)列，其中 &an =an由an (nW N*)；kkk 1k 1般地，規(guī)7E an為an的k階差分?jǐn)?shù)列，其中 an = an用 an且kCN*, k2o5 o 13(1)已知數(shù)列an的通項公式an = n2 n(nw N*)。試證明Aan是等差數(shù)列;22(2)若數(shù)列an的首項a1=-13,且滿足 Van Aan+an = 22n平(n wN*),求數(shù)列修-明及an的通項公式;(3)在(2)的條件下，判斷an是否存在最小值；若存在，求出其最小值，若不存在，說明理由。解析：(1)依題意：Aan =an+ -an,52 135 2 13, , an = (n -

4、 1) -(n 1)H - n - - n =5n42222 .：an 1 - an =5(n 1) -4 -(5n -4) 5,，數(shù)列蛇口是首項為1,公差為5的等差數(shù)列。(2) 瞥軍=2 烝=22n 17 2n%(nN*)2nl 2n人217(3)令 f (x) =x -x , 217一 則當(dāng)xW(Q,)時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；417當(dāng)xW(一，七叼時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；4又因 an=22n-17,2n=(2n)2 - 2二2而I?卜：|23-千|, 44所以當(dāng)n=2時，數(shù)列an存在最小值，其最小值為-18。舉一反三:3【變式1】已知數(shù)列an的首項a1 = 35an+=dt；，n =

5、1,2川.2an 1(i)求an的通項公式；一-112一一(n)證明：對任息的 x 0 , an 占-2(七一x), n=1,2,|；1 x (1 x) 3(m)證明:a a2 IH an2nn 1解析:(I) an 13an2an 1 an 13 3a nan 11/1、(- - 1), 3 an又工1an2 ,、，一 1 是以-為首項，1為公比的等比數(shù)列.33(n)1-1an3n,一 3n設(shè) f (x)1 x (1 x)2 31則 f (x)2(1 x)23n3n 2占-x),2(1x)2-x)-(1 x)2-(|n-x) 2(1 x) 32(1x)211I（出）由（H）知，對任意的aa?

6、a1 x (1 x)2 3(2-x)1 x (1 x)2 322 (-2-x) III1 x (1 x)2x)2 .一 .一,2 ,一 . 一*x0,.當(dāng) x-；7 時，f(x)0,3n3n,2 .一一 2、二當(dāng)x = F時，f （x）取得最大值f （）= 3n3n二原不等式成立.21 x (1 x)22.2令一 十二十|十二一門*=0,貝U x3323nn(1-g)3(1n3na1 - a2 HI an3n11(1n二原不等式成立.【高清課堂：函數(shù)的極值和最值 388566典型例題三】3n 21【變式2】已知數(shù)列an和bn滿足：&,4 1 =2a。n 4, bn =(-仔 an其中人為實數(shù)，

7、n為正整數(shù).(D對任意實數(shù) 九，證明數(shù)列an不是等比數(shù)列；(n)試判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；解析：(I)假設(shè)存在實數(shù)九，使得數(shù)列an是等比數(shù)列，則a1,a2,a3必然滿足a22= a1總32c 4,a1 一 1, a2 = 一 1 一 3,a3 = 一 - 4 39由a22=a1 83得9=0,顯然矛盾，即不存在實數(shù) 九使得數(shù)列an是等比數(shù)列。(n)根據(jù)等比數(shù)列的定義：bn i(-1)n1an3(n 1) 21H -(-1)n an -3n 21-2an n-4-3(n 1) 21_ an - 3n 21-2 a -2n 14= _3% -3n 21 TOC o 1-5 h

8、z %-3n212=-=-an-3n2132即 bn 1 -bn3又b1 = - a3 21 = -(18)所以當(dāng)1 = -18時，數(shù)列bn不是等比數(shù)列；當(dāng) 九# 18時，數(shù)列bn是等比數(shù)列.類型二：數(shù)列與不等式例2. (2016江蘇高考)記U=1,2,，100.對數(shù)列an ( nW N*)和U的子集T,若T =0，定義St=0 若T=t1, t2,tk,定義St =a+at2+ +atk.例如:T=1,3,66時，S = a+ a3+a66.現(xiàn)設(shè)an(nCN*)是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng) T=2,4時，ST=30.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)對任意正整數(shù) k(1 k 100),若 TG

9、 1,2，k,求證：S0,歸納可得3=ai a2 anan+i 0. TOC o 1-5 h z 2 an -12 k 口 k 口i i j產(chǎn) f=1=F+F a +r%+廣 0 0 0 nE 0no.對n=i, 2,，k0求和得：-i - - I +-=Vuuk.+l*k 口皂 “I-)=2+-3k0+l3k0+l - | -，k0 3k0+l 3k0+l另一方面，由上已證的不等式知，得ak +1 = &| -1口.白+；r+l胴: ,1 u k0 k0 kQaj +1 kq3z + l k0ak +l 2意，2k；+l + 2k：+l+ + 2k；+l)=2+2Vl 綜上，2+士%產(chǎn)2+忐

10、.【變式2】設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.已知a = a , an書=Sn +3n , n N* .(I )設(shè)bn =Sn 3n ,求數(shù)列bn 的通項公式;(n)右a2an，n = N，求a的取值范圍.解析：(I)依題意，Sn 由Sn =an* =Sn+3n，即 Sn 書=2Sn +3n ,由此得 Sn 1 -3n 1 =2(Sn -3n).因此，所求通項公式為 bn =Sn _3n =(a3)2n,，nw N* .(n)由知 Sn =3n+(a3)2n,，nw N*,于是，當(dāng)n22時,nn _1n _1n _2n _1n_2an =Sn Sn,=3 +(a3)x2-3-(a -3) 2=2父3

11、+(a3)2, an卡-an =4x3n-+(a 3)2n/ =2n12父(-)n +a-3,23 n 2當(dāng) n22 時，an 書 anu 12x(-)+a-3 0 a -9 .綜上，所求的a的取值范圍是-9,+8).類型三：實際應(yīng)用問題例3.某地區(qū)現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加 22%,人均糧食占有量比現(xiàn)在提1公頃)(糧食高10% ,如果人口年增長率為1% ,那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃？(精確到的一總產(chǎn)量單廣=耕地面積人均糧食占有量=總：)解析：方法一:由題意，設(shè)現(xiàn)在總?cè)丝跒?A人，人均糧食占有量為 b噸，現(xiàn)在耕地共有104公頃，于是現(xiàn)在的糧食單產(chǎn)量Ab10

12、二噸/公頃，10年后總?cè)丝跒?A(1 + 0.01),人均糧食占有量 10b(1+0.1)噸，若設(shè)平均每年允許減少x公頃，則10年耕地共有(104-10 x)公頃，于是10年后糧食單產(chǎn)量為一一 10一A(1+0.0 )61+0.1)噸/公頃.10 -10 x由糧食單產(chǎn)10年后比現(xiàn)在增加22%得不等式:_ _ 10_A(1 0.01) b(1 0.1) Ab104 -10 x104(1 0.22)化簡可得 104(1 0.01)10 (1 0.1) 1.5.得 n2 - 15n+540,即 6n9.【變式2】某地區(qū)原有森林木材存量為 a ,且每年增長率為25% ,因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年年底要砍伐的

13、木材量為b ,設(shè)an為n年后該地區(qū)森林木材存量（1）寫出an的表達(dá)式.（2）為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材存量應(yīng)不少于719a ,如果b = a 那97272lg2 = 0.30).1年后該地區(qū)森林木材存量為:2年后該地區(qū)森林木材存量為:5.a1 =一 a b ,45,5、2a2 = - a1 - b = () a -445(-1)b ,3年后該地區(qū)森林木材存量為:4年后該地區(qū)森林木材存量為:23 - - a? - ba4 =為-br/5、25a -()445 35：a-(4)叩1b,2 52 + +1b,4么今后該地區(qū)會發(fā)生水土流失嗎？若會，要經(jīng)過幾年？（取解析：（1）依

14、題意，第一年森林木材存量為a,n年后該地區(qū)森林木材存量為:/5、n5、n4/5、n45 ,an (-) a -(-)(/. - 1b19（2）若b= - a時，依題意該地區(qū)今后會發(fā)水土流失，則森林木材存量必須小于72即(5)na-n 197-1x a 5,即 nlg alg5 ,44.n .1-lg2 7=7lg5 -2lg 2 1 -3lg 2n =8.答：經(jīng)過8年該地區(qū)就開始水土流失.【變式3】某種汽車購買時的費用為 10萬元，每年應(yīng)交保險費、養(yǎng)路費及汽油費合計9千元，汽車的維修費平均為第一年 2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差數(shù)列遞增，問這種汽車使用多少 年后報廢最合算？(即

15、年平均費用最少)【答案】 設(shè)汽車使用年限為n年，f(n)為使用該汽車平均費用1 ，f n =10 0,9n (0.2 0.40.2n) 1n=10- 1-12=3n 10當(dāng)且僅當(dāng) 2= 即n=10 (年)時等到成立.10 n因此該汽車使用10年報廢最合算.【變式4】某市2010年底有住房面積1200萬平方米，計劃從 2011年起，每年拆除20萬平方米的舊住房.假定該市每年新建住房面積是上年年底住房面積的5%.(1)分別求2011年底和2012年底的住房面積；(2)求2030年底的住房面積【答案】(1) 2011年底的住房面積為2012年底的住房面積為.(計算結(jié)果以萬平方米為單位，且精確到0.01)1200(1+5%) -20=1240 (萬平方米)，1200(1+5%) 2- 20(1+5%) - 20=1282 (萬平方米)，2011年底的住房面積為1240萬平方米；2012年底的住房面積為1282萬平方米.(2) 2011年底的住房面積為2012年底的住房面積為2013年底的住房面積為1200(1+5%) 20萬平