電磁場課件：第2章_靜態(tài)電磁場I靜電場

1、第2章 靜電場 基本方程與場的特性 自由空間的電場 導(dǎo)體和電介質(zhì) 電介質(zhì)中的電場 邊值問題 電容 部分電容 電場能量 恒定電場基本方程與場的特性 恒定電場與靜電場的比擬 第2章 靜態(tài)電磁場I：靜電場 靜電場： 由相對于觀察者為靜止的、且量值不隨時間變化的電荷所激發(fā)的電場。 本章任務(wù)： 闡述靜電荷與電場之間的關(guān)系，建立靜電場基本方程并分析其物理意義，研究真空中、導(dǎo)體中及電介質(zhì)中的靜電場特性，在已知電荷或電位的情況下求解電場的各種計算方法，或者反之。 靜電場是本課程的基礎(chǔ)。由此建立的物理概念、分析方法在一定條件下可類比推廣到恒定電場,恒定磁場及時變場。 靜電場知識結(jié)構(gòu)框圖第2章 靜態(tài)電磁場I：靜電

2、場 演繹法（補充）：演繹法是與歸納法相反的一種研究方法，是從既有的普遍性結(jié)論或一般性事理，推導(dǎo)出個別性結(jié)論的一種方法，即由較大范圍，逐步縮小到所需的特定范圍。它是從一般到特殊，由定義、根本規(guī)律等出發(fā)一步步遞推，邏輯嚴密結(jié)論可靠，且能體現(xiàn)事物的特性。演繹法的基本形式是三段論式，它包括：（1）大前提，是已知的一般原理或一般性假設(shè)； （2）小前提，是關(guān)于所研究的特殊場合或個別事實的判斷，小前提應(yīng)與大前提有關(guān)；（3）結(jié)論，是從一般已知的原理（或假設(shè)）推出的，對于特殊場合或個別事實作出的新判斷。由相對于觀察者為靜止的、且量值不隨時間變化的電荷所激發(fā)的電場。 本章先驗知識：整個這本書的脈絡(luò)是演繹法，采用第

3、1章（以數(shù)學(xué)物理方法為研究手段）給出的電磁場矢量分析、場論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、麥克斯韋方程組等宏觀電磁場分析基本理論，對電磁場分類中的最簡單的一種類型-靜態(tài)電場進行分析。2.1.1 靜態(tài)電磁場2.1 靜電場的基本方程和場的特性 電磁場中的源量不隨時間而變化，這時場中的場量也將不隨著時間而變化，而僅僅是空間坐標的函數(shù)。（按源量和場量的性質(zhì)分類） 源量有哪些？場量有哪些？ 微分形式的麥克斯韋方程回顧：積分形式反映場量在某一大尺度空間的特性；微分形式能精確反映場量在空間任一點的特性，即反映細節(jié)。方程表明靜態(tài)電磁場的電場和磁場沒有相互耦合關(guān)系，因此可以在單一電場或磁場效應(yīng)下分別進行分析和討論。 時不變 其媒質(zhì)

4、的構(gòu)成方程為:D = E D = 微分形式:積分形式:顯然，靜電場是有散(有源)、無旋場。 2.1.2 靜電場的基本方程在理想的真空狀態(tài)介電常數(shù)=0 亥姆霍茲定理（回顧）：無界空間矢量場唯一地由其散度和旋度所確定，因此場的散度和旋度是研究場特性的首要問題。（本書討論的總體脈絡(luò)就是分析場的散度和旋度特性！）2.1.3 真空中靜電場的高斯定理1. 靜電場的散度真空中靜電場高斯定律的微分形式其物理意義表示為 高斯定律說明了靜電場是一個有源場，電荷就是場的散度（通量源），電力線從正電荷發(fā)出，終止于負電荷。 靜電場是有散(有源)場若場中某點 E0，則 0 (正電荷)，該點電力線向外發(fā)散，且為“源”的所在

5、處；若某點 E0，則 d的遠場情況） 。圖 電偶極子現(xiàn)采用球坐標系，設(shè)原點在電偶極子的中心，z軸與d相重。應(yīng)用疊加原理，任意點的電位為 當r很大時，r1、r2和r三者將近乎平行，此時r2 r1 dcos，r1r2 r2代入上式，得 E 線：曲線上每一點切線方向應(yīng)與該點電場強度E的方向一致，若 是電力線的長度元，E 矢量將與 方向一致，故電力線微分方程在直角坐標系中：微分方程的解即為電力線 E 的方程。當取不同的 C 值時，可得到不同的等位線（面）。 在靜電場中電位相等的點的曲面稱為等位面，即等位線(面)方程:2.2.4 電場線與等位線（面） 電場線與等位線（面）的性質(zhì)： E線不能相交; E線起

6、始于正電荷，終止于負電荷; E線愈密處，場強愈大; E線與等位線（面）正交；圖1.2.3 電偶極子的等位線和電力線圖 點電荷與接地導(dǎo)體的電場圖 點電荷與不接地導(dǎo)體的電場例2-7 畫出電偶極子的等位線和電場線 。圖 均勻場中放進了介質(zhì)球的電場圖 均勻場中放進了導(dǎo)體球的電場圖 點電荷位于一塊介質(zhì)上方的電場圖 點電荷位于一塊導(dǎo)平面上方的電場電場強度垂直于導(dǎo)體表面；導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體表面為等位面；導(dǎo)體內(nèi)電場強度E為零，靜電平衡；電荷分布在導(dǎo)體表面，且任何導(dǎo)體，只要它們帶電量不變，則其電位是不變的。 （ ）一導(dǎo)體的電位為零，則該導(dǎo)體不帶電。 （ ）接地導(dǎo)體都不帶電。（ ）圖 靜電場中的導(dǎo)體2.3 導(dǎo)體和

7、電介質(zhì)2.3.1靜電場中導(dǎo)體的性質(zhì) 電介質(zhì)在外電場E作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極矩； 電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷； 極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場的源。式中 為體積元 內(nèi)電偶極矩的矢量和，P的方向從負極化電荷指向正極化電荷。無極性分子有極性分子圖 電介質(zhì)的極化用極化強度P表示電介質(zhì)的極化程度，即C/m2電偶極矩體密度2.3.2 靜電場中的電介質(zhì) 實驗結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中 電介質(zhì)的極化率,無量綱量。均勻：媒質(zhì)參數(shù)不隨空間坐標（x,y,z）而變化。各向同性：媒質(zhì)的特性不隨電場的方向而改變,反之稱為各向異性；線性：媒質(zhì)的參數(shù)不隨電場的值而變化； 一個電偶極子產(chǎn)生的電位：式

8、中圖1.2.15 電偶極子產(chǎn)生的電位 圖1.2.16 體積V內(nèi)電偶極矩產(chǎn)生的電位 極化強度 P 是電偶極矩體密度，根據(jù)疊加原理，體積V內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電位為：矢量恒等式： 圖1.2.16 體積V內(nèi)電偶極矩產(chǎn)生的電位散度定理 令極化電荷體密度極化電荷面密度 面電荷： 體電荷： 在均勻極化的電介質(zhì)內(nèi)，極化電荷體密度 這就是電介質(zhì)極化后，由面極化電荷 和體極化電荷 共同作用在真空 中產(chǎn)生的電位。 根據(jù)電荷守恒原理，這兩部分極化電荷的總和 有電介質(zhì)存在的場域中，任一點的電位及電場強度表示為1、高斯定律的微分形式（真空中）（電介質(zhì)中）定義電位移矢量（ Displacement）則有電介質(zhì)中高斯定律的微分

9、形式代入 ,得 D線從正的自由電荷發(fā)出而終止于負的自由電荷。2.4 電介質(zhì)的電場2.4.1 電介質(zhì)中的高斯定律( )( )( )qq D 的通量與介質(zhì)無關(guān)，但不能認為D 的分布與介質(zhì)無關(guān)。 D 通量只取決于高斯面內(nèi)的自由電荷，而高斯面上的 D 是由高斯面內(nèi)、外的系統(tǒng)所有電荷共同產(chǎn)生的。2、 高斯定律的積分形式散度定理圖 點電荷q分別置于金屬球殼的內(nèi)外圖 點電荷的電場中置入任意一塊介質(zhì)例 求電荷線密度為 的無限長均勻帶電體的電場。解：電場分布特點： D 線皆垂直于導(dǎo)線，呈輻射狀態(tài)； 等 r 處D 值相等；取長為L，半徑為 r 的封閉圓柱面為高斯面。由 得圖1.2.20 電荷線密度為 的無限長均勻

10、帶電體3. 高斯定律的應(yīng)用計算技巧： a）分析給定場分布的對稱性，判斷能否用高斯定律求解。b）選擇適當?shù)拈]合面作為高斯面，使 容易積分。 高斯定律適用于任何情況，但只有具有一定對稱性的場才能得到解析解。圖示平行板電容器中放入一塊介質(zhì)后，其D 線、E 線和P 線的分布。 D 線由正的自由電荷發(fā)出，終止于負的自由電荷； P 線由負的極化電荷發(fā)出，終止于正的極化電荷。 E 線的起點與終點既可以在自由電荷上，又可以在極化電荷上；D線E線P線圖1.2.17 D、E與 P 三者之間的關(guān)系2.4.2 介電常數(shù)其中相對介電常數(shù)；介電常數(shù)，單位（F/m） 在各向同性介質(zhì)中例2-9 同軸電纜其長度L遠大于截面半徑

11、，已知內(nèi)、外導(dǎo)體半徑分別為a和b。其間充滿介電常數(shù)為的介質(zhì)，將該電纜的內(nèi)外導(dǎo)體與直流電壓源U0相聯(lián)接。試求：(1)介質(zhì)中的電場強度E；(2)介質(zhì)中Emax位于哪里？其值多大？ 圖 同軸電纜的電場圖 同軸電纜的電場解：（1）設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體沿軸線方向線電荷密度分別為+ 和-。由應(yīng)用高斯定理，得即 所以 (a b) 又因為 則得 (a a，此時bh，故此外，對于h a的情況，也可以采用高斯定理計算。設(shè)均勻傳輸線單位長線電荷密度為，則兩導(dǎo)體軸心連線上距帶正電荷導(dǎo)體x處的電場強度為兩導(dǎo)體間的電位差為顯然，有上式計算的電容與電軸法獲得的結(jié)果相同。 從本例電容表達式可以看出，電容與導(dǎo)體之間施加的電壓或攜帶的電

12、荷量無關(guān)，只與導(dǎo)體的形狀、相互位置和電介質(zhì)有關(guān)，是導(dǎo)體系統(tǒng)自身固有電氣參數(shù)。 對于多導(dǎo)體需要引入部分電容概念。靜電獨立系統(tǒng)：系統(tǒng)的電場分布只與系統(tǒng)內(nèi)各帶電導(dǎo)體的形狀、相互位置和電介質(zhì)的分布有關(guān)，而與系統(tǒng)外的帶電導(dǎo)體無關(guān)，并且所有電位移通量全部從系統(tǒng)內(nèi)的帶電導(dǎo)體發(fā)出又全部終止于系統(tǒng)內(nèi)的帶電導(dǎo)體。 現(xiàn)考察由(n+1)個導(dǎo)體組成的靜電獨立系統(tǒng)。令各導(dǎo)體按0 - n順序編號，其相應(yīng)的帶電量分別為q0，q1，qk，qn。由定義，知 q0 + q1 + + qk + + qn = 0 選0號導(dǎo)體為電位參考點，即 0= 0，應(yīng)用疊加原理，可得各個導(dǎo)體電位與各個導(dǎo)體上電荷的關(guān)系為 2.6.2 多導(dǎo)體系統(tǒng)的電荷

13、和電位 部分電容 （n+1)個多導(dǎo)體系統(tǒng)只有n個電位線性獨立方程，即電位系數(shù)，表明各導(dǎo)體電荷對各導(dǎo)體電位的貢獻； 自有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體上電荷對導(dǎo)體電位的貢獻；互有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體上的電荷對導(dǎo)體電位的貢獻 ；寫成矩陣形式為（非獨立方程）注： 的值可以通過給定各導(dǎo)體電荷 ,計算各導(dǎo)體的電位 而得。 已知帶電導(dǎo)體的電位，求電荷和感應(yīng)系數(shù)靜電感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體電位對導(dǎo)體電荷的貢獻；自有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體 電位對導(dǎo)體 電荷的貢獻；互有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體電位對導(dǎo)體電荷的貢獻。 通常， 的值可以通過給定各導(dǎo)體的電位 ，測量各導(dǎo)體的電荷 而得。 已知帶電導(dǎo)體間的電壓，求電荷和部分電容（矩陣形式）式中：C部

14、分電容，它表明各導(dǎo)體間電壓對各導(dǎo)體電荷的貢獻；（互有部分電容）；（自有部分電容）。部分電容性質(zhì): 所有部分電容都是正值，且僅與導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置及介質(zhì)的 值有關(guān)； 互有部分電容 ，即為對稱陣； (n+1) 個導(dǎo)體靜電獨立系統(tǒng)中，共應(yīng)有 個部分電容； 部分電容是否為零,取決于兩導(dǎo)體之間有否電力線相連。靜電獨立系統(tǒng)中n1個導(dǎo)體有 個部分電容部分電容是否為零，取決于兩導(dǎo)體之間有否電力線相連；部分電容可將場的概念與電路結(jié)合起來設(shè)在建立帶電系統(tǒng)電場的某一瞬時，場中某一點的電位是(r)，引入增量電荷q需作功 W =(r)q將轉(zhuǎn)化為電場能量存貯在電場之中。由于靜電場的能量僅取決于電荷的最終分布狀態(tài)，

15、與電荷怎樣達到該狀態(tài)的過程無關(guān)。因此，可設(shè)想這樣一種充電方式，使任何瞬間所有帶電體的電荷密度都按同一比例增長。充電開始時各處電荷密度都為零(相當于m = 0)，充電結(jié)束時各處電荷密度都等于其最終值(相當于m=1)。由此可知，在充電過程中的任何時刻，電荷密度的增量 = m(r)= (r)m = m (r)= (r)m 2.7 電場能量 2.7.1 帶電體系統(tǒng)中的電場能量 對m積分，得總電場能量為由于所有電荷按同一比例m增長，故電位(m，r)= m(r)。上式得如果系統(tǒng)中無空間電荷，只有帶電導(dǎo)體的情況，其電場能量為式中的積分面積S應(yīng)為全部導(dǎo)體表面。由于每一導(dǎo)體表面都是等位面，而對于第k個導(dǎo)體，可有

16、 (k = 1，n) 從而，得S1S2S圖 電場能量enenq2enenq1V 不失討論的一般性，現(xiàn)以兩個帶電導(dǎo)體在無界空間建立的靜電場為例。設(shè)兩導(dǎo)體攜帶的電量分別為q1和q2，其表面積對應(yīng)為s1和s2，如圖所示。該系統(tǒng)的總電場能量為由于導(dǎo)體表面的電荷面密度為 = D en = - D en 式中en 為導(dǎo)體表面的外法線方向的單位矢量；en為導(dǎo)體表面的內(nèi)法線方向上的單位矢量。代入前式，得 2.7.2 電場能量密度 在無限遠處如圖示作一個無限大的球面S，則由于電荷分布在有限區(qū)域，無限遠處的場強按R-2及電位按R-1趨于零。因此，該系統(tǒng)總的電場能量為應(yīng)用高斯定理，上式改寫為考慮到場域中沒有自由電荷

17、分布，故D = 0，又由E = -，代入上式，最終得由此可見，電場能量密度為 we= (D E)/2 對于各向同性的線性介質(zhì)，D = E，代入上式，得we= E2/2 例2-21：試計算半徑為a，帶電量為q的孤立導(dǎo)體球所具有的電場能量。 解：采用如下三種方法進行計算。（1）孤立導(dǎo)體球的電位為 = q/4a，于是得（2）應(yīng)用電場能量密度公式，積分得（3）由電容計算公式，電場能量而該系統(tǒng)電容為C=4 a，代入上式得可見上述三種方法所得結(jié)果相同。第3章 靜態(tài)電磁場II：恒定電流的電場3.1 恒定電場的基本方程與場的特性3.1.1 恒定電場的基本方程 由電荷守恒定律，可得恒定電流連續(xù)性原理導(dǎo)電媒質(zhì)中恒

18、定電場和靜電場一樣，滿足環(huán)路定理：電媒質(zhì)的構(gòu)成方程為(歐姆定律的微分形式)，-電導(dǎo)率 引入標量電位函數(shù)(r) ，即 結(jié)論： 恒定電場是無源無旋場。例3-1 設(shè)一扇形導(dǎo)電片，如圖所示，給定兩端面電位差為U0。試求導(dǎo)電片內(nèi)電流場分布及其兩端面間的電阻。 解：采用圓柱坐標系，設(shè)待求場量為電位，其邊值問題為：電流密度分布為 對于圖示厚度為t的導(dǎo)電片兩端面的電阻為 圖 扇形導(dǎo)電片中的恒定電流場積分，得 =C1 + C2由邊界條件，得 ， 故導(dǎo)電片內(nèi)的電位 dt時間內(nèi)有dq電荷自元電流管的左端面移至右端面，則電場力作功為dW = dUdq 3.1.2 電功率電功率體密度 (1) 兩種不同導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的

19、邊界條件 對線性各向同性媒質(zhì)， 3.1.3 不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件 (2) 良導(dǎo)體與不良導(dǎo)體分界面上的邊界條件 例如，鋼的電導(dǎo)率 1 = 5106 S/m，周圍土壤的電導(dǎo)率2 = 10-2 S/m，1 = 89，可知，2 8。良導(dǎo)體表面可近似看作為等位面PJ2n21J121(3) 導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面上的邊界條件 導(dǎo)體的電導(dǎo)率 1 很大很小。E2nJ2tE2t(4) 兩種有損電介質(zhì)分界面上的邊界條件 PJ2J12, 21, 1圖 輸電線電場示意圖+UE2tE2nE2E2E2tE2nJc1Jc112 3.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場與靜電場的比擬3.2.1 比擬方法靜電場恒定電場（電源外）恒定電場E靜電場ED 兩種場各物理量滿足相同的定解問題，則解也相同。那么，通過對一個場的求解或?qū)嶒炑芯?，利用對?yīng)量關(guān)系便可得到另一個場的解。U0 接地電阻 接地器和接地導(dǎo)線的電阻 接地器與大地的接觸電阻 兩接地器之間土壤的電阻 當滿足比擬條件時，用比擬法由電容計算電導(dǎo)。 跨步電壓 半球形接地器場強： 場中任意點P的電位為 ： 若人的一跨步距離AB = b，則在有地中電流的地面上，以B點為中心，跨步電壓值為 ： 規(guī)定UAB U0 = 50 70 V ，以U0 為評定人身安全的臨界電壓，即可得知危險區(qū)半徑 r0 。基本方程E 的旋度邊值問題邊界