第四章 變量的累加——積分

1、大學(xué)數(shù)學(xué)上一章學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)和微分，主要是要研究函數(shù)的瞬時變化率和局部線性化這些局部性質(zhì). 本章將從曲邊圍成的平面圖形面積開始，研究微分的反問題：變量的累加問題.第四章變量的累加積分1 艱難的探索古代求曲邊 圍成圖形面積的例子2 探索求面積的統(tǒng)一方法 定積分的概念和性質(zhì)3 原函數(shù)和微積分學(xué)基本定理4 不定積分5 定積分的計(jì)算6 定積分的應(yīng)用第一講 古代求曲邊圍成圖形面積的例子1 艱難的探索古代求曲邊圍成圖形面積的例子面積是一個相當(dāng)原始的直覺概念. 在我們小時候就能根據(jù)些. 不過，直到高中畢業(yè)，能夠求出面積的幾何圖形卻還是少得可憐，并且絕大部分都是由直線構(gòu)成的圖形，如矩形，平行要求用一般曲線圍成的圖

2、形的面積，是一件困難的事，至少在中學(xué)數(shù)學(xué)中是如此.直覺分辨面積的大小.例如可以判斷哪張餡餅大，哪張小一四邊形，梯形，三角形等等，只有圓是例外.實(shí)際上在微積分產(chǎn)生之前，古代數(shù)學(xué)家為了求出某些曲線圖形的面積做過一些非常艱難而又精彩的探索.發(fā)現(xiàn)不過是統(tǒng)一方法的兩個特例而已.典型的例子有我國古代數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)；古希臘阿基米德求拋物弓形面積. 這些都是很精彩的數(shù)學(xué)計(jì)算精品. 然而，天才的手筆，卻又都局限于自身特定的問題，缺乏統(tǒng)一的處理方法，一旦把這兩個當(dāng)年難度很大的研究，登上微積分的高峰一看，“一覽眾山小”，的方法求出了圓的面積.實(shí)例一 劉徽割圓術(shù)求圓面積.魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽用正多邊形面積近似圓的面

3、積，將圓分割為192邊形，計(jì)算出圓周率在 3.141024 與 3.142708之間. 南北朝時期著名數(shù)學(xué)家祖沖之用劉徽割圓術(shù)計(jì)算11次，分割圓為 12288邊形，成為此后千年世界上最準(zhǔn)確的圓周率. 劉徽運(yùn)用了無限逼近（其本質(zhì)是一種極限）得到圓周率 （=3.1415929 ，后人稱其為祖率），實(shí)例2 阿基米德的拋物弓形面積計(jì)算.古希臘的阿基米德證明了拋物弓形 ACB （其中，AB 是拋物可線的割線，M 是 AB 的中點(diǎn)，且 CM 平行于拋物線對稱軸）以被一連串的三角形“窮盡”： 從 AC、BC 的中點(diǎn) K、L 各作拋物線對稱軸的平行線，分別與拋物線交于 P 、Q，得三角形的空隙處. 用相同的方

4、法，如此反復(fù)進(jìn)行，就可以得到一連串的三角形. 由此證明拋填充于弓形與 之間物弓形ACB 的面積等于倍.的得出整體的結(jié)果.阿基米德用的方法也是“分割”，即將弓形割成一些大小不等的三角形，用這些三角形面積之和加以近似，然后取極限得到精確值. 東方和西方的兩個偉大數(shù)學(xué)家走的是同一條道路：分割，作和，取極限，獲得結(jié)果. 雖然是兩個不同的圖形，但就數(shù)學(xué)思想方法而言，都是從局部出發(fā)，加以累加，是基于無窮級數(shù)計(jì)算弓形ACB 的面積等于倍時，的的求和，本質(zhì)上是一種極限，要知道，在當(dāng)時這是一種很高級的計(jì)算技巧。是定積分產(chǎn)生的原始思想. 劉徽和阿基米德的工作，都是站在各自具體的幾何圖形中，把數(shù)學(xué)家的智慧發(fā)揮到了極

5、致. 但在沒有坐標(biāo)系的年代，他們都不可能發(fā)現(xiàn)隱藏在背后的深刻的數(shù)學(xué)思想. 只有到了笛卡兒的時代，將上面兩個問題放在坐標(biāo)系中來觀察，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)原來這兩個問題是可以用一個統(tǒng)一的思想來處理的. 由已知速度求路程、已知切線求曲線以及上述求面積等問題，第二講 探索求面積的統(tǒng)一方法， 從曲邊梯形的面積開始2 探索求面積的統(tǒng)一方法 定積分的概念和性質(zhì)一、探索求面積的統(tǒng)一方法，從曲邊梯形的面積開始采用“標(biāo)準(zhǔn)”化的“切割法”.在直角坐標(biāo)系中，稱由 x 軸，平行于y 軸的兩條直線 與連續(xù)曲線所圍成的圖形為曲邊梯形.為了計(jì)算其面積，可以借鑒上面兩位先賢的做法：將圖形切割成小塊. 但是這里的方法不再是手工作坊那樣，

6、對不同的圖形用不同的方法，而是在笛卡爾這個現(xiàn)代化“工廠”的“流水線”上，Oyxba從而求出整個曲邊梯形的面積.將曲邊梯形一律切割成寬為 高為 f (x) 的小矩形，然后作和、求極限運(yùn)算. 具體操作規(guī)程如下：由圖，先把區(qū)間a, b分成若干個小區(qū)間 在每個小區(qū)間上，用區(qū)間中某一點(diǎn)的高來近似地代替同一個小區(qū)間上的曲邊（即用水平直線代替原先的曲線），將這個小矩形的面積 作為第 i 個小曲邊梯形面積的近似值，然后作和這是曲邊梯形的近似值，最后求極限：具體步驟如例1求由直線與曲線 所圍成的曲邊梯形的面積. 解根據(jù)上面的思路，為了說明問題，我們采用等分區(qū)間，分別用小區(qū)間右端點(diǎn)函數(shù)值和左端點(diǎn)函數(shù)值作為小矩形的

7、高兩種方法進(jìn)行計(jì)算，看看這兩種極端的取法最終的結(jié)果會是什么. 下：Oyx11Oyx11. 先取右端點(diǎn). 1）分割，將大的化小. 首先將區(qū)間0,1 n 等分，各分點(diǎn)依次為這樣得到 n 個小區(qū)間： 每個小區(qū)間的長度都為于是得到以為底的 n 個小曲邊梯形，將第 i 個的面積記為 值：2）用直邊代替曲邊，即用矩形來近似 用以為底, 右端點(diǎn)的函數(shù)值 為高的矩形的面積作為的近似, , , ., , 于是近似和就轉(zhuǎn)化為精確值了：3）作近似和. 第二步將小曲邊梯形近似用矩形代替，現(xiàn)在將這 n 個矩形面積作和，來近似代替曲邊梯形的面積 S ：4） 取極限. 讓即小區(qū)間的個數(shù)無限增加，這樣每個是關(guān)鍵！），小區(qū)間

8、的長度 （注意，小區(qū)間的長度 注意，2. 再取左端點(diǎn). 1）分割與右端點(diǎn)一樣. 記第 i 個的面積為2）直邊代替曲邊. 用以為底，左端點(diǎn)的函數(shù)值 作為高的矩形的面積作為 的近似值：邊梯形的面積. 3）作近似和. 4） 取極限. 這兩個極端取法獲得了相同的結(jié)果！這就是拋物線圍成的曲不過這里需要用到 這個求和公式用得不多，一般比較陌生.本例也可以用阿基米德計(jì)算的弓形面積方法得到結(jié)果. 這時拋物弓形OAB的內(nèi)接三角形OAB的三點(diǎn)坐標(biāo)是 (0,0)，和(1,1). 這樣一來，拋物線圍成的曲邊梯形與上面的“標(biāo)準(zhǔn)化”方法得到的結(jié)果是相同的.( ， )不難算出它的面積是 ，于是弓形面積是的面積是Oyx11A

9、B第三講 定積分的概念二、分成局部，積成整體定積分的概念總結(jié)上面的方法，下面給出積分的數(shù)學(xué)定義. 可以用“分成局部，積成整體”來概括. 微分學(xué)由整體出發(fā)，深刻地揭示函數(shù)在一點(diǎn)的局部性質(zhì). 當(dāng)我們把局部性質(zhì)研究清楚了，必能反過來更深刻地理解函數(shù)的整體性質(zhì). 如果微分的含義是“細(xì)分入微”， 下一步就應(yīng)該是“見微知著”了：將函數(shù) f (x)各點(diǎn)的微分累積起來，積成整體，那就是積分. 即定義1 設(shè) f (x)是 a, b上有界函數(shù)，在a, b內(nèi)任意插入 n-1個分點(diǎn)：將 a, b 分成 n 個長度為 的小區(qū)間 任取 作和 記為所有小區(qū)間長度中的最大值. 如果對a,b任何分法及 任何取法，極限總有確定的

10、值 I ，則稱 f (x)在a, b上是可積的， I 為函數(shù) f (x)在區(qū)間a, b上的定積分，記為我們將它稱為函數(shù) f (x)的微元，和式 取極限，不妨最后用符號 表示求和的結(jié)果，其中積分號 來源于Sum， 是個拉長的S，是求和的意思，上下端表示積分的區(qū)間. 這一符號早年為萊布尼茲創(chuàng)立，一直沿用至今. 從形式上看，定積分中的表達(dá)式 是微分 和 f (x)的乘積，看作是微元 求和，在記號 中，x稱為積分變量， f (x)稱為被積函數(shù)， 稱為積分表達(dá)式，b,a分別稱為積分上限和積分下限， a, b稱為積分區(qū)間。有了定積分的定義，自然要問：哪些函數(shù)定積分一定存在的呢？ 定理1 若函數(shù) f (x)

11、在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，則 f (x)在a, b上的定積分存在. 因?yàn)槔?中的被積函數(shù) 是連續(xù)函數(shù)，所以無論怎么分割區(qū)間0,1，怎么取介點(diǎn) 最終的極限值是一樣的：而清晰. 用微元求和的觀點(diǎn)看定積分，雖然不大嚴(yán)格，但是卻體現(xiàn)了積分的數(shù)學(xué)思想：分成局部（微元），積成整體（作和）. 簡易下面用這個思想來看一個實(shí)際例子.（米/秒）與時間 t 的量綱(秒)的乘積，例2 設(shè)一汽車沿直線行駛（變速運(yùn)動），其速度是 t 的函數(shù) v (t) （單位：米/秒） ，問從0時刻到 T 時刻汽車走了多少路程？解我們可以假設(shè)速度函數(shù) v (t)是連續(xù)函數(shù)，則在很短的時間內(nèi)可以認(rèn)為速度是不變的，因此在極短的時間 （如dt）

12、內(nèi)汽車行駛的路程是v (t)dt（單位：米）， 這樣從0到 T 走過的路程 S （單位：米）就是把所有的 v (t)dt 相加（求和），即這個例子也引出對于實(shí)際問題，定積分的量綱是這樣確定的：被積函數(shù)的量綱乘以積分變量的量綱. 在例2中是 v (t)的量綱結(jié)果自然是：米. 也就是說，定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與個和式的極限 I 不變，也就是定積分的值不變，即1. 從定義可以知道定積分是和式 的極限。當(dāng)和式極限存在時，這個極限 I 僅與被積函數(shù) f (x)及積分區(qū)間a, b有關(guān)。如果既不改變被積函數(shù) f ，也不改變積分區(qū)間a, b ，而只把積分變量x 改寫成其他字母，例如t，那么這積

13、分變量用什么字母無關(guān)。其面積自然為零.2. 在定義定積分 時，有 a b ， 若 a = b ， 這個規(guī)定是有意義的，當(dāng) a = b ，相當(dāng)于曲邊梯形退化為一條直線，思考：如果函數(shù) f (x)在區(qū)間a, b 上連續(xù)，函數(shù) f (x)在區(qū)間a, b 上連續(xù)，由定理1可知 f (x)在區(qū)間a, b 上可積，則定積分 是一個實(shí)數(shù)，所以 若在區(qū)間a, b上恒有 則定積分 的幾何意義就是在區(qū)間a, b上以 f (x)為曲邊的曲邊梯形的面積. OyxbaA則定積分的幾何意義是若在區(qū)間a, b上恒有 在區(qū)間a, b上以 f (x)為曲邊的曲邊梯形的面積的相反數(shù)（負(fù)面積）。OyxbaA一般情況下，f (x)

14、既取得正值，又取得負(fù)值時，定積分的幾何意義是：在 x 軸上方部分的面積減去x 軸下方部分的面積，即面積的代數(shù)和。Oyxbac例根據(jù)定積分的幾何意義，求Oyx1-11-3x 軸上方部分的面積為x 軸下方部分的面積為思考題 g(x)非負(fù)范圍在哪里？如上圖所示，函數(shù) f 由4個半圓形構(gòu)成，設(shè)函數(shù)-33第四講 定積分的性質(zhì)三、積分的基本性質(zhì)設(shè)下面出現(xiàn)的函數(shù)都可積的. 性質(zhì)1 (線性性質(zhì)) 其中 k 為常數(shù). 合在一起，即為其中 為常數(shù). 性質(zhì)2 (區(qū)間可加性)性質(zhì)3 如果則OyxbacOyxab1性質(zhì)4 （單調(diào)性）若對 有則特別地，若對 有則證 即令有則由性質(zhì)1，得這很容易從性質(zhì)3和性質(zhì)4得到.性質(zhì)5

15、 設(shè) M 和 m 表示 f (x)在區(qū)間a, b上的最大值和最小值, 則證根據(jù)性質(zhì)4，得因?yàn)楦鶕?jù)性質(zhì)1和性質(zhì)3，得a, b上的曲邊梯形的面積 . 性質(zhì)6 (積分中值定理) 設(shè)函數(shù) f (x)在a, b上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn) 使得積分中值定理的幾何意義還是明顯的：如果 并且連續(xù), 則積分中值定理說明, 在區(qū)間a, b上至少存使得以a, b為底， 為高的矩形面積恰好等于 在一點(diǎn) 即證f (x)在a, b上的最大值和最小值，即是介于由性質(zhì)5可得 其中 M 和 m分別是 連續(xù)函數(shù) f (x)在閉區(qū)間a, b上最大值 M 和最小值 m之間的一個值，所以根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性定理，可知，存在使得所以

16、可以用分點(diǎn)上的函數(shù)值來代表：積分中值定理實(shí)際上應(yīng)該稱為“平均值”定理更確切： 是函數(shù) f (x)在a, b上的所有函數(shù)值的平均值！ 對于 n 個實(shí)數(shù) 的算術(shù)平均值是 那么連續(xù)函數(shù)表示的有無限多個值的平均值同樣要從有限入手.將區(qū)間a, b平均分成 n等分，分點(diǎn)是每個小區(qū)間的長度都是 因?yàn)楹瘮?shù)是連續(xù)的，在小區(qū)間上函數(shù)值的波動很小，就展示. 于是這 n個值的平均值為當(dāng) n 趨向于無窮大時，這 n個函數(shù)值的平均值的極限就應(yīng)該是函數(shù)f (x)在a, b上的平均值.從上式得所以 f (x)在a, b上的平均值就是 積分中值定理也就是“平均值定理”. 平均值是一個整體性質(zhì)，積分通過細(xì)小局部的累積，反映出了整

17、體性質(zhì)，局部和整體的辯證關(guān)系在定積分上再一次得到了第五講 原函數(shù)3 原函數(shù)和微積分學(xué)基本定理雖然擺脫了當(dāng)初劉徽和阿基米德的“個性化”方法，但是從定并不亞于當(dāng)初劉徽和阿基米德. 因此,為了解決定積分的計(jì)算問題,還必須另辟蹊徑，尋找更一般的方法. 這里一個關(guān)鍵的角色是“原函數(shù)”.義出發(fā)來計(jì)算積分還是缺乏“可操作性”，其難度原函數(shù)是計(jì)算定積分的關(guān)鍵. 一、原函數(shù)先看一個實(shí)例. 觀察三個函數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)，前面一個函數(shù)是后面那個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，如的導(dǎo)數(shù)是 而同時它又是 的導(dǎo)數(shù). 稱為的導(dǎo)函數(shù)，那么稱為的什么呢？ 稱為函數(shù)的一個原函數(shù). 定義1 設(shè)函數(shù) F (x)與 f (x)在某個區(qū)間 I上都有定義，若在

18、I上有或 則稱 F (x)為 f (x)在區(qū)間 I上的一個原函數(shù). 例如， 是在上的一個原函數(shù).因?yàn)?一個函數(shù)如果有原函數(shù)，那么原函數(shù)是否唯一？如果一個函數(shù)具備什么條件，能保證它得原函數(shù)一定存在？問題1 原函數(shù)存在定理 如果函數(shù) f (x) 在區(qū)間 I 上連續(xù)，那么在區(qū)間 IF (x) 上存在可導(dǎo)函數(shù) ，使對于任一 都有簡單的說就是：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。問題2 不唯一，同一個函數(shù)的任意兩個原函數(shù)之間有什么關(guān)系？這里先介紹一下結(jié)論，后面還會討論。根據(jù)拉格朗日中值定理的推論2可得定理1 設(shè) F (x)是 f (x)在區(qū)間 I上的一個原函數(shù)，則(1) 也是 f (x)在 I上的一個原函數(shù)，其中 C

19、為任意常數(shù)；(2) f (x)的任意兩個原函數(shù)之間只相差一個常數(shù). 證（1）對于任意常數(shù) C，有由原函數(shù)的定義知， 也是 f (x)在 I上的一個原函數(shù). （2）設(shè) F (x)和 G (x)是 f (x)在 I上的任意兩個原函數(shù)，則分中值定理，定理說明 f (x)的原函數(shù)不止一個，并且不同的原函數(shù)彼此之間只相差一個常數(shù). 將 f (x)的原函數(shù)全體記為稱為 f (x)的不定積分. 如果 F (x)是 f (x)的一個原函數(shù)，那么原函數(shù)與定積分有什么關(guān)系呢？通過考察微分中值定理和積可以得到一些啟發(fā). 下面來說明這個關(guān)系是存在的.設(shè)都在a, b上連續(xù)，則對 f (x)有微分中值公式 同時對又有積分

20、中值公式 盡管這兩個 可能是不同的，但我們還是猜測，函數(shù) 的積分 一定與其原函數(shù) f (x)的值 有著某種聯(lián)系，是巧合還是有著內(nèi)在的邏輯關(guān)系？第六講 積分上限函數(shù)和微積分學(xué)基本定理二、積分上限函數(shù)和微積分學(xué)基本定理首先來看一個特別的積分. 設(shè) f (x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，考察f (x)在部分區(qū)間a, x上的定積分當(dāng) x在a, b上變動時，對于每一個取定的 x 值， 都有唯一的確定值與之對應(yīng)，因而 是 x的函數(shù)，稱為積分上限函數(shù)，記作可以定義積分下限的函數(shù)：類似地，有定理 2（微積分學(xué)基本定理） 若函數(shù) f (x)在a, b上連續(xù)，則積其導(dǎo)數(shù)為分上限 x的函數(shù) 在a, b上可導(dǎo)，即積分上限函

21、數(shù) 是 f (x)在a, b上的一個原函數(shù)！證 設(shè)增量且 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，同時又得到了定義新函數(shù)的方法積分上限（下限）函數(shù)！因?yàn)?f (x)連續(xù)，而且在 x與 之間，所以上述定理的深刻之處在于解決了兩個非常重要的問題：1.連續(xù)函數(shù)是有原函數(shù)的；2.連續(xù)函數(shù)的積分上限函數(shù)就是該函數(shù)的一個原函數(shù).定理2說明微分與積分兩個看似不相干的概念其實(shí)是有著內(nèi)在聯(lián)系的, 因此是微積分理論中最基本, 最重要的定理, 因而被稱為微積分學(xué)基本定理 .例1 求下列積分上限和積分下限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1） （2） 解（1） 根據(jù)定理2，有（2）這是積分下限的函數(shù)，首先要把它變成積分上限函數(shù)，然后再用定理2. 所以因?yàn)槔?

22、求函數(shù)（1）（2） 的導(dǎo)數(shù). 解 （1）因?yàn)?是 與的復(fù)合函數(shù)，所以（2）根據(jù)（1）， 得例3 求極限解這是 型不定式，利用洛比達(dá)法則以及積分下限的求導(dǎo)法則，因此 定理3 （牛頓萊布尼茨公式） 若函數(shù) f (x)在a, b上連續(xù), F(x)是 f (x)在a, b上的一個原函數(shù)（即 則（*）證由定理2可知 是 f (x)的一個原函數(shù)，又F(x) 也是 f (x)一個原函數(shù)，根據(jù)定理1，它們相差一個常數(shù)，即，從而有于是 有工序，充分展示了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的魅力.函數(shù) F(x)在a, b上的增量 通常記作這樣（*）又可寫成 （*）稱為牛頓-萊布尼茨公式，它極大地方便了定積分的計(jì)算，將原來認(rèn)為互不相關(guān)的導(dǎo)數(shù)

23、和積分聯(lián)系起來：連續(xù)函數(shù)的積分計(jì)算不必大動干戈，只要尋求它的原函數(shù)兩端點(diǎn)函數(shù)值之差即可. 到這里，才真正完成了求曲線圖形面積的“標(biāo)準(zhǔn)化”方法的所第一節(jié)的例1中求拋物線下曲邊梯形的例子中用分割、作和、取極限，最后得到結(jié)果是例4 解因?yàn)槭堑囊粋€原函數(shù)，所以由牛頓萊布尼茨公式（*），有何其簡單！不禁慨嘆微積分之強(qiáng)大. 計(jì)算定積分 思考題2.有極值？當(dāng) x為何值時，1.設(shè) f (x)連續(xù)，可導(dǎo)，函數(shù)如何求第七講 不定積分的概念，直接積分法個簡單的介紹. 求原函數(shù)實(shí)際上是求導(dǎo)（求微分）的逆運(yùn)算，有關(guān)求原函數(shù)的問題涉及到另一類積分不定積分，下面對不定積分作一4 不定積分f (x)在某區(qū)間 I 上的原函數(shù)全

24、體稱為 f (x)的不定積分.一、不定積分概念記作 其中稱為積分號，f (x) 稱為被積函數(shù)， x 稱為積分變量. 由牛頓-萊布尼茨公式知，求已知函數(shù) f (x) 在區(qū)間 a,b 上的定積分，只需求出 f (x) 在區(qū)間 a,b 上的一個原函數(shù) F(x)，然后計(jì)算原函數(shù) F(x) 在 a,b 上的增量即可.若F(x) 是 f (x)在區(qū)間 I 上的一個原函數(shù)，則 f (x) 在 I 上的不定積分（全體原函數(shù)）就是（ 為任意常數(shù)）. 稱為被積表達(dá)式，例如，因?yàn)樗允堑囊粋€原函數(shù)，故同理，有問題因?yàn)檫@兩個關(guān)系表明了求不定積分和求導(dǎo)數(shù)互為逆運(yùn)算.這是明顯的，因?yàn)椴欢ǚe分是原函數(shù)全體，求原函數(shù)與求導(dǎo)函

25、數(shù)就是互為逆運(yùn)算. 對比1和對比2和例1 設(shè)曲線 y=f (x)上任一點(diǎn)(x, f (x)的切線斜率為2x，且曲線過(1,2)點(diǎn)，求 f (x) 的表達(dá)式. 解根據(jù)題意，由于所以 f (x)就是 2x 的原函數(shù)， 并且滿足 f (1)=2.由不定積分的定義可知再根據(jù)曲線 y=f (x)線過(1,2)點(diǎn)，得到1+C=2, C=1.從而二、直接積分法直接或者對被積函數(shù)進(jìn)行簡單恒等變換后利用不定積分的公式和性質(zhì)求得結(jié)果，這樣的方法叫做直接積分法.基本積分公式：注1：因?yàn)槎缘脑瘮?shù)是注2：同樣地相應(yīng)于導(dǎo)數(shù)的線性運(yùn)算性質(zhì)，可得不定積分的線性運(yùn)算性質(zhì).性質(zhì)1若函數(shù) f (x)和 g (x)在區(qū)間I上存

26、在原函數(shù)，K為非零常數(shù)，則函數(shù) K f(x) 在區(qū)間I上也存在原函數(shù)，且則函數(shù) 在區(qū)間I上也存在原函數(shù)，且性質(zhì)2若函數(shù) f (x) 在區(qū)間I上存在原函數(shù)，例2 計(jì)算解例3計(jì)算解例4計(jì)算解例5 計(jì)算解根據(jù)三角公式有以上例題中的被積函數(shù)通過一些初等的代數(shù)變換后，就變成基本初等函數(shù)的不定積分了，只要熟悉求導(dǎo)公式，就很容易利用基本積分公式了求出結(jié)果.第八講 不定積分的換元積分法（湊微分法）利用基本積分公式和積分的性質(zhì)，所能計(jì)算的不定積分是非常有限的 . 因此，有必要進(jìn)一步來研究不定積分的求法.一種方式就是把復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則反過來用于求不定積分，利用中間變量的代換，得到復(fù)合函數(shù)的積分法，稱為換元積分法

27、 . 三、不定積分的換元積分法（湊微分法）以為例，看看如何用換元法（湊微分法）.就是把該積分變成基本積分公式中形式，能使用基本積分公式.首先觀察到被積函數(shù)是個復(fù)合函數(shù)，中間變量是u=2x，而積分變量是 x，兩者不一致，因此我們用“湊”的方法使積分變量與復(fù)合函數(shù)的中間變量變成一致：要做的工作而在在心中默認(rèn)這個新變量. 將 2x 看成一個整體 u，這樣積分表達(dá)式就變成了 它是 的微分，因此就找到了原函數(shù) 于是是一個湊微分的過程，就是要把積分變量湊成被積函數(shù)的中間變量，使積分表達(dá)式成為某個初等函數(shù)的微分. 因此將這個方法稱為“湊微分法”. 上述過程中將 2x 看成新變量 u，可以實(shí)施變量代換；也可以

28、不實(shí)施這個變換，將2放入 后面的過程，（或第一類換元積分法）.設(shè)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有設(shè)則 于是在求不定積分 時，可將其中的被積函數(shù)分解為從而在被積表達(dá)式中湊出一個微分 使得當(dāng) f (u)有原函數(shù) F(u)時就可得到 的原函數(shù) 故此方法稱為 “湊微分法”當(dāng) 的原函數(shù)不好找，而通過湊微分使 成為基本積分表中的一個公式時，問題就解決了，這就是進(jìn)行換元的動因. 可以發(fā)現(xiàn)使用湊微分的關(guān)鍵是：被積函數(shù)可以分解成兩個部分觀察湊微分計(jì)算公式相乘，一部分是復(fù)合函數(shù)，含有中間變量；而另一部分是中間變量的導(dǎo)數(shù)，或者相差一個常數(shù)倍。如果使用換元，則只需令中間變量為u即可。例6 計(jì)算解法1 令則于是注：要記得換元

29、后要把 u代回，還原成自變量 x的函數(shù). 解法2 直接湊微分，有這里將 3x 看成 u，就是求基本積分表中的積分例7 計(jì)算 解 觀察例8 計(jì)算 解 觀察 變成求這里將 看成 u，變成求這里將 看成 u，例9 計(jì)算解例10 計(jì)算解例11 計(jì)算解觀察觀察第九講 不定積分的分部積分法就可以使用這個公式. 四、不定積分的分部積分法對應(yīng)乘法求導(dǎo)法則的是分部積分法. 如果與 都有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則由函數(shù)乘積的微分公式得所以有或上述公式稱為分部積分公式，當(dāng)積分 不易計(jì)算，而積分 比較容易計(jì)算時，例12 計(jì)算解取則若取分析則容易計(jì)算若取則不易計(jì)算被積函數(shù)就化簡了.例13 計(jì)算解 取則 由此看出：當(dāng)冪函數(shù) 與指數(shù)函

30、數(shù) 乘時，為這樣經(jīng)過交換導(dǎo)數(shù)后，總是把 這些導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)沒什么區(qū)別的函數(shù)作三角函數(shù)相分析 若取則容易計(jì)算若取則不易計(jì)算例14 計(jì)算解取則分析若取則很難找到v若取則容易計(jì)算積分就容易計(jì)算了.例15 計(jì)算解這里取 有凡是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 反三角函數(shù)相乘時，只能把冪函數(shù)作為 這樣經(jīng)過交換導(dǎo)數(shù)后對數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)均會消失，第十講 定積分的計(jì)算（I）5 定積分的計(jì)算有了不定積分的基礎(chǔ)，計(jì)算定積分就方便了.解一、直接用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算定積分例1 計(jì)算解例2 計(jì)算定積分 的原函數(shù)是 ，所以根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式，例3 計(jì)算解 例4 計(jì)算解 例5 計(jì)算積分 解因?yàn)樗员环e函數(shù)的分子和分母都是多項(xiàng)式，且

31、分子的次數(shù)大于等于分母的次數(shù)，因此可以通過化簡，把它化成基本積分表中所列類型的積分，然后再逐項(xiàng)求積分.上面都是一些基本初等函數(shù)的定積分，或者是被積函數(shù)通過一些初等的代數(shù)變換后，就能變成基本初等函數(shù)的不定積分，只要熟悉求導(dǎo)公式，就可以在基本積分公式中找到它.但是如果被積函數(shù)不是基本初等函數(shù)，例如是復(fù)合函數(shù)，就無法在基本積分公式中找到它，需要用換元法（湊微分法）進(jìn)行計(jì)算了。定積分換元法（湊微分法）與不定積分基本一樣，但是當(dāng)實(shí)施換元時，積分上下限也要跟著變化.請看下面例子.把上述變換代入原式，得二、用換元積分法（湊微分法）計(jì)算定積分例6 計(jì)算積分 解法一 被積函數(shù)sin2x是一個復(fù)合函數(shù)，中間變量是

32、u=2x，湊一個微分 解法二 令兩邊微分，得當(dāng)時， 當(dāng) 時， 把2x看成一個整體，得把上述變換代入原式，得例6 計(jì)算積分 解法二 令兩邊微分，得當(dāng)時， 當(dāng) 時， 應(yīng)用換元法有兩點(diǎn)值得注意：1. 把原來變量x代換成新變量u時，積分上下限也要換成相應(yīng)于新變量u的積分上下限；2.計(jì)算出關(guān)于u的原函數(shù)后，不必像計(jì)算不定積分那樣再要把它換成原來變量x的函數(shù)，而只要把新變量u的上下限分別代入后相減就行.例7 計(jì)算積分 解法1 湊微分： 有解法2 令兩邊微分，得 當(dāng)時， 當(dāng)時， 把上述變換代入原式，得例8 計(jì)算解因?yàn)?得需要說明的是，對于定積分，湊微分和換元這兩種方法都要掌握.請大家自行用換元法把這道題再求

33、一遍.例9 證明：若 f (x)在-a, a上連續(xù)且為偶函數(shù)，則證因?yàn)閷τ疫叺谝粋€積分作變量代換 則有 當(dāng)時， 時， 因 f (x)在-a, a是偶函數(shù)，得所以類似地可以證明：上連續(xù)且為奇函數(shù)，則若 f (x)在-a, a上述結(jié)論，可簡化偶函數(shù)或奇函數(shù)在對稱原點(diǎn)區(qū)間上定積分的計(jì)算. 例10 計(jì)算解因?yàn)槭桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，所以第十一講 定積分的計(jì)算（II）三、用分部積分法計(jì)算定積分根據(jù)兩個函數(shù)積的導(dǎo)數(shù)，可以得到另一種計(jì)算定積分的方法：分部積分法. 設(shè)在上可導(dǎo)，于是有或在上，對上式兩邊積分，得這就是定積分的分部積分公式.的原函數(shù)不容易求出，而容易求出時，可以用分部積分法.例11 計(jì)算 解例12 計(jì)

34、算解令取則則于是例13 計(jì)算解令則于是例14 計(jì)算解令則當(dāng) 時， 時， 于是得第十二講 定積分的應(yīng)用（1）6 定積分的應(yīng)用“忽如一夜春風(fēng)來，千樹萬樹梨花開”. 微積分的發(fā)明，開啟了科學(xué)的黃金時代，以前十分艱難的問題，如劉徽和阿基米德計(jì)算曲線圖形的面積，現(xiàn)在變得十分簡單.開普勒（J. Kepler，1571-1630）曾努力探求計(jì)算酒桶體積正確方法，寫成測量酒桶體積的新科學(xué)一書，雖然蘊(yùn)含微積分思想，但過程非常繁復(fù). 道酒桶外形的曲線，利用旋轉(zhuǎn)體的求積公式，計(jì)算非常方便. 古人曾經(jīng)費(fèi)盡精力的成果，在今天只不過是微積分教科書中的一道習(xí)題而已.德國數(shù)學(xué)家現(xiàn)在有了定積分，只要知一、平面幾何圖形的面積.

35、設(shè)在區(qū)間a, b上連續(xù)，且對任意的 有則由上曲線 下曲線 及直線 和所圍圖形的面積為需要指出的是，直線和有可能退化為一點(diǎn)，也就是兩條曲線 和處相交.在和 設(shè)在區(qū)間c, d連續(xù)，且對任意的 有則由右曲線 左曲線 及直線 和所圍圖形的面積為說是易如反掌. 例1 計(jì)算由拋物線 和直線 所圍成圖形的面積. 解先求兩條曲線的交點(diǎn)，確定積分區(qū)間. 解方程組得交點(diǎn)(-2,-2)和(1,1) ，從而得到此圖形在直線 和 之間. 取 x為積分變量，取值范圍為 -2,1, 圖形的面積為這是一個典型的阿基米德拋物弓形，我們現(xiàn)在求它的面積可以圖形的面積為例2 解 要先求出兩條曲線的交點(diǎn).為此聯(lián)立兩條曲線的方程組求得交點(diǎn)為(0,0)和(1,1