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1、第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)工具來(lái)描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。例如描述剛體運(yùn)動(dòng)可以有 本章介紹如下幾種系統(tǒng)模型 解析模型： 微分方程 傳遞函數(shù) 頻率特性 圖 模 型： 方塊圖 信號(hào)流程圖12.1 控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型微分方程定義：用微分方程來(lái)描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，得到的輸入和輸出之間的公式。由于微分是針對(duì)時(shí)間t的，因此又稱(chēng)為時(shí)域模型。描述線性系統(tǒng)的微分方程是線性微分方程。其中，系數(shù) (i=0,1,2,n; j=0,1,2m) 均為實(shí)數(shù)，它們是由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)所決定的，與輸入輸出無(wú)關(guān)。2例 建立RC電路運(yùn)動(dòng)方程。 r(t)輸入量（電壓） c(t)輸出量（電壓） （RC=T） 2.1

2、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型微分方程由于很多物理規(guī)律是用微分方程描述的，因此微分方程描述是系統(tǒng)最基本的描述。3 傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制最基本，最重要的概念之一。 定義：線性定常系統(tǒng)在初始條件為零時(shí)，輸出量的拉氏變換和輸入量的拉氏變換之比。 設(shè)：輸入-r(t)，輸出-c(t)，則傳遞函數(shù)： 那么：C(s)=G(s) R(s)。 利用傳遞函數(shù)，輸入和輸出之間存在簡(jiǎn)單的乘積關(guān)系。2.2控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)4如果系統(tǒng)微分方程為：對(duì)上式兩邊進(jìn)行拉氏變換：可以得到 控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分式表達(dá):5a. 表示成典型環(huán)節(jié)形式：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)增益； 其中， 稱(chēng)為時(shí)間常數(shù)，當(dāng)存在復(fù)數(shù)時(shí)間常數(shù)時(shí)，?；啥涡问剑?系統(tǒng)的

3、零點(diǎn)；零極點(diǎn)可以是復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)，復(fù)數(shù)必定是成對(duì)（共軛）出現(xiàn)。和有如下關(guān)系系統(tǒng)的極點(diǎn)，個(gè)零極點(diǎn)。其中有增益因子。b. 表示成零、極點(diǎn)形式：7 1) 傳遞函數(shù)是系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）在復(fù)數(shù)域中的數(shù)學(xué)模型，是固 有特性的描述。 2) 傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，與外界輸入無(wú)關(guān)。 3) 傳遞函數(shù)大都是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，即mn。 （ m 、n分別為分子、分母多項(xiàng)式的次數(shù)。） 4) 若輸入為單位脈沖函數(shù)，即R(s)=Lr(t)=1，則 這意味著傳遞函數(shù)是單位脈沖函數(shù)的拉氏變換。這個(gè)事實(shí)也說(shuō)明了傳遞函數(shù)與輸入無(wú)關(guān)，而有系統(tǒng)特征唯一確定。關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：5) 閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)的分母稱(chēng)為系

4、統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)的方程稱(chēng)為特征方程。 82.3 控制系統(tǒng)的頻域數(shù)學(xué)模型頻率特性系統(tǒng)傳遞函數(shù)中的用得到的 稱(chēng)為代替,系統(tǒng)的頻率特性。傳遞函數(shù):頻率特性:9例 建立RC電路運(yùn)動(dòng)方程。 r(t)輸入量 c(t)輸出量 時(shí)域 ： ( RC=T ) 微分方程 復(fù)域: 傳遞函數(shù) 頻域: 頻率特性10二 . “三域”數(shù)學(xué)模型及其相互關(guān)系11運(yùn)動(dòng)方程: c(t)=Kr(t) K放大系數(shù)，通常都是有量綱的。傳遞函數(shù)：頻率特性： 由于傳遞函數(shù)可以分解成因子的乘積，實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的因子最多為兩次，這些因子稱(chēng)為典型因子，相對(duì)的系統(tǒng)稱(chēng)為典型環(huán)節(jié)。1.比例環(huán)節(jié)（又叫放大環(huán)節(jié)）2.4 典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型12其它一些比例環(huán)節(jié)

5、132、微分環(huán)節(jié) 運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)： 頻率特性： 14例 2：測(cè)速發(fā)電機(jī)CF的數(shù)學(xué)描述 輸 入： (t)電動(dòng)機(jī)D轉(zhuǎn)子（與測(cè)速發(fā)電機(jī)同軸）的轉(zhuǎn)角輸 出： uf(t)測(cè)速發(fā)電機(jī)的電樞電壓運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)： G（s）=Ks 頻率特性： G（j）=jK 15 3、積分環(huán)節(jié) 運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：頻率特性： 16例：如右電路 運(yùn)動(dòng)方程： 傳遞函數(shù)： （T=R1C） 頻率特性： 輸入為r(t)，輸出為c(t)17 4、慣性環(huán)節(jié)(又叫非周期環(huán)節(jié)) 運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：頻率特性： 18例1：直流電機(jī)輸入量: ud 電樞電壓輸出量： id 電樞電流因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù): 式中 Ld 電樞回路電感； Rd 電

6、樞回路電阻； d 電樞繞組的時(shí)間常數(shù)；19 5、振蕩環(huán)節(jié) 運(yùn)動(dòng)方程： 式中：阻尼比， T振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。傳遞函數(shù)： 式中： 無(wú)阻尼自然振蕩頻率 頻率特性： 20例1：RLC電路解： 消去中間變量i(t)得到運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：頻率特性： 21ea(t)- 輸入量為加在電樞兩端 (t) -輸出量為電機(jī)軸的角位移;R-電樞繞組的電阻； L-電樞繞組電感；i(t)-電樞繞組中的電流； eb(t)- 電動(dòng)機(jī)的反電勢(shì)；T(t)-電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩；J-電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；B-電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)軸上的粘性摩擦系數(shù)。例2 電樞控制式直流侍服電機(jī)22例3：機(jī)械裝置 輸入-力 ：

7、 f(t)， 輸出-位移： x(t)微分方程:式中：K彈簧彈性系數(shù)； M物體的質(zhì)量， B粘性摩擦系數(shù)。 傳遞函數(shù)： 23 6、一階微分環(huán)節(jié) 運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)： G( s ) = Ts + 1頻率特性： G( j ) = j T + 1 247、二階微分環(huán)節(jié) 動(dòng)方程： 傳遞函數(shù)：頻率特性： 可以看出，二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和頻率特性是振蕩環(huán)節(jié)的倒數(shù)。258。延遲環(huán)節(jié)輸入ur(t)，輸出uc(t)= ur(t-)傳遞函數(shù)頻率特性 延遲環(huán)節(jié)表現(xiàn)為信號(hào)的滯后，它傳遞函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，頻率特性的模恒等于1。26小結(jié)（1）不同物理性質(zhì)的系統(tǒng)，可以有相同形式的傳 遞函數(shù)。 例如：前面介紹的振蕩環(huán)節(jié)中兩個(gè)例子

8、，一個(gè)是機(jī)械系統(tǒng)， 另一個(gè)是電氣系統(tǒng)，但傳遞函數(shù)的形式完全相同。 （2）同一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)選取不同的輸入量、輸出量 時(shí)，就可能得到不同形式的傳遞函數(shù)。 例如：電容：輸入電流，輸出電壓，則是積分環(huán)節(jié)。 反之，輸入電壓，輸出電流，則為微分環(huán)節(jié)。27本章（一）小結(jié)傳遞函數(shù)、頻率特性的定義典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和頻率特性一些重要對(duì)象的傳遞函數(shù)28A-4A1-4 在日常也有許多人參與系統(tǒng)的控制。圖A1-1是一個(gè)液位控制系統(tǒng)，其輸出管路是一直開(kāi)啟的，控制目標(biāo)是保持容器中的液位為恒值，液位由儀表中讀出。 (1) 說(shuō)明系統(tǒng)的工作原理，畫(huà)出其框圖，并指出系統(tǒng)的測(cè)量裝置與執(zhí)行裝置； (2) 配上適當(dāng)?shù)脑骷?，將系統(tǒng)改為自動(dòng)控制系統(tǒng)，并說(shuō)明其工作原理，畫(huà)出系統(tǒng)框圖，指出輸入量、輸出量、被測(cè)量和控制器。圖A 1-1 由人參與的液位控制系統(tǒng)29A-430A-4解 （1）首先，系統(tǒng)要求液位有一個(gè)設(shè)定的恒值，儀表測(cè)得液位的實(shí)際值，操作員將實(shí)際值與設(shè)定的恒值相比較，如果實(shí)際值比設(shè)定值大，操作員就減小閥門(mén)的開(kāi)度，從而使得液位下降，如果實(shí)際值比設(shè)定值小，操作員就增大閥門(mén)的開(kāi)度，從而使得液位