數(shù)字信號處理：第一章 緒論

1、數(shù)字信號處理Digital Signal Processing數(shù) 字 信 號 處 理 參考書 吳鎮(zhèn)揚(yáng)，數(shù)字信號處理 （第二版） 高等教育出版社 程佩青，數(shù)字信號處理教程， 清華大學(xué)出版社 鄒理和，數(shù)字信號處理，國防工業(yè)出版社 奧本海姆，數(shù)字信號處理，科學(xué)出版社 胡廣書，數(shù)字信號處理理論、算法與實(shí)現(xiàn)， 清華大學(xué)出版社*吳鎮(zhèn)揚(yáng)，胡學(xué)龍 ，毛衛(wèi)寧 數(shù)字信號處理學(xué)習(xí)指導(dǎo) 高等教育出版社，2012年緒 論1、信號處理2、研究對象3、處理方式4、DSP系統(tǒng)基本功能部件5、DSP優(yōu)點(diǎn)6、局限性7、應(yīng)用8 、發(fā)展趨勢9 、數(shù)字信號處理系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)10、課程介紹 1、信號處理 信號 模擬信號：時(shí)間和幅度連續(xù)； 數(shù)

2、字信號：時(shí)間離散、幅度量化； 離散信號：時(shí)間離散、幅度連續(xù)。系統(tǒng)分類： 模擬系統(tǒng)：輸入、輸出為模擬信號； 數(shù)字系統(tǒng)：輸入、輸出為數(shù)字信號； 信號處理 獲取信號 信號處理 提取有用信息 信號的過濾和檢測； 參數(shù)的提取和估計(jì)； 頻譜分析； 使信號更便于使用，更容易識別。數(shù)字信號處理 用數(shù)值計(jì)算的方法完成對數(shù)字信號的處理（檢測、濾波、參數(shù)估計(jì)等）。相關(guān)理論 信號與系統(tǒng)、現(xiàn)代信號處理、統(tǒng)計(jì)信號處理檢測與估計(jì)理論 2、研究對象 數(shù)字序列（輸入、輸出都是數(shù)字序列） 3、處理方式 數(shù)字序列的加工和運(yùn)算 4、DSP系統(tǒng)基本功能部件 存儲單元（存儲器、寄存器等） 加法器 乘法器 邏輯控制器5、DSP系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)（

3、與模擬系統(tǒng)比較） DSP的研究對象和處理方式，決定了它比模擬系統(tǒng)具有許多優(yōu)點(diǎn)。 1) 高精度 模擬系統(tǒng)，如模擬濾波器 ，是利用電阻、電容、電感等元器件實(shí)現(xiàn)的，元器件精度要達(dá)到10-3精密器件以上已很不容易，受此限制，模擬系統(tǒng)的精度很難提高。 數(shù)字系統(tǒng)，若采用16位字長，計(jì)算精度可達(dá)10-5 量級；采用字長32位，精度可達(dá)10-10量級，所以在很多高精度測量中，數(shù)字技術(shù)是非常有效的工具，有時(shí)甚至為了滿足精度要求，一定要采用數(shù)字系統(tǒng)。2) 高穩(wěn)定性 模擬系統(tǒng)中，元器件值會隨環(huán)境條件變化（如R、L、C隨溫度變化），造成系統(tǒng)性能不穩(wěn)定。 數(shù)字系統(tǒng)，只有“0”和“1”兩種電平，一般不隨環(huán)境條件(如溫度、

4、電磁感應(yīng)等)變化，工作穩(wěn)定。3) 高度靈活性 模擬系統(tǒng)，系統(tǒng)特性取決于其中的各個元件，要改變系統(tǒng)特性，必須改變其中的元件。 數(shù)字系統(tǒng)與之不同，只要改變系統(tǒng)存儲器中的數(shù)據(jù)，即可改變系統(tǒng)參數(shù)，從而改變系統(tǒng)特性。4) 便于大規(guī)模集成 數(shù)字部件有高度的規(guī)范性，便于大規(guī)模集成和大批量生產(chǎn)，而且體積小、重量輕。特別是對低頻信號，采用模擬系統(tǒng)處理時(shí)，元器件的數(shù)值和尺寸都大得驚人，采用數(shù)字系統(tǒng)處理，有明顯的優(yōu)越性。5) 高性能 DSP可獲得很高的性能指標(biāo)。例如，F(xiàn)IR可以實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格的線性相位，這在模擬系統(tǒng)中是很難達(dá)到的。6) 多維處理 數(shù)字系統(tǒng)的一個主要特點(diǎn)可具備龐大的存儲單元，可存儲數(shù)幀圖象信號或多路陣列信號

5、，實(shí)現(xiàn)二維或多維處理，如二維濾波或二維譜分析等。6、缺點(diǎn)（1）增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性。它需要模擬接口:A/D、D/A、模擬濾波器，以及比較復(fù)雜的數(shù)字系統(tǒng)。（2）應(yīng)用的頻率范圍受到限制。主要是A/D轉(zhuǎn)換的采樣頻率的限制。（3）系統(tǒng)的功率消耗比較大。數(shù)字信號處理系統(tǒng)中集成了幾十萬甚至更多的晶體管，而模擬信號處理系統(tǒng)中大量使用的是電阻、電容、電感等無源器件，隨著系統(tǒng)的復(fù)雜性增加這一矛盾會更加突出。 7、應(yīng)用 DSP這一學(xué)科近二、三十年發(fā)展十分迅速，特別是FFT算法的出現(xiàn)及大規(guī)模集成電路和計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，使DSP的應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)大。 應(yīng)用領(lǐng)域有： 通信 雷達(dá) 地震預(yù)測 聲納 遙感 圖像處理和模式識別

6、 語音處理和識別 生物醫(yī)學(xué) 自動控制 消費(fèi)電子從模擬到數(shù)字從模擬到數(shù)字網(wǎng)絡(luò)化監(jiān)控的數(shù)字音視頻編解碼處理平臺美國MindFlex Duel意念控制儀 8、發(fā)展趨勢 大規(guī)模集成電路的發(fā)展 成本降低，尺寸縮小，計(jì) 算速度提高 推動了應(yīng)用。 年代特點(diǎn) $/MIPS60年代大學(xué)探索 $100-$1,00070年代軍事運(yùn)用 $10-$10080年代商用成功 $1-$1090年代進(jìn)入消費(fèi)類電子 $0.1-$1今后生活用品 $0.01-$0.1理論在發(fā)展、完善。 一般來說，數(shù)字信號處理限于線性時(shí)不變系統(tǒng)理論，并假設(shè)信號及背景是高斯平穩(wěn)的，信號的分析基于二階矩，數(shù)字濾波和FFT是常用方法。目前DSP研究熱點(diǎn)：

7、時(shí)變信號 非平穩(wěn)信號 非高斯信號 非線性信號處理方法的發(fā)展：自適應(yīng)濾波 離散小波變換（時(shí)頻分析） 高階矩分析 信號盲處理 分形、混沌理論目的：數(shù)學(xué)模型更加符合實(shí)際，或者降低對信號先驗(yàn)知識的要求， 充分利用觀測信號中的一切有用信息，提高信息利用率。9、數(shù)字信號處理系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)軟件實(shí)現(xiàn)硬件實(shí)現(xiàn)片上系統(tǒng)（SOC, System on a Chip）軟件實(shí)現(xiàn)：是用一臺通用的數(shù)字計(jì)算機(jī)運(yùn)行數(shù)字信號處理程序。其優(yōu)點(diǎn)是經(jīng)濟(jì)，一機(jī)可以多用；缺點(diǎn)是處理速度慢，這是由于通用數(shù)字計(jì)算機(jī)的體系結(jié)構(gòu)并不是為某一種特定算法而設(shè)計(jì)的。在許多非實(shí)時(shí)的應(yīng)用場合，可以采用軟件實(shí)現(xiàn)方法。例如，處理一盤混有噪聲的錄像(音)帶，我們可以

8、將圖像(聲音)信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號并存入計(jì)算機(jī)，用較長的時(shí)間一幀幀地處理這些數(shù)據(jù)。處理完畢后，再實(shí)時(shí)地將處理結(jié)果還原成一盤清晰的錄像(音)帶。通用計(jì)算機(jī)即可完成上述任務(wù)，而不必花費(fèi)較大的代價(jià)去設(shè)計(jì)一臺專用數(shù)字計(jì)算機(jī)。硬件實(shí)現(xiàn)是針對特定的應(yīng)用目標(biāo)，經(jīng)優(yōu)化，設(shè)計(jì)一專用的軟硬件系統(tǒng)。其優(yōu)點(diǎn)是容易做到實(shí)時(shí)處理，缺點(diǎn)是設(shè)備只能專用。片上系統(tǒng)（SOC, System on a Chip） 隨著大規(guī)模集成電路的發(fā)展，一個復(fù)雜數(shù)字信號處理系統(tǒng)已可以集成在一個芯片上。SOC包含有數(shù)字和模擬電路、模擬和數(shù)字轉(zhuǎn)換電路、微處理器、微控制器以及數(shù)字信號處理器等。與傳統(tǒng)的集成電路不同的是，嵌入式軟件的設(shè)計(jì)也被集成到了SOC

9、的設(shè)計(jì)流程中，SOC的設(shè)計(jì)方法將以組裝為基礎(chǔ)，采用自上至下的設(shè)計(jì)方法，在設(shè)計(jì)過程中大量重復(fù)使用自行設(shè)計(jì)或其他第三方擁有知識產(chǎn)權(quán)的IP(Intelligent Property)模塊。SOC要充分考慮如何合理劃分軟件和硬件所實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)功能以及如何實(shí)現(xiàn)軟、硬件之間的信息傳遞。SOC將是數(shù)字信號處理系統(tǒng)的一個新型的實(shí)現(xiàn)方法。 10、課程介紹（主要討論一維DSP ） l離散時(shí)間信號與系統(tǒng)（ch1） l 信號采樣與重建 （ch2） l 離散傅立葉變換DFT（ch3） 快速傅立葉變換FFT（ch3） l 數(shù)字濾波器DF 無限長單位脈沖響應(yīng)（IIR）濾波器(ch4) 有限長單位脈沖響應(yīng)（FIR）濾波器(ch

10、5) l 數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)和實(shí)現(xiàn)（ch6） l 變采樣率信號處理（ch7）背景知識： 信號與系統(tǒng)： Z變換、拉氏變換、付氏變換 數(shù)學(xué)：級數(shù)運(yùn)算、留數(shù)定理 課程關(guān)系 數(shù)字圖像處理數(shù)據(jù)壓縮語音信號處理統(tǒng)計(jì)信號處理MATLAB實(shí)踐研討課程及系列講座DSP系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)DSP綜合課程設(shè)計(jì)信號與系統(tǒng)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理系統(tǒng)的研究步驟：1）離散時(shí)間信號與離散系統(tǒng)理論。 研究對象：時(shí)間上離散、幅度上無誤差的 離散信號2）考慮幅度的量化以及運(yùn)算過程中有限字長的 影響。 研究對象：時(shí)間離散、幅度上精度有限的 數(shù)字信號第一章 離散時(shí)間系統(tǒng)與Z變換離散時(shí)間信號離散時(shí)間系統(tǒng)離散信號的傅氏變換與Z變換系統(tǒng)函數(shù)1.1 離散

11、時(shí)間信號離散時(shí)間信號定義：時(shí)間上不連續(xù)的一個序列。 通常定義為一個序列值的集合 x(n) ，n為整型數(shù)，x(n)表示序列中第n個樣本值，表示全部樣本值的集合。 離散時(shí)間信號可以是通過采樣得到的采樣序列x(n) = xa(nT)，也可以不是采樣信號，如有些系統(tǒng)的輸入可能直接就是離散時(shí)間信號或數(shù)字信號，有些系統(tǒng)內(nèi)部有時(shí)也產(chǎn)生一些數(shù)字信號，這些都是離散時(shí)間信號，但不屬于采樣信號。 幾種典型序列： 1) 單位脈沖序列 只有n=0處有一單位值1，其余點(diǎn)上為0 數(shù)字系統(tǒng)中，序列(n) 也稱為離散沖激，或簡稱沖激，這是一種最常用也最重要的序列，它在離散時(shí)間系統(tǒng)中的作用，類似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中單位沖激函數(shù)(t)

12、 所起的作用，連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中， (t) 的脈寬為零，幅度為，是一種數(shù)學(xué)極限，并非現(xiàn)實(shí)的信號，而離散時(shí)間系統(tǒng)中的(n) ，是一個現(xiàn)實(shí)的序列，其脈沖幅度為1（有限值）。2）單位階躍序列 在大于等于0的離散時(shí)間點(diǎn)上有無窮個幅度為1的數(shù)值，類似于連續(xù)時(shí)間信號中的單位階躍脈沖。3）矩形序列 此序列從 n=0 開始，含有 N 個幅度為1的數(shù)值，其余為零。以上三個序列彼此間的關(guān)系： 0 1 N-1 n 4）指數(shù)序列 x (n)=a n u (n) 即 |a|1時(shí)，序列發(fā)散，|a|1序列收斂，a0時(shí)，序列有正有負(fù)，是擺動的。a0） 以形成的新序列； 序列數(shù)乘：z（n）=x（n）指序列與一個數(shù)相乘； 序列能量:

13、 一般序列表示方法（一種任意序列的單位脈沖表示法）設(shè)x(m)是一個序列值的集合，其中任意一個值 x(n) 可表示為 由于因此它表明任一序列都可表示成各延時(shí)單位脈沖序列的加權(quán)和。1.2 離散時(shí)間系統(tǒng)與差分方程 一個離散時(shí)間系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上的定義是將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的唯一性變換或運(yùn)算。它的輸入是一個序列，輸出也是一個序列，其本質(zhì)是將輸入序列轉(zhuǎn)變成輸出序列的一個運(yùn)算。圖1.8所示為一個離散時(shí)間系統(tǒng)，T表示這種運(yùn)算關(guān)系，即 y(n)= Tx(n)對T加以種種約束,可定義出各類離散時(shí)間系統(tǒng)。離散時(shí)間系統(tǒng)中最重要、最常用的是“線性、時(shí)不變系統(tǒng)”。 x(n) y(n)T . 圖1.8 離散

14、時(shí)間系統(tǒng) 1. 線性系統(tǒng)（滿足迭加原理的系統(tǒng)） 若系統(tǒng)的輸入為 x1(n) 和 x2 (n) 時(shí)，輸出分別為 y1 (n) 和 y2 (n) ， 即 y1 (n) =T x1 (n) ， y2 (n) =T x2 (n) 。 當(dāng)系統(tǒng)輸入為 ax1 (n) +bx2 (n) 時(shí)，輸出為 ay1 (n) +by2 (n) ，其中a， b為任意常數(shù)，則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。證明： Tax1 (n) +bx2 (n)= aTx1 (n)+bTx2 (n) = ay1 (n) +by2 (n) 線性系統(tǒng)對信號的處理可應(yīng)用迭加定理。例見書P21例6。2. 時(shí)不變系統(tǒng) 如果 Tx (n)=y (n) ，則 Tx

15、(n-n0)=y (n-n0) （ n0為任意整數(shù)）即系統(tǒng)的特性不隨時(shí)間而變化。3. 線性時(shí)不變系統(tǒng) 線性時(shí)不變系統(tǒng)既滿足迭加原理又具有時(shí)不變性的系統(tǒng)。線性時(shí)不變系統(tǒng)可以用單位脈沖響應(yīng)來表示。 因任一序列都可表示成各延時(shí)單位脈沖序列的加權(quán)和 如令 h(n) 為系統(tǒng)對單位脈沖序列的響應(yīng), 即 則系統(tǒng)對任一輸入序列 x(n) 的響應(yīng)為 又由于系統(tǒng)是時(shí)不變的，對移位的單位脈沖的響應(yīng)等于單位脈沖響應(yīng)的移位。 因此 該式表明：對任何線性時(shí)不變系統(tǒng)，可完全通過其單位脈沖響應(yīng) h(n) 來表示。這個公式和模擬系統(tǒng)的卷積是類似的，稱為離散卷積，或線性卷積。注：只有線性時(shí)不變系統(tǒng)才能由單位沖激響應(yīng)來表示由于系統(tǒng)

16、是線性的，滿足迭加定理 線性卷積： 對 h(m) 繞縱軸折疊，得 h(-m) ； 對 h(-m) 移位得 h(n-m) ； 將 x(m) 和 h(n-m) 所有對應(yīng)項(xiàng)相乘之后相加，得離散卷積結(jié)果 y(n)。令m=n-m，做變量代換，則卷積公式變?yōu)?因此，x(m) 與 h(n-m)的位置可對調(diào)。（即輸入為x(n)、單位脈沖響應(yīng)為h(n)的線性時(shí)不變系統(tǒng)與輸入為h(n)、單位脈沖響應(yīng)為x(n)的線性時(shí)不變系統(tǒng)具有同樣的輸出）。離散卷積也稱為“線性卷積”或“直接卷積”，以區(qū)別其他種類的卷積。4. 系統(tǒng)的穩(wěn)定性與因果性 線性和時(shí)不變兩個約束條件定義了一類可用褶積和表示的系統(tǒng)。穩(wěn)定性和因果性也是很重要的

17、限制。穩(wěn)定系統(tǒng)：對于每一個有界輸入產(chǎn)生一個有界輸出的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。充要條件: 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，該線性時(shí)不變系統(tǒng)是穩(wěn)定的。證明：如上式成立，且x有界，即對所有n，|x（n）|m，則 y有界，滿足充分條件。反之，如h（k）不符合式，S=，則可求得一種有界輸入，能使該系統(tǒng)產(chǎn)生一個無界輸出。如取輸入為顯然，x（n）有界，當(dāng)n=0時(shí)，輸出如果s=，則輸出序列無界，因此s也是必要條件。因果系統(tǒng)： 系統(tǒng)的輸出 y(n) 只取決于當(dāng)前以及過去的輸入， 即x(n)， x(n-1)，x(n-2)。非因果系統(tǒng)：如果系統(tǒng)的輸出 y(n) 取決于x(n+1)，x(n+2)，即系統(tǒng)的輸 出取決于未來的輸入，則是非因果系統(tǒng)

18、，也即不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。因果系統(tǒng)的充要條件： h(n) 0， n0 許多重要的網(wǎng)絡(luò)，如理想低通濾波器等都是非因果的不可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)。但數(shù)字信號處理往往是非實(shí)時(shí)的，即使是實(shí)時(shí)處理，也允許有很大的延時(shí)，這時(shí)對于某一個輸出 y(n) 來說，已有大量的“未來”輸入 x(n+1)、x(n+2)記錄在存儲器中可以被調(diào)用，因而可以很接近于實(shí)現(xiàn)這些非因果系統(tǒng)，也即可用具有很大延時(shí)的因果系統(tǒng)逼近非因果系統(tǒng)，這是數(shù)字系統(tǒng)比模擬系統(tǒng)更能獲得接近理想特性的原因。 例： 分析單位沖擊響應(yīng)為 h(n)=anu(n) 的線性時(shí)不變系統(tǒng)的 因果性和穩(wěn)定性。 解：因 n0 時(shí)，h(n)=0， 系統(tǒng)是因果的。 如果 |a|1, 則 ,

19、 如 |a|1 , 則s ，級數(shù)發(fā)散。 故系統(tǒng)僅在 |a|1 時(shí)才是穩(wěn)定的。 穩(wěn)定的因果系統(tǒng)：既滿足穩(wěn)定性又滿足因果性的系統(tǒng)。這種系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)既是單邊的，又是絕對可積的，即 這種穩(wěn)定因果系統(tǒng)既是可實(shí)現(xiàn)的又是穩(wěn)定工作的，這種系統(tǒng)是最主要的系統(tǒng)。 例：設(shè)系統(tǒng)的輸出、輸入關(guān)系為： 判定其線性、因果性、時(shí)不變性和穩(wěn)定性。 解: 1） Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)sin(2n/T+/6) 而 aTx1(n)+bTx2(n)=ax1(n)+bx2(n)sin(2n/T+/6) Tax1(n)+bx2(n)= aTx1(n) +bTx2(n)， 系統(tǒng)是線性的。 2） Tx(

20、n-n0)=x(n-n0)sin(2n/T+/6) 而 y(n-n0)=x(n-n0)sin(2(n-n0)/T+/6) Tx(n-n0)y(n-n0) ， 系統(tǒng)是時(shí)變的。 3） 如 x(n) 有界，即 ，則 ，輸出有界，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 4） 只與 x(n) 的當(dāng)前值有關(guān)，而與x(n+1)、x(n+2) 等未來值無關(guān)，系統(tǒng)是因果的。 5 差分方程描述系統(tǒng)輸入輸出之間的運(yùn)算關(guān)系 一個線性的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)可以用線性微分方程來表達(dá)，而離散時(shí)間系統(tǒng)，由于其變量 n 是離散整型變量，故只能用差分方程來反映其輸入輸出序列之間的運(yùn)算關(guān)系。 N 階線性常系數(shù)差分方程的一般形式：其中 ai、bi都是常數(shù)。 離散系

21、統(tǒng)差分方程表示法有兩個主要用途： 由差分方程得到系統(tǒng)運(yùn)算結(jié)構(gòu)； 求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。 例：用途一，由一階差分方程畫網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) y(n) = ay(n-1) + x(n) 由此得到它的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1.10。 a 延時(shí) 圖1.10 差分方程所表示的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)T x(n) y(n)用途二: 在給定輸入和給定初始條件下，用遞推的方法求 系統(tǒng)瞬態(tài)解。例：一階差分方程系統(tǒng)其輸入為求系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。解：初始條件為 y(n) = 0，n0，y(n) = 0將差分方程 改寫成 y(n-1) = 2 y(n) - 1.5x(n) 此時(shí) y(0) = 2 y(1) - 1.5x(1) = 0 依此類推，得到 非因果、不

22、穩(wěn)定系統(tǒng) 、兩式所表示的兩個不同的單位脈沖響應(yīng)，雖滿足同一差分方程，但由于初始條件不同，它們代表不同的系統(tǒng)，也即用差分方程描述系統(tǒng)時(shí)，只有附加必要的制約條件，才能唯一地確定一個系統(tǒng)的輸入和輸出關(guān)系。1.3 離散信號的付氏變換與z變換 一、 離散信號的付氏變換（DTFT） 離散信號（數(shù)字序列）的付氏變換定義 數(shù)字序列的逆付氏變換定義 付氏變換對成立的條件： 付氏變換中的級數(shù)求和不一定總是收斂的，若 x(n) 絕對可和，則該級數(shù)收斂，因此穩(wěn)定系統(tǒng)的付氏變換是收斂的。 值得指出：（1）由于 ，所以 是以 2為周期的周期函數(shù)。（2）付氏變換 正是周期函數(shù) 的付氏級數(shù)展開，而 x(n) 是付氏級數(shù)的系數(shù)

23、。這一概念在以后濾波器設(shè)計(jì)中有用。 離散序列付氏變換的一些主要性質(zhì)見書 p17 表1.2。系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 對于一個線性時(shí)不變離散系統(tǒng)，其輸入輸出關(guān)系為 則有 為系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng) h(n) 的付氏變換，稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。所以兩個序列的時(shí)域卷積對應(yīng)于付氏變換的乘積。二、 z 變換 利用差分方程可求離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及瞬態(tài)解，為了分析系統(tǒng)的另外一些重要特性，如穩(wěn)定性和頻率響應(yīng)等，需要研究離散時(shí)間系統(tǒng)的z變換（類似于模擬系統(tǒng)的拉氏變換），它是分析離散系統(tǒng)和離散信號的重要工具。 一個離散序列 的Z變換定義為 其中 z 為復(fù)變量，以其實(shí)部為橫坐標(biāo)，虛部為縱坐標(biāo)構(gòu)成的平面為 z 平面。這種變換也稱為雙邊 z

24、變換，與此相應(yīng)還有單邊 z 變換，單邊 z 變換只是對單邊序列（n=0部分）進(jìn)行變換的z變換，其定義為單邊z變換只在少數(shù)情況下與雙邊z變換有所區(qū)別，即序列的起始條件不同，可以把單邊z變換看成是雙邊z變換的一種特例，即因果序列情況下的雙邊z變換。三. z變換的收斂域 一般，序列的Z變換 并不一定對任何z值都收斂，z平面上使上述級數(shù)收斂的區(qū)域稱為“收斂域”。我們知道，級數(shù)一致收斂的條件是絕對值可和，因此，z平面的收斂域應(yīng)滿足 因?yàn)椋?因此，|z| 值在一定范圍內(nèi)才能滿足絕對可和條件，這個范圍一般表示為 這就是收斂域，一個以 Rx- 和 Rx+ 為半徑的兩個圓所圍成的環(huán)形區(qū)域，Rx- 和 Rx+ 稱

25、為收斂半徑，Rx- 和Rx+ 的大小，即收斂域的位置與具體序列有關(guān)，特殊情況為 Rx- 等于0，Rx+ 為無窮大，這時(shí)圓環(huán)變成圓或空心圓。圖1.11 z變換的收斂域 jImzRx+Rx-Rez0這里主要討論四種特殊序列的收斂域：a 有限長序列 序列 ，其Z變換 X(z) 是有限項(xiàng)的級數(shù)和，只要級數(shù)每一項(xiàng)有界，有限項(xiàng)和也有界，所以有限長序列z變換的收斂域取決于 |z|-n ， n1nn2。 顯然 |z| 在整個開域（0，）都能滿足以上條件，因此有限長序列的收斂域是除 0 及 兩個點(diǎn)（對應(yīng)n0不收斂）以外的整個 z 平面： 0 |z| 如果對n1，n2加以一定的限制，如n10或n20，則根據(jù)條件

26、|z|-n （n1nn2），收斂域可進(jìn)一步擴(kuò)大為包括0點(diǎn)或點(diǎn)的半開域： 例 例1 序列 x（n）=（n） 由于n1=n2=0，其收斂域?yàn)檎麄€閉域 z 平面，0|Z|， 例2 矩形序列x（n）=RN（n） 等比級數(shù)求和 b 右邊序列 指 x（n）只在 nn1有值，而 n Rx- ， 為收斂半徑 Rx- 以外的z平面。 證明 ：若x（x）在|z|=R上收斂，即 則可證明，在R圓以外，即R|z|，x（Z）也必收斂。 選擇任一整數(shù)n20上式第二項(xiàng)，由于nn20，|Z|R，因此|z|-nR-n，故 由此證明右邊序列的收斂域?yàn)?|z|Rx- 。 右邊序列中最重要的一種序列是 “因果序列” ，即n1=0的右

27、邊序列，因果序列只在n0有值，nn2 時(shí)，x（n）=0 收斂域： |Z|Rx+ ， 在收斂半徑為Rx+的圓內(nèi)。 證：如x（z）在|z|=R上收斂，即 則在0|z|R上也必收斂，任選一整數(shù)n10， 整個級數(shù)在|z|R上有 收斂域|z|Rx-，則存在公共的收斂區(qū)間，X（z）有收斂域: Rx- |z| Rx+如 Rx+Rx-，無公共收斂區(qū)間，X（z）無收斂域，不收斂。 Z變換小結(jié)Z 變換收斂域的特點(diǎn)： 1） 收斂域是一個圓環(huán)，有時(shí)可向內(nèi)收縮到原點(diǎn)，有時(shí)可向外擴(kuò)展到，只有 的收斂域是整個 z 平面。 2） 在收斂域內(nèi)沒有極點(diǎn)， 在收斂域內(nèi)每一點(diǎn)上都是解析函數(shù)。Z 變換表示法： 1）級數(shù)形式 2）解析表

28、達(dá)式（注意:只表示收斂域上的函數(shù)，要同時(shí)注明收斂域）四、逆z變換 已知函數(shù)X(z)及其收斂域，反過來求序列x(n)的變換稱為逆z變換，常用 Z-1x(z) 表示。若 則逆z變換為： 逆z變換是一個對 X(z)zn-1 進(jìn)行的圍線積分，積分路徑C是一條在 X(z) 收斂環(huán)域（Rx-，Rx+）以內(nèi)反時(shí)針方向繞原點(diǎn)一周的單圍線。圍線積分路徑Rx-證： 設(shè)積分路徑C在半徑為R的圓上，即 z=Rej ， Rx-RRx+，k=n-m, 則 這個公式稱為柯西積分定理。因此 或 直接計(jì)算圍線積分比較麻煩，一般不采用此法求z反變換，求解逆z變換的常用方法有：l 冪級數(shù)l 留數(shù)定理法l 部分分式法 如果得到的z變

29、換是冪級數(shù)形式的，則可以看出，序列值x(n)是冪級數(shù) 中 z-n 項(xiàng)的系數(shù)，如果已經(jīng)給出X(z)的函數(shù)表示，我們常?？梢酝茖?dǎo)它的冪級數(shù)展開式或者利用已知的冪級數(shù)展開式。用長除法可獲得冪級數(shù)展開式。留數(shù)定理 對于有理的z變換，圍線積分通常可用留數(shù)定律計(jì)算： x(n)ResX(z)zn-1 ，zk x(n)等于X(z)zn-1在圍線C內(nèi)所有極點(diǎn)zk上留數(shù)值的總和。 如果zk是單階極點(diǎn)，則 ResX(z)zn-1 ，zk(zk) X(z)zn-1如果zk是N階極點(diǎn)，則常用序列z變換（可直接使用）五、z變換的性質(zhì) z變換的許多重要性質(zhì)在數(shù)字信號處理中常常要用到 詳見教科書 P21 “z變換特性表”六、

30、帕塞伐（Parseval）定理z變換的重要性質(zhì)之一 若有兩序列 x(n)，y(n)，且 X(z) = Z x（n） Rx-|z| Rx+ Y(z) = Z y（n） Ry-|z| Ry+ 它們的收斂域滿足條件： Rx- Ry-1則 其中，C 取在 X(v) 和 Y*(1/v*)的收斂區(qū)域的重疊范圍內(nèi) Max Rx- , 1/Ry+ |v| min Rx+ , 1/Ry -證明： 如果 X（v）、Y（v）在單位圓上收斂，則選取單位圓為圍線積分路徑，這時(shí) Parseval 定理的一個重要應(yīng)用是計(jì)算序列的能量。序列能量: 一個序列值的平方總和 即時(shí)域中對序列求能量與頻域中求能量是一致的。七、拉氏變換

31、、付氏變換與z變換的關(guān)系a、拉氏變換與z變換理想采樣的拉氏變換： 對照采樣序列的z變換： 顯然，當(dāng) 時(shí)，采樣序列的 z 變換等于理想采樣信號的拉氏變換。 因B、理想采樣信號的拉氏變換與連續(xù)信號的拉氏變換所以這說明，從理想采樣信號的拉氏變換到采樣序列的z變換，就是由復(fù)變量s平面到復(fù)變量z平面的映射變換，這個映射關(guān)系就是 ；理想采樣信號的拉氏變換等于連續(xù)信號的拉氏變換在虛軸上的周期延拓。（）映射關(guān)系 分析：設(shè)jrej則 reje(j)TeT ejT因此 ，reT T/fs 0時(shí) ， j ，r1 ，z= ejT j映射到 z 平面正是單位圓。引出了數(shù)字頻率和模擬域頻率的關(guān)系。 即數(shù)字頻率是模擬域頻率

32、對采樣頻率 fs 的歸一化。數(shù)字頻率代表了序列值變化快慢的速率，所以它只有相對的時(shí)間意義（相對于采樣頻率fs），而沒有絕對時(shí)間和頻率的意義。 c、 付氏變換與z變換 付氏變換是拉氏變換在虛軸上的特例：z=esT=ejT代入（）式 采樣序列在單位圓上的z變換就等于理想采樣信號的付氏變換（即頻譜）。 1.4 系統(tǒng)函數(shù) H(z) 一、 定義 在1.2一節(jié)中曾討論過用單位脈沖響應(yīng) h(n) 來表示一個線性時(shí)不變離散系統(tǒng)， y(n) = x(n)*h(n) 兩邊取z變換 Y(z) =X(z)H(z) 則系統(tǒng)函數(shù)定義為 1）它是單位脈沖響應(yīng)的z變換: 2）單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 所以可以用單

33、位脈沖響應(yīng)的 z 變換來描述線性時(shí)不變離散系統(tǒng)。因果系統(tǒng)： 單位脈沖響應(yīng) h(n) 是因果序列的系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包括點(diǎn)， 即穩(wěn)定系統(tǒng)： 單位脈沖響應(yīng) h(n) 滿足絕對可和的系統(tǒng) 即穩(wěn)定系統(tǒng)的 H(z) 必在單位圓上收斂，即 存在。二、因果穩(wěn)定系統(tǒng)因果穩(wěn)定系統(tǒng)： 最普遍最重要的一種系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù) H(z) 在從單位圓到 的整個區(qū)域收斂。 即 1Z| H(z) 的全部極點(diǎn)必在單位圓以內(nèi)。三、差分方程與系統(tǒng)函數(shù) 線性時(shí)不變離散系統(tǒng)也可用差分方程表示，考慮N階差分方程 兩邊取z變換： 于是系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)上式也可用因子的形式來表示 式中ci、 di是 H(z) 在z平面上的零點(diǎn)和

34、極點(diǎn)， A為比例常數(shù)。整個系統(tǒng)函數(shù)可以由它的全部零、極點(diǎn)來唯一確定。 用系統(tǒng)函數(shù) H(z) 表示一個系統(tǒng)時(shí)，H(z) 的收斂域?qū)Υ_定系統(tǒng)性質(zhì)很重要。 例1 已知系統(tǒng)函數(shù)為 求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)及系統(tǒng)性質(zhì)。 系統(tǒng)函數(shù) H(z) 有兩個極點(diǎn)，z1=0.5 , z2=10。收斂域包括點(diǎn)，因此 系統(tǒng)一定是因果的，但單位圓不在收斂域內(nèi)，因此可判定系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 例 2 系統(tǒng)函數(shù)不變，但收斂域不同 求單位脈沖響應(yīng)及系統(tǒng)性質(zhì)。 解: 收斂域是包括單位圓而不包括點(diǎn)的有限環(huán)域，可判定 系統(tǒng)是穩(wěn) 定的，但是非因果的。 注意 1）極點(diǎn) z2=10 在積分圍線（收斂域內(nèi)）以外 2）要考慮n0時(shí), 有 一個 n 階極

35、點(diǎn)出現(xiàn)在z=0處。 因此 由于存在 u(-n-1) 項(xiàng)，因此系統(tǒng)是非因果的，同時(shí)也不難證明 h(n) 是絕對可積的，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 以上兩例表明，同一個系統(tǒng)函數(shù)，由于收斂域不同，它們所代表的系統(tǒng)完全不同。 四、 系統(tǒng)頻響的幾何確定法 用極點(diǎn)和零點(diǎn)表示系統(tǒng)函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是，它提供了一種有效的求系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幾何方法。 一個 N 階的系統(tǒng)函數(shù)可用它的零極點(diǎn)表示為系統(tǒng)的頻響為: 在z平面上，ej-ci可用一個由零點(diǎn)ci指向單位圓上ej點(diǎn)的向量 來表示，而ej-di可用極點(diǎn)di指向ej的向量 表示。于是 令 , ，則 上式表明，頻響的模函數(shù)由從各零、極點(diǎn)指向ej點(diǎn)的向量幅度來確定，而頻響的相位函數(shù)則由

36、這些向量的幅角來確定，當(dāng)頻率由02時(shí)，這些向量的終點(diǎn)沿單位圓反時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一圈，由此可估算出整個系統(tǒng)的頻響。見書上圖12。RezImz 其基本原理是，當(dāng)單位圓上的 ej 點(diǎn)在極點(diǎn) d i附近時(shí)，向量 最短，qi出現(xiàn)極小值，頻響在這附近可能出現(xiàn)峰值，且極點(diǎn) di 越靠近單位圓，qi的極小值越小，頻響出現(xiàn)的峰值越尖銳，當(dāng) di 處在單位圓上時(shí)，qi 的極小值為零，相應(yīng)的頻響將出現(xiàn)，這相當(dāng)于在該頻率處出現(xiàn)無耗（Q=）諧振，當(dāng)極點(diǎn)超出單位圓時(shí)系統(tǒng)就處于不穩(wěn)定狀態(tài)。對于現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)，這是不希望的。 對于零點(diǎn)位置，頻響將正好相反，ej點(diǎn)越接近某零點(diǎn) ci ，頻響越低，因此在零點(diǎn)附近，頻響出現(xiàn)谷點(diǎn)，零點(diǎn)越接近單

37、位圓，谷點(diǎn)越接近零，零點(diǎn)處于單位圓上時(shí)，谷點(diǎn)為零，即在零點(diǎn)所在頻率上出現(xiàn)傳輸零點(diǎn)，零點(diǎn)可以位于單位圓以外，不受穩(wěn)定性約束。 這種幾何方法為我們認(rèn)識零、極點(diǎn)分布對系統(tǒng)性能的影響提供了一個直觀的概念，這一概念對系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)都十分重要。 例4：0*xRezImz 0例 5 有限長單位脈沖響應(yīng) 0a1 求其頻率響應(yīng)特性。解： 如果a為正實(shí)數(shù)，H（z）的零點(diǎn)為 這些零點(diǎn)分布在|z|=a的圓周上，對圓周進(jìn)行M等分，它的第一個零點(diǎn)k=0，恰好與分母上的極點(diǎn)（z-a）抵消，因此，整個函數(shù) H(z) 共有書P18 圖1.14給出M=8， 0a0）上收斂，因此對于FIR系統(tǒng)，H(z) 在有限z平面上不能有極點(diǎn)

38、。如分子、分母無公共可約因子，則 H(z) 分母中全部系數(shù) bi（i=1，2，N）必須為零，故 只要bi中有一個系數(shù)不為零，在有限z平面上就會有極點(diǎn)，這就屬于IIR系統(tǒng)。 bi不為零就說明需要將延時(shí)的輸出序列y(n-i)反饋回來，所以，IIR系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)中都帶有反饋回路。這種帶有反饋回路的結(jié)構(gòu)稱為“遞歸型”結(jié)構(gòu)，IIR系統(tǒng)只能采用“遞歸型”結(jié)構(gòu)，而FIR系統(tǒng)一般采用非“遞歸型”結(jié)構(gòu)。但是，采用極、零點(diǎn)抵消的方法，F(xiàn)IR系統(tǒng)也可采用“遞歸型”結(jié)構(gòu)。 IIR、FIR構(gòu)成數(shù)字濾波器的兩大類。小 結(jié)：離散信號與系統(tǒng)、差分方程、系統(tǒng)函數(shù)、系統(tǒng)頻響 線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入、輸出的關(guān)系 因果穩(wěn)定系統(tǒng)離散信號的傅立

39、葉變換（DTFT）、 Z變換線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入、輸出的關(guān)系因果穩(wěn)定系統(tǒng)離散傅立葉變換Z變換定義、 Z變換收斂域、 Z變換性質(zhì)逆Z變換、常用序列Z變換系統(tǒng)函數(shù)、系統(tǒng)頻響及其幾何確定方法移位、相乘、相加卷積結(jié)果軟件實(shí)現(xiàn)： 用通用計(jì)算機(jī)或DSP等運(yùn)行程序完成， 通用性強(qiáng)， 成本低；硬件實(shí)現(xiàn)： 實(shí)時(shí)性好。通用數(shù)字信號處理芯片： 通用性和實(shí)時(shí)性好，但成本高。 8、系統(tǒng)實(shí)現(xiàn) 2、數(shù)字信號處理系統(tǒng)構(gòu)成 采樣保持器A/D變換器數(shù)字信號處理器D/A變換器抗混迭濾波器 xa(t) xa(t) x(n) y(n) ya(t) 圖0.1 數(shù)字信號處理系統(tǒng)方框圖LF數(shù)字信號連續(xù)信號連續(xù)時(shí)間信號圖0. 2 模擬信號的數(shù)字

40、化數(shù)字信號數(shù)碼量化電平模擬信號采樣保持信號量化電平圖 0.3 數(shù)字信號轉(zhuǎn)化成模擬信號數(shù)字信號數(shù)碼量化電平D/A輸出信號模擬信號D/A輸出模擬濾波輸出 抗混迭濾波器：為避免采樣信號頻譜混迭產(chǎn)生失真而處理頻帶外 的高頻分量； 采樣保持器：對模擬信號的時(shí)間取量化； A/D變換器：對保持電路中的采樣信號電平取量化（一般采用二進(jìn)制碼）； 數(shù)字信號處理器：對數(shù)字信號序列按一定的要求加工處理（濾波、運(yùn)算等）； D/A變換器：將輸出數(shù)字信號序列反過來轉(zhuǎn)換成模擬電壓（或電流），這些電壓或電流在時(shí)間點(diǎn)0、T、2T，上的幅度應(yīng)該等于序列y(n)中相應(yīng)數(shù)碼所代表的大小，最后通過一定的濾波器，濾去這些臺階形模擬信號中不需要的高頻分量，就得到平滑模擬信號輸出。 本身輸入為數(shù)字量的系統(tǒng)，抗混迭濾波器和A/D不需要。最終