數(shù)學(xué)第九章課件

1、數(shù) 學(xué)（第3冊(cè)）第九章 平 面 向 量向量的概念第一節(jié)向量的線性運(yùn)算第二節(jié)向量的坐標(biāo)表示第三節(jié)向量的數(shù)量積第四節(jié)向量的應(yīng)用第五節(jié)向量的概念第 一節(jié)一、 向量的概念如圖9-1所示，當(dāng)人用力推一個(gè)箱子的時(shí)候，根據(jù)初中所學(xué)的物理知識(shí)我們知道，箱子在水平方向上受到的推力及地面給箱子的摩擦力，這兩個(gè)力不但有數(shù)值的大小，而且還有方向.圖 9-1一、 向量的概念在生活中，還有哪些量是數(shù)量？哪些量是向量呢？ 想一想一、 向量的概念在現(xiàn)實(shí)生活中，存在兩種類型的量.一種只有數(shù)值的大小而沒有方向，它們可以用實(shí)數(shù)表示，如質(zhì)量、時(shí)間、體積、溫度等；而另外一種量不僅有數(shù)值的大小，而且還有方向，如力、速度、位移等.為了區(qū)分

2、這兩種量，我們把只有數(shù)值大小的量叫作數(shù)量（或標(biāo)量），把既有大小又有方向的量叫作向量（或矢量）.一、 向量的概念平面上帶有指向的線段（有向線段）叫作平面向量，線段的指向就是平面向量的方向，線段的長(zhǎng)度表示平面向量的大小.有向線段的起點(diǎn)叫作平面向量的起點(diǎn)，有向線段的終點(diǎn)叫作平面向量的終點(diǎn).如圖9-2所示，以點(diǎn)A為起點(diǎn)，點(diǎn)B為終點(diǎn)的向量記作AB,也可以使用小寫黑體英文字母表示，記作a，手寫時(shí)為了區(qū)分應(yīng)在字母上加箭頭，如 .向量的長(zhǎng)度叫作向量的模，向量a，AB的模依次記作a，AB.向量的模是一個(gè)非負(fù)數(shù).圖 9-2一、 向量的概念當(dāng)向量的終點(diǎn)和起點(diǎn)重合時(shí)，向量便成為一個(gè)點(diǎn)，我們稱它為零向量，記作0.零向量

3、的模等于0，即0=0.零向量的方向是任意的.規(guī)定：所有的零向量都相等.模為1的向量叫作單位向量.如圖9-3（a）所示，如果兩個(gè)向量的模相等，方向也相同，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)向量相等.向量a與b相等，記作a=b.如圖9-3（b）所示，如果兩個(gè)向量的模相等，方向相反，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)向量互為相反向量，a的相反向量記作-a.規(guī)定：零向量的相反向量仍為零向量.一、 向量的概念圖 9-3一、 向量的概念方向相同或相反的兩個(gè)非零向量叫作互相平行的向量,向量a與b平行記作ab.規(guī)定：零向量與任何一個(gè)向量都平行.由于任意一組互相平行的向量都可以平移到同一條直線上，因此互相平行的向量又叫作共線向量.一、 向量的

4、概念【例1】圖 9-4一、 向量的概念一、 向量的概念學(xué)習(xí)提示兩個(gè)向量是否相等與它們的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只由它們的模和方向決定.一 向量的概念【例2】圖 9-5一、 向量的概念解 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得向量的線性運(yùn)算第 二節(jié)在上一節(jié)中，我們學(xué)習(xí)了向量的概念.現(xiàn)在我們考慮向量之間是否能像數(shù)與式那樣進(jìn)行運(yùn)算呢？如果可以進(jìn)行某些運(yùn)算，那么這些運(yùn)算又遵循什么運(yùn)算法則呢？在這節(jié)內(nèi)容中，我們將學(xué)習(xí)這方面的知識(shí). 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)A位移到點(diǎn)B，又由點(diǎn)B位移到點(diǎn)C，那么一定存在一個(gè)從點(diǎn)A到點(diǎn)C的位移與兩次連續(xù)位移的結(jié)果相同，如圖9-8所示.這時(shí)，位移AC叫作位移AB與位移BC的和，記作AC=AB+BC.圖 9-8一、

5、平面向量的加法從位移求和，我們可以引出下述向量的加法法則：一般地，設(shè)向量a與向量b不共線，在平面上任取一點(diǎn)A，首尾相接地作AB=a,BC=b，如圖9-9所示，則向量AC叫作向量AB與向量BC的和，記作a+b，即 a+b=AB+BC=AC. (9-1)圖 9-9一、 平面向量的加法向量a+b與向量b+a相等嗎？自己動(dòng)手畫圖說(shuō)明一下. 想一想一、 平面向量的加法求向量的和的運(yùn)算叫作向量的加法.上述求向量和的方法叫作向量加法的三角形法則.當(dāng)向量a與向量b共線時(shí)，首尾相接地作AB=a,BC=b，同樣可以得到a+b=AC.如圖9-10（a）所示，表示向量a與向量b方向相同時(shí)的情形；如圖9-10（b）所示

6、，表示向量a與向量b方向相反時(shí)的情形.圖 9-10一、 平面向量的加法在圖9-9中，如果仍以A為起點(diǎn)，作向量AD=b，如圖9-11所示.則由AD=BC可知，四邊形ABCD為平行四邊形.再根據(jù)三角形法則得圖 9-11一、 平面向量的加法一、 平面向量的加法【例1】圖 9-12一、 平面向量的加法圖 9-13一、 平面向量的加法一、 平面向量的加法課堂練習(xí)二、 平面向量的減法與數(shù)的運(yùn)算類似，可以將向量a與向量b的負(fù)向量的和定義為向量a與向量b的差，即ab=a+(b).根據(jù)向量加法的三角形法則，向量a與向量b的差也可以這樣去求：在平面上任選一點(diǎn)A，作向量AB=a,AC=b，則向量CB就是所求的差ab

7、，如圖9-14所示.圖 9-14二、 平面向量的減法當(dāng)向量a和向量b共線時(shí)，如何畫圖作出a-b？ 想一想二、 平面向量的減法由圖9-14可知，起點(diǎn)相同的兩個(gè)向量a,b，它們的差ab仍然是一個(gè)向量，叫作向量a與b的差向量，其起點(diǎn)是減向量b的終點(diǎn)，終點(diǎn)是被減向量a的終點(diǎn)，即 (9-2)二、 平面向量的減法怎樣用平行四邊形法則求向量a與b的差？ 想一想二、 平面向量的減法【例2】圖 9-15二、 平面向量的減法【例3】圖 9-15二、 平面向量的減法課堂練習(xí)三、平面向量的數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)與向量a的一個(gè)積是一個(gè)向量，叫作數(shù)乘向量，記作a，它的模為a= a.（9-3）一般地， 有（1）0a=0,0=0；（2

8、）當(dāng)a0時(shí)，若0，則a的方向與a的方向相同，若0，則a的方向與a的方向相反.實(shí)數(shù)與向量的乘法運(yùn)算叫作向量的數(shù)乘運(yùn)算.三、平面向量的數(shù)乘運(yùn)算和實(shí)數(shù)之間相乘一樣，對(duì)于任意的向量a,b及實(shí)數(shù),，向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足下列運(yùn)算律：（1）()a=(a)=(a)；（2）(+)a=a+a；（3）(a+b)=a+b.向量的加法、減法以及數(shù)乘向量運(yùn)算都叫作向量的線性運(yùn)算.三、平面向量的數(shù)乘運(yùn)算在第一節(jié)中，我們知道了向量平行的概念，因此結(jié)合向量平行與數(shù)乘向量的含義，我們可以得到如下的結(jié)論：設(shè)a,b為兩個(gè)非零向量，如果存在非零實(shí)數(shù)，使得b=a，那么ab；反之，如果ab，那么一定存在一個(gè)非零實(shí)數(shù)，使得b=a.一般地，a+

9、b（,均為實(shí)數(shù)）叫作a,b的一個(gè)線性組合.如果l=a+b，則稱l可以用a,b線性表示.三、平面向量的數(shù)乘運(yùn)算【例4】三、平面向量的數(shù)乘運(yùn)算【例5】三、平面向量的數(shù)乘運(yùn)算【例6】三、平面向量的數(shù)乘運(yùn)算對(duì)于非零向量a,b,|a+b|和|a|+|b|一定相等嗎？為什么？ 想一想三、平面向量的數(shù)乘運(yùn)算【例7】圖 9-17三、平面向量的數(shù)乘運(yùn)算三、平面向量的數(shù)乘運(yùn)算課堂練習(xí)向量的坐標(biāo)表示第 三 節(jié)第 三 節(jié) 向量的坐標(biāo)表示我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)的每一點(diǎn)都可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)來(lái)表示，這對(duì)實(shí)數(shù)就是這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).同樣，在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)平面向量也可以用一對(duì)實(shí)數(shù)來(lái)表示.設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中，

10、x軸的單位向量為i，y軸的單位向量為j，則x軸上的向量表示成xi，y軸上的向量表示成yj，其中x,y分別是它們?cè)跀?shù)軸上的坐標(biāo).第 三 節(jié) 向量的坐標(biāo)表示如圖9-18（a）所示，OA為從坐標(biāo)軸原點(diǎn)出發(fā)的向量，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y)，則OM=xi,ON=yj.由平行四邊形法則得OA=OM+ON=xi+yj.圖 9-18第 三 節(jié) 向量的坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)提示起點(diǎn)在原點(diǎn)的向量稱為位置向量.第 三 節(jié) 向量的坐標(biāo)表示如圖9-18（b）所示，設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)，則 AB=OBOA=(x2i+y2j)(x1i+y1j)=(x2x1)i+(y2y1)j.由此可知，對(duì)任意一個(gè)平面向量a，都存在一

11、對(duì)有序?qū)崝?shù)(x,y)，使得 a=xi+yj.有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)叫作向量a的坐標(biāo)，記作a=(x,y).第 三 節(jié) 向量的坐標(biāo)表示【例1】第 三 節(jié) 向量的坐標(biāo)表示【例2】如圖9-19所示，分別用基底i,j表示向量OM，ON，MN，并寫出它們的坐標(biāo).圖 9-19第 三 節(jié) 向量的坐標(biāo)表示第 三 節(jié) 向量的坐標(biāo)表示【例3】第 三 節(jié) 向量的坐標(biāo)表示課堂練習(xí)第 三 節(jié) 向量的坐標(biāo)表示圖 9-20第 三 節(jié) 向量的坐標(biāo)表示一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，則a+b=(x1+x2,y1+y2); (9-4)ab=(x1x2,y1y2); (9-5)a=(x1,y1).

12、(9-6)第 三 節(jié) 向量的坐標(biāo)表示【例4】第 三 節(jié) 向量的坐標(biāo)表示課堂練習(xí)第 三 節(jié) 向量的坐標(biāo)表示在第二節(jié)中，我們知道對(duì)于兩個(gè)非零向量a、b，當(dāng)0 時(shí)，有ab=a=b.那么如何用向量的坐標(biāo)來(lái)判斷兩個(gè)向量是否共線呢？設(shè)a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，如果a=b，則有x1=x2,y1=y2，所以x1y2=x2y1，即x1y2=x2y1.因此我們得到對(duì)于非零向量a、b，設(shè)a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，當(dāng)0時(shí)，有ab=x1y2x2y1=0.（9-7）第 三 節(jié) 向量的坐標(biāo)表示同理，我們也可以通過(guò)向量的坐標(biāo)確定兩個(gè)向量相等，即有下面的結(jié)論：（1）如果兩個(gè)向量的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別相

13、等，那么這兩個(gè)向量相等；（2）如果兩個(gè)向量相等，那么它們的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都分別相等.第 三 節(jié) 向量的坐標(biāo)表示【例5】第 三 節(jié) 向量的坐標(biāo)表示課堂練習(xí)向量的數(shù)量積第 四 節(jié)一、平面向量的內(nèi)積在物理學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題:如圖9-21所示，水平地面上有一個(gè)小車，某個(gè)人用10 N的拉力F，沿著與水平方向成30角的方向拉小車，使得小車前進(jìn)了10 m，求這個(gè)人做了多少功？根據(jù)物理學(xué)知識(shí)，我們知道拉力F所做的功W為一、平面向量的內(nèi)積圖 9-21上述的功W是一個(gè)數(shù)量，它由向量F和S的模及其夾角余弦的乘積來(lái)確定.一、平面向量的內(nèi)積學(xué)習(xí)提示兩個(gè)向量的內(nèi)積是一個(gè)實(shí)數(shù)，可能是正數(shù)，可能是負(fù)數(shù)，也可能是零

14、.一、平面向量的內(nèi)積如果a、b為兩個(gè)非零向量，作OA=a,OB=b，則把射線OA與OB所形成的角叫作向量a與向量b的夾角，記作.顯然0180，且=.兩個(gè)向量a、b的模與它們的夾角的余弦的積叫作向量a與b的內(nèi)積，記作ab，即ab=abcos. （9-8）一、平面向量的內(nèi)積一、平面向量的內(nèi)積（5）=90時(shí)，ab，則ab=abcos90=0，因此對(duì)非零向量a、b，有ab=0ab.我們也可以知道內(nèi)積滿足下面的運(yùn)算律：（1）ab=ba；（2）(a)b=(ab)=a(b)；（3）(a+b)c=ac+bc.一、平面向量的內(nèi)積學(xué)習(xí)提示向量的內(nèi)積運(yùn)算不滿足結(jié)合律，即(ab)ca(bc).一、平面向量的內(nèi)積【例1

15、】一、平面向量的內(nèi)積課堂練習(xí)二、向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，向量a的坐標(biāo)為(x1,y1)，向量b的坐標(biāo)為(x2,y2)，i、j分別為x軸、y軸上的單位向量，則a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.由于ij，所以ij=0，又i=j=1，所以ab=(x1i+y1j)(x2i+y2j)=x1x2ii+x1y2ij+x2y1ij+y1y2jj=x1x2i2+y1y2j2=x1x2+y1y2.二、向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)表示這就是說(shuō)，兩個(gè)向量的內(nèi)積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的和，即兩個(gè)非零向量a（x1,y1）、b(x2,y2)的內(nèi)積為 ab=x1x2+y1y2. （9-9）利用式（9-9）可以計(jì)算向量的模.

16、設(shè)a=(x1,y1)，則 a=aa=x1+y1. （9-10）二、向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)表示二、向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)表示【例3】二、向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)表示【例4】二、向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)表示【例5】二、向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)表示課堂練習(xí)向量的應(yīng)用第 五 節(jié)一、向量在幾何中的應(yīng)用舉例 向量是既有大小又有方向的量，它既有數(shù)字特征，又有幾何特征.通過(guò)向量可以實(shí)現(xiàn)代數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題的相互轉(zhuǎn)化，所以向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁.一、向量在幾何中的應(yīng)用舉例學(xué)習(xí)提示遇到長(zhǎng)度問(wèn)題時(shí)，需要考慮向量的數(shù)量積一、向量在幾何中的應(yīng)用舉例【例1】圖 9-22一、向量在幾何中的應(yīng)用舉例一、向量在幾何中的應(yīng)用舉例即平行四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度的平方和等于兩條鄰邊長(zhǎng)

17、度平方和的二倍.一、向量在幾何中的應(yīng)用舉例【例2】圖 9-23一、向量在幾何中的應(yīng)用舉例一、向量在幾何中的應(yīng)用舉例同理可證BH與BE共線，CH與CF共線，因此，AD，BE，CF相交于一點(diǎn).一般地，用向量方法解決幾何問(wèn)題時(shí)，一般步驟如下：(1)建立幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素(如點(diǎn)、線段、夾角等)，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；(2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系二、向量在物理中的應(yīng)用舉例在物理中，力、速度等都是既有大小又有方向的量，因此，向量是解決許多物理問(wèn)題的有力工具二、向量在物理中的應(yīng)用舉例【例3】圖 9-24二、向

18、量在物理中的應(yīng)用舉例二、向量在物理中的應(yīng)用舉例【例4】二、向量在物理中的應(yīng)用舉例圖 9-25二、向量在物理中的應(yīng)用舉例過(guò)點(diǎn)B作東西基線的垂線，交于AC于D，則ABD為正三角形，所以BD=AD=AB=1 000 km，又AC=2 000 km，所以CD=1 000 km，故CD=BD，所以CBD=BCD=12BDA=30，二、向量在物理中的應(yīng)用舉例二、向量在物理中的應(yīng)用舉例 一般地，用向量方法解決物理問(wèn)題時(shí)，一般步驟如下：(1)相關(guān)物理量用幾何圖形表示出來(lái)；(3)物理問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；(3)將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為物理問(wèn)題閱讀材料歐 幾 里 得歐幾里得(Euclid，前330前275)

19、是古希臘著名數(shù)學(xué)家、歐氏幾何學(xué)的開創(chuàng)者.歐幾里得生于雅典，當(dāng)時(shí)雅典就是古希臘文明的中心，其濃郁的文化氣氛深深地感染著歐幾里得，當(dāng)他還是個(gè)十幾歲的少年時(shí)，就迫不及待地想進(jìn)入“柏拉圖學(xué)園”學(xué)習(xí).閱讀材料歐幾里得進(jìn)入學(xué)園之后，便全身心地沉潛在數(shù)學(xué)王國(guó)里.他潛心求索，以繼承柏拉圖的學(xué)術(shù)為奮斗目標(biāo)，除此之外，他哪兒也不去，什么也不干，熬夜翻閱和研究了柏拉圖的所有著作和手稿，可以說(shuō)，連柏拉圖的親傳弟子們也沒有誰(shuí)能像他那樣熟悉柏拉圖的學(xué)術(shù)思想和數(shù)學(xué)理論.經(jīng)過(guò)對(duì)柏拉圖思想的深入探究，他得出結(jié)論：圖形是神繪制的，所有一切現(xiàn)象的邏輯規(guī)律都體現(xiàn)在圖形之中.因此，他指出，對(duì)智慧的訓(xùn)練，就應(yīng)該從圖形為主要研究對(duì)象的幾何

20、學(xué)開始.他確實(shí)領(lǐng)悟到了柏拉圖思想的要旨，并開始沿著柏拉圖當(dāng)年走過(guò)的道路，把幾何學(xué)的研究作為自己的主要任務(wù)，并最終取得了令世人敬仰的成就.閱讀材料最早的幾何學(xué)興起于公元前7年的古埃及，后經(jīng)古希臘的人傳到古希臘的都城，又借畢達(dá)哥拉斯學(xué)派系統(tǒng)奠基.在歐幾里得以前，人們已經(jīng)積累了許多幾何學(xué)的知識(shí)，然而這些知識(shí)當(dāng)中，存在一個(gè)很大的缺點(diǎn)和不足，就是缺乏系統(tǒng)性.大多數(shù)是片斷、零碎的知識(shí)，公理與公理之間、證明與證明之間并沒有什么很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性，更不要說(shuō)對(duì)公式和定理進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯論證和說(shuō)明.因此，隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的繁榮和發(fā)展，特別是隨著農(nóng)林畜牧業(yè)的發(fā)展、土地開發(fā)和利用的增多，把這些幾何學(xué)知識(shí)加以條理化和系統(tǒng)化，成為一

21、整套可以自圓其說(shuō)、前后貫通的知識(shí)體系，已經(jīng)是刻不容緩，成為科學(xué)進(jìn)步的大勢(shì)所趨.閱讀材料歐幾里得早期通過(guò)對(duì)柏拉圖數(shù)學(xué)思想，尤其是幾何學(xué)理論系統(tǒng)而周詳?shù)难芯?，已敏銳地察覺到了幾何學(xué)理論的發(fā)展趨勢(shì).他下定決心，要在有生之年完成這一工作.為了完成這一重任，歐幾里得不辭辛苦，長(zhǎng)途跋涉，從愛琴海邊的雅典古城，來(lái)到尼羅河流域的埃及新埠亞歷山大城，為的就是在這座新興的，但文化蘊(yùn)藏豐富的異域城市實(shí)現(xiàn)自己的初衷.閱讀材料在此地的無(wú)數(shù)個(gè)日日夜夜里，他一邊收集以往的數(shù)學(xué)專著和手稿，向有關(guān)學(xué)者請(qǐng)教，一邊試著著書立說(shuō)，闡明自己對(duì)幾何學(xué)的理解，哪怕是尚膚淺的理解.經(jīng)過(guò)歐幾里得忘我的勞動(dòng)，終于在公元前300年結(jié)出豐碩的果實(shí)，

22、這就是幾經(jīng)易稿而最終定型的幾何原本一書.這是一部傳世之作，正是因?yàn)橛辛怂?，才第一次?shí)現(xiàn)了幾何學(xué)的系統(tǒng)化、條理化，同時(shí)又孕育出一個(gè)全新的研究領(lǐng)域歐幾里得幾何學(xué)，簡(jiǎn)稱歐氏幾何. 閱讀材料 幾何原本是一部集前人思想和歐幾里得個(gè)人創(chuàng)造性于一體的不朽之作.流傳到今天的歐幾里得著作并不多，然而我們卻可以從這部書詳細(xì)的寫作筆調(diào)中，窺見他真實(shí)的思想底蘊(yùn).全書共分13卷，書中包含了5條“公理”、5條“公設(shè)”、23個(gè)定義和467個(gè)命題.在每一卷內(nèi)容當(dāng)中，歐幾里得都采用了與前人完全不同的敘述方式，即先提出公理、公設(shè)和定義，然后再由簡(jiǎn)到繁地證明它們，這使得全書的論述更加緊湊和明快.而在整部書的內(nèi)容安排上，也同樣貫徹了

23、他的這種獨(dú)具匠心的安排.它由淺到深，從簡(jiǎn)至繁，先后論述了直邊形、圓、比例論、相似形、數(shù)、立體幾何以及窮竭法等內(nèi)容.閱讀材料其中有關(guān)窮竭法的討論，成為近代微積分思想的來(lái)源.僅僅從這些卷帙的內(nèi)容安排上，我們就不難發(fā)現(xiàn)，這部書已經(jīng)基本囊括了幾何學(xué)從公元前7世紀(jì)的古埃及，一直到公元前4世紀(jì)前后總共400多年的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史.這其中，頗有代表性的便是在第1卷到第4卷中，歐幾里得對(duì)直邊形和圓的論述.正是在這幾卷中，他總結(jié)和繼承了前人的思維成果，巧妙地論證了畢達(dá)哥拉斯定理，也稱“勾股定理”.他的這一證明，從此確定了勾股定理的正確性并延續(xù)了2 000多年.幾何原本是一部在科學(xué)史上千古流芳的巨著.閱讀材料它不僅保存了許多古希臘早期的幾何學(xué)理論，而且通過(guò)歐幾里得開創(chuàng)性的系統(tǒng)整理和完整闡述，使這些遠(yuǎn)古的數(shù)學(xué)思想發(fā)揚(yáng)光大.它開創(chuàng)了古典數(shù)論的研究，在一系列公理、定義、公設(shè)的基礎(chǔ)上，創(chuàng)立了歐幾里得幾何學(xué)體系，成為用公理化方法建立起來(lái)的數(shù)學(xué)演繹體系的最早典范.按照歐氏幾何學(xué)的體系，所有的定理都是從一些確定的、不需證明而礴然為真的基本命題即公理演繹出來(lái)的.在這種演繹推理中，對(duì)定理的每個(gè)證明必須或者以公理為