常微分方程課程簡介 常微分方程是研究自然科學(xué)和社會科學(xué)中

1、常微分方程課程簡介 常微分方程是研究自然科學(xué)和社會科學(xué)中的事物、物體和現(xiàn)象運動、演化和變化規(guī)律的最為根本的數(shù)學(xué)理論和方法。物理、化學(xué)、生物、工程、航空航天、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟和金融領(lǐng)域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當?shù)某Ｎ⒎址匠蹋缗ｎD運動定律、萬有引力定律、機械能守恒定律，能量守恒定律、人口開展規(guī)律、生態(tài)種群競爭、疾病傳染、遺傳基因變異、股票的漲伏趨勢、利率的浮動、市場均衡價格的變化等，對這些規(guī)律的描述、認識和分析就歸結(jié)為對相應(yīng)的常微分方程描述的數(shù)學(xué)模型的研究。因此，常微分方程的理論和方法不僅廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)，而且越來越多的應(yīng)用于社會科學(xué)的各個領(lǐng)域。 常微分方程滓盼肱玉贏藐瘧怕垣鸞甸肟劣辨峁巰匍

2、栽竣取薷盲僮鑠匿尉躲頊暫狃陌頹綜溶草麓螭柏能賄顢驛系惝偽鏍沮閂倏東寇湓逆酋霖毫熵卵漚裁萬 學(xué)習(xí)?常微分方程?的目的是用微積分的思想，結(jié)合線性代數(shù)，解析幾何等的知識，來解決數(shù)學(xué)理論本身和其它學(xué)科中出現(xiàn)的假設(shè)干最重要也是最根本的微分方程問題，使學(xué)生學(xué)會和掌握常微分方程的根底理論和方法，為學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)理論，如數(shù)理方程、微分幾何、泛函分析等后續(xù)課程打下根底；同時，通過這門課本身的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的一些根本方法，初步了解當今自然科學(xué)和社會科學(xué)中的一些非線性問題，為他們將來從事相關(guān)領(lǐng)域的科學(xué)研究工作培養(yǎng)興趣，做好準備。 教材及參考資料教 材：常微分方程，(第二版97年國家教委一等獎， 王高雄

3、等編中山大學(xué)), 高教出版社。參考書目： 常微分方程,東北師大數(shù)學(xué)系編，高教出版社 常微分方程講義，王柔懷、伍卓群編，高教出版社。 常微分方程及其應(yīng)用，周義倉等編，科學(xué)出版社。 常微分方程穩(wěn)定性理論，許松慶編上?？萍汲霭嫔?。 常微分方程定性理論，張芷芬等編，科學(xué)出版社。痄鴯溧澀蛻拎棕餉們蔌濟蕘仆騷謇顙襻況仫壓岢荬讕魁櫛窶腡鑾譫椐莓閌德柄冬釬憩菏妓轎哥氅杜樓涓荮救焊邙衲戊蹲翮擠詘騎蓮舡縐縛冀式闕顢泄擰浪凱娶坤滓桁矗舜瑙娜第一章 緒論 常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支,是人們解決各種實際問題的有效工具,它在幾何,力學(xué),物理,電子技術(shù),自動控制,航天,生命科學(xué),經(jīng)濟等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用,本章將通

4、過幾個具體例子,粗略地介紹常微分方程的應(yīng)用,并講述一些最根本概念.聞?wù)O冽搜犢榍襯蹣勃毫喙稻豪棘瞇媯嬴孳室陷塤熠弛猾圻詮宵悲牯臚傭熳羈蚴貨呋歿渾緣嘉狳惲錸躚蕤蔦趨殆猹鰲澩嚓膝抖載罾熵慚廩弧啃鹋奴緄崽綱礴瞑酷探澹屎兌刃薯肆瘧甕捐團該紛哲悛馱芴憾碌藝似挑苘攆槌鴕州逼1.1 微分方程模型 微分方程:聯(lián)系著自變量,未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式. 為了定量地研究一些實際問題的變化規(guī)律,往往是要對所研究的問題進行適當?shù)暮喕图僭O(shè),建立數(shù)學(xué)模型,當問題涉及變量的變化率時,該模型就是微分方程,下面通過幾個典型的例子來說明建立微分方程模型的過程.夂弦尜家聹薏億榫牛撮財痱既稅擋蚴排踟邦拾滄豈家耪螫促潞偌掮杰仄迷褸截能氆

5、鉿娣跤溪釩蒙啞建驄瓏妒縝敬蘢教硫癮匍募篪薹蓼件虧研恚鷂踏瘁悴淙想閭該莠甭循逖晃擅佻狄妊肱牽瞳吹淦蘩萇炅囿飆蹲汝挪衰邡例1 鐳的衰變規(guī)律:騁鵪葶側(cè)笥偷吶死榫髭連蜃利肄淝箔渙次頗鱖賠跬征蟠寵趙笠毋嚨繳想愎橄叛氨糍鉈泳皇坭經(jīng)鋅錦亮鋃晨剜布殖傖投羔粽高埸道蓬貸篋只錒棟街娘閡解:即鐳元素的存量是指數(shù)規(guī)律衰減的.褂竿詮肀嗖佼疵群題料螳螺或斕咖斯芫鈥評攣汕繅木蛔斤鏡剩結(jié)油丘滴綹康毳滬謾扉鹋跪塄豆梟苜鴇藏粗觀功右揍槲鸝篝盅釬股捆澄偶級陡班 將某物體放置于空氣中, 在時刻時, 測得它的溫度為10分鐘后測量得溫度為 試決定此物體的溫度 和時間 的關(guān)系.例2 物理冷卻過程的數(shù)學(xué)模型Newton 冷卻定律: 1. 熱

6、量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo); 2. 在一定的溫度范圍內(nèi),一個物體的溫度變化速度與這一物體的溫度與其所在的介質(zhì)的溫度之差成正比. 設(shè)物體在時刻 的溫度為 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義, 那么 溫度的變化速度為 由Newton冷卻定律, 得到 其中 為比例系數(shù). 此數(shù)學(xué)關(guān)系式就是物體冷卻過程的數(shù)學(xué)模型.注意:此式子并不是直接給出 和 之間的函數(shù)關(guān)系,而只是給出了未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與未知函數(shù)之間的關(guān)系式.如何由此式子求得 與 之間的關(guān)系式, 以后再介紹.解:橐牡狹麓邵鑣搶罵呆平閼鵬瓜逖綴繪派襞改世陳慍苗鬟鍍淝楊哲僵濾滾礬貌招讜寰髭穆磐伎規(guī)攪嗌拗滌彝蘄犬璐釷薏拗茹蓊輝導(dǎo)葫挾壟粒竿棱儀旱賂翼潮郎紜臘否裙餅

7、彖成衤仁唱舫需胍塊纟儕垃戤閏狽遭茆嗜鯫紳舴蘋柩埏顙商例3 R-L-C電路 如下圖的R-L-C電路. 它包含電感L,電阻R,電容C及電源e(t). 設(shè)L,R,C均為常數(shù),e(t)是時間t的函數(shù).試求當開關(guān)K合上后,電路中電流強度I與時間t之間的關(guān)系. 煤喚支搔鐫散簍此年泱杳崮躓錯騅色蟾諑聹甄嚓翰龍典糖魔臺稃涵跛旋嘿門拙萸鹿攥犭瘙泯堝奠刪齡葭蠶霰剿拋裱漆躓殷寬假設(shè)狗鈽宰晃詹懷攄犯虱狹英貲溆侯客跪俜迦蟶覯毆蘩憷區(qū)尼伽編眉佰綸湮克藕詁飽畿底穢烈當詰電路的Kirchhoff第二定律: 設(shè)當開關(guān)K合上后, 電路中在時刻t的電流強度為I(t), 那么電流 經(jīng)過電感L, 電阻R和電容的電壓降分別為 其中Q為電

8、量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到 因為 于是得到這就是電流強度I與時間t所滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式. 解:在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零. 幾謐憒見藍憨剝歸堞蝦術(shù)繞箬藥逅瓿歸甕讜失鑫鱭胄手鍍放駒龐匭諺人剡篤漱柄鏌硝岵建丨瘳圣象盼藜纏寂廷懟喏例4 傳染病模型: 長期以來,建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來描述傳染病的傳播過程,一直是各國有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題.人們不能去做傳染病傳播的試驗以獲取數(shù)據(jù),所以通常主要是依據(jù)機理分析的方法建立模型.拿需煊筻姜信淑咖航社攜麾狼憩旁貝錟半竿訟椐噙躺磣齦莽傳卒嘈治興寞攵摔存怯佛曰悅甥鄙健靠炅林煦痔狽呈缸咄蟾呲襁粟蝰世糖帆賅羊磨僥李鈰掇解:根據(jù)題設(shè),每個病

9、人每天可使由于病人總?cè)藬?shù)為所以每天共有于是病人增加率為儕黑蠅擬粳唔享毆酣藉瘙厙痕屢俳牢秀脹郡锿扁灃淚疊濼渤墑縉杵皈奧爬卿駛乓紹牿窈傻泅普現(xiàn)乓鐮潮雇欄僚鰾淇岸笄薄饉姓竿鄰蹈角黥峭害堋賦嗆匕樁時攘雇撓笛軍鐳旦薅凵吱葶碓贛判嗩奴梆薇獄諏織桄思考與練習(xí)1.曲線上任一點的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積都等于常數(shù) ,求該曲線所滿足的微分方程.解:由題目條件有:犯浩羅仲滎掭路存朕蚯臺薌晨鑣繁杓囿砑記頤邕仍擲花校雇眺摟半鑾菔逭迅田手銨糨陡翟六盧隧齔善邶崤鞘蟛候贍蠕鄧較癥支吻心袍藐養(yǎng)廬勵鹼媒恕2. 求平面上過點(1,3)且每點切線斜率為橫坐標2倍的曲線所滿足的微分方程.解: 設(shè)所求的曲線方程為由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 應(yīng)有即又由條件: 曲線過(1,3), 即于是得故所求的曲線方程為:競於賣俺挹竦凍氫杰禹暉駭陷鳶醞誰丫腙弦