靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析PPT

1、靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析本章主要講述幾種常見(jiàn)的靜定平面桿系結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算方法，通過(guò)本章學(xué)習(xí)主要應(yīng)掌握以下幾方面內(nèi)容： (1) 進(jìn)行各種靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算的主要方法有三種，即截面法、結(jié)點(diǎn)法、截面法與結(jié)點(diǎn)法聯(lián)合應(yīng)用，應(yīng)掌握這三種方法的基本原理和技巧。本章提要(2) 各種靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖的繪制，尤其是彎矩圖的繪制。應(yīng)學(xué)會(huì)用疊加法繪制內(nèi)力圖，掌握常用的簡(jiǎn)支梁、懸臂梁、外伸梁等在均布荷載和集中荷載作用下的彎矩圖、剪力圖的形式和特征。 常見(jiàn)的靜定平面桿系結(jié)構(gòu)主要有：(1) 靜定梁包括單跨靜定梁（簡(jiǎn)支梁、懸臂梁、外伸梁）和多跨靜定梁，分別見(jiàn)圖17.1(a)、(b)、(c)和圖17.1(d)所示。(2) 靜定平面剛架

2、包括簡(jiǎn)支剛架、懸臂剛架、三鉸剛架和組合剛架，如圖17.1(e)、(f)、(g)、(h)所示 (3) 三鉸拱式結(jié)構(gòu)如圖17.1(i)所示。(4) 靜定平面桁架包括簡(jiǎn)支桁架、懸臂桁架、三鉸拱式桁架，如圖17.1(j)、(k)、（l）所示。 圖17.1 本 章 內(nèi) 容17.1 靜定梁17.2 靜定平面剛架17.3 三鉸拱17.4 靜定平面桁架17.1 靜定梁?jiǎn)慰珈o定梁在工程實(shí)際中應(yīng)用較多，例如一般鋼筋混凝土過(guò)梁、吊車梁等，它的受力分析是其它桿系結(jié)構(gòu)受力分析的基礎(chǔ)，因此掌握單跨靜定梁受力分析的基本方法，將有助于進(jìn)一步結(jié)合幾何組成分析去研究其它桿系結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算。 17.1.1 單跨靜定粱由材料力學(xué)可知

3、，在一般荷載作用下，梁內(nèi)任一截面上通常有三種內(nèi)力，即軸力N、剪力V和彎矩M。計(jì)算上述內(nèi)力通常采用的基本方法是截面法，即用一假想截面將構(gòu)件沿計(jì)算截面切開(kāi)，取任一側(cè)為研究對(duì)象，在荷載和支座反力等外力和截面上內(nèi)力的作用下，隔離體處于平衡狀態(tài)，利用靜力平衡方程即可求出三個(gè)內(nèi)力。 17.1.1.1 粱內(nèi)任一截面上的內(nèi)力【例17.1】如圖17.2所示簡(jiǎn)支梁，試計(jì)算距A支座距離為1m處截面上的內(nèi)力?！窘狻浚?） 求支座反力先假設(shè)反力方向如圖17.2(b)所示，以整根梁為研究對(duì)象：X=0: HA-P=0 HA=P=4kN即HA方向與原假設(shè)方向相同。MB=0: VAl-ql0.5=0 VA=0.5ql=0.53

4、4kN=6kN Y=0: -QX+VA-q1=0 QX=VA-q=（6-3）kN=3kNMX=0: VA1-MX-q10.5=0MX=VA1-q0.5 =(6-30.5)kNm=4.5kNm 由上述例題可知：梁內(nèi)某截面上的軸力N等于該截面任一側(cè)所有外力沿梁軸切線方向所作投影的代數(shù)和；梁內(nèi)某截面上的剪力Q等于該截面任一側(cè)所有外力沿梁軸法線方向所作投影的代數(shù)和；梁內(nèi)某截面的彎矩M等于該截面任一側(cè)所有外力對(duì)該截面形心的力矩的代數(shù)和。VA方向與原假設(shè)方向相同。Y=0:VA+VB=qlVB=ql-VA=(34-6) kN=6kNVB方向與原假設(shè)方向相同。（2） 求計(jì)算截面上的內(nèi)力取計(jì)算截面左側(cè)為隔離體，

5、如圖17.2(c)所示，則由靜力平衡條件得：X=0: NX+HA=0,NX=-HA=-4kN方向與原假設(shè)相反。圖17.2 （1） 荷載集度q(x)、剪力Q和彎矩M之間的微分關(guān)系設(shè)荷載垂直于梁軸線，并向下為正，x軸平行于梁軸線，向右為正。從梁內(nèi)截出一小微段，長(zhǎng)為dx，根據(jù)平衡條件可得：17.1.1.2 內(nèi)力圖的繪制【例17.2】繪制例17.1簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力圖。【解】在例17.1中已求出該簡(jiǎn)支梁的支座反力，下面確定控制截面上的內(nèi)力，該梁的控制截面包括支座A、支座B和梁的中點(diǎn)。 支座A：根據(jù)靜力平衡條件可求得其剪力QA=VA=6kN；該支座為鉸支座且該支座處無(wú)外力偶作用，故其彎矩為零。支座B：同樣可求

6、得該處剪力QB=VB=6kN；MB=0?？缰校喝】缰薪孛嬗覀?cè)為隔離體，如圖17.3，內(nèi)力方向如圖中所示。 根據(jù)靜力平衡條件：X=0: NX-P=0NX=P=4kN，方向與原假設(shè)相同Y=0: QX+VB-ql/2=0 QX=32-6=0MX=0: MX+q(l/2)(l/4)-VB(l/2)=0MX=(64)/2-(34)/24/4=6kNm由于該梁上承受均布荷載和一固定軸力，因此該梁各截面上的軸力為一常數(shù)，軸力圖為一水平直線，剪力圖為一傾斜直線，彎矩圖為一拋物線，且在跨中處為最大值，如圖17.4所示。（2） 用疊加法作內(nèi)力圖當(dāng)荷載種類不同或荷載數(shù)量不止一個(gè)時(shí)，常常采用疊加法繪制結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖。疊

7、加法的基本原理是：結(jié)構(gòu)上全部荷載產(chǎn)生的內(nèi)力與每一荷載單獨(dú)作用所產(chǎn)生的內(nèi)力的代數(shù)和相等。（3） 繪制彎矩圖的步驟 求支座反力 求控制截面的彎矩值，控制截面包括桿的兩端、集中力作用處（求剪力時(shí)要取兩側(cè)各一個(gè)截面）、力偶作用處兩側(cè)、均布荷載的起點(diǎn)、終點(diǎn)和中點(diǎn)等； 若二控制截面間無(wú)外力作用，則連以直線。若有外力作用，則連直線（基線）后疊加上簡(jiǎn)支梁的彎矩圖?！纠?7.3】如圖17.5(a)所示一懸臂梁，承受均布荷載q=3kN/m和集中荷載P=4kN的作用，試?yán)L制其內(nèi)力圖。 【解】（1） 求支座反力由于沒(méi)有水平向的外荷載，因此支座水平反力為零，梁內(nèi)軸力也為零。根據(jù)平衡條件：Y=0: VA-ql-P=0 V

8、A=ql+P=(31+4)kN=7kNMA=0: MA+P1+q11=0 MA=-(4+3) kNm=-7kNmMA方向與原假設(shè)方向相反。(2) 計(jì)算控制截面內(nèi)力根據(jù)均布荷載的起訖點(diǎn)和集中力的作用點(diǎn)可以確定A、B、C、D截面為控制截面，如圖17.5(b)所示，各控制截面的內(nèi)力如下：A截面： MA=MA=-7kNm(上側(cè)受拉）QA=VA=7kNB截面： MB=VA0.5+MA=(70.5-7)kNm=-3.5kNm(上側(cè)受拉）QB=QA=7kNC截面： MC=-30.50.5/2kNm=-0.375kNm(上側(cè)受拉）QC左=（4+30.5)kN=5.5kNQC右=30.5kN=1.5kND截面：

9、 MD=0QD=0（3） 繪制剪力圖將各控制截面的剪力縱標(biāo)值繪在相應(yīng)位置上，由于AB段為無(wú)荷段，所以剪力圖為水平直線，BC段和CD段荷載為常數(shù)，故剪力圖應(yīng)為斜直線，將各段剪力縱標(biāo)值相連，即得剪力圖，如圖17.5(c)所示。（4） 繪制彎矩圖將各控制截面的彎矩縱標(biāo)值繪在相應(yīng)位置上，由于AB段為無(wú)荷區(qū)段，故彎矩圖應(yīng)為斜直線，將兩側(cè)彎矩縱標(biāo)值相連即可。對(duì)于BC段可先取該段為隔離體，如圖17.5(d)所示，由于該段在外力q和內(nèi)力MB、MC、QB、QC左作用下處于平衡狀態(tài)，所以可將該段看作是在MB、MC和q共同作用下的簡(jiǎn)支梁，QB、QC左可由支座反力代替，如圖17.5(e)所示。利用疊加原理可分別繪出在

10、MB、MC作用下的彎矩圖（如圖17.5(f)）和q單獨(dú)作用下的彎矩圖（如圖17.5(g)，以圖(f)的bc線為基線，將（g)圖沿豎向疊加上去，即為BC段的彎矩圖，如圖17.5(h)所示。同理也可作出CD段的彎矩圖。最后將上述各段的彎矩圖畫(huà)于一條基線上，即為該梁的彎矩圖，如圖17.5(i)所示。 【例17.4】如圖17.6所示一外伸梁，承受集中荷載P=4kN，均布荷載q=3kN/m，試?yán)L制其內(nèi)力圖。【解】根據(jù)疊加法原理，可把該結(jié)構(gòu)分解為如圖17.7所示幾種情況。情形:該結(jié)構(gòu)可看作是兩個(gè)對(duì)稱布置的懸臂梁，取CA段作隔離體，內(nèi)力方向如圖17.8（a)所示。MA=0: MA+ql1/2l=0MA=-1

11、/2ql2=-1/2312=-3/2kNmY=0: ql-QA=0QA=ql=31=3kN BD段與CA段相同，由于AB段無(wú)荷載作用，所以AB段的彎矩為直線分布，可直接將A點(diǎn)和B點(diǎn)的彎矩值相連即可，而AB段剪力為零，如圖17.8(b)、(c)。情形:該結(jié)構(gòu)可看作是一道簡(jiǎn)支梁，其彎矩圖和剪力圖分別如圖17.8(d)、(e)。情形:對(duì)該結(jié)構(gòu)可先求支座反力，以整個(gè)結(jié)構(gòu)為隔離體，如圖17.8(f)所示：MA=0: P(l+l)-YBl=0YB=4(2+1)/2=6kNY=0: P-VA-VB=0VA=P-VB=-2kN以CA段為隔離體，求MA：由于CA段上無(wú)荷載作用，所以MA=0。以BD段為隔離體，求

12、MB:MB=0: MB+P1=0MB=-4kNm該情形的彎矩圖、剪力圖如圖17.8（h)、(i)所示。將上述三種情形疊加，可求出整個(gè)結(jié)構(gòu)的彎矩圖和剪力圖，如圖17.8(j)、(k)所示。 圖17.3 圖17.4 圖17.5 圖17.6 圖17.7 圖17.8 樓梯斜梁承受的荷載主要有兩種，一種是沿斜梁水平投影長(zhǎng)度分布的荷載，如樓梯上人群的重量等；另一種是沿傾斜的梁軸方向分布的豎向荷載，如梁的自重等。一般在計(jì)算時(shí)，為計(jì)算簡(jiǎn)便可將沿梁軸方向分布的豎向荷載按等值轉(zhuǎn)換為沿水平方向分布的豎向荷載，如圖17.9(a)所示，梁斜長(zhǎng)為l，水平投影長(zhǎng)度為l，沿梁軸線方向分布的荷載為q，轉(zhuǎn)換為沿水平方向分布的荷載

13、為q，則由于是等值轉(zhuǎn)換，所以有： 17.1.1.3 斜梁的內(nèi)力計(jì)算與內(nèi)力圖的繪制ql=ql即q=ql/l=q/cos下面以承受沿水平向分布的均布荷載的斜梁為例進(jìn)行內(nèi)力分析，如圖17.9(b)所示。根據(jù)平衡條件，可以求出支座反力為：HA=0,VA=VB=1/2ql則距A支座距離為x的截面上的內(nèi)力可由取隔離體求出。如圖17.9(c)所示，荷載qx、YA，在梁軸方向（t方向）的分力分別為qxsin、YAsin；在梁法線方向（n方向）的分力分別為：qxcos、YAcos。則由平衡條件得：T=0： VAsin-qxsin+NX=0NX=(qx-1/2ql)sinN=0: VAcos-qxcos-QX=0

14、QX=(1/2ql-qx)cosMX=0: VAx-qxx/2-MX=0MX=1/2qx(1-x)由此即可繪出其內(nèi)力圖如圖17.9(d)所示。由上可知，彎矩圖為拋物線形，跨中彎矩為1/8ql2，它與承受相同荷載的水平簡(jiǎn)支梁完全相同，Q圖與同樣條件的水平簡(jiǎn)支梁的Q圖形狀相同，但數(shù)值是水平簡(jiǎn)支梁的cos倍。 圖17.9 （1） 幾何組成多跨靜定梁是由若干根伸臂梁和簡(jiǎn)支梁用鉸聯(lián)結(jié)而成，并用來(lái)跨越幾個(gè)相連跨度的靜定梁。這種梁常被用于橋梁和房屋的檁條中，如圖17.10所示。其簡(jiǎn)圖如圖17.11(a)所示。多跨靜定梁按其幾何組成特點(diǎn)可有兩種基本形式，第一種基本形式如圖17.11(b)所示；第二種基本形式如

15、圖17.12(a)所示 ，其層次圖如圖17.12(b)所示。 17.1.2 多跨靜定梁(2) 多跨靜定梁的內(nèi)力計(jì)算由層次圖可見(jiàn)，作用于基本部分上的荷載，并不影響附屬部分，而作用于附屬部分上的荷載，會(huì)以支座反力的形式影響基本部分，因此在多跨靜定梁的內(nèi)力計(jì)算時(shí)，應(yīng)先計(jì)算高層次的附屬部分，后計(jì)算低層次的附屬部分，然后將附屬部分的支座反力反向作用于基本部分，計(jì)算其內(nèi)力，最后將各單跨梁的內(nèi)力圖聯(lián)成一體，即為多跨靜定梁的內(nèi)力圖。 【例17.5】試作出如圖17.13(a)所示的四跨靜定梁的彎矩圖和剪力圖。【解】（1） 根據(jù)傳力途徑繪制層次圖，如圖17.13(b)所示。（2） 計(jì)算支座反力，先從高層次的附屬部

16、分開(kāi)始，逐層向下計(jì)算： EF段：由靜力平衡條件得ME=0: VF4-102=0VF=5kNY=0: VE=20+10-VF=25kN CE段：將VE反向作用于E點(diǎn)，并與q共同作用可得：MD=0: VC4-442+251=0VC=1.75kNY=0: VC+VD-44-25=0VD=39.25kN FH段：將VF反向作用于F點(diǎn)，并與q=3kN/m共同作用可得：MG=0: VH4+VF1-342=0VH=4.75kNY=0: VG+VH-VF-34=0VG=12.25kN AC段：將VC反向作用于C點(diǎn)，并與q=4kN/m共同作用可得：MB=0: VA4+VC1+410.5-442=0VA7kNY=

17、0: VB+VA-45-VC=0VB=14.7kN(3) 計(jì)算內(nèi)力并繪制內(nèi)力圖各段支座反力求出后不難由靜力平衡條件求出各截面內(nèi)力，然后繪制各段內(nèi)力圖，最后將它們聯(lián)成一體，得到多跨靜定梁的M、Q圖，如圖17.14所示?！纠?7.6】作圖17.15所示的多跨靜定梁的彎矩圖?！窘狻浚?） 根據(jù)傳力途徑，繪制層次圖，如圖17.16所示。 (2) 計(jì)算支座反力，先從高層次的附屬部分開(kāi)始，逐層向下計(jì)算： IJ段：由靜力平衡條件得：Y=0: VI+VJ=34MI=0: 342-VJ4=0可解得： VJ=6kNVI=6kN GI段：將VI反向作用于I點(diǎn)，Y=0: VG+VH=3+6+31=12kNMG=0:

18、65+314.5-6-VH4=0可解得： VH2.6kNVG=9.4kN CD段：同理可求得VC=3kN,VD=3kN。 DG段：將VD和VG分別反向作用于D點(diǎn)和G點(diǎn)，可求得VE=1.4kN，VF=14kN。 AC段：將VC反作用于C點(diǎn)，可求得VA=1.25kN，VB=5.75kN。（3） 計(jì)算內(nèi)力并繪制彎矩圖根據(jù)靜力平衡條件，計(jì)算各段上控制截面的彎矩，繪制各段的彎矩圖，并將它們聯(lián)成一體，得到該多跨靜定梁的彎矩圖，如圖17.17所示。圖17.10 圖17.11 圖17.12 圖17.13 圖17.14 圖17.15 圖17.16 圖17.17 17.2 靜定平面剛架第一，剛架整體剛度大，在荷載

19、作用下，變形較??；第二，剛架在受力后，剛結(jié)點(diǎn)所連的各桿件間的角度保持不變，即結(jié)點(diǎn)對(duì)各桿端的轉(zhuǎn)動(dòng)有約束作用，因此剛結(jié)點(diǎn)可以承受和傳遞彎矩，這樣剛架中各桿內(nèi)力分布較均勻，且比一般鉸結(jié)點(diǎn)的梁柱體系小，故可以節(jié)省材料；第三，由于剛架中桿件數(shù)量較少，內(nèi)部空間較大，所以剛架結(jié)構(gòu)便于利用。 17.2.1 剛架的特點(diǎn)當(dāng)剛架的桿軸和外力都在同一平面內(nèi)時(shí)，稱為平面剛架，根據(jù)支座的情況，剛架可分為靜定剛架和超靜定剛架。 靜定平面剛架通?？煞譃閼冶蹌偧?、簡(jiǎn)支剛架、三鉸剛架和組合剛架等型式，如圖17.18所示。 圖17.18 靜定平面剛架的內(nèi)力一般有彎矩、剪力和軸力。靜定平面剛架內(nèi)力分析的步驟是：先計(jì)算支座反力和鉸結(jié)點(diǎn)

20、處的約束力，然后以外力變化點(diǎn)和剛架桿件的彎折點(diǎn)為分段點(diǎn)，截取各段為隔離體，根據(jù)靜力平衡方程計(jì)算各分段點(diǎn)處的內(nèi)力，最后根據(jù)前述梁中內(nèi)力圖的繪制規(guī)律逐桿繪出該剛架的內(nèi)力圖，并進(jìn)行校核。17.2.2 靜定平面剛架的內(nèi)力分析【例17.7】試?yán)L制圖17.19(a)所示剛架的內(nèi)力圖。【解】本題為懸臂剛架，可不計(jì)算支座反力而直接計(jì)算內(nèi)力，并繪制內(nèi)力圖。（1） 計(jì)算內(nèi)力CB段：MCB=0,NCB=0,QCB=0MBC=442kNm=32kNm(上側(cè)受拉）NBC=-44sinkN=-8kNQBC=-44coskN=-83kNBD段：MDB=0,NDB=0,VDB=0MBD=442kNm=32kNm(上側(cè)受拉)N

21、BD=NBC=-8kNQBD=QBC=-83kN BE段：取結(jié)點(diǎn)B為隔離體，如圖17.19(b)所示，MB=0:MBE+MBC-MBD=0MBE=0以豎向?yàn)閥坐標(biāo)軸，向上為正，以水平向?yàn)閤坐標(biāo)軸，向右為正，以B為原點(diǎn)，則：X=0:QBE+NBDcos-NBCcos+QBDsin-QBCsin=0QBE=0Y=0:-NBE+NBCsin+NBDsin-QBDcos-QBCcos=0NBE=-32kN(2) 繪制內(nèi)力圖內(nèi)力圖如圖17.19(c)、(d)、(e)所示。(3) 校核求支座反力：支座豎向反力：YA=48kN=32kN(向上）支座水平反力：XA=P=4kN(向左）支座彎矩：MA=P3=12

22、kNm(逆時(shí)針?lè)较颍┮訟結(jié)點(diǎn)為隔離體進(jìn)行校核：X=HA-QAE=4-4=0Y=VA+NAE=32-32=0MA=MA-MAE=12-12=0圖17.19 【例17.8】繪制圖17.20(a)所示剛架的內(nèi)力圖。【解】（1） 求支座反力以整個(gè)剛架為隔離體，則X=0:HA+4+44=0HA=-20kN()MA=0:VD4-242-44-442=0VD=16kN()Y=0:VA+VD=24VA=(8-16)kN=-8kN()（2） 計(jì)算內(nèi)力CD桿：NCD=NDC=-VD=-16kNQCD=QDC=0,MCD=MDC=0AB桿：NAB=NBA=-VA=8kNQAB=-HA=20kN,QBA=QAB-44

23、=4kNMAB=0MBA=-442+VAB4=48kNm內(nèi)側(cè)受拉BC桿：取B結(jié)點(diǎn)為隔離體，如圖17.20（b)所示：X=0:NBC+4-QBA=0NBC=0Y=0:QBC+NBA=0QBC=-8kNMB=0:MBC-MBA=0MBC=MBA=48kNm(內(nèi)側(cè)受拉）取BC桿為隔離體，如圖17.20(c)所示：X=0:NCB=NBC=0Y=0:QCB+24-QBC=0QCB=-16kNMC=0:MCB-MBC+242-QBC4=0MCB=0(3) 繪制內(nèi)力圖該剛架內(nèi)力圖如圖17.20(f)、(g)、（h）所示。(4) 校核：取C為隔離體校核：Y=QCB-NCD=-16-(-16)=0取BCD為隔離

24、體進(jìn)行校核：Y=QBC-24-NCD=-8-8-(-16)=0MB=MBC+242+NCD4=48+16-164=0上述計(jì)算結(jié)果無(wú)誤。圖17.20 【例17.9】繪制圖17.21（a)所示剛架的內(nèi)力圖。【解】對(duì)于這種組合剛架，計(jì)算時(shí)應(yīng)先計(jì)算附屬部分的反力，再計(jì)算基本部分的反力，然后按前述方法計(jì)算內(nèi)力并繪制內(nèi)力圖。本題中ABCD部分為基本部分，EFG部分為附屬部分。（1） 求支座反力取EFG為隔離體：X=0:NEF+23=0NEF=-6kNME=0:VG2-231.5=0VG=4.5kN()Y=0:QEF+VG=0QEF=-4.5kN取ABCD為隔離體：X=0:HA+4+NEF=0HA=2kN(

25、)MA=0:VD4-QEF4-NEF3-442-42=0VD=1kN()Y=0:VA+VD-QEF-44=0VA=10.5kN(2) 求內(nèi)力AH桿：如圖17.21（d)所示：Y=0:NHA+VA=0NHA=-VA=-10.5kNX=0:QHA+HA=0QHA=-HA=-2kNMH=0:MHA-HA2=0MHA=2HA=4kNm(外側(cè)受拉）HB桿：取結(jié)點(diǎn)H為隔離體，如圖17.21(e)所示：Y=0:NHB-NHA=0NHB=NHA=-10.5kNX=0:QHB+4-QHA=0QHB=QHA-4=-6kNMH=0:MHB-MHA=0MHB=MHA=4kNm(外側(cè)受拉）取HB為隔離體，同理可求得NB

26、H=NHB=-10.5kNQBH=QHB=-6kNMBH=MHB-QHB2=4-2(-6)kNm=16kNm(外側(cè)受拉） BC桿：取結(jié)點(diǎn)B為隔離體，如圖17.21(f)所示：X=0:NBC-QBH=0NBC=QBH=-6kNY=0:QBC-NBH=0QBC=NBH=-10.5kNMB=0:MBC-MBH=0MBC=MBH=16kNm(上側(cè)受拉）取BC桿為隔離體，如圖17.21(g)所示：X=0:NCB-NBC=0NCB=NBC=-6kNY=0:QBC-QCB-44=0QCB=QBC-44=(10.5-16)kN=-5.5kNMC=0:MCB-MBC-442+QBC4=0MCB=MBC+442-

27、QBC4=(16+32-10.54)kNm=6kNm(上側(cè)受拉）用同樣的方法可分別求出CD、EF、FG桿的內(nèi)力，見(jiàn)圖17.22。（3） 繪制內(nèi)力圖內(nèi)力圖如圖17.22所示。(4) 校核分別以結(jié)點(diǎn)D、結(jié)點(diǎn)G和整個(gè)結(jié)構(gòu)為隔離體進(jìn)行校核，可見(jiàn)均滿足平衡條件。圖17.21 圖17.22 17.3 三鉸拱拱式結(jié)構(gòu)是指桿軸為曲線，在豎向荷載作用下，支座處產(chǎn)生水平推力的結(jié)構(gòu)。如圖17.23所示的結(jié)構(gòu)。拱的形式一般有無(wú)鉸拱、兩鉸拱、三鉸拱等幾種，如圖17.24所示。拱式結(jié)構(gòu)的頂點(diǎn)稱為拱頂，三鉸拱的中間鉸往往布置于拱頂，拱與基礎(chǔ)的聯(lián)結(jié)處稱為拱腳，拱腳的水平距離l稱為拱的跨度，拱頂?shù)焦澳_連線的豎直距離f叫拱高，拱

28、高f與跨度l之比f(wàn)/l叫高跨比。 17.3.1 概述圖17.23 圖17.24 為了計(jì)算簡(jiǎn)單明了，下面以拱腳在同一水平線上的三鉸拱和同荷載同跨度的水平簡(jiǎn)支梁做比較，導(dǎo)出三鉸拱內(nèi)力的計(jì)算方法，如圖17.25所示。（1） 計(jì)算支座反力取整個(gè)結(jié)構(gòu)為隔離體，根據(jù)平衡條件可得：MA=0: VBl-P1a1-P2a2-P3a3=0VB=（P1a1+P2a2+P3a3）/l=1/lPiaiMB=0: VAl-P1b1-P2b2-P3b3=0VA=(P1b1+P2b2+P3b3)/l=1/lPibiX=0: HA=HB17.3.2 三鉸拱內(nèi)力的計(jì)算由于C點(diǎn)為鉸連接，C點(diǎn)處的彎矩為零，故以左半跨為隔離體對(duì)C點(diǎn)取

29、矩，建立補(bǔ)充方程：MC=0:Val/2-HAf-P1(l/2-a1)=0HA=1/2Pibi-1/2P1(l-2a1)/f對(duì)于簡(jiǎn)支梁（如圖17.25(b)所示）可以按同樣的方法求出：V0A=1/lPibiV0B=1/lPiaiC點(diǎn)的彎矩為：M0C=V0Al/2-P1(l/2-a1)= 1/2Pibi-1/2P1(l-2a1) 由上述各式可以得出：VA=V0AVB=V0BHA=HB=M0C/f支座水平推力與拱軸曲線形狀無(wú)關(guān)，而只與荷載及三個(gè)鉸的位置有關(guān)；當(dāng)荷載與跨度確定時(shí)，M0C為定值，水平推力與矢高成反比關(guān)系，f愈大，拱愈高，則推力愈?。籪愈小，拱愈扁平，則推力愈大。 圖17.25 （2） 內(nèi)

30、力的計(jì)算拱的內(nèi)力計(jì)算時(shí)，仍按截面法計(jì)算，且截面應(yīng)與拱軸垂直，該截面的位置由截面形心的坐標(biāo)x、y及該截面處拱軸切線的傾角來(lái)確定。如圖17.26(a)所示，設(shè)計(jì)算截面K的三個(gè)參數(shù)分別為xK、yK、K，該截面上的內(nèi)力有MK(內(nèi)側(cè)受拉為正）、QK(繞隔離體順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)者為正）和NK（以壓力為正）。下面分別討論三種內(nèi)力的計(jì)算方法。 彎矩的計(jì)算取K截面以左為隔離體，如圖17.26(c)所示，對(duì)K截面取矩：MK=0:HAyK-VAxK+P1(xK-a1)+MK=0MK=VAxK-P1(xK-a1)-HAyK相應(yīng)簡(jiǎn)支梁在相應(yīng)位置處的彎矩也可由靜力平衡條件求出，如圖17.26(b)、(d)所示：M0K=V0AxK

31、-P1(xK-a1) 由于VA=V0A,所以三鉸拱K截面上的彎矩為：MK=M0K-HAyK 剪力的計(jì)算如圖17.26(c)所示，以QK方向?yàn)閥軸，NK方向?yàn)閤軸，建立坐標(biāo)系，則由于Y=0:QK-VAcosK+P1cosK+HAsinK=0QK=(VA-P1)cosK-HAsinK相應(yīng)簡(jiǎn)支梁在K截面處的剪力計(jì)算如下，如圖17.26(d)所示：Y=0:Q0K+P1-V0A=0Q0K=V0A-P1由于VA=V0A，所以：QK=Q0KcosK-HAsinK 軸力的計(jì)算坐標(biāo)系與求剪力時(shí)坐標(biāo)系相同，則：X=0：NK+P1sinK-VAsinK-HAcosK=0NK=(VA-P1)sinK+HAcosK=Q

32、0KsinK+HAcosK對(duì)于承受外荷載的三鉸拱，只要已知拱軸方程y=f(x)，即不難根據(jù)已知的x值求出y值，并根據(jù)dy/dx=tan，求出的值，進(jìn)一步可按上述三個(gè)基本公式求出截面上的內(nèi)力。圖17.26 【例17.10】某三鉸拱及其荷載如圖17.27(a)所示，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)選在左支座時(shí)，拱軸方程為y=4f(l-x)x /l2，試作該三鉸拱的內(nèi)力圖。【解】（1） 求支座反力由式（17.7)和式（17.8)可求得：VA=V0A=90kNVB=V0B=70kNHA=HB=M0C/f=1/2(904-503-2021)kN=85kN(2) 確定控制截面并計(jì)算控制截面的內(nèi)力將拱沿跨度分成8等份，各等分點(diǎn)所

33、對(duì)應(yīng)的截面作為控制截面，按照下列各計(jì)算公式計(jì)算各截面內(nèi)力：MK=M0K-HAyKNK=Q0KsinK+HAcosKQK=Q0KcosK-HAsinK計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表17.1。（3） 繪制內(nèi)力圖根據(jù)表17.1可以繪出內(nèi)力圖如圖17.27(b)所示。圖17.27 表17.1 三鉸拱的內(nèi)力計(jì)算為了充分發(fā)揮材料抗壓強(qiáng)度高、抗拉強(qiáng)度較低的性能，我們可以通過(guò)調(diào)整拱的軸線，使拱在任何確定的荷載作用下各截面上的彎矩值為零，這時(shí)拱截面上只有通過(guò)截面形心的軸向壓力作用，其壓應(yīng)力沿截面均勻分布，此時(shí)的材料使用最為經(jīng)濟(jì)，這種在固定荷載作用下，使拱處于無(wú)彎矩狀態(tài)的相應(yīng)拱軸線稱為該荷載作用下的合理拱軸。 合理拱軸的軸線方程可

34、以根據(jù)在荷載作用下，任何截面的彎矩為零的原則確定。17.3.3 三鉸拱的合理拱軸在某種荷載作用下，拱任何截面的彎矩為M=M0-HAy令其等于零得：M0-HAy=0則：y=M0/HA由此可見(jiàn)，當(dāng)拱上荷載為已知時(shí)，只要求出相應(yīng)簡(jiǎn)支梁的彎矩方程，然后除以支座水平推力HA，即可求得合理拱軸的軸線方程?！纠?7.11】求出如圖17.28(a)所示三鉸拱承受豎向均布荷載時(shí)的合理拱軸。【解】作相應(yīng)簡(jiǎn)支梁，其彎矩方程為：M0=1/2qlx-1/2qx2=1/2qx(l-x)支座水平推力為：HA=M0C/f=ql2/8f合理拱軸方程應(yīng)為：y=M0/HA=1/2qx(l-x)/ ql28f=4f/l2 (l-x)

35、x由此可見(jiàn)，三鉸拱在豎向均布荷載作用下的合理拱軸是一條二次拋物線。圖17.28 17.4 靜定平面桁架桁架結(jié)構(gòu)是由很多桿件通過(guò)鉸結(jié)點(diǎn)連接而成的結(jié)構(gòu)，各個(gè)桿件內(nèi)主要受到軸力的作用，截面上應(yīng)力分布較為均勻，因此其受力較合理。工業(yè)建筑及大跨度民用建筑中的屋架、托架、檁條等常常采用桁架結(jié)構(gòu)。 17.4.1 桁架的特點(diǎn)及其分類17.4.1.1 桁架的特點(diǎn)桁架的計(jì)算簡(jiǎn)圖常常采用下列假定：(1) 聯(lián)結(jié)桿件的各結(jié)點(diǎn)，是無(wú)任何摩擦的理想鉸(2) 各桿件的軸線都是直線，都在同一平面內(nèi)，并且都通過(guò)鉸的中心。 (3) 荷載和支座反力都作用在結(jié)點(diǎn)上，并位于桁架平面內(nèi)。滿足上述假定的桁架稱為理想桁架，在繪制理想桁架的計(jì)算

36、簡(jiǎn)圖時(shí)，應(yīng)以軸線代替各桿件，以小圓圈代替鉸結(jié)點(diǎn)。如圖17.29所示為一理想桁架的計(jì)算簡(jiǎn)圖。圖17.29 （1） 按照桁架的外形分類 平行弦桁架，如圖17.30(a)所示； 折線形桁架，如圖17.30(b)所示； 三角形桁架，如圖17.30(c)所示； 梯形桁架，如圖17.30(d)所示； 拋物線形桁架，如圖17.30(e)所示。 (2) 按照豎向荷載引起的支座反力的特點(diǎn)分類 梁式桁架，只產(chǎn)生豎向支座反力，如圖17.30(a)、(b)、(c)、(d)、(e)所示； 拱式桁架，除產(chǎn)生豎向支座反力外還產(chǎn)生水平推力，如圖17.30(f)所示。17.4.1.2 桁架的分類(3) 按照桁架的幾何組成分類

37、簡(jiǎn)單桁架：以一個(gè)基本鉸結(jié)三角形為基礎(chǔ)，依次增加二元體而組成的幾何不變且無(wú)多余聯(lián)系的桁架，如圖17.30(a)、(d)、(e)所示。 聯(lián)合桁架：由幾個(gè)簡(jiǎn)單桁架組成的幾何不變的靜定桁架，如圖17.30(c)、(f)所示。 復(fù)雜桁架：不屬于簡(jiǎn)單桁架和聯(lián)合桁架的桁架即為復(fù)雜桁架，如圖17.30(b)所示。圖17.30 在實(shí)際計(jì)算時(shí)，可以先從未知力不超過(guò)兩個(gè)的結(jié)點(diǎn)計(jì)算，求出未知桿的內(nèi)力后，再以這些內(nèi)力為已知條件依次進(jìn)行相鄰結(jié)點(diǎn)的計(jì)算。在桁架中，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)軸力為零的桿件，它們被稱為零桿。在計(jì)算之前先斷定出哪些桿件為零桿，哪些桿件內(nèi)力相等，可以使后續(xù)的計(jì)算大大簡(jiǎn)化。在判別時(shí)，可以依照下列規(guī)律進(jìn)行。 17.4

38、.2 用結(jié)點(diǎn)法與截面法計(jì)算桁架的內(nèi)力17.4.2.1 用結(jié)點(diǎn)法計(jì)算桁架的內(nèi)力（1） 對(duì)于兩桿結(jié)點(diǎn)，當(dāng)沒(méi)有外力作用于該結(jié)點(diǎn)上時(shí)，則兩桿均為零桿，如圖17.31(a)所示；當(dāng)外力沿其中一桿的方向作用時(shí)，該桿內(nèi)力與外力相等，另一桿為零桿，如圖17.31（b)所示。（2） 對(duì)于三桿結(jié)點(diǎn)，若其中兩桿共線，當(dāng)無(wú)外力作用時(shí)，則第三桿為零桿，其余兩桿內(nèi)力相等，且內(nèi)力性質(zhì)相同（均為拉力或壓力）。如圖17.31(c)所示。（3） 對(duì)于四桿結(jié)點(diǎn)，當(dāng)桿件兩兩共線，且無(wú)外力作用時(shí)，則共線的各桿內(nèi)力相等，且性質(zhì)相同。如圖17.31(d)所示。圖17.31 【例17.12】用結(jié)點(diǎn)法計(jì)算如圖17.32(a)所示桁架中各桿的內(nèi)

39、力。【解】 (1) 計(jì)算支座反力VA=VB=1/2(340+220)kN=80kN(2) 計(jì)算各桿內(nèi)力由于A結(jié)點(diǎn)只有兩個(gè)未知力，故先從A結(jié)點(diǎn)開(kāi)始計(jì)算。A結(jié)點(diǎn)：如圖17.32(b)所示。Y=0: VA-20+VA4=0VA4=-60kNNA4=-605kN=-134.16kN(壓力)X=0: NA1+HA4=0HA1=-HA4=-6/35NA4=120kN(拉力)以1結(jié)點(diǎn)為隔離體，可以斷定14桿為零桿，A1桿與12桿內(nèi)力相等，性質(zhì)相同，即：N12=NA1=120kN(拉力)以4結(jié)點(diǎn)為隔離體，如圖17.32(c)所示。Y=0:V45-P-V42-V41-V4A=0X=0: H45+H42-H4A=

40、0將H45、V45、H42、N42、V42、N42、HA4、NA4、VA4、N41代入上兩式得：N45-N42=-134.16 聯(lián)立求解得： N42=-44.7kN(壓力)N45=-89.5kN(壓力)以結(jié)點(diǎn)5為隔離體，如圖17.32(d)所示。由于對(duì)稱性，所以N56=N54Y=0: V54+V56+N52+40=02V54+N52+40=0N52=40kN(拉力)(3) 校核以結(jié)點(diǎn)6為隔離體進(jìn)行校核，可見(jiàn)滿足平衡方程。圖17.32用一截面將桁架分為兩部分，其中任一部分桁架上的各力(包括外荷載、支座反力、各截?cái)鄺U件的內(nèi)力)，組成一個(gè)平衡的平面一般力系，根據(jù)平衡條件，對(duì)該力系列出平衡方程，即可求

41、解被截?cái)鄺U件的內(nèi)力。利用截面法計(jì)算桁架中各桿件內(nèi)力時(shí)，最多可以列出兩個(gè)投影方程和一個(gè)力矩方程，即：X=0Y=0M=017.4.2.2 用截面法計(jì)算桁架各桿件的內(nèi)力【例17.13】如圖17.33(a)所示的平行弦桁架，試求a、b桿的內(nèi)力?！窘狻?1) 求支座反力Y=0: VA=VB=1/2 (25+510)kN=30kN(2) 求a桿內(nèi)力作-截面將12桿、a桿、45桿截?cái)?，如圖17.33(a)所示，并取左半跨為隔離體，如圖17.33(b)所示，由于上、下弦平行，故用投影方程(式(17.14)計(jì)算較方便。Y=0: Na+VA-5-10=0Na=(5+10-30)kN=-15kN(壓力)(3) 求b

42、桿內(nèi)力作-截面將23桿、b桿、45桿截?cái)?，如圖17.33(a)所示，取左半跨為隔離體，如圖17.33(c)所示，利用投影方程Y=0計(jì)算：Y=0: VA-Vb-5-10-10=0Vb=(30-5-10-10)kN=5kN根據(jù)Nb與其豎向分量Vb的比例關(guān)系，可以求得：Nb=2Vb=7.07kN(拉力) 圖17.33 【例17.14】求圖17.34(a)所示桁架中CD桿、HC桿的內(nèi)力?！窘狻?1) 求支座反力Y=0: VA=VB=4P(2) 求CD桿的內(nèi)力作-截面，如圖17.34(a)所示，取左半跨為隔離體，如圖17.34(b)所示，由于三個(gè)未知力中NFE、NGE交于一點(diǎn)E，故利用力矩方程計(jì)算：ME

43、=0: Val/2-NCDh-P/2l/2-P3a-P2a-Pa=0NCD=8Pa/h(3) 求HC桿的內(nèi)力作-截面，如圖17.34(a)所示，取左半跨為隔離體，如圖17.34(c)所示，可見(jiàn)共有四個(gè)未知力，但除所求HC桿外，其余三桿同交于一點(diǎn)，因此可以利用力矩方程計(jì)算：MI=0: Va2a-P/22a-Pa-NHCh/2=0NHC=12Pa/h【例17.15】用截面法求圖17.35(a)所示中a、b、c三桿的內(nèi)力。【解】(1) 求支座反力Y=0: VA=VB=1/2(210+320)kN=40kN(2) 求內(nèi)力作截面-截?cái)嗨笕龡U，如圖17.35(a)所示，取左半部分為隔離體。求Nc:以結(jié)點(diǎn)4為矩心取矩，如圖17.3