試卷奧賽經(jīng)典-奧林匹克數(shù)學(xué)中的幾何問(wèn)題---完全四邊形的性質(zhì)及應(yīng)用1

1、第九章完全四邊形的性質(zhì)及應(yīng)用【基礎(chǔ)知識(shí)】我們把兩兩相交又沒(méi)有三線共點(diǎn)的四條直線及它們的六個(gè)交點(diǎn)所構(gòu)成的圖形，叫做完全四邊形.六個(gè) 點(diǎn)可分成三對(duì)相對(duì)的頂點(diǎn)，它們的連線是三條對(duì)角線.F六點(diǎn)，即為完全四邊如圖9 1 ,直線ABC、BDE、CDF、AFE兩兩相交于 A、B、C、 形ABCDEF .線段AD、BF、CE為其三條對(duì)角線.完全四邊形中既有凸四邊形、凹四邊形，還有折四邊形以及四個(gè)三角形.如圖9 1中有凸四形ABDF,凹四邊形ACDE ,折四邊形 BCFE ,四個(gè)三角形 ACF、 BCD、ADEF、 ABE .在完全四邊形 ABCDEF中，對(duì)四個(gè)三角可以寫(xiě)出梅涅勞斯定理的4個(gè)式子（見(jiàn)圖1 1后說(shuō)

2、明）；若直線AD交BF于H ,交CE于G ,則可以寫(xiě)出塞瓦定理的 7個(gè)式子（見(jiàn)圖2 3 ）;利用空全四邊形及其對(duì) 角線的相交可以討論梅涅勞斯定理與塞瓦定理的互推（圖2 2）；完全四邊形的四個(gè)三角形的外接圓共點(diǎn)（即完全四邊形的密克爾點(diǎn)及西姆松線（見(jiàn)圖 6 7）等.這是我們已介紹的完全四邊形的性質(zhì)，完 全四邊形還有一系列有趣的性質(zhì)，下面我們介紹其中的幾條：性質(zhì)1設(shè)M為完全四邊形 ABCDEF的密克爾點(diǎn).（1）若B、C、E、F四點(diǎn)共圓于e O ,則M點(diǎn)在對(duì)角線 AD所在直線上，且 OM AD ;（2）若A、B、D、F四點(diǎn)共圓于e O ,則M點(diǎn)在對(duì)角線 CE上，且OM CE .注此性質(zhì)還可參見(jiàn)例 10

3、 （9）,例11 （3）、（5）.A（a）圖 9-2證明（1）如圖9 2 （a） .設(shè)過(guò)B、C、D三點(diǎn)的圓交直線于點(diǎn) M，則AD AM AB AC AE AF , 即知點(diǎn)M在ADEF的外接圓上，亦即知點(diǎn) M就是完全四邊形 ABCDEF的密克爾點(diǎn)M .設(shè) K 為 AM 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，由 CME CMK KME CBE CFE 2 CFE COE ,知 C、E、 O、M四點(diǎn)共圓.于是 OMK OME EMK OCE COE 90 ,即證.實(shí)用文檔專(zhuān)業(yè)整理(2)如圖 9 2(b).同(1)可證過(guò)B、C、D三點(diǎn)的圓與CE的交點(diǎn)即為完全四邊形 ABCDEF的密克爾點(diǎn)M .由圓哥定理(即點(diǎn)對(duì)2 一 一2C

4、O CD CF R22ED ED ED RCMEM的騫)CEEC有R22R(其中R為e O半徑).上述兩式相減，有 CO2 EO2CE_2_ 2CM ME CM ME .由定差哥線定理，知 OM CE .推論1在完全四邊形ABCDEF中，凸四邊形 ABDF內(nèi)接于e O , AD與BF交于點(diǎn)G，則e CDB、e CFA、e EFD、e EAB、e OAD、e OBF 六圓共點(diǎn)；e CFB、e CDA、e GAB、e GDF、e OBD、 eOFA 六圓共點(diǎn)；e EFB、e EAD、e GBD、e GFA、e OAB、eODF 六圓共點(diǎn).事實(shí)上，可設(shè)M為完全四邊形 ABCDEF的密克爾點(diǎn)，則由性質(zhì)

5、1 (2),知M在CE上，且OM CE .于 是，知C、M、D、B及M、E、F、D分別四點(diǎn)共圓，有BMO 90 BMC 90 BDC 90180 BDF BDF 90 = 1(180 BOF) 9090 BOF BFO .從而知，點(diǎn) M 在 eOBF 上.2同理，知點(diǎn)M在e OAD上.由密克爾點(diǎn)的性質(zhì)知，e CDB、eCFA、e EFD、e EAB四圓共點(diǎn)于 M .故以上六圓共點(diǎn) M .同理，設(shè)N為完全四邊形 CDFGAB的密克爾點(diǎn)，貝U e CFB、e CDA、e GAB、e GDF、e OBD , e OFA 六圓共點(diǎn)于N .設(shè)L為完全四邊形 EFAGBD的密克爾點(diǎn)，則 e EFB、e E

6、AD、e GBD、e GFA、e OAB、eODF六圓 共點(diǎn)于L .l6圖9-3推論2如圖9 3,在完全四邊形 ABCDEF中，凸四邊形 ABDF內(nèi)接于e O , AD與BF交于點(diǎn)G . e CDB 與 e CFA、e CDA 與 e CFB、e OBD 與 e OFA、e ODA 與 e OBF、e EAB 與 e EFD、e EAD 與 e EFB、e OAB與eODF、e GAB與e GDF、e GBD與e GFA共九對(duì)圓的連心線分別記為 h , L , I , L,則L、l2、l3、l4、OC五線共點(diǎn)于OC的中點(diǎn)；l4、l5、l6、l7、OE五線共點(diǎn)于OE的中點(diǎn)；l3、l7、l8、l9

7、、OG五線共點(diǎn)于OG的中點(diǎn).事實(shí)上，可設(shè)M、L、N分別為完全四邊形 ABCDEF、EFAGBD、CDFGAB的密克爾點(diǎn)，則OM CE 于 M , OL EG 于 L , ON CG 于 N .實(shí)用文檔專(zhuān)業(yè)整理注意到OM是eODA與eOBF的公共弦，則l4是OM的中垂線，從而知I4過(guò)OC的中點(diǎn)，L也過(guò)OE的 中點(diǎn).因CN是eCDA與eCFB的公共弦，則是CN的中垂線，而ON CN ,從而I2過(guò)OC的中點(diǎn)；又注意到CM是eCDB與eCFA的公共弦，則li是CM的中垂線，又 OM CM ,則li過(guò)OC的中點(diǎn)，ON是eOBD與eOFA的公共弦，則 L是ON的中垂線.而 ON CN , I3過(guò)OC的中點(diǎn)

8、.故li、I2 , I3、I4、 OC五線共點(diǎn)于 OC的中點(diǎn).同理，注意到LE、ME、OL分別是e EAD與e EFB . e EFD與e EAB、e OAB與e ODF的公共弦，推知l4、匕、I、h OE五線共點(diǎn)于OE的中點(diǎn).注意至U GN、LG、OL、ON 分別是 e GAB 與 e GDF、e GBD 與 e GFA、e OAB 與 e ODF、e OBD 與 eOFA的公共弦，推知，小 b、h Q、OG五線共點(diǎn)于OG的中點(diǎn).注 由上述推論，即知下列競(jìng)賽題即為其特殊情形：（1）（ 1990年全國(guó)高中聯(lián)賽題）四邊形ABCD內(nèi)接于圓，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)P , PAB、 PBC、 PCD、

9、 PDA的外心分別為 Oi、O2、O3、O4.求證：O1O3、O2O4與OP三線共點(diǎn).（2） （2006年國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)測(cè)試題） 四邊形ABCD內(nèi)接于e O ,且圓心O不在四邊形的邊上， 對(duì)角線AC 與 BD 交于點(diǎn) P, AOAB ADBC AOCD 4ODA 的外心分別為 Q、O2、O3、O4 ,求證：OQ3、O2O4與OP三線共點(diǎn).性質(zhì)2完全四邊形ABCDEF的三條對(duì)角線AD、BF、CE的中點(diǎn)M、N、P共線（即牛頓線）A圖9-4證明如圖9 4,分別取CD、BD、BC 的中點(diǎn) Q、R、S ,于是，在AACD中，M、R、Q 一點(diǎn)共線；在ABCF中，S、R、N三點(diǎn)共線；在 ABCE中，S、Q、P三

10、點(diǎn)共線.由平行線性質(zhì)，有MQAC HR FD PS EBMRAB NS FC PQ ED對(duì)ABCD及截線AFE應(yīng)用梅涅勞斯定理，有CA BE DEQM RN SP ,1 ,即有 1 .AB ED ECMR NS PQ再對(duì)QRS應(yīng)用梅涅勞斯定理的逆定理，知M、N、P三點(diǎn)共線.注此性質(zhì)中的線稱(chēng)為牛頓線，其證明還有10多種.實(shí)用文檔專(zhuān)業(yè)整理性質(zhì)3完全四邊形的一條對(duì)角線被其他兩條對(duì)角線調(diào)和分割（兩點(diǎn)內(nèi)分與外分同一線段成同一比值，稱(chēng)這兩點(diǎn)調(diào)和分割這一線段）.證明如圖9 5 （a）、（b）,在完全四邊形 ABCDEF中，對(duì)角線AD所在直線交BF于M ,交CE于N ,需證組 MD （此式表明點(diǎn) M、N調(diào)和分

11、割A(yù)D ）.AN ND若BF/CE,如圖9 5 （a）,則由處 BF MD 即證.AN CE ND若BF CE ,可設(shè)直線 BF與CE交于點(diǎn)P .對(duì)4ADF及點(diǎn)B應(yīng)用塞瓦定理，有 4M DC FE 1MD CF EA對(duì)ADF及截線CNE應(yīng)用梅涅勞斯定理，有 DC 土 1 .ND CF EA上述兩式相除，即得AM MD .AN ND對(duì)于圖9 5 （b）,類(lèi)似地可證明有-BM 幽匕（m、P調(diào)和分割BF）,四 貼（N、P調(diào)和分割 BP NFCP PECE）;對(duì)于圖9 5 （a）,也可看作直線 BF、CE相交于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，也有這兩式.性質(zhì)4完全四邊形的三條對(duì)角線為直徑的圓共軸，且完全四邊形的四個(gè)三角形的

12、垂心在這條軸上.證明如圖9 6 ,在完全四邊形 ABCDEF中，分別以對(duì)角線 AD、BF、CE為直徑作圓，這三個(gè)圓 的圓心就是三條對(duì)角線的中點(diǎn) M、N、P .實(shí)用文檔專(zhuān)業(yè)整理設(shè)Hi、H2、H3、H4分別為ADEF、 ACF ABE、 BCD的垂心，注意到三角形垂心的性質(zhì)：三角形的垂心是所有過(guò)任一條高的兩個(gè)端點(diǎn)的圓的根心（見(jiàn)根軸的性質(zhì)3及垂心的性質(zhì)4）.在完全四邊形 ABCDEF中，顯然H1、H2、H3、H4不重合，由于 DEF的垂心H1是三個(gè)圓兩兩根軸的根心，而對(duì)于 4DEF ,在它的邊所在直線上的高C、B、A,點(diǎn)Hi關(guān)于以CE、BF、AD為直徑的圓的哥相等，即點(diǎn)Hi在這三個(gè)圓兩兩的根軸上.同

13、樣，對(duì)于4ACF ,在它的邊所在直線上的點(diǎn)B、D、E,其垂心H2關(guān)于以CE、BF、AD為直徑的圓的哥相等，以及點(diǎn) H3、H4均關(guān)于以CE、BF、AD為直徑的圓的哥相等.故H1、H2、H3、H4均在這三個(gè)圓的兩兩的根軸上，即這三個(gè)圓兩兩的根軸重合，亦即共軸，且四個(gè)三角形的垂心在這條根軸上.注 證明Hi、匕、H3、H4四點(diǎn)共線，也可以這樣證：由于完全四邊形 ABCDEF的四個(gè)4DEF、AACF、 ABE、ABCD的外接圓交于一點(diǎn) M ,且點(diǎn)M關(guān)于這四個(gè)三角形的西姆松線為同一條直線 l ,根據(jù)西 姆松線的性質(zhì)：點(diǎn) P的西姆松線平分點(diǎn) P與三角形垂心的連線（西姆松定理及應(yīng)用中例5）,則知l過(guò)MHi、M

14、H2、MH3、MH4 的中點(diǎn)，從而點(diǎn) Hi、H2、H3、H4 共線.推論3完全四邊形的垂足線與牛頓線垂直（兩圓連心線垂直于公共弦）性質(zhì)5完全四邊形的四個(gè)三角形的外接圓圓心共圓，這四個(gè)圓心每三個(gè)構(gòu)成的三角形的垂心分別在構(gòu)成完全四邊形的四條直線上，且這四個(gè)垂心為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形與四個(gè)圓心為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形全等.上述性質(zhì)即指在完全四邊形ABCDEF中，Q、。2、。3、O4分別為AACF、ABCD DEF、AABE的外心，Hi、H2、H3、H4 分別為O4O2O3、O4OQ3、O2O4Q、OQ2O3 的垂心，則（i） Q、O2、O3、O,四點(diǎn)共圓（斯坦納圓）； AO40203 s ACF , AO10

15、203s ABE , AO20401s DEF , AO40103 s BCD ；（3） Hi H2、H3、H4 分別在 BE、AE、AC、CF 上，且四邊形 H1H2H3H4 0四邊形 OQOQs .證明設(shè)M為完全四邊形 ABCDEF的密克爾點(diǎn)，連接 BM、CO2、02M、MO3、DM ,則1（l） O1O2M 180 CO2M 180 CDM . 2同理，0103M 180 FDM .從而 0102MO1O3M 360 CDM FDM 180 .因此，Oi、O2、O3、M 四點(diǎn)共圓.同理，O3、O,、。2、M四點(diǎn)共圓.實(shí)用文檔專(zhuān)業(yè)整理故。1、。2、O3、O4四點(diǎn)共圓.ODH(a)M(b)(

16、2)由BM為e O2與e O4的公共弦，則知O2O4BM .同理 O2O3 DM .O4O2O3BMDBCD同理,O2O4O3180O2MO3BAFCAF ,故20203 s ACF .同理, O1O2O3ABEO2O4O1BEA又O2QO4O2O1O3O3O1O4O2O1O3O3O2O4CAF ACF DFE從而 O2O4O1 s DEF .同理，AO40103 s BCD(3 )自。2作O3O4的垂線交 BE點(diǎn),連 BO4、BO2、O4H1 ,由。4 為 ABE 的外4H1 BO490 BAE 及 H1O2O490O2O4O390 BAE，知 H1 BO4H1 O2O4 ,從而H1O2、B

17、、O4四點(diǎn)共圓，于Hi O4O2Hi又。2為4BCD的外心，知H1 BO2O2BE90是 H1 O4O290 BCD90O4O2O3 ,實(shí)用文檔專(zhuān)業(yè)整理H 1 O4O2O4O2O3 90這表明O4H1也垂直于O2O3,即知Hi為O4O2O3的垂心，故Hi與Hi重合.過(guò)O3過(guò)O1O4的垂線交 AE于 H2 ,連 O4E、O3E、O4H2 ,則 O4EF2 90 ABE ,0403H2 90 180OO4O3O1O4O3 90 CBD =180 ABE 90 =90 ABE,從而 H2、O4、O3、E 四點(diǎn)共圓，則有04H2O3O4 EO3 .又 003H2O1O3O4 O4O3H2BDC O4E

18、H2BDC 90ABE 90ACF ,O4H2O3 O4FO3 DEO3 DEO3 DEF 90 DEF O4EH 2DEF 90DEF90 ABE ABE 180EDF 180ACF ,即0103H 2O4H2O3 90，這說(shuō)明H2為O1O3O4的垂心，故 H2與H2重合.過(guò)點(diǎn)。2作。1。4的垂線交 AC與點(diǎn)H3 ,連CO1、CO2、H3Q ,則H3O2O1 180020。4H 3 0201 180 DEFH3O2O1AFC 90,H3CO190 AFC .于是 H 3 0201H3CO1,即知 H3、C、。2、O1 四點(diǎn)共圓，有 02H 3O1O2CO1 .又 H3O2O4 H3O2O1

19、O1O2O4H3CO1O1O2O490AFCFDE90 FDE FED FDE 90 FED ,02 H 3 010。02ACF ACQ FC02 ACF90AFCCBD 90180 CAF CBD 180 CAF FED CAF FED .即 H3O2O402H3。1 90 ,由此知H3為O1O2O4的垂心，故H3與H3重合.實(shí)用文檔專(zhuān)業(yè)整理H2H3Kb02 M G圖9-8過(guò)點(diǎn)03作01 02的垂線交CF于點(diǎn)H4 ,連QF、O1H4、03F ,由01為4ACF的外心，有H4 FQ 90 FAC 及 H4。3。1 90 0z0Q3 90 FAC，知 H4 F0i H4。3。1 ,從而 H4、。

20、3、F、0i 四點(diǎn)共圓，于是 H40Q3 H4 F03 .又。3 為 ADEF 的外心，知 H4F03 DF03 90 FED于是 H40103 90 FED 90010302 ,即七。1。301。3。290 .這表明0lH4也垂直于。2。3,即知H4為01。2。3的垂心，故H4與H 4重合.綜上可知，H1、H2、H3、H4分別在BE、AE、AC、CF上.下面，我們證明四邊形 H1H2H3H40四邊形02010403.由于。1、。2 .。3 .。4共圓，設(shè)該圓圓心為 0 ,設(shè)M為。2。3的中點(diǎn).由垂心的性質(zhì)（即Servois定理）：三角形任一頂點(diǎn)至該三角形垂心的距離， 等于外心至其對(duì)邊的距離的

21、兩倍.于是 O4H120M 且 O4H1 / 0M , O1H420M 且 O1H4 / 0M ,故 O1H4JO4H1 ,即 O1H4H1O4 為平行四邊形，從而有 H 4 Hl J01 04 .同理 H1H2 幺 O2O1, H2H3IO3O2, H3H 4 幺。4。3.從而四邊形 H1H 2H3H 4002010403.推論4在完全四邊形 ABCDEF中，A、B、D、F四點(diǎn)共圓于e 0 , O1、O2 , O3 , O4分別為 BCD、 DEF、AABE AACF 的外心，乩、匕、出、乩分別為O2O3O4、OQ3O4、OQ2O4、OQ2O3的垂心，M為完全四邊形 ABCDEF的密克爾點(diǎn)，K1 , K2 , K3 , K4 , K5 , K6分別 AO3O4、B0103、實(shí)用文檔專(zhuān)業(yè)整理CO1O4、DO1O2、EO2O3、FO2O4的外心，O2O4與O1O3所在直線交于點(diǎn)P ,直線 O2O1 與O4O3 交于點(diǎn)P2, Ji、J2分別為O1O4、O2O3的中點(diǎn)，直線I1H2