分?jǐn)?shù)布朗運動

1、分?jǐn)?shù)布朗運動Q Q金融市場的布朗運動和分?jǐn)?shù)布朗運動(馬金龍)1布朗運動及其在金融市場的應(yīng)用1.1布朗運動與EMH布朗運動指的是一種無相關(guān)性的隨機行走，滿足統(tǒng)計自相似性，即具有隨機分形的特征。其軌 跡處處沒有切線；粒子移動互不相關(guān)。原始意義的布朗運動 (Brownian motion，BM)是Robert Brown于1827年提出，系指液體中 懸浮微粒的無規(guī)則運動，直至1877年才由J.德耳索作出了正確的定性分析：布朗粒子的運動， 實際上是由于受到周圍液體分子的不平衡碰撞所引起的。1905年，A.愛因斯坦對這種“無規(guī)則運動”作了物理分析，成為布朗運動的動力論的先驅(qū)，并首次提出了布朗運動的數(shù)學(xué)模

2、型。1908年，P.朗之萬在研究布朗運動的漲落現(xiàn)象時，給出了物理學(xué)中第一個隨機微分方程。1923年， 諾伯特維納(Norbert Wiener)提出了在布朗運動空間上定義測度與積分，從而形成了Wiener空間的概念，并對布朗運動作出了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，根據(jù)這一定義，布朗運動是一種獨立增量過 程，是一個具有連續(xù)時間參數(shù)和連續(xù)狀態(tài)空間的隨機過程(Stochastic Process)。維納過程是馬爾科夫過程(Markov process)的一種特殊形式，而馬爾科夫過程又是一種特殊類型的隨機過程。 數(shù)學(xué)界也常把布朗運動稱為維納過程(Wiener Process)。如穩(wěn)定的Levy分布。如今布朗運動在理

3、 論上與應(yīng)用上已與帕松過程 (Poisson process) 構(gòu)成了兩種最基本的隨機過程。1.2布朗運動在金融市場的應(yīng)用將布朗運動與股票價格行為聯(lián)系在一起，進(jìn)而建立起維納過程的數(shù)學(xué)模型是本世紀(jì)的一項具 有重要意義的里程碑，在現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)中占有重要地位。迄今，普遍的觀點仍認(rèn)為，股票市場大 部分力量是隨機波動的，隨機波動是股票市場最根本的特性和最大的力量，是股票市場的常態(tài)。1900年法國的巴施利葉(Louis Bachelier)在博士論文投機理論中將股票價格的漲跌 也看作是一種隨機運動，所得到的方程與描述布朗粒子運動的方程非常相似。第一次給予布朗運 動以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)描述。但由此得到的股票價格可能

4、取負(fù)值，顯然與實際不符。Markowiz(1952)發(fā)表投資組合選擇理論；Roberts和Osborne(1959)把隨機數(shù)游走和布朗運動的概念帶入股市研究； Samuelson 和 Fama(1970)的有效市場理論(EMH) ； Fischer Black 和 Scholes(1973)和 Merton(1973,1992)的期權(quán)定價理論(Black-Scholes 模型)；Ross (1976)的套利定價理論(APT)。布朗運動假設(shè)是現(xiàn)代資本市場理論的核心假設(shè)。現(xiàn)代資本市場理論認(rèn)為證券期貨價格具有隨 機性特征。這里的所謂隨機性，是指數(shù)據(jù)的無記憶性，即過去數(shù)據(jù)不構(gòu)成對未來數(shù)據(jù)的預(yù)測基礎(chǔ)。

5、同時不會出現(xiàn)驚人相似的反復(fù)。股價行為模型通常用著名的維納過程來表達(dá)。假定股票價格遵循 一般化的維納過程是很具誘惑力的，也就是說，它具有不變的期望漂移率和方差率。但是當(dāng)人們 開始采用分形理論研究金融市場時，發(fā)現(xiàn)它的運行并不遵循布朗運動，而是服從更為一般的分?jǐn)?shù) 布朗運動。2分?jǐn)?shù)布朗運動與分形資本市場2.1分?jǐn)?shù)布朗運動世界是非線性的，宇宙萬物絕大部分不是有序的、線性的、穩(wěn)定的，而是混沌的、非線性的、 非穩(wěn)定和漲落不定的沸騰世界。有序的、線性的、穩(wěn)定的只存在于我們自己構(gòu)造的理論宮殿，而現(xiàn)實宇宙充滿了分形。在股票市場的價格波動、心率及腦波的波動、電子元器件中的噪聲、自然 地貌等大量的自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象中

6、存在著一類近乎全隨機的現(xiàn)象，它們具有如下特性：在時域 或空域上有自相似性和長時相關(guān)性和繼承性；在頻域上，其功率譜密度在一定頻率范圍內(nèi)基本符 合1/f的多項式衰減規(guī)律。因此被稱為 1/f族隨機過程。Benoit Mandelbrot和Van Ness提出的 分?jǐn)?shù)布朗運動(fractional Brownian motion ，F(xiàn)BM)模型是使用最廣泛的一種，它具有自相似性、 非平穩(wěn)性兩個重要性質(zhì)，是許多自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象的內(nèi)在特性。分?jǐn)?shù)布朗運動被賦予不同的名 稱，如分形布朗運動、有偏的隨機游走 (Biased Random walk)、分形時間序列(Fractional time serial)

7、、分形維納過程等。其定義如下：設(shè)0H1，Hurst參數(shù)為H的分?jǐn)?shù)布朗運動為一連續(xù)Gaussian過程，且，協(xié)方差為。H=1/2 時，即為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動。分?jǐn)?shù)布朗運動特征是時間相關(guān)函數(shù) C(t)尹0,即有持久性或反持久性，或者說有“長程相關(guān) 性”，不失一般性，可以給出一維情形的布朗運動及分?jǐn)?shù)布朗運動的定義。分?jǐn)?shù)布朗運動既不是馬 爾科夫過程，又不是半鞅，所以不能用通常的隨機來分析。分?jǐn)?shù)布朗運動與布朗運動之間的主要 區(qū)別為：分?jǐn)?shù)布朗運動中的增量是不獨立的，而布朗運動中的增量是獨立的；分?jǐn)?shù)布朗運動的深 層次上和布朗運動的層次上它們的分維值是不同的，分?jǐn)?shù)布朗運動(分形噪聲)的分維值alpha等于1/H，H

8、為Hurst指數(shù)，而布朗運動(白噪聲)的分維值都是 2。Hurst在一系列的實證研究中發(fā)現(xiàn)，自然現(xiàn)象都遵循“有偏隨機游走”，即一個趨勢加上噪 聲，并由此提出了重標(biāo)極差分析法(Rescaled Range Analysis，R/S分析)。設(shè)R/S表示重標(biāo)極差， N表示觀察次數(shù)，a是固定常數(shù)，H表示赫斯特指數(shù)，在長達(dá)40多年的研究中，通過大量的實證 研究，赫斯特建立了以下關(guān)系：R/S=(aN)H通過對上式取對數(shù)，可得：log(R/S)=H(logN 十 loga)只要找出R/S關(guān)于N的log/log圖的斜率，就可以來估計H的值。Hurst指數(shù)H用來度量序 列相關(guān)性和趨勢強度：當(dāng)H=0.5時，標(biāo)準(zhǔn)布

9、朗運動，時間序列服從隨機漫步；當(dāng)H尹0.5時,C(t)尹0, 且與時間無關(guān)，正是分?jǐn)?shù)布朗運動的特征。當(dāng)0.5H1時，序列是趨勢增強的，遵循有偏隨機游走過程；當(dāng)0H0.5時，序列是反持續(xù)性的?？梢钥闯觯琀urst指數(shù)能夠很好地刻畫證券市場的 波動特征，將R/S分析應(yīng)用于金融市場，可以判斷收益率序列是否具有記憶性，記憶性是持續(xù)性 的還是反持續(xù)性的。所以，分?jǐn)?shù)布朗運動是復(fù)雜系統(tǒng)科學(xué)體系下的數(shù)理金融學(xué)的一個合適的工具， 作為對描述金融市場價格波動行為模型的維納過程的一般化、深刻化具有重要的理論與現(xiàn)實意義。2.1分形資本市場自然界不是一個重復(fù)模式的序列，它的特點是局部的隨機性和全局的秩序。每一個存在于實

10、 際生活中的分形都是在細(xì)節(jié)上不同而在整體概念上類似的?，F(xiàn)實世界中的分形與全局由統(tǒng)計結(jié)構(gòu) 所控制，同時又保持局部的隨機性。而實際上，大多數(shù)人在接到信息時并不馬上做出決策，他們 會等著確認(rèn)信息，且不等到趨勢已經(jīng)十分明顯就不做出反應(yīng)。這樣，因證實一個趨勢所需的確認(rèn) 信息的時間不同，對于學(xué)習(xí)的不均等的消化可能會導(dǎo)致一個有偏的隨機游動。曼德勃羅特稱這種 隨機游動為分?jǐn)?shù)布朗運動。這也就是說，金融市場服從分?jǐn)?shù)布朗運動，有效市場理論所言僅僅是 分形分布的一種特殊情形。分?jǐn)?shù)布朗運動是對具有分形特征的自然現(xiàn)象的高階逼真，而金融市場的價格波動行為正是具備分形特征的現(xiàn)象，如自相似性，無特征長度，有精細(xì)結(jié)構(gòu)，或局部以某

11、 種方式與整體相似。彼得斯(Peters)就利用上述方法，在資本市場的混沌與秩序中證明了資 本市場是分形市場。事實上，證券市場中收益率明顯存在自相似性：日、周和月收益率圖形根本 難以區(qū)分。另外，他還用相關(guān)維方法分析了美國、英國和日本的股票市場指數(shù)的分形特征，發(fā)現(xiàn) 美、英、德的股票市場指數(shù)分形維都在 2與3之間，這意味著對于經(jīng)濟(jì)學(xué)系統(tǒng)的股票系統(tǒng)可以用 三個變量來建立動力學(xué)模型。最后他得出結(jié)論：大多數(shù)資本市場價格走勢實際上是一個分形時間 序列，分形時間序列是以長期記憶過程為特征的，它們有循環(huán)和趨勢雙重特征。信息并沒有像EMH所描述的那樣會立即被反映在價格中。所以將趨勢和隨機運動兩者聯(lián)系起來會使我們

12、進(jìn)入一個全 新的領(lǐng)域。Edgar EPeters(1996)提出了分形市場假說( Fractal Market Hypothesis , FMH )。分形 市場假說強調(diào)了流動性的影響以及基于投資者行為之上的投資起點，其目的是給予一個符合我們 觀察的投資者行為和市場價格運動的模型。Peters應(yīng)用R/S分析法分析了不同資本市場(如股市收益率、匯率)，都發(fā)現(xiàn)了分形結(jié)構(gòu)和非周期循環(huán)(Nonpelriodic Cycles)，證明資本市場是非線性系統(tǒng)。徐龍炳、陸蓉(1999)對滬深兩市進(jìn)行了 R/S分析，其Hurst指數(shù)分別為0.661和0.643， 周期為195天；徐緒松等(2004)指出穩(wěn)定的Le

13、vy分布作為R/S分析的理論基礎(chǔ)有重大缺陷，分 析了分?jǐn)?shù)布朗運動與R/S分析在含義和邏輯上的緊密聯(lián)系，提出了分?jǐn)?shù)布朗運動是R/S分析的理論基礎(chǔ)的觀點。分形理論藉助定量參數(shù)分維數(shù)來描述系統(tǒng)的分形特征，揭示隱藏在復(fù)雜現(xiàn)象背后的規(guī)律，以 及局部與整體之間的本質(zhì)聯(lián)系。靜態(tài)分維數(shù)在計算中沒有引入時間因素，如Hausdrff維數(shù)、合維數(shù)、信息維數(shù)等，均為系統(tǒng)中某一常數(shù)。動態(tài)分維數(shù)(都興富，1994 )則是在考慮隨時間而變化的基礎(chǔ)上計算普通函數(shù)和迭代函數(shù)的分維數(shù)。運用動態(tài)分維數(shù)可以對股票期貨價格行為的臨界點(轉(zhuǎn)振點)進(jìn)行辨識且效果較好。如侯曉鴻和李一智等(1999)首次應(yīng)用分形理論的動態(tài)分維數(shù)研究期貨價格行為，對期貨價格曲線上峰和