廣西專用2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)規(guī)范練17導(dǎo)數(shù)的綜合

1、PAGE PAGE 8考點(diǎn)規(guī)范練17導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固1.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-23與x=1處都取得極值.(1)求a,b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若對(duì)于x-1,2,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范圍.2.已知函數(shù)f(x)=ax-lnxx,aR.(1)若f(x)0恒成立,求a的取值范圍;(2)若y=f(x)的圖象與直線y=a相切,求a的值.3.已知函數(shù)f(x)=ex-aln x+e2.(1)若x=2是f(x)的極值點(diǎn),求a的值,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)證明:當(dāng)ea0恒成立.4.已知函數(shù)f(x)=ln x-4ax,g(x)=xf(x).(1)若a

2、=18,求g(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若a0,求證:f(x)14a-2.能力提升5.設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)x0時(shí),f(x)ax+1,求a的取值范圍.6.已知函數(shù)f(x)=13x3-a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)證明:f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).7.已知函數(shù)f(x)=ln x+12(x-1)2.(1)判斷f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)若函數(shù)g(x)=ax-a,當(dāng)x1時(shí),g(x)的圖象總在f(x)的圖象的下方,求a的取值范圍.高考預(yù)測(cè)8.已知函數(shù)f(x)=x(ln x-ax)(aR).(1)若a=1,求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1

3、,f(1)處的切線方程;(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x1-12.答案：1.解(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b.又f(x)在x=-23與x=1處都取得極值,f-23=129-43a+b=0,f(1)=3+2a+b=0,兩式聯(lián)立解得a=-12,b=-2,f(x)=x3-12x2-2x+c,f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),令f(x)=0,得x1=-23,x2=1,當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:x-,-23-23-23,11(1,+)f(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增函數(shù)f(x)的單調(diào)

4、遞增區(qū)間為-,-23與(1,+);單調(diào)遞減區(qū)間為-23,1.(2)f(x)=x3-12x2-2x+c,x-1,2,當(dāng)x=-23時(shí),f-23=2227+c為極大值,而f(2)=2+c,則f(2)=2+c為最大值,要使f(x)f(2)=2+c,解得c2.c的取值范圍為(-,-1)(2,+).2.解(1)由題意可知,x0.由f(x)0得,ax-lnxx0,從而axlnxx,即alnxx2.設(shè)g(x)=lnxx2,則g(x)=1-2lnxx3,所以當(dāng)0 x0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)xe時(shí),g(x)0),依題意可得,f(t)=a,f(t)=0.因?yàn)閒(x)=a-1-lnxx2,所以at-lntt=a,a-

5、1-lntt2=0.消去a,可得t-1-(2t-1)lnt=0.令h(t)=t-1-(2t-1)lnt,則h(t)=1t-2lnt-1,顯然h(t)在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞減,且h(1)=0,所以當(dāng)0t0,h(t)單調(diào)遞增;當(dāng)t1時(shí),h(t)0,故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增.結(jié)合f(2)=0,可知當(dāng)x(0,2)時(shí),f(x)0.故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+).(2)證明f(x)=ex-ax.令(x)=ex-ax,則當(dāng)ea0,故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增.因?yàn)閑a2e2,所以f(1)=e-ae2-e2=0.所以m(1,2),使得f(m

6、)=0.當(dāng)x(0,m)時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞增.所以f(x)min=f(m)=em-alnm+e2.由eaem-2e2lnm+e2.下面證h(m)=em-2e2lnm+e2在區(qū)間(1,2)內(nèi)大于0.h(m)=em-2e2m.令t(m)=em-2e2m,則t(m)=em+2e2m20,所以函數(shù)y=h(m)在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增,h(m)h(2)=e2-2e2ln2+e2=2e2(1-ln2)0.所以f(x)0.4.(1)解因?yàn)閍=18,所以g(x)=xlnx-12x2,g(x)=lnx-x+1.令h(x)=lnx-x+1,則h(x)=1-xx.由h(x)0,得0 x1;由h(x)1.

7、所以h(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+)內(nèi)單調(diào)遞減,h(x)max=h(1)=0.所以當(dāng)x0時(shí),g(x)0恒成立,故g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+).(2)證明f(x)=1x-4a=1-4axx.因?yàn)閍0,令f(x)=0,得x=14a,所以f(x)在區(qū)間0,14a內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間14a,+內(nèi)單調(diào)遞減.所以f(x)max=f14a=ln14a-1.所以要證f(x)14a-2,只需證明f(x)max=ln14a-114a-2.令t=14a,則t0,故只需證明lnt-1t-2,即證lnt-t+10.(*)由(1)易知,當(dāng)t0時(shí),(*)式成立.故f(x)14a-2.5.解(1)f(

8、x)=(1-2x-x2)ex.令f(x)=0得x=-1-2,x=-1+2.當(dāng)x(-,-1-2)時(shí),f(x)0;當(dāng)x(-1+2,+)時(shí),f(x)0.所以f(x)在區(qū)間(-,-1-2),(-1+2,+)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(-1-2,-1+2)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.當(dāng)a1時(shí),設(shè)函數(shù)h(x)=(1-x)ex(x0),h(x)=-xex0(x0),因此h(x)在區(qū)間0,+)內(nèi)單調(diào)遞減,而h(0)=1,故h(x)1,所以f(x)=(x+1)h(x)x+1ax+1.當(dāng)0a1時(shí),設(shè)函數(shù)g(x)=ex-x-1(x0),g(x)=ex-10(x0),所以g(x)在區(qū)間0,+)內(nèi)單調(diào)

9、遞增,而g(0)=0,故exx+1.當(dāng)0 x(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=5-4a-12,則x0(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)ax0+1.當(dāng)a0時(shí),取x0=5-12,則x0(0,1),f(x0)(1-x0)(1+x0)2=1ax0+1.綜上,a的取值范圍是1,+).6.(1)解當(dāng)a=3時(shí),f(x)=13x3-3x2-3x-3,f(x)=x2-6x-3.令f(x)=0,解得x=3-23或x=3+23.當(dāng)x(-,3-23)(3+23,+)時(shí),f(x)0;當(dāng)x(3-23,3+23)時(shí),f(x)0,所以f

10、(x)=0等價(jià)于x3x2+x+1-3a=0.設(shè)g(x)=x3x2+x+1-3a,則g(x)=x2(x2+2x+3)(x2+x+1)20,僅當(dāng)x=0時(shí)g(x)=0,所以g(x)在區(qū)間(-,+)內(nèi)單調(diào)遞增,故g(x)至多有一個(gè)零點(diǎn),從而f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).又f(3a-1)=-6a2+2a-13=-6a-162-160,故f(x)有一個(gè)零點(diǎn).綜上,f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).7.解(1)f(x)=lnx+12(x-1)2的定義域?yàn)?0,+),f(x)=1x+x-1,1x+x2,f(x)10,f(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)為增函數(shù),又f(1)=0,f(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).(2)由題意,當(dāng)x1時(shí),12(x-1)2+lnx-ax+a0恒成立.令h(x)=12(x-1)2+lnx-ax+a,則h(x)=x+1x-1-a.當(dāng)a1時(shí),h(x)=x+1x-1-a1-a0,h(x)在區(qū)間(1,+)內(nèi)為增函數(shù).又h(1)=0,h(x)0恒成立.當(dāng)a1時(shí),h(x)=x2-(1+a)x+1x,令(x)=x2-(1+a)x+1,則對(duì)應(yīng)方程(x)=0的判別式=(1+a)2-4=(a+3)(a-1)0.令(x)=0的兩根分別為x1,x2,且x10,x1x2=10,0 x11x2,當(dāng)x(1,x2)時(shí),(x)0,h(x)0,h(x)在(1,x2)上單調(diào)遞減,又h