一個(gè)力學(xué)問(wèn)題的討論課件

1、關(guān)于機(jī)械能守恒普通物理專(zhuān)題討論 兼談功能關(guān)系談蘇慶目錄一、機(jī)械能守恒定律的表述二、機(jī)械能守恒定律的推導(dǎo)三、機(jī)械能守恒條件的討論四、機(jī)械能守恒定律的理解五、機(jī)械能守恒定律應(yīng)用實(shí)例分析一、機(jī)械能守恒定律的表述程、江本（第六版p86.）： 如果一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)只有保守力作功，其它內(nèi)力和一切外力都不作功，則系統(tǒng)內(nèi)各物體的動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)換，但機(jī)械能的總值不變。這個(gè)結(jié)論稱(chēng)為機(jī)械能守恒定律。馬文蔚本（第五版p75.）： 當(dāng)作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的和非保守內(nèi)力不作功時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的總機(jī)械能是守恒的。這就是機(jī)械能守恒定律。 1 動(dòng)能定理兩質(zhì)點(diǎn)系：?jiǎn)钨|(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理：外力功的和內(nèi)力功的和動(dòng)能和初動(dòng)能和二、機(jī)械能守恒的推導(dǎo)對(duì)質(zhì)

2、點(diǎn)系：推廣上式意義：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系 所有外力的功及所有內(nèi)力的功之和。-質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理2、功能原理對(duì)質(zhì)點(diǎn)系：保守內(nèi)力功非保守內(nèi)力功注意到：定義：機(jī)械能意義：質(zhì)點(diǎn)系功能原理質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的增量等于外力與非保守內(nèi)力作功之和3 機(jī)械能守恒由功能原理 若W外0， W非保內(nèi)0則：E=E0-機(jī)械能轉(zhuǎn)化和守恒定律在只有保守內(nèi)力作功的條件下，系統(tǒng)內(nèi)部的機(jī)械能互相轉(zhuǎn)化，但總機(jī)械能守恒。 注意區(qū)別動(dòng)能定理 功能原理 當(dāng)W外0， W非保內(nèi)0則：E=E0機(jī)械能守恒三、關(guān)于機(jī)械能守恒條件的討論從推導(dǎo)過(guò)程及數(shù)學(xué)的角度看， 1、W 外+W 非保內(nèi)=0 可以作為機(jī)械能守恒的充分必要條件。（但全過(guò)程中處處都要滿(mǎn)足

3、）1. W 外+W 非保內(nèi)= 0W 外+W 非保內(nèi)= E - E0問(wèn)題：機(jī)械能守恒條件是1？還是2？2. W 外=0，W 非保內(nèi)=02 、W 外=0，W 非保內(nèi)=0 機(jī)械能守恒的充分條件功能原理：例：如圖示一定質(zhì)量的物體在拉力 F的作用下在水平 面上作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。機(jī)械能守恒否？分析: 1 勻速，必有F=f。物運(yùn)動(dòng)中，恰好滿(mǎn)足 W 外+W 摩內(nèi)=0不！ 3 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)內(nèi)有機(jī)械能之外的其他形式的能量間轉(zhuǎn)化, 而系統(tǒng)內(nèi)無(wú)動(dòng)能和勢(shì)能之間的轉(zhuǎn)化。 4 在一個(gè)沒(méi)有保守內(nèi)力作功導(dǎo)致系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，滿(mǎn)足W 外+W 非保內(nèi)=0，只說(shuō)明系統(tǒng)的機(jī)械能不變，但并不具備機(jī)械能守恒的物理本質(zhì)（系

4、統(tǒng)內(nèi)動(dòng)能勢(shì)能的轉(zhuǎn)換), 只能用功能定理來(lái)理解，至多是功能關(guān)系中的一種特例。 2 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只是動(dòng)能不變，勢(shì)能不變，機(jī)械能不變是由于外力作功把其他形式的能量轉(zhuǎn)化成機(jī)械能，摩擦力作功又把一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化成分子熱運(yùn)動(dòng)的能量，只是正好使機(jī)械能的增加和減少實(shí)現(xiàn)了平衡，并不是并不是機(jī)械能守恒的真正含義！歸納：機(jī)械能守恒定律的恰當(dāng)表述同時(shí)滿(mǎn)足：W外0， W非保內(nèi)0則：E=E0或說(shuō)：在只有保守內(nèi)力作功的條件下，系統(tǒng)內(nèi)部的機(jī)械能互相轉(zhuǎn)化，但總機(jī)械能守恒。 -機(jī)械能轉(zhuǎn)化和守恒定律其它等價(jià)表述（系統(tǒng)內(nèi)，必有能量轉(zhuǎn)換發(fā)生）機(jī)械能守恒的物理本質(zhì)機(jī)械能守恒定律的物理本質(zhì)是保守內(nèi)力作功與動(dòng)能、勢(shì)能間相互轉(zhuǎn)化的內(nèi)在聯(lián)系。區(qū)別

5、：“機(jī)械能不變” “機(jī)械能守恒” “守恒”則是系統(tǒng)與外界沒(méi)有能量交換，系統(tǒng)內(nèi)也不發(fā)生機(jī)械能與其他形式能量間的轉(zhuǎn)化。 （要從“是否存在能量的傳遞和轉(zhuǎn)化”來(lái)定義系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒，更能清晰地表達(dá)“守恒”這個(gè)概念） （“不變”只是機(jī)械能這個(gè)狀態(tài)量的數(shù)值大小不發(fā)生變化，甚至僅僅是一個(gè)過(guò)程的起始、終止兩個(gè)狀態(tài)的機(jī)械能大小相等）四、對(duì)機(jī)械能守恒定律的理解1 機(jī)械能守恒的條件是：W 外=0與W 非保內(nèi)=0同時(shí)成立。即只有保守內(nèi)力作功情況。2在機(jī)械運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi),我們所討論的能量只是動(dòng)能和勢(shì)能.機(jī)械能守恒的含義是指系統(tǒng)內(nèi)各物體的動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，但其總和在整個(gè)過(guò)程中時(shí)刻都保持不變。3 機(jī)械能守恒對(duì)系統(tǒng)內(nèi)是動(dòng)態(tài)

6、的，對(duì)系統(tǒng)外是靜態(tài)的，即與外界無(wú)能量轉(zhuǎn)化。它與系統(tǒng)機(jī)械能“不變”不同。4 機(jī)械能守恒適用于任何慣性參照系。同一個(gè)物體系統(tǒng)，在一個(gè)參照系內(nèi)機(jī)械能守恒，但在另一個(gè)參照系內(nèi)機(jī)械能不一定守恒。關(guān)鍵看守恒條件是否滿(mǎn)足。機(jī)械能守恒條件理解舉例F合外0W外0例：FFAB設(shè)一質(zhì)點(diǎn)系,受多個(gè)外力作用注意：F合外 0W外 0試求外力的功，W外？問(wèn)題研討1一柔軟鏈條長(zhǎng)為l，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為，鏈條放在有一小孔的桌上，鏈條一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周?chē)捎谀撤N擾動(dòng),鏈條因自身重量開(kāi)始下落.設(shè)各處摩擦均不計(jì)，且認(rèn)為鏈條軟得可以自由伸開(kāi)m1m2Oyy求鏈條下落速度v與y之間的關(guān)系五、機(jī)械能守恒定律應(yīng)用實(shí)例分析思考：

7、此問(wèn)題中，機(jī)械能是否守恒？為什么？解 以豎直懸掛的鏈條和桌面上的鏈條為一系統(tǒng)，建立坐標(biāo)系由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理得則又m1m2Oyy兩邊同乘以 則 m1m2OyyEND解法2：機(jī)械能守恒取鏈條，桌面，地球?yàn)橄到y(tǒng)問(wèn)題：機(jī)械能守恒不？矛盾？WF0; WF WF 張力F的合效應(yīng)是做負(fù)功桌面F（張力，非保內(nèi)）yO重力yg鏈條下落過(guò)程中并非自由落體運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒！解法2錯(cuò)誤！以懸垂鏈為研究對(duì)象：?jiǎn)栴}分析1考慮被牽入運(yùn)動(dòng)（從靜止到速度v）微元鏈dy 在忽略重力且考慮瞬態(tài)情況下， 由動(dòng)量定理得： 鏈條張力為：2 再以懸垂鏈為研究對(duì)象：dt時(shí)間內(nèi)位移dy由動(dòng)能定理：F代入整理：設(shè)一階線(xiàn)性方程一階線(xiàn)性方程，具

8、有指數(shù)形式解令此解為：代入方程（1）比較系數(shù)，n=1, 則計(jì)算結(jié)果表明，鏈條間的張力確實(shí)做了負(fù)功.化簡(jiǎn)，驗(yàn)證：m1m2Oyy在鏈條下落過(guò)程中，張力F對(duì)懸垂鏈在元位移dy中做負(fù)功: - Fdy張力F對(duì)正從桌面牽出的鏈條dy微元做正功: F（dy2）質(zhì)心位移張力的元功和: - Fdy2張力的總功:機(jī)械能變化:二者相一致y: 0L小結(jié)：鏈條下落過(guò)程中，張力F作了功，由于張力F是系統(tǒng)內(nèi)力，但為非保守力，因此系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒。這種情況只能用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理、動(dòng)能定理、功能原理處理 問(wèn)題研討2 細(xì)繩擺放不同,下滑速度也不同,機(jī)械能？例2 如圖1所示，AB部分是一光滑水平面，BC部分是傾角為(090。)的

9、光滑斜面，一條伸直的、長(zhǎng)為L(zhǎng)的勻質(zhì)光滑柔軟細(xì)繩與 棱垂直地靜止在AB面上，只是其右端有極小部分處在BC面上，于是繩便開(kāi)始沿BC面下滑，求柔軟繩剛要離開(kāi)AB面時(shí)速度的大小。假設(shè) 處有一角度極小的圓弧段，BC的長(zhǎng)度大于L 。用動(dòng)量定理求解同理分析AB面上細(xì)繩的受力，如圖2(b)所示。由動(dòng)量定理則有（2）（ 3）如果我們將上題的初始條件作一下微小的改變，即軟繩在AB面上不是伸直放置，而是擺放在 B處。如圖(3)？一致圖(3)所示，則用動(dòng)量定理求得軟繩離開(kāi)AB面時(shí)的速度與圖（2）就不同。因而也就不能用機(jī)械能守恒定理來(lái)解。 解析：設(shè)細(xì)繩運(yùn)動(dòng)t時(shí)間，細(xì)繩還沒(méi)有離開(kāi)AB面。在t時(shí)刻BC面上細(xì)繩的長(zhǎng)度為 x，

10、速度為v，則BC面上細(xì)繩的質(zhì)量為(m/L)x。此時(shí) BC面上的細(xì)繩所受的力。如圖2(a)所示。由動(dòng)量定理，則有：（4）將等式兩邊同乘以2xv，等式右邊有dx=vdt上式可變?yōu)闉槭裁磿?huì)出現(xiàn)細(xì)繩擺放不同，下滑的速度也不同呢?1細(xì)繩伸直擺放的情況，我們可以把細(xì)繩分成許多小段。在細(xì)繩運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，相鄰兩小段之間有相互作用力(內(nèi)力)。前一小段對(duì)后一小段的作用力與運(yùn)動(dòng)方向相同，做正功。后一小段對(duì)前一小段的作用力與運(yùn)動(dòng)方向相反，做負(fù)功。它們之間的相互作用力所做的功相互抵消，繩的內(nèi)力不做功。因此繩的內(nèi)能不增加，故機(jī)械能守恒。2分析細(xì)繩擺放在B處的情況，某時(shí)刻AB面上的繩處于靜止?fàn)顟B(tài)，在BC面上細(xì)繩的拉力作用下，

11、AB面上的繩逐段開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。假設(shè)在t 0時(shí)間內(nèi)，AB面上有質(zhì)量為m的繩開(kāi)始運(yùn)動(dòng)其速度由靜止增加到與BC面上的細(xì)繩相同(火車(chē)起動(dòng)就是這種情況)。在很短時(shí)間內(nèi)，我們可以認(rèn)為m與BC面上的細(xì)繩發(fā)生完全非彈性碰撞，內(nèi)能增加，機(jī)械能減少，故不能用機(jī)械能守恒定律求解。總之細(xì)繩擺放的不同，求解細(xì)繩下滑速度的方法也不同。下滑的速度也不同。分析問(wèn)題研討3 小球滑到底部的彈力？如圖示，質(zhì)量為m的小球，從內(nèi)壁為半球形的光滑,放置在摩擦可以忽略的水平桌面上。開(kāi)始時(shí)，小球容器都處于靜止?fàn)顟B(tài)，當(dāng)小球沿內(nèi)壁滑到底部B點(diǎn)時(shí)，受到向上的彈力多大？容器邊緣A點(diǎn)滑下。設(shè)容器質(zhì)量M,半徑R,內(nèi)壁解：取球,壁為系統(tǒng)，考察AB動(dòng)量（1）能

12、量（2）受力（3）上述求解，思路正確，但結(jié)果錯(cuò)誤。分析：1）式水平向動(dòng)量守恒。正確。 vm,vM都是相對(duì)桌面參照系的速度2）式機(jī)械能守恒。正確？除重力外，小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中還受到器壁彈力N的作用，它的大小和方向隨位置而變并且運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)小球作了功！這是因?yàn)槿萜鞯暮笸?，小球參與了兩種運(yùn)動(dòng)，Ndr12,但dA1=Ndr10,機(jī)械能也不守恒！不過(guò)一對(duì)彈力N和N作功的代數(shù)和始終為零。 ！切向水平向?qū)ψ烂?）有問(wèn)題！小球沿內(nèi)壁運(yùn)動(dòng)時(shí)，相對(duì)于桌面的運(yùn)動(dòng)軌跡不再是半圓！R, =?t=0,虛線(xiàn)；t0,實(shí)線(xiàn)水平動(dòng)量守恒：積分水平位移關(guān)系（4）oxyAB(R,O)B(,O)（5）整理得橢圓方程（6）小球滑到器壁底部時(shí)

13、：由高等數(shù)學(xué)知識(shí)可求出小球運(yùn)動(dòng)軌跡上任一點(diǎn)的曲率半徑一階二階y0，將值代入到小球運(yùn)動(dòng)到底部的法向方程，得出小球在底部受到彈力的正確答案是：討論1若選容器為參照系(非慣性系),小球軌跡為圓。小球滑到底部時(shí)相對(duì)容器的速度vm可求此法簡(jiǎn)便，但只適用于計(jì)算特殊位置的問(wèn)題僅在最底部，慣性力的法向分量等于零。啟示研究力學(xué)問(wèn)題，參照系概念至關(guān)重要。本題小球的速度、軌跡、曲率半徑等都因參照系而異，不指明參照系或參照系混淆，忘記v,必須相對(duì)同一參照系的同一性的原則，是導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果的根本原因。數(shù)學(xué)方法是研究物理問(wèn)題的有效工具，但數(shù)學(xué)推理離不開(kāi)物理概念。小球相對(duì)于桌面的軌跡方程，必須通過(guò)水平方向的動(dòng)量守恒找到和x的

14、關(guān)系才能最后求出。簡(jiǎn)化問(wèn)題需要正確的物理概念。在非慣性系中分析本題，可以回避復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算，但為什么不考慮慣性力，則要用正確的物理概念作出判斷。從而認(rèn)識(shí)選用非慣性系處理本題的局限性。1 水平向動(dòng)量守恒式中：vmx= vmsin - vMmvmx - MvM =0 思考：小球下滑到位置的彈力N？2 機(jī)械能守恒3 球受彈力其中：由前述數(shù)學(xué)方法求之。問(wèn)題討論4：機(jī)械能守恒定律適用于任何慣性系否？固定在車(chē)廂內(nèi)的光滑斜面傾角為 ，車(chē)廂以速度v0 勻速前進(jìn)，斜面上質(zhì)量為m 的滑塊自斜面頂端自由滑下，如圖示。試分析 ：分別以車(chē)廂和地面為參照系 ，滑塊在下滑過(guò)程中機(jī)械能是否守恒？車(chē)廂系：機(jī)械能守恒 支持力不作

15、功地面系：機(jī)械能守恒？支持力的功頂端機(jī)械能底端機(jī)械能滑塊機(jī)械能的變化與功能原理一致結(jié)論：不同慣性系機(jī)械能不一定都守恒兩個(gè)慣性系中都滿(mǎn)足守恒條件的實(shí)例車(chē)廂以速度v0 勻速前進(jìn)，某時(shí)刻減斷懸掛小球的細(xì)線(xiàn)，分別以車(chē)廂和地面為參照系 ，研究小球機(jī)械能是否守恒？車(chē)廂:球自由落體地面:球平拋運(yùn)動(dòng)球下落h,對(duì)地速度E=E0兩個(gè)慣性系中都滿(mǎn)足守恒為什么不同慣性系中機(jī)械能不一定都守恒？原因：外力的功與參照系有關(guān)。車(chē)廂:守恒條件滿(mǎn)足（W外=0）機(jī)械能守恒地面:守恒條件不滿(mǎn)足(W外=0)機(jī)械能不守恒注意：1 某力學(xué)系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒，關(guān)鍵是看它在該慣性參考系中力學(xué)系統(tǒng)是否滿(mǎn)足守恒條件都成立。機(jī)械能守恒定律適用于任何慣性系2 不同慣性系中機(jī)械能不一定都守恒，并不違背力學(xué)相對(duì)性原理。參考：物理教學(xué)2006年2月 錢(qián)廣東等的文章為什么物體與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體相碰撞 總動(dòng)量不守恒？問(wèn)題5：機(jī)械能是否守恒？例5設(shè)一質(zhì)量為m,長(zhǎng)為L(zhǎng)的棒懸于通過(guò)O點(diǎn)水平軸上，若棒在鉛直位置時(shí)有一水平力F作用于距O為L(zhǎng)處，試計(jì)算O軸對(duì)棒的作用力FL Oc分析:棒受力F,mg,N(軸力)解: 對(duì)O軸的力矩,由轉(zhuǎn)動(dòng)定律對(duì)C,由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律X(切向)Y(法向)1),2),3)解之：NXNY（稱(chēng)軸反力）討論 此處F的作用點(diǎn)成為打擊中心。NX0與圖示方向一致。NX0與圖示方向相反。物與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體相碰撞總動(dòng)量不守恒軸反力對(duì)軸