解的存在定理(共23頁(yè))

1、第三章 一階微分方程(wi fn fn chn)解的存在定理教學(xué)(jio xu)目標(biāo)理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，掌握逐次(zh c)逼近法，熟練近似解的誤差估計(jì)式。了解解的延拓定理及延拓條件。理解解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理的條件和結(jié)論。教學(xué)重難點(diǎn) 解的存在唯一性定理的證明，解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理的證明。教學(xué)方法 講授，實(shí)踐。教學(xué)時(shí)間 12學(xué)時(shí)教學(xué)內(nèi)容 解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，解的延拓概念及延拓條件，解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理及其證明?？己四繕?biāo) 1.理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論，能用逐次逼近法解簡(jiǎn)單的問(wèn)題。2.熟練近似解的誤差估計(jì)式，解對(duì)初值的

2、連續(xù)性及可微性公式。3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓條件能證明有關(guān)方程的某些性質(zhì)。 1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程來(lái)源于生產(chǎn)實(shí)踐際，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客觀規(guī)律，能動(dòng)解釋所出現(xiàn)的各種現(xiàn)象并預(yù)測(cè)未來(lái)的可能情況。在第二章介紹了一階微分方程初等解法的幾種類(lèi)型，但是，大量的一階方程一般是不能用初等解法求出其通解。而實(shí)際問(wèn)題中所需要的往往是要求滿足某種初始條件的解。因此初值問(wèn)題的研究就顯得十分重要，從前面我們也了解到初值問(wèn)題的解不一定是唯一的。他必須滿足一定的條件才能保證初值問(wèn)題解的存在性與唯一性，而討論初值問(wèn)題解的存在性與唯一性在常微分方程占有很重要的地位

3、，是近代常微分方程定性理論，穩(wěn)定性理論以及其他理論的基礎(chǔ)。例如方程 過(guò)點(diǎn)的解就是不唯一，易知是方程過(guò)的解，此外，容易驗(yàn)證，或更一般地，函數(shù) 都是方程過(guò)點(diǎn)而且定義在區(qū)間上的解，其中是滿足的任一數(shù)。 解的存在唯一性定理能夠很好地解釋上述問(wèn)題，它明確地肯定了方程的解在一定條件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精確解的微分方程為數(shù)不多，微分方程的近似解法具有重要的意義，而解的存在唯一性是進(jìn)行近似計(jì)算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意義；如果存在不唯一，不能確定所求的是哪個(gè)解。而解的存在唯一性定理保證了所求解的存在性和唯一性。1存在(cnzi)性與唯一性定理：（1）顯式一階微分方程(wi f

4、n fn chn) （3.1）這里(zhl)是在矩形域： （3.2）上連續(xù)。 定理1：如果函數(shù)滿足以下條件：1）在上連續(xù)：2）在上關(guān)于變量滿足李普希茲（Lipschitz）條件，即存在常數(shù)，使對(duì)于上任何一對(duì)點(diǎn)，均有不等式成立，則方程（3.1）存在唯一的解，在區(qū)間上連續(xù)，而且滿足初始條件 （3.3）其中,稱(chēng)為L(zhǎng)ipschitz常數(shù).思路：求解初值問(wèn)題(3.1)的解等價(jià)于積分方程 的連續(xù)解。構(gòu)造近似解函數(shù)列 任取一個(gè)連續(xù)函數(shù)，使得，替代上述積分方程右端的，得到 如果，那么是積分方程的解，否則，又用替代積分方程右端的，得到 如果，那么是積分方程的解，否則，繼續(xù)進(jìn)行，得到 （3.4）于是得到(d do

5、)函數(shù)序列.函數(shù)(hnsh)序列在區(qū)間(q jin)上一致收斂于，即 存在，對(duì)(3.4)取極限,得到 即.4) 是積分方程在上的連續(xù)解.這種一步一步求出方程解的方法逐步逼近法.在定理的假設(shè)條件下,分五個(gè)命題來(lái)證明定理. 為了討論方便,只考慮區(qū)間,對(duì)于區(qū)間的討論完全類(lèi)似.命題1 設(shè)是方程(3.1)定義于區(qū)間上,滿足初始條件 （3.3）的解,則是積分方程 (3.5)的定義于上的連續(xù)解.反之亦然.證明 因?yàn)槭欠匠?3.1)滿足的解,于是有 兩邊取到的積分得到 即有 所以是積分方程定義在區(qū)間上的連續(xù)解.反之,如果是積分方程(3.5)上的連續(xù)解,則 （3.6）由于(yuy)在上連續(xù)(linx),從而(c

6、ng r)連續(xù),兩邊對(duì)求導(dǎo),可得 而且 ,故是方程(3.1)定義在區(qū)間上,且滿足初始條件的解.構(gòu)造Picard的逐次逼近函數(shù)序列. （3.7）命題2 對(duì)于所有的，（3.6）中的函數(shù)在上有定義，連續(xù)且滿足不等式 （3.8）證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)時(shí)，顯然在上有定義、連續(xù)且有 即命題成立. 假設(shè)命題2成立，也就是在上有定義、連續(xù)且滿足不等式 當(dāng)時(shí)， 由于在上連續(xù),從而在上連續(xù)，于是得知在上有定義、連續(xù),而且有 即命題(mng t)2對(duì)時(shí)也成立(chngl).由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)所有的均成立(chngl).命題3 函數(shù)序列在上是一致收斂的.記,證明 構(gòu)造函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) (3.9)它的部分和為 于是的一致收

7、斂性與級(jí)數(shù)(3.9)的一致收斂性等價(jià). 為此，對(duì)級(jí)數(shù)(3.9)的通項(xiàng)進(jìn)行估計(jì). (3.10)由Lipschitz條件得知設(shè)對(duì)于正整數(shù),有不等式 成立,則由Lipschitz條件得知,當(dāng)時(shí),有 于是由數(shù)學(xué)歸納法可知, 對(duì)所有正整數(shù),有 (3.11)由正項(xiàng)(zhn xin)級(jí)數(shù) 的收斂性,利用Weierstrass判別(pnbi)法,級(jí)數(shù)(3.9)在上一致收斂(shulin).因而序列在上一致收斂. 設(shè),則也在上連續(xù),且 命題4 是積分方程(3.5)的定義在上的連續(xù)解.證明 由Lipschitz條件 以及在上一致收斂于,可知在上一致收斂于.因此 即 故是積分方程(3.5)的定義在上的連續(xù)解.命題5

8、 設(shè)是積分方程(3.5)的定義在上的一個(gè)連續(xù)解,則,.證明 設(shè),則是定義在的非負(fù)連續(xù)函數(shù),由于 而且滿足Lipschitz條件,可得 令,則是的連續(xù)(linx)可微函數(shù),且,即,于是(ysh)在上, 故,即,命題(mng t)得證.對(duì)定理說(shuō)明幾點(diǎn):(1)存在唯一性定理中的幾何意義.在矩形域中,故方程過(guò)的積分曲線的斜率必介于與之間,過(guò)點(diǎn)分別作斜率為與的直線.當(dāng)時(shí)，即,（如圖(a)所示），解在上有定義；當(dāng)時(shí),即,（如圖(b)所示），不能保證解在上有定義，它有可能在區(qū)間內(nèi)就跑到矩形外去，只有當(dāng)才能保證解在內(nèi)，故要求解的存在范圍是. (2)、 由于(yuy)李普希茲條件的檢驗(yàn)是比較費(fèi)事的，而我們能夠用

9、一個(gè)(y )較強(qiáng)的，但卻易于驗(yàn)證的條件來(lái)代替他，即如果函數(shù)在矩形(jxng)域上關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)存在并有界，即，則李普希茲條件條件成立. 事實(shí)上 這里. 如果在上連續(xù)，它在上當(dāng)然滿足李普希茲條件.但是,滿足李普希茲條件的函數(shù)不一定有偏導(dǎo)數(shù)存在.例如函數(shù)在任何區(qū)域都滿足李普希茲條件,但它在處沒(méi)有導(dǎo)數(shù). (3)、設(shè)方程(3.1)是線性的,即方程為 易知,當(dāng)在區(qū)間上連續(xù)時(shí),定理1的條件就能滿足,且對(duì)任一初值所確定的解在整個(gè)區(qū)間上有定義、連續(xù). 實(shí)際上,對(duì)于一般方程(3.1),由初值所確定的解只能定義在上,是因?yàn)樵跇?gòu)造逐步逼近函數(shù)序列時(shí),要求它不越出矩形域,此時(shí),右端函數(shù)對(duì)沒(méi)有任何限制,只要取. (4)、

10、Lipschitz條件 是保證初值問(wèn)題解惟一的充分條件，而非必要條件. 例如 試證方程 經(jīng)過(guò)平面上任一點(diǎn)的解都是唯一的. 證明(zhngmng) 時(shí), ,在上連續(xù)(linx), 也在上連續(xù)(linx),因此對(duì)軸外的任一點(diǎn),方程滿足的解都是唯一存在的.又由 可得方程的通解為 ,其中為上半平面的通解, 為下半平面的通解,它們不可能與相交.注意到是方程的解,因此對(duì)軸上的任一點(diǎn),只有通過(guò),從而保證平面上任一點(diǎn)的解都是唯一的. 但是 因?yàn)?故不可能存在,使得 所以方程右端函數(shù)在的任何鄰域并不滿足Lipschitz條件. 此題說(shuō)明Lipschitz條件 是保證初值問(wèn)題解惟一的充分條件，而非必要條件. 2)

11、考慮一階隱方程 (3.12)由隱函數(shù)存在定理,若在的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且,而,則必可把唯一地表為的函數(shù) (3.13)并且于的某一鄰域連續(xù),且滿足如果關(guān)于所有變?cè)嬖谶B續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),則對(duì)也存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),并且 (3.14)顯然(xinrn)它是有界的,由定理1可知,方程(3.13)滿足初始條件的解存在且唯一(wi y).從而得到下面的定理.定理(dngl)2 如果在點(diǎn)的某一鄰域中:) 關(guān)于所有變?cè)B續(xù),且存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；）則方程（3.12）存在唯一的解 （為足夠小的正數(shù)）滿足初始條件 （3.15）近似計(jì)算和誤差估計(jì)求方程近似解的方法Picard的逐次逼近法 對(duì)方程的第次近似解和真正解在內(nèi)的誤差估計(jì)

12、式 （3.16）此式可用數(shù)學(xué)歸納法證明. 設(shè)有不等式 成立,則 例1 討論(toln)初值問(wèn)題 , 解的存在唯一性區(qū)間,并求在此區(qū)間上與真正(zhnzhng)解的誤差不超過(guò)0.05的近似解,其中, .解 ,由于(yuy),根據(jù)誤差估計(jì)式(3.16) 可知.于是 就是所求的近似解,在區(qū)間上,這個(gè)解與真正解得誤差不超過(guò)0.05.2 解的延拓上節(jié)我們學(xué)習(xí)(xux)了解的存在唯一性定理，當(dāng)?shù)挠叶撕瘮?shù)(hnsh)在上滿足解的存在(cnzi)性唯一性條件時(shí)，初值問(wèn)題的解在上存在且唯一. 但是，這個(gè)定理的結(jié)果是局部的，也就是說(shuō)解的存在區(qū)間是很小的. 可能隨著的存在區(qū)域的增大，而能肯定的解得存在區(qū)間反而縮小。

13、例如，上一節(jié)的例1，當(dāng)定義區(qū)域變?yōu)闀r(shí)，解的范圍縮小為. 在實(shí)際引用中，我們也希望解的存在區(qū)間能盡量擴(kuò)大，下面討論解的延展概念，盡量擴(kuò)大解的存在區(qū)間，把解的存在唯一性定理的結(jié)果由局部的變成大范圍的.1、飽和解及飽和區(qū)間定義1 對(duì)定義在平面區(qū)域上的微分方程 (3.1)設(shè)是方程(3.1)定義在區(qū)間上的一個(gè)解,如果方程(3.1)還有一個(gè)定義在區(qū)間上的另一解,且滿足 (1) ；但是 （2）當(dāng)時(shí)，則稱(chēng)是可延拓的，并稱(chēng)是在上的延拓.否則如果不存在滿足上述條件的解,則稱(chēng)是方程(3.1)的不可延拓解或飽和解,此時(shí)把不可延拓解的區(qū)間稱(chēng)為一個(gè)飽和區(qū)間.2、局部李普希茲條件定義2 若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且對(duì)內(nèi)每一點(diǎn)，都

14、存在以點(diǎn)為中心，完全含在內(nèi)的閉矩形域，使得在上關(guān)于滿足李普希茲條件（對(duì)于不同的點(diǎn)，閉矩形域的大小和李普希茲常數(shù)可能不同），則稱(chēng)在上關(guān)于滿足局部李普希茲條件.定理(dngl)3 （延拓定理）如果(rgu)方程的右端函數(shù)(hnsh)在（有界或無(wú)界）區(qū)域上連續(xù)，且在關(guān)于滿足局部李普希茲條件，則對(duì)任意一點(diǎn)，方程以為初值的解均可以向左右延展，直到點(diǎn)任意接近區(qū)域的邊界.以向增大的一方來(lái)說(shuō)，如果只能延拓到區(qū)間上，則當(dāng)時(shí)，趨于區(qū)域的邊界。證明 ，由解的存在唯一性定理，初值問(wèn)題 （1）存在唯一的解，解的存在唯一區(qū)間為.取,以為中心作一小矩形,則初值問(wèn)題 (2)存在唯一的解，解的存在唯一區(qū)間為.因?yàn)?,有唯一性定

15、理,在兩區(qū)間的重疊部分應(yīng)有,即當(dāng)時(shí).定義函數(shù) 則是方程(3.1)滿足(1)(或(2) 的,在上有定義的唯一的解.這樣,把方程(3.1)滿足(1)的解在定義區(qū)間上向右延伸了一段.即把解看作方程(3.1)的解在定義區(qū)間的向右延拓,延拓到更大區(qū)間.同樣的方法,也可把解向左延拓.這種將曲線向左右延拓的辦法可繼續(xù)進(jìn)行下去,最后將得到一個(gè)解,不能再向左右延拓了.這個(gè)解稱(chēng)為方程(3.1)的飽和解.推論(tuln)1 對(duì)定義(dngy)在平面區(qū)域上的初值問(wèn)題 其中(qzhng)若在區(qū)域內(nèi)連續(xù)且關(guān)于滿足局部Lipschtiz條件,則它的任一非飽和解均可延拓為飽和解.推論2 設(shè)是初值問(wèn)題 其中的一個(gè)飽和解，則該飽

16、和解的飽和區(qū)間一定是開(kāi)區(qū)間.證明 若飽和區(qū)間不是開(kāi)區(qū)間,不妨設(shè),則,這樣解還可以向右延拓,從而是非飽和解,矛盾.對(duì)時(shí),同樣討論,即(或)時(shí), .推論3 如果是無(wú)界區(qū)域,在上面解的延拓定理的條件下,方程(3.1)通過(guò)點(diǎn)的解可以延拓,以向增大(減小)一方的延拓來(lái)說(shuō),有以下兩種情況:解可以延拓到區(qū)間(或)；解只可延拓到區(qū)間(或)，其中為有限數(shù)，則當(dāng)時(shí)，或者無(wú)界,或者點(diǎn).例1討論方程分別通過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的解的存在區(qū)間.解 此方程右端函數(shù)在整個(gè)平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件.易知方程的通解為 故通過(guò)(tnggu)點(diǎn)的解為,這個(gè)解的存在(cnzi)區(qū)間為；通過(guò)(tnggu)點(diǎn)的解為,這個(gè)解的存

17、在區(qū)間為(如圖所示).注意, 過(guò)點(diǎn)的解為向右方可以延拓到,但向左方只能延拓到,因?yàn)楫?dāng)時(shí),.例2討論方程過(guò)點(diǎn)的解的存在區(qū)間.解 方程右端函數(shù)在右半平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件.區(qū)域(右半平面)是無(wú)界開(kāi)域，軸是它的邊界.易知問(wèn)題的解為,它于區(qū)間 上有定義、連續(xù)且當(dāng)時(shí), ,即所求問(wèn)題的解向右方可以延拓到,但向左方只能延拓到,且當(dāng)時(shí)積分曲線上的點(diǎn)趨向于區(qū)域的邊界上的點(diǎn).例3 考慮方程,假設(shè)和在平面上連續(xù)，試證明：對(duì)于任意及，方程滿足的解都在上存在.證明 根據(jù)題設(shè),易知方程右端函數(shù)在整個(gè)平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件.又為方程在上的解,由延拓定理可知,對(duì),滿足的解應(yīng)

18、當(dāng)無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn),但是,由解的唯一性, 又不能穿過(guò)直線,故只能向兩側(cè)延拓,而無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn),從而解應(yīng)在存在.注: 如果(rgu)函數(shù)于整個(gè)(zhngg)平面(pngmin)上定義、連續(xù)和有界,同時(shí)存在關(guān)于的一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則方程(3.1)的任一解均可以延拓到區(qū)間.練習(xí) 試證對(duì)任意，方程滿足初始條件的解都在上存在.3 解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理在初值問(wèn)題中我們都是把初值看成是固定的數(shù)值，然后再去討論方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)的解.但是假如變動(dòng)，則相應(yīng)初值問(wèn)題的解也隨之變動(dòng)，也就是說(shuō)初值問(wèn)題的解不僅依賴(lài)于自變量,還依賴(lài)于初值.例如：時(shí),方程的解是,將初始條件帶入,可得.很顯然它是自變量和初始條件的函數(shù).因此將對(duì)初值

19、問(wèn)題的解記為,它滿足.當(dāng)初值發(fā)生變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的解是如何變化的？當(dāng)初始值微小變動(dòng)時(shí)，方程解的變化是否也很小呢？為此就要討論解對(duì)初值的一些性質(zhì).1、解關(guān)于初值的對(duì)稱(chēng)性設(shè)方程(3.1)滿足初始條件的解是唯一的,記為,則在此關(guān)系式中, 與可以調(diào)換其相對(duì)位置.即在解的存在范圍內(nèi)成立關(guān)系式 證明(zhngmng) 在方程(fngchng)(3.1)滿足初始條件的解的存在區(qū)間(q jin)內(nèi)任取一點(diǎn),顯然,則由解的唯一性知,過(guò)點(diǎn)的解與過(guò)點(diǎn)的解是同一條積分曲線,即此解也可寫(xiě)為 并且,有.又由是積分曲線上的任一點(diǎn),因此關(guān)系式對(duì)該積分曲線上的任意點(diǎn)均成立. 2、 解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性由于實(shí)際問(wèn)題中初始條件一般是由

20、實(shí)驗(yàn) 測(cè)量得到的，肯定存在誤差. 有的時(shí)候誤差比較大，有的時(shí)候誤差比較小，在實(shí)際應(yīng)用中我們當(dāng)然希望誤差較小，也就是說(shuō)當(dāng)變動(dòng)很小的時(shí)候，相應(yīng)的方程的解也只有微小的變動(dòng)，這就是解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性所要研究的問(wèn)題：在討論這個(gè)問(wèn)題之前，我們先來(lái)看一個(gè)引理：引理：如果函數(shù)于某域內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于滿足Lipschtiz條件（Lipschtiz常數(shù)為），則對(duì)方程（3.1）的任意兩個(gè)解及，在它們公共存在的區(qū)間內(nèi)成立著不等式 （3.17）其中為所考慮區(qū)域內(nèi)的某一值.證明 設(shè), 于區(qū)間上均有定義,令 則 于是 從而 所以,對(duì),有 對(duì)于區(qū)間,令,并記,則方程(3.1)變?yōu)?而且(r qi)已知它有解和.類(lèi)似(li s)

21、可得因此(ync), 兩邊開(kāi)平方即得(3.17).利用此引理我們可以證明解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性： 解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)定理 假設(shè)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于滿足局部李普希茲條件，如果，初值問(wèn)題有解，它于區(qū)間上有定義(),則對(duì)任意， ，使得當(dāng)時(shí),方程(3.1)滿足條件的解在區(qū)間上也有定義，并且有 .證明 記積分曲線段是平面上一個(gè)有界閉集.第一步:找區(qū)域,使,而且在上關(guān)于滿足Lipschitz條件.由已知條件,對(duì),存在以它為中心的開(kāi)圓,使在其內(nèi)關(guān)于滿足Lipschitz條件.因此,根據(jù)有限覆蓋定理,可以找到有限個(gè)具有這種性質(zhì)的圓(不同的,其半徑和Lipschitz常數(shù)的大小可能不同),它們的全體覆蓋了整個(gè)積分

22、曲線段,令,則,對(duì),記,則以上的點(diǎn)為中心,以為半徑的圓的全體及其邊界構(gòu)成包含的有界閉域,且在上關(guān)于滿足Lipschitz條件, Lipschitz常數(shù)為.第二步:證明，使得當(dāng)時(shí),解在區(qū)間上也有定義.由于(yuy)是一個(gè)(y )有界閉域,且在其內(nèi)(q ni)關(guān)于滿足Lipschitz條件,由解的延拓定理可知, 解必能延拓到區(qū)域的邊界上.設(shè)它在的邊界上的點(diǎn)為和,這時(shí)必有.否則設(shè),由引理有 利用的連續(xù)性,對(duì),必有存在,使當(dāng)時(shí)有,取,則當(dāng)時(shí)就有 (3.18)于是對(duì)一切成立,特別地有 ,即點(diǎn)和均落在域的內(nèi)部,這與假設(shè)矛盾,故解在區(qū)間上有定義.第三步 證明.在不等式（3.18）中將區(qū)間換成，可知當(dāng)時(shí)，就有 .根據(jù)方程解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)定理及解對(duì)自變量的連續(xù)性有3、解對(duì)初值的連續(xù)性定理若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于滿足局部李普希茲條件,則方程(3.1) 的解作為的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的.證明(zhngmng) 對(duì),方程(fngchng)(3.1)過(guò)的飽和(boh)解定義于上,