《正弦、余弦函數(shù)的圖象》課件

1、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象 三角函數(shù)三角函數(shù)線(xiàn)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)正切線(xiàn)AT1.4.1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象yxxO-1xPMA(1,0)Tsinx=MPcosx=OMtanx=AT注意：三角函數(shù)線(xiàn)是有向線(xiàn)段！正弦線(xiàn)MP余弦線(xiàn)OM復(fù)習(xí)回顧y=sin x x0,2的圖象的幾何作法O1 O yx-11描圖：用光滑曲線(xiàn) 將這些正弦線(xiàn)的終點(diǎn)連結(jié)起來(lái)AB作法：（1）等分（2）作正弦線(xiàn)（3）平移（4）連線(xiàn)新課講授如何作出y=sin x，xR的圖象？ 因?yàn)榻K邊相同的角有相同的三角函數(shù)值，即sin(x+2k)=sinx，kz所以函數(shù)y=sinx，x2k，2(k+1)），kz且k0的圖象與函數(shù)y=sinx

2、，x0,2）的圖象的形狀完全一致，我們只要將函數(shù)y=sin x，x0,2）的圖象向左，向右平行移動(dòng)（每次2個(gè)單位長(zhǎng)度），就可以得到正弦函數(shù)y=sinx，xR的圖象，即正弦曲線(xiàn)。 x6yo-12345-2-3-41正弦曲線(xiàn)探究： 你能根據(jù)誘導(dǎo)公式，以正弦函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)，通過(guò)適當(dāng)?shù)膱D形變換得到余弦函數(shù)y=cos x的圖象嗎？提示： 由誘導(dǎo)公式六，我們有y = cos x = sin( + x)，xR，即y = cos x的圖象就是y = sin( + x)的圖象，那么y = sin x與y = sin( + x)的圖象又有什么區(qū)別？x6yo-12345-2-3-41余弦函數(shù)的圖象 正弦函數(shù)的圖象

3、 x6yo-12345-2-3-41y=cosx=sin(x+ ), xR余弦曲線(xiàn)正弦曲線(xiàn)形狀完全一樣只是位置不同正弦曲線(xiàn)、余弦曲線(xiàn)的特征：（1）圖象為光滑的曲線(xiàn)，形如橫“S”型的連接（2）圖象每隔2都會(huì)重復(fù)出現(xiàn)（3）圖象是夾在y = 1與y = -1之間的曲線(xiàn)yxo1-1在作出正弦函數(shù)的圖象時(shí)，應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點(diǎn)？(0,0)( ,1)( ,0)( ,-1)( 2 ,0)五點(diǎn)畫(huà)圖法簡(jiǎn)圖作法：（1）列表（列出對(duì)圖象形狀起關(guān)鍵作用的五點(diǎn)坐標(biāo)）（2）描點(diǎn)（定出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)）（3）連線(xiàn)（用光滑的曲線(xiàn)順次連接五個(gè)點(diǎn)）yxo1-1 找出余弦函數(shù)y = cosx，x 【0，2】圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)？(0,1)( ,

4、0)( ,-1)( ,0)( 2 ,1)五點(diǎn)法(0,1)( ,0)( ,-1)( ,0)( 2 ,1)探究：例1 畫(huà)出函數(shù)y=1+sinx，x0, 2的簡(jiǎn)圖： x sinx 1+sinx 0 2 010-101 o1yx-12y=sinx，x0, 2y=1+sinx，x0, 2步驟：1.列表2.描點(diǎn)3.連線(xiàn)解：按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：描點(diǎn)并將它們用光滑曲線(xiàn)連接起來(lái)： 1 210練習(xí)1：畫(huà)出y=1-sinx，x0，2的簡(jiǎn)圖 x sinx 1-sinx 0 2 010-10 1 0 1 2 1 o1yx-12y=sinx，x0, 2y=1-sinx，x0, 2解：按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：描點(diǎn)并將它們用光滑曲線(xiàn)

5、連接起來(lái)：例2 畫(huà)出函數(shù)y= - cosx，x0, 2的簡(jiǎn)圖： x cosx - cosx 0 2 10-101-1 yxo1-1y= - cosx，x0, 2y=cosx，x0, 2解：按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：描點(diǎn)并將它們用光滑曲線(xiàn)連接起來(lái)：-1010 x sinx 0 2 10-101 練習(xí)2：在同一坐標(biāo)系內(nèi)，用五點(diǎn)法分別畫(huà)出函數(shù) y= sinx，x0, 2 和 y= cosx，x , 的簡(jiǎn)圖：o1yx-12y=sinx，x0, 2y= cosx，x , 向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度 x cosx100-10 0 解：按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：描點(diǎn)并將它們用光滑曲線(xiàn)連接起來(lái)：小結(jié)1. 正弦曲線(xiàn)、余弦曲線(xiàn)幾何畫(huà)法

6、 五點(diǎn)法2.注意與誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)線(xiàn)等知識(shí)的聯(lián)系yxo1-1y=sinx，x0, 2y=cosx，x0, 2作業(yè)：課本46頁(yè)，第1題1.4 正弦余弦函數(shù)的性質(zhì)(1)周期性舉例： 生活中“周而復(fù)始”的變化規(guī)律。 日出 日落 、白天 黑夜 、四季更替 問(wèn)題：三角函數(shù)值是否具有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律？公式(一)誘導(dǎo)公式sin(x+2) =sinx,的幾何意義xyoXX+2XX+2正弦函數(shù)值是按照一定規(guī)律不斷重復(fù)地出現(xiàn)的 能不能從正弦、余弦函數(shù)周期性歸納出一般函數(shù)的規(guī)律性？正弦曲線(xiàn)xyo1-1-2-234-2-o23x-11y余弦曲線(xiàn)如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)周期性對(duì)于函數(shù) ，如果存在一個(gè)非零常數(shù) ，使得當(dāng)

7、 取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有 ，那么函數(shù) 就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù) 叫做這個(gè)函數(shù)的周期。1、周期的定義正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期都是 2k1sinx，cosx 的周期是2 4 6 -2-4-62k.2如果T是函數(shù)f (x) 的周期，那么2T 3T kT也是函數(shù)f(x)的周期.3 對(duì)周期函數(shù)定義中的“定義域中的每一個(gè)值x ”的要求，而不是某一個(gè)值.思考：一個(gè)周期函數(shù)的周期有多少個(gè)？練習(xí)：判斷下列說(shuō)法是否正確（1） 時(shí)， 則 一定不是 的周期 （ ）（2） 時(shí)， 則 一定是 的周期 （ ） 2、最小正周期的定義對(duì)于一個(gè)周期函數(shù) 如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做 的最

8、小正周期。 說(shuō)明：我們現(xiàn)在談到三角函數(shù)周期時(shí)，如果不加特別說(shuō)明，一般都是指的最小正周期；例 求下列函數(shù)的周期：(1)y=3cosx, xR;(2)y=sin2x, xR;解:(1)是以2為周期的周期函數(shù).這里的周期指的是最小正周期!的周期為. (3)的周期為例 求下列函數(shù)的周期：(2)y=sin2x,xR;(1)y=3cosx,xR;解:(2)若 則 歸納總結(jié)一般地，函數(shù) 及 （其中 為常數(shù)，且 ）的周期是(1) 求下列函數(shù)的最小正周期練習(xí)：P36 練習(xí) 1, 21.周期函數(shù)、最小正周期的定義； 小結(jié)：和型函數(shù)的周期的求法。函數(shù) y = tan x是周期函數(shù)嗎？如果是，那么它的最小正周期是多少

9、？課后思考正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（二）y = sin x ( xR) y = cos x ( xR) 定義域周期性RT = 2復(fù)習(xí)引入:正弦、余弦函數(shù)的圖象-1y1xo-1y1xo-1y1xoy = sin x ( xR) 由誘導(dǎo)公式sin( -x )= 正弦曲線(xiàn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)奇偶性正弦函數(shù) y = sin x，（xR）是奇函數(shù)-sin x，-1y1xoy = sin x ( xR) 奇偶性 由誘導(dǎo)公式cos( -x )= 余弦曲線(xiàn)關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng) y = cos x (xR) -1y1xo余弦函數(shù) y = cos x，（xR）是偶函數(shù)cos x ,y = sin x ( xR) -1y

10、1xo-1y1xoy = sin x ( xR) y0 x1-1單調(diào)性 x sin x 0 -1 0 1 0 -1 正弦函數(shù) y = sin x 在區(qū)間 上是增函數(shù)，在區(qū)間 上是減函數(shù) 單調(diào)性 正弦函數(shù) 在每一個(gè)閉區(qū)間 上都是增函數(shù)，其值從-1增大到1；-1y1xo y = sin x ( xR) 在每一個(gè)閉區(qū)間 上都是減函數(shù)，其值從1減小到-1-1y1xox cos x - 0 -1 0 1 0 -1 y = cos x ( xR) -1y1xo單調(diào)性y0 x1-1 余弦函數(shù) 在區(qū)間上 是增函數(shù)，在區(qū)間上 是減函數(shù) y = cos x (xR) -1y1xo單調(diào)性余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間 上都

11、是增函數(shù)，其值從 -1增大到1； 在每一個(gè)閉區(qū)間 上都是減函數(shù)，其值從1減小到-1例1. 利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大小：解：（1）因?yàn)檎液瘮?shù) 在區(qū)間上是增函數(shù)，所以例題解：即因?yàn)?，且函數(shù) 是減函數(shù)，所以例題練習(xí)1 利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大?。捍鸢福赫液瘮?shù)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取得最大值1，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取得最小值-1；y = sin x ( xR) -1y1xo最大值與最小值余弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取得最大值1，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取得最小值-1最大值與最小值-1y1xo y = cos x ( xR) 例2.下列函數(shù)有最大、最小值嗎？如果有，請(qǐng)寫(xiě)出取最大、最小值時(shí)的自變量 x 的

12、集合，并說(shuō)出最大、最小值分別是什么.解：這兩個(gè)函數(shù)都有最大值、最小值.（1）使函數(shù) 取得最大值的 x 的集合，就是使函數(shù) 取得最大值的 x 的集合 使函數(shù) 取得最小值的 x 的集合，就是使函數(shù) 取得最小值的 x 的集合 函數(shù) 的最大值是1+1=2；最小值是 -1+1=0.例題解：因此使函數(shù) 取最大值的 x 的集合是同理，使函數(shù) 取最小值的 x 的集合是函數(shù) 取最大值是 3，最小值是 -3.令 z =2x ，使函數(shù) 取最大值的 z 的集合是 由得例題對(duì)于形如 的函數(shù)，一般通過(guò)變量代換（如設(shè) ）化歸為 的形式，然后求解方法總結(jié)：練習(xí) 求使下列函數(shù)取得最大值、最小值的自變量x的集合，并寫(xiě)出最大值、最小值各是多少（1）y = 2sin x，x R 答案：(1）當(dāng) 時(shí)，函數(shù)取得最大值2.當(dāng) 時(shí)，函數(shù)取得最小值-2.（2）當(dāng) 時(shí)，函數(shù)取得最大值3.當(dāng) 時(shí)，函數(shù)取得最小值1.例3.求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間. 解：令 函數(shù)y = sin z的單調(diào)遞增區(qū)間是由 得 設(shè) 例題易知所以函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是求函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間練習(xí)3答案： 求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間.思考？課堂小結(jié)：-1y1xo-1y1xo y = cos x (xR) y = sin x ( xR) 奇偶性正弦函數(shù)是奇函數(shù)