2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考大題專項(xiàng)練6高考中的概率統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例含解析新人教A版

1、PAGE PAGE 7高考大題專項(xiàng)練六高考中的概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例一、非選擇題1.某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表:工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639(1)用系統(tǒng)抽樣的方法從36名工人中抽取容量為9的樣本,且在第一分段里用隨機(jī)抽樣的方法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44,列出樣本的年齡數(shù)據(jù);(2)計(jì)算(1)中樣本的平均值x和方差

2、s2;(3)求這36名工人中年齡在區(qū)間(x-s,x+s)內(nèi)的人數(shù)所占的百分比.解:(1)把工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)分為9組,每組4人.在第一分段里抽到的年齡數(shù)據(jù)44對應(yīng)的編號為2,故抽取的樣本編號依次為2,6,10,14,18,22,26,30,34,對應(yīng)樣本的年齡數(shù)據(jù)依次為44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由(1)得,x=44+40+36+43+36+37+44+43+379=40,s2=19(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2=1009.(3

3、)由(2)得x=40,s=103,則x-s=3623,x+s=4313.由表可知,這36名工人中年齡在區(qū)間(x-s,x+s)內(nèi)共有23人,所占的百分比為2336100%63.89%.2.某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況,隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè),得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表.y的分組-0.20,0)0,0.20)0.20,0.40)0.40,0.60)0.60,0.80)企業(yè)數(shù)22453147(1)分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例;(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的

4、中點(diǎn)值為代表).(精確到0.01)附:748.602.解:(1)根據(jù)產(chǎn)值增長率頻數(shù)分布表得,所調(diào)查的100個(gè)企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)頻率為14+7100=0.21.產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)頻率為2100=0.02.用樣本頻率分布估計(jì)總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例為21%,產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例為2%.(2)y=1100(-0.102+0.1024+0.3053+0.5014+0.707)=0.30,s2=1100i=15ni(yi-y)2=1100(-0.40)22+(-0.20)224+0253+0.20214+0.4027=0.0296,s=0.0296=0.0274

5、0.17.所以,這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值分別為30%,17%.3.某公司計(jì)劃購買1臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購買這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖.記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元),n表示購機(jī)的同時(shí)購買的易損零件數(shù).(1)若n=19,求y與x的函數(shù)解析式;(2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大

6、于n”的頻率不小于0.5,求n的最小值;(3)假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購買19個(gè)易損零件,或每臺(tái)都購買20個(gè)易損零件,分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購買19個(gè)還是20個(gè)易損零件?解:(1)當(dāng)x19時(shí),y=3800;當(dāng)x19時(shí),y=3800+500(x-19)=500 x-5700.所以y與x的函數(shù)解析式為y=3800,x19,500 x-5700,x19(xN).(2)由柱狀圖知,需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46,不大于19的頻率為0.7,故n的最小值為19.(3)若每臺(tái)機(jī)器在購機(jī)同時(shí)都購買19個(gè)易損零件,則這

7、100臺(tái)機(jī)器中有70臺(tái)在購買易損零件上的費(fèi)用為3800,20臺(tái)的費(fèi)用為4300,10臺(tái)的費(fèi)用為4800,因此這100臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為1100(380070+430020+480010)=4000.若每臺(tái)機(jī)器在購機(jī)同時(shí)都購買20個(gè)易損零件,則這100臺(tái)機(jī)器中有90臺(tái)在購買易損零件上的費(fèi)用為4000,10臺(tái)的費(fèi)用為4500,因此這100臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為1100(400090+450010)=4050.比較兩個(gè)平均數(shù)可知,購買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購買19個(gè)易損零件.4.某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次,整理數(shù)

8、據(jù)得到下表(單位:天):空氣質(zhì)量等級鍛煉人次0,200(200,400(400,6001(優(yōu))216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率;(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);(3)若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”;若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的22列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表,判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)?空氣質(zhì)量情況人次人次400

9、人次400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解:(1)由所給數(shù)據(jù),該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率的估計(jì)值如下表:空氣質(zhì)量等級1234概率的估計(jì)值0.430.270.210.09(2)一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值為1100(10020+30035+50045)=350.(3)根據(jù)所給數(shù)據(jù),可得22列聯(lián)表:空氣質(zhì)量情況人次人次400人次400空氣質(zhì)量好3337空氣質(zhì)量不好228根據(jù)列聯(lián)表得K2=100(338-2237)2554570305.8

10、20.由于5.8203.841,故能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).5.學(xué)業(yè)水平考試后,某校對高二學(xué)生的數(shù)學(xué)、英語成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下(人數(shù)):項(xiàng)目數(shù)學(xué)優(yōu)秀合格不合格英語優(yōu)秀703020合格60240b不合格a2010已知英語、數(shù)學(xué)的優(yōu)秀率分別為24%,30%(注:合格人數(shù)中不包含優(yōu)秀人數(shù)).(1)求a,b的值;(2)現(xiàn)按照英語成績的等級,采用分層抽樣的方法,從數(shù)學(xué)不合格的學(xué)生中選取6人,若再從這6人中任選2人,求這兩名學(xué)生的英語成績恰為一人優(yōu)秀一人合格的概率.解:(1)設(shè)該校高二學(xué)生共有x人,已知英語優(yōu)秀的有70+30+20=12

11、0(人),依題意得120 x=0.24,解得x=500.故70+60+a500=0.3,解得a=20,由學(xué)生總數(shù)為500人,得b=30.(2)由題意得,在抽取的數(shù)學(xué)不合格的6人中,英語優(yōu)秀的應(yīng)抽取2人,分別記為a1,a2;英語合格的應(yīng)抽取3人,分別記為b1,b2,b3;英語不合格的應(yīng)抽取1人,記為c,從中任取2人的所有結(jié)果有15種,這兩名學(xué)生的英語成績恰為一人優(yōu)秀一人合格的基本事件有a1,b1,a1,b2,a1,b3,a2,b1,a2,b2,a2,b3,共6種,因此這兩名學(xué)生的英語成績恰為一人優(yōu)秀一人合格的概率為615=25.6.某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng),提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的

12、兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機(jī)分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由;(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:生產(chǎn)方式是否超過m超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)

13、(b+d).P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解:(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由如下:由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多,關(guān)于莖8大致呈對稱分布;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多,關(guān)于莖7大致呈對稱分布.又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同,故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方