化工數(shù)學(xué)：第六章 線性代數(shù)在化學(xué)與化工中的應(yīng)用

1、第六章 線性代數(shù)在化學(xué)與化工中的應(yīng)用線性代數(shù)復(fù)習(xí)總結(jié)在化學(xué)與化工中的應(yīng)用實(shí)例體會(huì)學(xué)習(xí)化工數(shù)學(xué)的意義線性代數(shù)總結(jié)向量、向量組與線性方程組 行列式矩陣方陣的特征值和特征向量線性空間 第二章克萊姆法則 線性方程組 矩陣的初等變換矩陣的秩向量組的線性相關(guān)性 向量組的秩線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 維數(shù)、基與坐標(biāo) 線性變換 第一章第三章第四章第五章2 矩陣 A 的特征值為 齊次線性方程組 的非零解X 1 實(shí)矩陣 A 有特征向量 X , 對(duì)應(yīng)的特征值為四、矩陣的特征值和特征向量線 性 代 數(shù) 第六章 在化工中應(yīng)用的實(shí)例6.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題6.2 簡單不可逆連續(xù)反應(yīng)系統(tǒng)6.3因次分析中的應(yīng)用6.4化學(xué)

2、反應(yīng)系統(tǒng)中的應(yīng)用 研究在CO2和H2O存在下，由CO與H2合成甲醇的反應(yīng)。（1） 寫出反應(yīng)的原子矩陣形式；（2） 求原子矩陣的秩（3） 確定反應(yīng)a1CH3OH+a2CO+a3H2+a4CO2+a5H2O=0的一套計(jì)量系數(shù)，即確定一組完整的獨(dú)立反應(yīng)組。引例 ？ ？1、用矩陣對(duì)物質(zhì)進(jìn)行表示。例1：由三種元素H，C和O組成的三種物質(zhì)CO2，H2O和H2CO3的混合物，寫出其原子矩陣形式的表示式。線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題 在對(duì)物質(zhì)和物質(zhì)間的反應(yīng)進(jìn)行表示時(shí)，假定給定n個(gè)原子的總和，由這些原子構(gòu)成所討論的分子。用Bj表示相應(yīng)于每個(gè)原子（用j標(biāo)記）的排列

3、有序的數(shù)和，它由0和1構(gòu)成，其本質(zhì)即原子的符號(hào)。于是，由這些原子組成的Ai物質(zhì)的分子向量可表示為： （1）其中 是Ai分子中Bj原子的數(shù)目。稱具有整系數(shù) 的向量式（1）為分子式或分子。線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題 由原子 組成的 分子的總和可用以下方程組寫出： （2） 線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題若記 （3）則式（21）可寫成矩陣乘法的形式，即 （4）線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題或?qū)懗?（5）其中 表示由數(shù) 組成的 矩陣，稱其為原子矩陣。 線性代

4、數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題原子矩陣?yán)?：由三種元素H，C和O組成的三種物質(zhì)CO2，H2O和H2CO3的混合物，寫出其原子矩陣形式的表示式。原子矩陣為線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題 研究在CO2和H2O存在下，由CO與H2合成甲醇的反應(yīng)。（1） 寫出反應(yīng)的原子矩陣形式；（2） 求原子矩陣的秩（3） 確定反應(yīng)a1CH3OH+a2CO+a3H2+a4CO2+a5H2O=0的一套計(jì)量系數(shù)，即確定一組完整的獨(dú)立反應(yīng)組。引例 ？線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題2、用線

5、性空間對(duì)物質(zhì)和物質(zhì)間的反應(yīng)進(jìn)行表示。例2：求含有物質(zhì)CO2，H2O和H2CO3的子空間的維數(shù)，基底和坐標(biāo)。2010-11-5鏈接2.ppt線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題解：線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題即原子矩陣中第三列 可用第一列 和第二列 線性表示，故含有物質(zhì)CO2，H2O和H2CO3的子空間的維數(shù)等于2線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題由于所以即線性代數(shù) 第六章 在化工中的

6、應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題所以，可將結(jié)構(gòu)片斷 和 作為由物質(zhì)CO2，H2O和H2CO3構(gòu)成的子空間的基底。第一個(gè) 片斷可寫為 ，第二個(gè)片斷可寫為 ，在該子空間的基底中，分子(向量)的總和可表示為線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題3、用矩陣對(duì)化學(xué)反應(yīng)方程組進(jìn)行表示。例3：寫出由四種物質(zhì)CH4，CH2O，O2和H2O所組成的集合的一套化學(xué)計(jì)量系數(shù)。線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題 定理 如果分子 的原子矩陣的秩為m，則這些分子必處于m維的空間Rm中。線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例

7、 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題 向量空間Rn包括了所有可能的由原子構(gòu)成的物質(zhì)。例如，碳?xì)浠衔锞涂煽醋魇怯蓛深愒貧浜吞紭?gòu)成的,即某空間Rn中的子集合 。所以，重要的問題是確定一子空間Rm,而子集合 處于子空間Rm中。定理 如果分子 的原子矩陣的秩為m，則這些分子必處于m維的空間Rm中。 如果 ，則不失一般性，可設(shè)矩陣的前m列線性無關(guān)，并用它們表示其余的(n-m)列。用 表示矩陣的相應(yīng)列向量，依上所述，則有：線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題 其中 是相應(yīng)的線性無關(guān)向量線性組合的系數(shù)。系數(shù)矩陣為：線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.

8、16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題若用 表示由線性無關(guān)的列向量所組成的矩陣，不難證明 (6) 物質(zhì)分子的矩陣形式為 (7) (6)式代入(7),得 (8)2010-11-5鏈接3.ppt 即 (9) 其中列向量 的元素是式(4)中列向量B的元素的線性組合。因?yàn)橥ㄟ^它們表示所有的分子Ai，則它們就組成了子空間Rm的基底，其中包括所研究的分子 。 線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題子空間的基底 對(duì)于處在子空間Rm中的物質(zhì)集合 ，利用式(1)（4）總可以選擇m個(gè)線性無關(guān)的元素 ，它們構(gòu)成了該子空間的基底此時(shí)原子矩陣 表示該基底里的物質(zhì) 的和，而 的秩為m

9、(m個(gè)線性無關(guān)的行和列)。現(xiàn)設(shè) 的前m行線性無關(guān)，則m十1，m十2,，M行可用前m行的線性組合表示，得到(Mm)個(gè)方程 線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題（10）線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題式(10)的形式與一般化學(xué)反應(yīng)方程組是一致的，故可將方程組(10)作為物質(zhì)(反應(yīng)物) 的集合上的化學(xué)反應(yīng)方程組。顯然，表示原子矩陣 的行之間的線性關(guān)系的齊次方程的最小數(shù)目為(M-m)，其中M是所研究體系中反應(yīng)物 的數(shù)目,m是它的原子矩陣的

10、秩。把這些方程進(jìn)行相互組合，可得到該反應(yīng)物集合上的任何化學(xué)反應(yīng)的方程，所以，對(duì)于描寫M個(gè)反應(yīng)物體系中的化學(xué)反應(yīng)所必須的最小反應(yīng)數(shù)目為（M-m)。線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題對(duì)于規(guī)則反應(yīng)有： （11）其中i是參加反應(yīng)物質(zhì)的序號(hào)，k是反應(yīng)的序號(hào)。對(duì)給定體系中的化學(xué)反應(yīng)，可將化學(xué)計(jì)量系數(shù)寫成向量的形式 （12）所以該體系中所有反應(yīng)總和的矩陣 為 （13）化學(xué)計(jì)量矩陣引入?yún)⒓臃磻?yīng)物質(zhì)(分子)的列向量A （14）于是式（11）寫成 （15）或者對(duì)所有的反應(yīng)寫為 （16）借助原子矩陣，使其變成原子的組合，即線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1

11、 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題于是在獨(dú)立原子組合條件下可得到 （17） （18）所以，對(duì)標(biāo)以k的每個(gè)反應(yīng)。都存在同樣相對(duì)于 的線性方程組(17)，這個(gè)方程組完全符合眾所周知的化學(xué)反應(yīng)方程組的一般原則，即化學(xué)反應(yīng)式左邊的某種原子數(shù)及電荷數(shù)等于右邊的該原子數(shù)及電荷數(shù)線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題4、用化學(xué)計(jì)量矩陣對(duì)化學(xué)反應(yīng)進(jìn)行表示。例3：寫出由四種物質(zhì)CH4，CH2O，O2和H2O所組成的集合的一套化學(xué)計(jì)量系數(shù)。解：線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量

12、矩陣與化學(xué)平衡問題原子矩陣寫為求得 ，所以存在一個(gè)獨(dú)立的化學(xué)反應(yīng)。由式(18)，寫出方程組 線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題即：解該方程組得：所以對(duì)上述物質(zhì)的體系，獨(dú)立反應(yīng)具有的形式，即線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題對(duì)于規(guī)則反應(yīng)有： （6）其中i是參加反應(yīng)物質(zhì)的序號(hào)，k是反應(yīng)的序號(hào)。對(duì)給定體系中的化學(xué)反應(yīng)，可將化學(xué)計(jì)量系數(shù)寫成向量的形式 （7）所以該體系中所有反應(yīng)總和的矩陣 為 （8）化學(xué)計(jì)量矩陣引入?yún)⒓臃磻?yīng)物質(zhì)(分子)的列

13、向量A （9）于是式（6）寫成 （10）或者對(duì)所有的反應(yīng)寫為 （11）借助原子矩陣，使其變成原子的組合，即線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題于是在獨(dú)立原子組合條件下可得到 （12） （13）所以，對(duì)標(biāo)以k的每個(gè)反應(yīng)。都存在同樣相對(duì)于 的線性方程組(12)，這個(gè)方程組完全符合眾所周知的化學(xué)反應(yīng)方程組的一般原則，即化學(xué)反應(yīng)式左邊的某種原子數(shù)及電荷數(shù)等于右邊的該原子數(shù)及電荷數(shù)線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.1 設(shè)n為出現(xiàn)在反應(yīng)物組成里的各種原子（元素）及電荷的數(shù)目；M為

14、反應(yīng)物質(zhì)的數(shù)目；K 是給定體系反應(yīng)的數(shù)目，當(dāng)Mn時(shí)，原子矩陣（Mn階）的秩是mn（或當(dāng)Mn時(shí)，mM）。當(dāng)化學(xué)計(jì)量矩陣（KM階）的秩為Q時(shí)，則有 QMm （19） 若在 中僅包含獨(dú)立反應(yīng)，則上式取等號(hào)，式（19）稱為Gibbs化學(xué)計(jì)量規(guī)則。 Gibbs化學(xué)計(jì)量規(guī)則 按照Gibbs規(guī)則，可以確定體系中最大可能的獨(dú)立反應(yīng)的數(shù)目。當(dāng)然它不涉及諸如體系中全部可能的獨(dú)立反應(yīng)是否發(fā)生？若它們不是都能發(fā)生，那么它們應(yīng)在什么條件下才能發(fā)生等問題。但是，Gibbs規(guī)則非常深刻的描寫了化學(xué)計(jì)量式的特性。 線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題 原子矩陣的秩決定了反應(yīng)混合物的獨(dú)立組分?jǐn)?shù)，而獨(dú)立組分?jǐn)?shù)在研究化學(xué)平衡問題時(shí)是很重要的?；瘜W(xué)計(jì)量矩陣的最大秩數(shù)Q決定了該體系中能夠進(jìn)行反應(yīng)的獨(dú)立反應(yīng)數(shù)。一般地，總是可以在給定體系中選擇Q種物質(zhì)，這些物質(zhì)完全決定體系的反應(yīng)；它們還可以作為描述體系動(dòng)力學(xué)方程的獨(dú)立變量。 線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.16.1 化學(xué)計(jì)量矩陣與化學(xué)平衡問題線性代數(shù) 第六章 在化工中的應(yīng)用實(shí)例 6.1本節(jié)要點(diǎn)：1、理解原子矩陣的概念，能夠?qū)懗鑫镔|(zhì)分子的矩陣形式2、掌握物質(zhì)線性空間的維數(shù)、基底和坐標(biāo)的概念