藝術(shù)生高考數(shù)學(xué)專題講義：考點46抽樣方法

1、考點四十六 抽樣方法知識梳理.簡單隨機抽樣(1)定義：一般地，設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取 n個個體作為樣本(nWN),且每次抽取時各個個體被抽到的機會都相等，就稱這樣的抽樣方法為簡單隨機抽樣.常用方法：抽簽法和隨機數(shù)法.(2)簡單隨機抽樣特點總體個數(shù)較少；簡單隨機抽樣是逐個不放回抽樣；每個個體被抽到的概率相等，都為N.抽簽法一般地，抽簽法就是把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，充分?jǐn)嚢杈鶆蚝?，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取 n次，這樣就得到一個容量為n的樣本.抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少的情況，一個抽樣實驗?zāi)芊裼贸楹灧ǎP(guān)鍵看兩點：一是抽簽是否方便

2、； 二是號簽是否易攪勻. 一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時可用抽 簽法.隨機數(shù)法隨機數(shù)法也就是利用隨機數(shù)表、隨機數(shù)骰子或計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)進(jìn)行抽樣.隨機數(shù)法的步驟：將總體中的N個個體編號；在隨機數(shù)表中選擇開始數(shù)字；按某個方向讀數(shù)獲取樣本號碼.隨機數(shù)法適用于總體中個體數(shù)較多的情況，簡單易行，它很好地解決了抽簽法在總體個數(shù)較多時制簽難的問題， 但是當(dāng)總體中的個體很多，需要的樣本容量也很大時，用隨機數(shù)法抽取樣本仍不方便.系統(tǒng)抽樣(1)步驟：先將總體的 N個個體編號；根據(jù)樣本容量n,當(dāng)N是整數(shù)時，取分段間隔 k=N;nn在第1段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l(lWk);按照一定的規(guī)則抽取樣本.

3、(2)適用范圍：適用于總體中的個體數(shù)較多時.(3)系統(tǒng)抽樣是等距離抽樣.分層抽樣(1)定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取 一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣.(2)適用范圍：適用于總體由差異比較明顯的幾個部分組成時.樣本容量n(3)分層抽樣中，每層抽取的個體的比例是相同的，即 巧林不用.6.三種抽樣方法的比較類別各自特點相互聯(lián)系適用范圍共同點簡單隨機抽樣從總體中逐個抽取最基本的抽樣方法總體中的個體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體平均分成幾部 分，按班先確定的規(guī) 則分別在各部分中抽 取在起始部分抽樣時，采用簡單隨機抽樣總體中

4、的個體數(shù)較多抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等分層抽樣將總體分成幾層，按 各層個體數(shù)之比抽取各層抽樣時米用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成典例剖析題型一簡單隨機抽樣例1 (2013高考江西卷)總體由編號為01, 02,，19, 20的20個個體組成，利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第 1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右 依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為 .7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481答案 01解析 由隨機數(shù)表法的隨

5、機抽樣的過程可知選出的5個個體是08, 02, 14, 07, 01,所以第5個個體的編號是01.變式訓(xùn)練下列抽取樣本的方式是簡單隨機抽樣的有 .從無限多個個體中抽取 50個個體作為樣本；箱子里有100支鉛筆，今從中選取 10支進(jìn)行檢驗.在抽樣操作時，從中任意拿出一支檢 測后再放回箱子里；從50個個體中一次性抽取 5個個體作為樣本.答案 0個解析 不滿足樣本的總體數(shù)較少的特點；不滿足不放回抽取的特點；不滿足逐個抽取的特點.解題要點簡單隨機抽樣特點：總體個數(shù)較少；簡單隨機抽樣是逐個不放回抽樣；每個個體被抽到的概率相等.題型二系統(tǒng)抽樣例2為了檢查某超市貨架上的奶粉是否含有三聚鼠胺，要從編號依次為1

6、到50的袋裝奶粉中抽取5袋進(jìn)行檢驗，用系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的5袋奶粉的編號可能是 .(填序號) 5, 10, 15, 20, 25; 2, 4, 8, 16, 32; 1, 2, 3, 4, 5; 7, 17, 27, 37, 47.答案解析 利用系統(tǒng)抽樣，把編號分為 5段，每段10袋，每段抽取一袋，號碼間隔為10,故選.變式訓(xùn)練將參加夏令營的600名學(xué)生編號為：001, 002,，600.采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003.這600名學(xué)生分住在三個營區(qū)，從001到300在A營區(qū)，從301到495在B營區(qū)，從496到600在C營區(qū)，三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為.

7、答案 25, 17, 8解析 依題意及系統(tǒng)抽樣的意義可知，將這600名學(xué)生按編號依次分成 50組，每一組各有12名學(xué)生，第 k(kCN*)組抽中的號碼是 3+12(k-1),令3+12(k 1)300,得k 143,因103此A營區(qū)被抽中的人數(shù)是 25;令3003+12(k 1)495,得二“kw 42,因此B營區(qū)被抽中的人數(shù)是4225= 17.解題要點系統(tǒng)抽樣是等距離抽樣，假設(shè)第 1段抽取的個體編號為l(lWk),分段間隔為k(kCN*),則將l加上間隔k得到第2個個體編號(l+k),再加上k得到第3個個體編號(1 + 2k),依次進(jìn)行下去，直到獲取整個樣本.題型三分層抽樣例3 (1)某大學(xué)

8、為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查.已知該校一年級、年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為 4 ： 5 ： 5 ： 6,則應(yīng)從一年級本科生中抽取名學(xué)生.(2)某高級中學(xué)共有學(xué)生 3 000名，各年級男、女生人數(shù)如下表:高一年級高二年級高三年級女生523xy男生487490z已知在全校學(xué)生中隨機抽取1名，抽到高二年級女生的概率是0.17.若現(xiàn)需對各年級用分層抽樣的方法在全校抽取300名學(xué)生，則應(yīng)在高三年級抽取的學(xué)生人數(shù)為 .答案(1)60(2) 99解析 (1)根據(jù)題意，應(yīng)從一年級本科生中抽取的人數(shù)為4+

9、5+5+6* 300 = 60.(2)由題設(shè)可知 7Jx=0.17，-x=510.3 000高三年級人數(shù)為 y+z=3 000 (523+ 487 + 490 + 510) = 990,現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取300名學(xué)生，應(yīng)在高三年級抽取的人數(shù)為500X 990= 99.3000變式訓(xùn)練某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為3： 5： 7,現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出容量為 n的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量n =.答案 90 3解析 依題意得o 1 3X n=18,解得n=90,即樣本容量為90. 3+5 + 7解題要點分層抽樣的相關(guān)計算時，常利用以下關(guān)系式計算：*湍=*

10、需*5數(shù)；(2)總體中某兩層的個體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比.題型四抽樣方法選取問題例4某學(xué)校有男、女學(xué)生各 500名.為了解男、女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是 答案分層抽樣法解析 從全體學(xué)生中抽取100名應(yīng)用分層抽樣法，按男、女學(xué)生所占的比例抽取.變式訓(xùn)練 某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150,120,180,150個銷售點.公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調(diào)查為；在丙地區(qū)有20個大型銷售點，要從中抽取7個調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)等情況，記這項調(diào)查

11、為，則完成，這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是 .答案分層抽樣法，簡單隨機抽樣法解析一般甲、乙、丙、丁四個地區(qū)會存在差異，采用分層抽樣法較好.在丙地區(qū)中抽取的 樣本個數(shù)較少，易采用簡單隨機抽樣法.解題要點正確把握三種抽樣方法的適用范圍及特點是解題的關(guān)鍵.當(dāng)總體中的個體個數(shù)較少時，通常采用簡單隨機抽樣，一般可用從總體中逐個抽取的方法；當(dāng)總體中的個體個數(shù)較多且均衡時，通常采用系統(tǒng)抽樣， 將總體平均分成幾部分，按一定的規(guī)則分別在各部分中抽取；當(dāng)總體是由差異明顯的幾部分組成時，則采用分層抽樣，將總體按差異分成幾層，按分層個體數(shù)之比抽取.當(dāng)堂練習(xí)（2015四川文）某學(xué)校為了了解三年級、六年級、九年級這三個

12、年級之間的學(xué)生視力是否存在顯著差異，擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是.答案分層抽樣法解析 結(jié)合幾種抽樣的定義.（2015北京文）某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本中的老年教師人數(shù)為類別人數(shù)老年教師900中年教師1 800青年教師1 600合計4 300答案 180解析 由題意抽樣比為 普 =1, .該樣本的老年教師人數(shù)為900X=180（人）.1 600 55（2015湖南文）在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績（單位：分鐘）的莖葉圖如圖所示13 0034566S8891

13、4 1112223344555667815 0 12 2 3 3 3若將運動員按成績由好到差編為135號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間139,151上的運動員人數(shù)是.答案 4解析 由題意知，將135號分成7組，每組5名運動員，成績落在區(qū)間139,151的運動員共有4組，故由系統(tǒng)抽樣法知，共抽取 4名.從編號為150的50枚最新研制的某種型號的導(dǎo)彈中隨機抽取5枚來進(jìn)行發(fā)射實驗，若采用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法，則所選取5枚導(dǎo)彈的編號可能是答案 3,13,23,33,43解析間隔距離為10,故可能編號是3,13,23,33,43.甲校有3 600名學(xué)生，乙校有5 40

14、0名學(xué)生，丙校有1 800名學(xué)生.為統(tǒng)計三校學(xué)生某方 面的情況，計劃采用分層抽樣法，抽取一個容量為90的樣本，應(yīng)該在這三校分別抽取的學(xué)生人數(shù)是.答案 30,45,15解析抽取比例是903 600 + 5 400+ 1 800111故二校分別抽取的學(xué)生人數(shù)為3 600 盒=30,5 400 1方=45,1 800蒼0= 15.課后作業(yè)一、填空題. （2014四川文）在“世界讀書日”前夕，為了了解某地 5 000名居民某天的閱讀時間，從 中抽取了 200名居民的閱讀時間進(jìn)行統(tǒng)計分析.在這個問題中，5 000名居民的閱讀時間的全體是.答案總體解析 5 000名居民的閱讀時間的全體是總體，每名居民的閱

15、讀時間是個體，200是樣本容量.為了解某地區(qū)的中小學(xué)生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是 .答案按學(xué)段分層抽樣解析因為學(xué)段層次差異較大，所以在不同學(xué)段中抽取宜用分層抽樣. （2014年重慶卷）某中學(xué)有高中生3 500人，初中生1 500人.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況， 用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為.答案 100解析由分層抽樣的特點可知n70_3 500+ 1 5003 500得 n = 100

16、.為了檢查某超市貨架上的飲料是否含有塑化劑，要從編號依次為1到50的塑料瓶裝飲料中抽取5瓶進(jìn)行檢驗，用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的5瓶飲料的編號可能是.答案 7,17,27,37,47解析 利用系統(tǒng)抽樣，把編號分為5段，每段10個，每段抽取1個，號碼間隔為10.某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為3 ： 5： 7,現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量n =.答案903解析 依題意彳導(dǎo)o 3 Jn=18, 3+ 5+ 7解得n= 90,即樣本容量為90.用系統(tǒng)抽樣法（按等距離的規(guī)則），要從160名學(xué)生中抽取容量為 20的樣本，

17、將160名學(xué) 生從1160編號.按編號順序平均分成 20組（18號，916號，153160號），若第 16組應(yīng)抽出的號碼為125,則第一組中按抽簽方法確定的號碼是 .答案 5解析 設(shè)第一組確定的號碼是 x,則x+ （16 1）X8=125,解得x=5.某校共有學(xué)生2 000名，各年級男、女生人數(shù)如表，已知在全校學(xué)生中隨機抽取 1名， 抽到二年級女生的概率是 0.19,現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取 64名學(xué)生，則應(yīng)在三年級 抽取的學(xué)生人數(shù)為 .一年級二年級三年級女生373Xy男生377370z答案 16解析 由題意得X=0.19,得x= 380.64 _ n2 000 5002 000三年級的人

18、數(shù)為 2 000 373 377 380 370= 500,由分層抽樣的特點可知得 n= 16.采用系統(tǒng)抽樣方法從 960人中抽取32人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機編號為1,2,，960,分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中，編號落入?yún)^(qū)間1,450的人做問卷A,編號落入?yún)^(qū)間451,750的人做問卷B,其余的人做問卷 C,則抽到 的人中，做問卷 B的人數(shù)為 .答案10解析 由已知條件可知，應(yīng)該把總體分成32組，每組嘿=30人，根據(jù)系統(tǒng)抽樣的方法可知， 32i = 9, k=30,在第1組到第32組依次抽取到的是 9,9+30, 9+2X30,，9+31 X30,由于

19、9+15X30 = 459,而 9+24X30=729,故而有 2415+1 = 10 人. (2015福建文)某校高一年級有 900名學(xué)生，其中女生 400名.按男女比例用分層抽樣 的方法，從該年級學(xué)生中抽取一個容量為 45的樣本，則應(yīng)抽取的男生人數(shù)為 . 答案 25解析 由題意知，男生共有 500名，根據(jù)分層抽樣的特點，在容量為45的樣本中男生應(yīng)抽取人數(shù)：45X500=25.900.某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比是3 ： 3 ： 4,現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高二年級抽取 名學(xué)生.答案15解析 高二年級學(xué)生人數(shù)占總學(xué)生人數(shù)的130,樣本容量為50,則50端=15,所以從高二年級抽取15名學(xué)生.已知某商場新進(jìn) 3 000袋奶粉，為檢查某維生素是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法從中 抽取150袋檢查，若第1組抽出的號碼是11,則第61組抽出的號碼為 .答案1 211解析3 000150= 20,需把3 000袋奶粉按0,1,2,3,，2 999編號，然后分成150組，每組20個號碼.第61組抽出的號碼為 11+(61 1)X20=1 211.二、解答題12.某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，大學(xué)7所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽