《經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》復(fù)習(xí)資料

1、經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)資料經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)期末復(fù)習(xí)綜合練習(xí)定義域：1函數(shù)的定義域是 ( A）ABCD2函數(shù)的定義域是（ D ）ABCD且3函數(shù)的定義域是（-1，0）（0,3 )4函數(shù)的定義域是.5函數(shù)的定義域是6函數(shù)的定義域是（0，3.7函數(shù)的定義域是 8函數(shù)的定義域是9函數(shù)的定義域是-5，210.函數(shù)的定義域是 11函數(shù)的定義域是_。函數(shù)的定義域就是指使得式子有意義的的取值范圍。一些常見的式子有意義的條件：1，分母不等于0；2，開平方：根號里面大于等于0，如果根號在分母下面，一定不要使分母是0了。3，對數(shù)里面必須大于0，例如：，的位置必須大于0，中，位置必須大于0，若，作分母，位置還不能取1連續(xù)：1函

2、數(shù)的連續(xù)區(qū)間是（ A ）AB CD2若函數(shù)在處極限存在，則在處（A ）若函數(shù)f(x)在A. 可能沒有定義 B. 連續(xù) C. 可導(dǎo) D. 不連續(xù)3函數(shù)在x = 0處連續(xù)，則k = ( B)A-2 B-1C1 D24函數(shù)在x = 0處連續(xù)，則k = (C)A-2 B-1C1 D2 5. 函數(shù)在x = 0處連續(xù)，則（ A ）A. 1 B. 0 C.2D.6若函數(shù)，在處連續(xù)，則( B )A B C D7函數(shù)在x = 0處連續(xù)，則k = ( B )A-2 B-1C1 D2 8已知，若f(x)在（，+）內(nèi)連續(xù)，則a=29已知，若在x=1處連續(xù)，則2.10函數(shù)的間斷點是11函數(shù)的間斷點是12. 函數(shù)的連續(xù)區(qū)

3、間是連續(xù)簡單地說就是圖像不斷開。3-9小題就是對上面一個式子求當(dāng)不等于那個數(shù)時的極限。（具體參看講義，求極限方法在后面解答題中。）找函數(shù)不連續(xù)的點，一般可以理解為找函數(shù)無意義的點，比如間斷點（就是不連續(xù)點）是分母為0的點和切線：1.在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點（1, 3）的曲線為（C）A B C D2在切線斜率為的積分曲線族中，通過點（3,5）點的曲線方程是（ A ）A. B.C. D.3在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點（1, 4）的曲線為（A ）Ay = x2 + 3 By = x2 + 4 Cy = 2x + 2 Dy = 4x4曲線在點（0, 1）處的切線斜率為（ A）A

4、 B C D5. 曲線在點(1, 2)處的切線方程為（ B ）A. B. C.D.6.曲線y = sinx +1在點(0, 1)處的切線方程為（A ）A. y = x +1 B. y = 2x +1 C. y = x -1D. y = 2x -17. 曲線y = sinx在點(0, 0)處的切線方程為（A ）A. y = x B. y = 2x C. y = xD. y = -x8.曲線在點（處的切線斜率是（ D ）(A) (B) (C) (D) 9.函數(shù)的駐點是 10函數(shù)的駐點是11曲線在點（4，2）處的切線方程是12.曲線在處的切線斜率是13曲線在處的切線斜率是14過曲線上的一點（0，1）

5、的切線方程為采用待定系數(shù)法，分2步，1，先求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，然后帶入的值求出函數(shù)在這一點的導(dǎo)數(shù)，求出來的值就是，2，把坐標點帶入到中，可求出。以5為例：5曲線在點(1, 2)處的切線方程為，帶入，得函數(shù)在這一點導(dǎo)數(shù)，也就是切線斜率，把(1, 2)帶入到中，得，所以，無窮小量：1設(shè)，當(dāng)（ A）時，f(x)為無窮小量Ax0 Bx1Cx-Dx+2當(dāng)時，下列變量為無窮小量的是（ D ）A B C D3已知，當(dāng)（A ）時，為無窮小量.A.B.C. D. 4當(dāng)時，變量（ D ）為無窮小量。A B C D5當(dāng)時，變量（ D ）是無窮小量。A B C D6已知，當(dāng)時，為無窮小量7已知，當(dāng)時，為無窮小量極限值是0的

6、就是無窮小量。這里注意運用，有，可以認為：，有。奇函數(shù)，偶函數(shù)，單調(diào)性：1.下列函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)減少的是（B）(A) (B) (C) (D) 2下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)減少的是（ D ）Asinx Be x Cx 2D3 x3下列函數(shù)在指導(dǎo)區(qū)間上單調(diào)增加的是 (B）A BCD4.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ A ）(A) (B) (C) (D) 5下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ D ）A BC. D6下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ C ）。A. B.C. D. 7下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是 ( C）A BC D8下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ B ）(A) (B) (C) (D) 9.下列函數(shù)中為奇函數(shù)是( C）AB

7、CD10設(shè)，則函數(shù)的圖形關(guān)于y軸 對稱11函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為（12如果函數(shù)對任意x1, x2，當(dāng)x1 x2時，有，則稱是單調(diào)減少的. 13函數(shù)y = x 2 + 1的單調(diào)增加區(qū)間為(0, +)14函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱用去替換表達式中的，如果表達式和原來一樣，這個函數(shù)就是偶函數(shù)，如果表達式和原來的只相差一個負號（可變成）這個函數(shù)就是奇函數(shù)，兩種情況都不是，就是非奇非偶函數(shù)，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對稱。例，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，因為，導(dǎo)數(shù)概念：1. 下列等式不成立的是（ D）A B C D2. 下列等式成立的是（ C ）A. B.C.D.3若函數(shù)，則= _0 _4已知，則=

8、 0 可以看成是求導(dǎo)的意思。積分概念、積分運算：1. 若是的一個原函數(shù)，則下列等式成立的是( B )ABC D2.若是可導(dǎo)函數(shù)，則下列等式成立的是（C）(A)(B) (C) (D) 3.（ B）A BC D4. 若= 2，則k =（ A ）A1 B-1 C0 D5若，則=（D ）.A.B. C.D. 6.（ B ）A BC D7. 若，則f (x) =（ C ）A B- C D-8下列定積分中積分值為0的是（ A ）A BCD 9下列定積分中積分值為0的是 ( B )A BC D10下列積分值為0的是（ C ）A BCD11設(shè)，則=（ C ）ABC D12. 若，則f (x) =（ B ）A-

9、 B C D -13. 下列函數(shù)中，（ C ）是的原函數(shù)A- BC D14若，則=（ D ）正確答案：=15下列定積分計算正確的是 ( D )ABCD16若函數(shù)在點處可導(dǎo)，則( B )是錯誤的A函數(shù)在點處有定義 B但C函數(shù)在點處連續(xù)D函數(shù)在點處可微17函數(shù)f (x) = sin2x的原函數(shù)是 _-cos2x + c (c是任意常數(shù))_18函數(shù)f (x) = -sin3x的原函數(shù)是cos3x + c (c是任意常數(shù)) .19_20. 210. 22_0_23 024. 若存在且連續(xù)，則2526若，則.27若，則_。28若，則=.29若，則30若，則312. 32計算積分2。33積分的定義：如果，

10、則，注意，位置。積分的運算按公式計算。方程組有解判定：1. 設(shè)線性方程組有無窮多解的充分必要條件是（ B ）A BCD2設(shè)線性方程組的增廣矩陣通過初等行變換化為，則此線性方程組的一般解中自由未知量的個數(shù)為（ A ）A1 B2 C3 D43.若元線性方程組滿足秩，則該線性方程組（ B ）(A) 有無窮多解 (B) 有唯一解(C) 有非0解 (D) 無解37設(shè)線性方程組有唯一解，則相應(yīng)的齊次方程組（ A ）A只有零解B有非零解C無解 D解不能確定4.若線性方程組的增廣矩陣為，則當(dāng)（A）時線性方程組無解(A) (B) (C) (D) 5.設(shè)線性方程組的增廣矩陣通過初等行變換化為，則此線性方程組的一般

11、解中自由未知量的個數(shù)為（A）(A) (B) (C) (D) 6若線性方程組的增廣矩陣為，則當(dāng)（ D）時線性方程組有無窮多解A1 B C2 D7若非齊次線性方程組Amn X = b的( C )，那么該方程組無解A秩(A) n B秩(A)mC秩(A）秩 () D秩(A）= 秩()8線性方程組只有零解，則（ B ）.A. 有唯一解 B. 可能無解 C. 有無窮多解D. 無解9設(shè)線性方程組AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，則該線性方程組（ B ）A有唯一解 B無解 C有非零解 D有無窮多解10. 當(dāng)條件（ D ）成立時，元線性方程組有解A. B.C. D. 11若線性方程組的增廣

12、矩陣為，則當(dāng)（ A ）時線性方程組無解A B0 C1 D212線性方程組解的情況是（ D ）A. 有無窮多解B. 只有0解C. 有唯一解D. 無解13線性方程組的解的情況是（ A ）。A. 無解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 有無窮多解14線性方程組解的情況是（ D ）A無解 B有無窮多解C只有零解D有惟一解15若r(A, b) = 4，r(A) = 3，則線性方程組AX = b無解16. 已知齊次線性方程組AX=O中A為35矩陣，且該方程組有非0解，則317.線性方程組有解的充分必要條件是秩秩 18.齊次線性方程組（是）只有零解的充分必要條件是19.若線性方程組有非零解，則-6 20

13、若線性方程組有非零解，則-121設(shè)齊次線性方程組，且秩(A) = r n，則其一般解中的自由未知量的個數(shù)等于22齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為則此方程組的一般解為 (其中是自由未知量).23若n元線性方程組滿足，則該線性方程組有非零解。24n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是25線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣后為，則當(dāng)時，方程組有無窮多解.26齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為則此方程組的一般解為，是自由未知量方程組有解的條件：線性方程組有解的條件是，他的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩即秩（A）=秩（），也可以寫成注意書上的定理，容易拿來考考填空：若線性方程組滿足秩（A）=秩（）=，則當(dāng)時，線性方程組

14、有解且只有惟一解；當(dāng)時，線性方程組有無窮多解。通俗說法線性方程組有唯一解的條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩等于未知量個數(shù)，（具體參看講義）矩陣相乘條件：矩陣的逆，矩陣的秩，對稱陣，轉(zhuǎn)置：1設(shè)A為矩陣，B為矩陣，則下列運算中（ A ）可以進行.AAB BABT CA+B DBAT2.設(shè)是矩陣，是矩陣，且有意義，則是（ A ）矩陣(A)(B) (C)(D) 3設(shè)為矩陣，為矩陣，若乘積矩陣有意義，則C為（ C ）矩陣。A. B.C. D.4設(shè)A為34矩陣，B為52矩陣，且乘積矩陣ACTBT有意義，則C為（ B ）矩陣。A. 42 B. 24 C. 35 D. 535.設(shè)，則（D）(A) (B) (

15、C) (D) 6.設(shè)，則（B）(A) (B) (C) (D) 7設(shè)，則r(A) =（ C ）A4 B3 C2 D18當(dāng)時，矩陣可逆.時，矩陣A=2a 可逆9設(shè)，且，則10設(shè)，當(dāng)0時，是對稱矩陣11. 設(shè)矩陣，I為單位矩陣，12.若方陣滿足，則是對稱矩陣13設(shè)矩陣，I為單位矩陣，則14若矩陣A =，B =，則ATB=15設(shè)矩陣可逆，B是A的逆矩陣，則當(dāng)=。16.設(shè)，當(dāng)1時，是對稱矩陣17設(shè)為階可逆矩陣，則(A)=18矩陣的秩是 2 .19設(shè)，則_1_?？梢猿说臈l件：第一個矩陣的列數(shù)和第二個矩陣的行數(shù)必須相同，就是尾首必須相同，可以乘必須是矩陣腳標的尾等于矩陣腳標的首相等，乘積為矩陣矩陣轉(zhuǎn)置矩陣記

16、為,轉(zhuǎn)置就是把矩陣的行列元素對調(diào)，也可以看成沿主對角線翻轉(zhuǎn)對稱矩陣的元素依主對角線對稱：設(shè)，當(dāng)0時，是對稱矩陣如果,是單位陣，稱為的逆。秩就是通過初等變換后，剩下的不全是0行數(shù)！表示為r(A)初等函數(shù)基本認識：1若函數(shù)，則( A )A-2 B-1 C-1.5 D1.52設(shè)，則=（ A）A B C D2設(shè)，則（ C ）A B C D3若函數(shù)，則_4.若函數(shù)，則5.若函數(shù)，則 6若函數(shù)，則7若函數(shù)，則8若函數(shù)，則9下列各函數(shù)對中，（ D）中的兩個函數(shù)相等A， B，+ 1C， D，10下列結(jié)論中，（ C ）是正確的A基本初等函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)B偶函數(shù)的圖形關(guān)于坐標原點對稱C奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標原點對稱

17、D周期函數(shù)都是有界函數(shù)11下列函數(shù)中，（ B）不是基本初等函數(shù)AB C D12下列結(jié)論中正確的是（ C ）(A) 周期函數(shù)都是有界函數(shù)(B) 基本初等函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)(C) 奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標原點對稱(D) 偶函數(shù)的圖形關(guān)于坐標原點對稱無窮積分收斂:1.下列無窮積分中收斂的是（B）(A) (B)(C)(D) 2下列無窮積分中收斂的是（ C ）A BCD3下列無窮積分收斂的是 ( B )ABC D4下列無窮積分中收斂的是（ C ）。A. B. C. D. 5若，則a =（ C ）.A. 1 B. C. 2 D. -1 6計算無窮限積分（ C ）A0 B C D7.（ C ）A0 B C D8無

18、窮積分是 19= 10 1其他題目：選擇題1若，則（ D ）ABCD2.若，則（ C ）A0B1C 4D-4 3若函數(shù)，則=（ B ）A B-C D-4下列結(jié)論正確的是（ C ）(A) 若，則必是的極值點(B) 使不存在的點，一定是的極值點(C)是的極值點，且存在，則必有(D)是的極值點，則必是的駐點5.下列結(jié)論中正確的是（ D ）(A) 使不存在的點x0，一定是f (x)的極值點(B) 若(x0) = 0，則x0必是f (x)的極值點(C) x0是f (x)的極值點，則x0必是f (x)的駐點(D) x0是f (x)的極值點，且(x0)存在，則必有(x0) = 06下列結(jié)論正確的有（ A ）

19、Ax0是f (x)的極值點，且(x0)存在，則必有(x0) = 0Bx0是f (x)的極值點，則x0必是f (x)的駐點C若(x0) = 0，則x0必是f (x)的極值點D使不存在的點x0，一定是f (x)的極值點7. 設(shè)需求量q對價格p的函數(shù)為，則需求彈性為Ep=（ B ）A BC D8設(shè)某商品的需求函數(shù)為，則當(dāng)時，需求彈性為（ B ）AB3C3D9設(shè)(q)=100-4q，若銷售量由10單位減少到5單位，則收入R的改變量是（B）A-550 B-350 C350 D以上都不對10函數(shù)在x = 2點( B )A有定義B有極限C沒有極限 D既無定義又無極限11下列極限存在的是（ A ）A BCD1

20、2下列說法正確的是（C ）.A. 零矩陣一定是方陣 B. 可轉(zhuǎn)置的矩陣一定是方陣C. 數(shù)量矩陣一定是方陣D. 若與AT可進行乘法運算，則一定是方陣13設(shè)為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（ B ）A. B. C. D. 14設(shè)均為n階可逆矩陣，則下列等式成立的是（ C ）A.B.C. D.15設(shè)均為n階方陣，在下列情況下能推出A是單位矩陣的是（ D ）AB CD16設(shè)是可逆矩陣，且，則（C ）.A.B.C. D. 17設(shè)是可逆矩陣，且，則（C）.A.B.C. D. 18設(shè)，是單位矩陣，則（ A ）A BC D19. 設(shè)為同階方陣，則下列命題正確的是（ B ）.A.若，則必有或B.若，則必有,C

21、.若秩,秩，則秩D. 20以下結(jié)論或等式正確的是（ C ）A若均為零矩陣，則有B若，且，則C對角矩陣是對稱矩陣D若，則21下列微分方程中，（ D）是線性微分方程ABCD22微分方程的階是（ C ）.A. 4 B. 3C. 2 D. 1填空題1已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(q) = 80 + 2q，則當(dāng)產(chǎn)量q = 50時，該產(chǎn)品的平均成本為_3.6_2需求量q對價格的函數(shù)為，則需求彈性為_ _3設(shè)邊際收入函數(shù)為(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，則平均收入函數(shù)為_4.需求量q對價格的函數(shù)為，則需求彈性為5已知某商品的需求函數(shù)為q = 180 4p，其中p為該商品的價格，則該商品的收

22、入函數(shù)R(q) = 45q 0.25q 26已知需求函數(shù)，其中為價格，則需求彈性7已知需求函數(shù)為，則收入函數(shù)=8微分方程的通解是_9.微分方程的通解是10.是 3 階微分方程.11.是2 階微分方程.12微分方程的通解是13微分方程的階數(shù)為4 。14 0 15設(shè)均為階矩陣，則等式成立的充分必要條件是16設(shè)為兩個已知矩陣，且可逆，則方程的解17. 設(shè)均為n階矩陣，其中可逆，則矩陣方程的解18設(shè)是2階矩陣，且19.設(shè)齊次線性方程組A35XO，且，則方程組一般解中自由未知量的個數(shù)為_3_。極限與微分計算題（計算題若與以下題目“比較像”，仿照樣題改編）極限計算題：1解：2解：=以上解題分析：關(guān)于求極限

23、的一般方法比較分子和分母最高次項系數(shù)，1，分子最高次項指數(shù)小于分母最高次項指數(shù)，極限為02，分子最高次項指數(shù)等于分母最高次項指數(shù)，極限為系數(shù)比3，分子最高次項指數(shù)大于分母最高次項指數(shù)，極限不存在解此類題只看最高次項，直接寫答案。3解= =4計算極限。解：5計算極限。解：此類題分析：求函數(shù)在某一點的極限：1，帶入分母不為0，就直接帶入求值。2，帶入分母為0，先分解因式，約掉為0分母，然后帶入求值。6 07求極限 18解：=22 = 49解此類題分析，或，公式應(yīng)理解為，或，括號里面填任何變量都可以，但必須是相同的?；晒降男问?，就可以做了。求導(dǎo)數(shù)，求微分：1設(shè)，求。解：2已知，求解：3已知，求解

24、：4已知，求；解：5已知，求解：6設(shè)，求解：7.已知，求解：由導(dǎo)數(shù)運算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得8設(shè)y，求解因為y所以9設(shè)，求解：由導(dǎo)數(shù)運算法則和導(dǎo)數(shù)基本公式得10設(shè)，求。解：由導(dǎo)數(shù)四則運算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得11.設(shè)，求解：由微分四則運算法則和微分基本公式得12設(shè)，求解因為所以=求導(dǎo)用公式：（數(shù)=0，。運算法則：加法可分（），常數(shù)可透（，乘積形式：，除法形式：考題主要是復(fù)合函數(shù)，現(xiàn)舉例，1，主體是由構(gòu)成，把看成括號里面內(nèi)容，由于，所以，對主題按基本函數(shù)求導(dǎo)，再乘以括號內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這個函數(shù)可以看成是，復(fù)合而成。2，主體是，由于，所以，3，主體是，由，所以，又可以依求出，因為，所以，所以，繼

25、續(xù)求下去做復(fù)合函數(shù)的題，一定要對基本函數(shù)導(dǎo)數(shù)熟悉，特別是那5個基本函數(shù)，第一步就要認清這個主體是由哪個基本函數(shù)構(gòu)成，對主題按基本函數(shù)求導(dǎo)，再乘以括號內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。1設(shè)，求.解：因為= 所以= = 0 2已知，求解：，所以3已知，求；解=此類題目是函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)，就是先求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，然后再帶入計算，第一步，求出導(dǎo)數(shù)，第二步帶入求值。括號里面是的值。1設(shè)，求解：所以2已知y =，求dy解因為=所以3設(shè)y，求dy解因為y所以 dy = ()dx4已知，求dy解：dy=5設(shè)y，求dy解：6設(shè)，求解：7設(shè)，求解：由導(dǎo)數(shù)運算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得8已知，求解：因為所以=9設(shè), 求.解：因為所以10已知

26、y =，求dy解因為=所以11設(shè)，求解：由微分運算法則和微分基本公式得12已知，求。解：因為所以13設(shè)，求解：14設(shè)，求解：因為所以15設(shè)，求解：因為所以16設(shè)，求dy。解：17設(shè)，求解：因為所以18設(shè)求解：=dy=19.設(shè)，求解：由導(dǎo)數(shù)運算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得此類題目：求微分：由導(dǎo)數(shù)的意義，求微分就是求，所以，我們主需要先求出，然后再寫成這種形式就可以了，例如：，求解：因為，所以隱函數(shù)求導(dǎo)：1由方程確定是的隱函數(shù)，求解在方程等號兩邊對x求導(dǎo)，得故2由方程確定是的隱函數(shù)，求解在方程等號兩邊對x求導(dǎo)，得故3設(shè)函數(shù)由方程確定，求解方程兩邊對x求導(dǎo)，得當(dāng)時，所以，這是隱函數(shù)求導(dǎo)，是因為解不出，具

27、體步驟，1，方程兩邊對求導(dǎo)，把里面的當(dāng)成操作求導(dǎo)，但若把當(dāng)成求導(dǎo)后，要對這個式子乘以，有但不求導(dǎo)的地方不乘，2，解出。例如：，求，解：所以，解出得四、積分計算題積分是求導(dǎo)的逆運算.公式：加法可分（分開求），常數(shù)可透原則（常數(shù)直接拿出來）。例：求積分，解：=考題主要考湊微分和分部積分以下是湊微分：湊微分遵循：若，則，這里，是指的導(dǎo)數(shù)，只需滿足括號內(nèi)相同即可。例：求積分，解：=1，利用基本函數(shù)，公式為，要把公式中的看成。2，中的可理解為對求導(dǎo)，。3，湊，是反過來運用，湊成有用的，然后用，求出積分。1.解：原式2解=3.計算解：由不定積分的湊微分法得4.解：5. 解：=6.解=7計算不定積分解：由換

28、元積分法得由換元積分法得以下是分部積分分部積分公式：，公式特點：是含有的兩個因式的乘積，若見是乘積的形式，可考慮套用公式。分部積分的重點在于確定哪個是，哪個是，確定原則是找出來的求導(dǎo)后與的乘積可消，使得簡單，可積。（可參照例題作）1解= xcos(1-x) -= xcos(1-x) + sin(1-x) + c2解：=3計算不定積分.解：由分部積分法得4計算不定積分.解：以下是定積分：定積分就是在前面學(xué)的不定積分上加上限和下限，具體算法是先算出不定積分，然后上限（帶入）減下限（帶入）例如：不定積分=定積分=2定積分不要，這里2是上限，0是下限。第一步，求出不定積分，劃一根豎線，寫上上下限，第二

29、步，帶入求值。注：以下例題不分湊微分和分部積分，具體參照以下考題作，有需要請看前面湊微分和分部積分方法。1解= =2解：=(25-ln26) 3解法一=1 解法二令，則=4解=1+ ln5. 解：6. 解：7 .8計算積分解：=- =9.計算解：由定積分的分部積分法得（與此題一樣，=2）10. 計算定積分解：由分部積分法得11.解=12計算積分解：13解：=14求解：15解：16計算不定積分。解由分部積分法得解=12 17計算=解微分方程：1求微分方程的通解解：，由公式得，c為常數(shù)。2求微分方程滿足初始條件的特解解，用公式由，得特解為3求微分方程的通解解將原方程分離變量兩端積分得通解4求微分方

30、程滿足初始條件的特解解將方程分離變量：等式兩端積分得將初始條件代入，得，c =所以，特解為：代數(shù)計算：基礎(chǔ)知識：主對角線，單位陣，轉(zhuǎn)置，矩陣加法，矩陣乘法。主對角線A =，,第一行第一列那個數(shù)開始的一條斜線，稱主對角線。單位陣I，除主對角線外其余全是0，隨題目中的矩陣行列不同而不同，與題目中矩陣匹配，如A =，I=,如A =，I=。轉(zhuǎn)置：矩陣轉(zhuǎn)置矩陣記為,轉(zhuǎn)置就是把矩陣的行列元素對調(diào)，也可以看成沿主對角線翻轉(zhuǎn)！A =，則,則矩陣加法：對應(yīng)位置的數(shù)相加。減法是對應(yīng)位置的數(shù)相減。+=數(shù)乘：A =，3 A =，等于矩陣每個位置的數(shù)都乘以3矩陣乘法：矩陣乘法參看以下法則：注意字母對應(yīng)舉例：矩陣A =，

31、B =，AB =第一行乘以第一列，第一行乘以第二列，第二行乘以第一列，第二行乘以第二列，求逆：求逆原理看講義，方法是，先寫成(AI )形式，然后通過初等變換化成(I ),得到的就是逆。,矩陣的初等變換，將矩陣的任意兩行互換，把某一行乘以一個數(shù)（指對這一行的每個元素都乘以這個數(shù)），把某一行乘以一個數(shù)，然后加到另外一行。舉例：設(shè)矩陣A =，求逆矩陣分析：第一步：把A和單位陣I寫在一起,AI =第二步：初等變換，（由于第一行第一個數(shù)是0，要化成前面是單位陣，這里就不能是0，于是交換1,2行，隨便兩行都可以交換，因為第二行第一個數(shù)是1，簡單，所以就1,2行互換）第一行乘以-2加到第三行，目的是化0，除

32、主對角以外，其他全部化成0第二行乘以3加到第三行，現(xiàn)在開始化上面，第二行乘以-1加到第一行第三行直接加到第一行；加到第二行把對角線上的都化成1，第三行乘以，這一步是把前面化成單位陣，這個就是我們要的，前半部分是I，后半部分就是所以A-1=考試時不用這么細，以下1題就是簡寫。1設(shè)矩陣A =，求逆矩陣解因為(AI )=所以A-1=2設(shè)矩陣A =，B =，計算(AB)-1解因為AB =(ABI ) =所以 (AB)-1= 3設(shè)矩陣A =，B =，計算(BA)-1解因為BA=(BAI )=所以 (BA)-1=4設(shè)矩陣A =，B =，計算(ABT)-1解：所以5. 設(shè)矩陣A =，B =，計算(A-I)-

33、1B解：因為所以，且6.設(shè)矩陣，是3階單位矩陣，求解：由矩陣減法運算得利用初等行變換得即7設(shè)矩陣，求。解：所以8設(shè)矩陣A =，計算解：因為且 (I +AI ) 所以=9設(shè)矩陣，求解：因為即 所以 10設(shè)矩陣，求解因為= =所以=11設(shè)矩陣A =，求解因為 (AI )= 所以A-1 =12解：13.設(shè)矩陣，求解：利用初等行變換得即 由矩陣乘法得14設(shè)矩陣，求。解因為所以由公式可得15設(shè)矩陣，計算。解：因為且所以16.設(shè)矩陣，求. 解因為= =所以=解矩陣方程：原理，對兩邊左乘（就是靠在左邊），得,因為,得，所以，注意任何矩陣乘以單位陣保持不變。注意，是單位矩陣，就如數(shù)字的1，任何矩陣乘以單位陣不

34、變。1解矩陣方程解因為即所以，X =2設(shè)矩陣，且有，求矩陣解：所以,又所以3. 已知，其中，求解：利用初等行變換得即 由矩陣乘法和轉(zhuǎn)置運算得4設(shè)矩陣，求解矩陣方程解：因為即所以，X =5已知，其中，求解：利用初等行變換得由此得解線性方程組：就是把方程組的系數(shù)寫成對應(yīng)的矩陣，通過初等變換，求出方程組的解。的系數(shù)矩陣是，記為A，僅僅是系數(shù)構(gòu)成的矩陣。增廣矩陣是，記為，加了后面一列。解的步驟：寫出增廣矩陣，系數(shù)矩陣，方程組后面全是0（齊次型）寫系數(shù)矩陣，后面不是全部是0（非齊次型）就寫增廣矩陣。進行初等變換，要求主對角全是1或0，并且主對角是1的那一列其余元素全是0，根據(jù)矩陣結(jié)果寫出解組。（注意表明

35、自由未知量）以下是齊次型：1求齊次線性方程組的一般解。解：將系數(shù)矩陣化為行簡化階梯陣所以，方程組的一般解為（其中x3，x4是自由未知量）2. 設(shè)齊次線性方程組，為何值時，方程組有非零解？在有非零解時求其一般解解：因為所以，當(dāng)時方程組有非零解一般解為（其中為自由未知量）3設(shè)齊次線性方程組問取何值時方程組有非零解，并求一般解.解因為系數(shù)矩陣A =所以當(dāng) = 5時，方程組有非零解. 且一般解為（其中是自由未知量）這兩個題目都要對有解的情況進行判定：有非0解判定是最后一行最后一個數(shù)（也就是右下角那個位置）不能留下一個孤單的數(shù)，要么就整行全部為0。4求線性方程組的一般解.解因為系數(shù)矩陣A =，得，設(shè)，一

36、般解為：，,5求解線性方程組的一般解解：將方程組的系數(shù)矩陣化為階梯形一般解為(是自由未知量) 6. 求線性方程組的一般解一般解為：，其中，是自由未知量7求線性方程組的一般解解：因為系數(shù)矩陣所以一般解為（其中，是自由未知量）以下是非齊次型，注意寫矩陣要包括后面的數(shù)1求下列線性方程組的一般解：解因為增廣矩陣所以一般解為（其中是自由未知量）類似題（設(shè)齊次線性方程組，問取何值時方程組有非零解，并求一般解。解：將方程組的系數(shù)矩陣化為階梯形所以，當(dāng)方程組有非零解，且方程組的一般解為，其中為自由未知量。2. 求下列線性方程組的一般解：解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形故方程組的一般解為：，是自由未知量3.求線

37、性方程組的一般解解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形此時齊次方程組化為得方程組的一般解為其中是自由未知量4求齊次線性方程組的一般解。解：因為系數(shù)矩陣所以一般解為，（其中，是自由未知量）。5求線性方程組的一般解。解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形由此得到方程組的一般解，（其中是自由未知量）。6設(shè)線性方程組討論當(dāng)a，b為何值時，方程組無解，有唯一解，有無窮多解.解因為所以當(dāng)且時，方程組無解；當(dāng)時，方程組有唯一解；當(dāng)且時，方程組有無窮多解. 7.求當(dāng)取何值時，線性方程組有解，并求出一般解解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形當(dāng)時，方程組有解，且方程組的一般解為其中為自由未知量有解判定是最后一行最后一個數(shù)（也就是

38、右下角那個位置）不能留下一個孤單的數(shù)，要么就整行全部為08求當(dāng)取何值時，線性方程組有解，在有解的情況下求方程組的一般解解將方程組的增廣矩陣化為階梯形所以，當(dāng)時，方程組有解，且有無窮多解，一般解為：其中是自由未知量9當(dāng)取何值時，線性方程組有解？并求一般解解因為增廣矩陣所以，當(dāng)=0時，線性方程組有無窮多解，且一般解為：是自由未知量10：求當(dāng)取何值時線性方程組有解，在有解的情況下求方程組的一般解解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形矩陣由此可知當(dāng)時，方程組有解此時得方程組的一般解為其中是自由未知量矩陣求秩秩就是通過初等變換后，剩下的不全是0行數(shù)！表示為r(A)例：矩陣的秩是 2 .,2行不是0，秩是21設(shè)

39、矩陣，計算解：因為= =且=所以=2 六、應(yīng)用題1生產(chǎn)某種產(chǎn)品產(chǎn)量為（單位：百臺）時總成本函數(shù)為（單位：萬元），銷售收入函數(shù)為（單位：萬元），求產(chǎn)量為多少時利潤最大？最大利潤是多少？解：L(q)=R(q)-C(q)=令L(q)=5-q=0 所以q=5產(chǎn)量為5百萬時利潤最大L(q)= (萬元)最大利潤為萬元2投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36(萬元)，且邊際成本為=2x + 40(萬元/百臺). 試求產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時，可使平均成本達到最低.解當(dāng)產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時，總成本的增量為= 100（萬元）又=令，解得.x = 6是惟一的駐點，而該問題確實存在使平均成本達到

40、最小的值. 所以，產(chǎn)量為6百臺時可使平均成本達到最小.3已知某產(chǎn)品的邊際成本(x)=2（元/件），固定成本為0，邊際收益(x)=12-0.02x，問產(chǎn)量為多少時利潤最大？在最大利潤產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)50件，利潤將會發(fā)生什么變化？解因為邊際利潤=12-0.02x 2 = 10-0.02x令= 0，得x = 500 x = 500是惟一駐點，而該問題確實存在最大值. 所以，當(dāng)產(chǎn)量為500件時，利潤最大.當(dāng)產(chǎn)量由500件增加至550件時，利潤改變量為=500 - 525 = - 25 （元）即利潤將減少25元. 4設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為200（百元），每生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品，成本增加5（百元），

41、且已知需求函數(shù)（其中為價格，為產(chǎn)量），這種產(chǎn)品在市場上是暢銷的.（1）試分別列出該產(chǎn)品的總成本函數(shù)和總收入函數(shù)的表達式；（2）求使該產(chǎn)品利潤最大的產(chǎn)量及求最大利潤. 解（1）總成本函數(shù)和總收入函數(shù)分別為：（2）利潤函數(shù)，且令得，該問題確實存在最大值，又，當(dāng)時，。所以，當(dāng)產(chǎn)量為單位時，利潤最大，最大利潤為。5. 設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為50000元，每生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品，成本增加100元又已知需求函數(shù)，其中為價格，為產(chǎn)量，這種產(chǎn)品在市場上是暢銷的，試求：（1）價格為多少時利潤最大？（2）最大利潤是多少？解（1）C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p) =2

42、50000-400pR(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 2利潤函數(shù)L(p) = R(p) - C(p) =2400p-4p 2 -250000，且令=2400 8p = 0得p =300，該問題確實存在最大值. 所以，當(dāng)價格為p =300元時，利潤最大. （2）最大利潤（元）6. 某產(chǎn)品的邊際成本為（萬元/百臺），固定成本為萬元，求：（1）平均成本最低時的產(chǎn)量；（2）最低平均成本。解：因為總成本函數(shù)為=當(dāng)= 0時，C(0) = 18，得c =18，即C()=又平均成本函數(shù)為令，解得= 3 (百臺) 該問題確實存在使平均成本最低的產(chǎn)量. 所以當(dāng)x = 3時，平均成本最

43、低. 最底平均成本為(萬元/百臺) 7生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為(萬元/百臺)，邊際收入為（萬元/百臺），其中x為產(chǎn)量，若固定成本為10萬元，問（1）產(chǎn)量為多少時，利潤最大？（2）從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤有什么變化？解（1）邊際利潤令，得（百臺）又是的唯一駐點，根據(jù)問題的實際意義可知存在最大值，故是的最大值點，即當(dāng)產(chǎn)量為10（百臺）時，利潤最大。（2）利潤的變化即從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤將減少20萬元。8設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為(萬元)，其中x為產(chǎn)量，單位：百噸銷售x百噸時的邊際收入為（萬元/百噸），求：(1) 利潤最大時的產(chǎn)量；(2) 在利潤最大時的產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)1

44、百噸，利潤會發(fā)生什么變化？解：(1) 因為邊際成本為，邊際利潤= 14 2x令，得x = 7 由該題實際意義可知，x = 7為利潤函數(shù)L(x)的極大值點，也是最大值點. 因此，當(dāng)產(chǎn)量為7百噸時利潤最大. (2) 當(dāng)產(chǎn)量由7百噸增加至8百噸時，利潤改變量為=112 64 98 + 49 = - 1 （萬元）即當(dāng)產(chǎn)量由7百噸增加至8百噸時，利潤將減少1萬元.9.設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為(萬元)，其中為產(chǎn)量，單位：百噸銷售百噸時的邊際收入為（萬元/百噸），求：利潤最大時的產(chǎn)量；在利潤最大時的產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)百噸，利潤會發(fā)生什么變化？解：因為邊際成本為，邊際利潤令，得可以驗證為利潤函數(shù)的最大值點.

45、 因此，當(dāng)產(chǎn)量為百噸時利潤最大. 當(dāng)產(chǎn)量由百噸增加至百噸時，利潤改變量為（萬元）即利潤將減少1萬元. 10.設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品個單位時的成本函數(shù)為：（萬元）,求：當(dāng)時的總成本和平均成本；當(dāng)產(chǎn)量為多少時，平均成本最小？解：因為總成本、平均成本和邊際成本分別為：，所以，令，得（舍去），可以驗證是的最小值點，所以當(dāng)時，平均成本最小11設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品個單位時的成本函數(shù)為：（萬元）,求：（1）當(dāng)時的總成本、平均成本和邊際成本；（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少時，平均成本最?。拷猓?）因為總成本、平均成本和邊際成本分別為：，所以，（2）令，得（舍去）因為是其在定義域內(nèi)唯一駐點，且該問題確實存在最小值，所以當(dāng)20時，平均成本最小. 12某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品q件時的總成本函數(shù)為C(q) = 20+4q+0.01q2（元），單位銷售價格為p = 14-0.01q（元/件），問產(chǎn)量為多少時可使利潤達到最大？最大利潤是多少.解由已知利潤函數(shù)則，令，解出唯一駐點.因為利潤函數(shù)存在著最大值，所以當(dāng)產(chǎn)量為250件時可使利潤達到最大，且最大利潤為（元）13某廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品件的成本函數(shù)為（元）.為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應(yīng)為多少？此時，每件產(chǎn)品平均成本為多少？解因為=（）=令=0，即=0，得=140，= -140（舍去）.=140是在其定義域內(nèi)的唯一駐點，且該問題確實存在最小值. 所以=140是