彈性力學(xué)之空間問題的基本理論P(yáng)PT

1、第七章 空間問題的基本理論例題第五節(jié) 軸對(duì)稱問題的基本方程第四節(jié) 幾何方程及物理方程第三節(jié) 主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力 第二節(jié) 物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)第一節(jié) 平衡微分方程第七章 空間問題的基本理論 在空間問題中，應(yīng)力、形變和位移等基本知函數(shù)共有15個(gè)，且均為x,y,z的函數(shù)。 空間問題的基本方程，邊界條件，以及按位移求解和按應(yīng)力求解的方法，都是與平面問題相似的。因此可以通過簡(jiǎn)化得到平面問題的相應(yīng)方程。取出微小的平行六面體， 考慮其平衡條件:平衡條件7-1 平衡微分方程 由3個(gè)力矩方程得到3個(gè)切應(yīng)力互等定理，平衡微分方程 由x 軸向投影的平衡微分方程 , 平衡微分方程得同理可得 在空間問題中，同樣

2、需要解決：由直角坐標(biāo)的應(yīng)力分量 ，來求出斜面(法線為 ）上的應(yīng)力。斜面應(yīng)力7-2 物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 斜面的全應(yīng)力p 可表示為兩種分量形式：p沿坐標(biāo)向分量: p沿法向和切向分量:斜面應(yīng)力 取出如圖的包含斜面的微分四面體，斜面面積為ds, 則x面，y面和z面的面積分別為lds,mds,nds。 由四面體的平衡條件 得出坐標(biāo)向的應(yīng)力分量,1. 求同理可得2. 求得由 從式(7-3)、(7-4 )可見, 當(dāng)六個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量確定之后，任一斜面上的應(yīng)力也就完全確定了。3. 在 上的應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件1.假設(shè) 面(l , m , n)為主面，則此斜面上斜面上沿坐標(biāo)向的應(yīng)力分量為： 斜面應(yīng)力

3、7-3 主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力代入 , 得到：考慮方向余弦關(guān)系式，有移項(xiàng)縮寫為：或2. 求主應(yīng)力 將式(a)改寫為：求主應(yīng)力 上式是求解 l , m , n 的齊次代數(shù)方程。由于l , m , n不全為0，所以其系數(shù)行列式必須為零，得展開，即得求主應(yīng)力的方程,求主應(yīng)力(7-6 )3.應(yīng)力主向 設(shè)主應(yīng)力 的主向?yàn)?。代入式(a)中的前兩式，整理后得應(yīng)力主向由上兩式解出 。然后由式(b)得出應(yīng)力主向再求出 及 。4. 一點(diǎn)至少存在著三個(gè)互相垂直的主應(yīng)力（證明見書上）。5.應(yīng)力不變量 若從式(c) 求出三個(gè)主應(yīng)力 ，則式(c)也可以用根式方程表示為， 上式 和( 7-6 )是等價(jià)的方程，故 的各冪

4、次系數(shù)應(yīng)相等，從而得出：應(yīng)力不變量應(yīng)力不變量 所以分別稱 為第一、二、三應(yīng)力不變量。這些不變量常用于塑性力學(xué)之中。 上式中的各式，左邊是不隨坐標(biāo)選擇而變的；而右邊各項(xiàng)雖與坐標(biāo)的選擇有關(guān)，但其和也應(yīng)與坐標(biāo)選擇無關(guān)。 6.最大與最小的應(yīng)力正應(yīng)力 設(shè)物體內(nèi)某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力已經(jīng)求得為 ，將x、y、z軸分別放在三個(gè)主應(yīng)力的方向，則 。則由一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)消去 得由得：可以得到 的一個(gè)極值為 。同理可得 的另外兩個(gè)極值為 。則最大、最小正應(yīng)力為主應(yīng)力中的最大、最小值。（2）切應(yīng)力 用同樣的方法可以得到切應(yīng)力的極值為 。最大和最小的切應(yīng)力作用于通過中間主應(yīng)力、并且“平分最大和最小正應(yīng)力的夾角”的平面

5、上。一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)7.關(guān)于一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的結(jié)論：6個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量完全確定一點(diǎn) 的應(yīng)力狀態(tài)。只要6個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力 分量確定了，則通過此點(diǎn)的任何面上的 應(yīng)力也完全確定并可求出。(2)一點(diǎn)存在著3個(gè)互相垂直的應(yīng)力主面及 主應(yīng)力。一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)(3) 3個(gè)主應(yīng)力包含了此點(diǎn)的最大和最小 正應(yīng)力。 (4) 一點(diǎn)存在3個(gè)應(yīng)力不變量(5) 最大和最小切應(yīng)力為 ，作用于通過中間 主應(yīng)力、并且“平分最大和最小正應(yīng) 力的夾角”的平面上。設(shè) 空間問題的幾何方程，可以從平面問題推廣得出： 現(xiàn)僅考慮只有xy平面內(nèi)的位移 時(shí)的情況進(jìn)行推導(dǎo)：幾何方程7-4 幾何方程及物理方程通過點(diǎn)P(x,y)作兩正坐標(biāo)向的微分線段變形前位

6、置： 變形后位置： 各點(diǎn)的位置如圖。 定義幾何方程空間問題的幾何方程為： 幾何方程 從幾何方程同樣可得出形變與位移之間的關(guān)系： 若位移確定，則形變完全確定。從數(shù)學(xué)上看，由位移函數(shù)求導(dǎo)數(shù)是完全確定的，故形變完全確定。 若形變確定，則位移不完全確定。 若在 邊界上給定了約束位移分量 ，則空間問題的位移邊界條件為：(7-9 )位移邊界條件(d) 其中由于小變形假定，略去了形變的2、3次冪。體積應(yīng)變體積應(yīng)變定義為：空間問題的物理方程 應(yīng)變用應(yīng)力表示，用于按應(yīng)力求解方法：物理方程可表示為兩種形式： 應(yīng)力用應(yīng)變表示，用于按位移求解方法：由物理方程可以導(dǎo)出（7-13）稱為體積應(yīng)力。-稱為體積模量。 空間問題的應(yīng)