變式教學法(共57頁)

1、變式教學法，它的核心是利用構造一系列變式的方法，來展示知識發(fā)生、發(fā)展過程，數學問題的結構和演變過程，解決問題的思維過程，以及創(chuàng)設暴露思維障礙情境，從而，形成一種思維訓練的有效模式。它的主要作用在于凝聚學生的注意力，培養(yǎng)學生在相同條件下遷移、發(fā)散知識的能力。它能做到結構清晰、層次分明，使優(yōu)、中、差的學生各有所得，嘗試到成功的樂趣，并激發(fā)學生的學習熱情，達到舉一反三、觸類旁通的效果，使他們(t men)的應變能力得以提高，進而提高教學質量。通過近七年來的變式教學嘗試，現已有所收獲，對它的優(yōu)越性，我個人(grn)淺談幾點體會，以供各位同行參考，指正。一、變式教學法對新概念(ginin)教學的促進作用

2、概念，在數學課中的比例較大，初中數學教學又往往是從新概念入手。能否正確理解概念，是學生學好數學的關鍵。概念教學有其特殊性，它不僅要求學生要識記其內容，明確與它相關知識的內在聯系，還要能靈活運用它來解決相關的實際問題。概念往往比較的抽象，從初中生心理發(fā)展程度來看：他們對這些枯燥的東西，學習起來往往是索然無味，對抽象的概念的理解很困難。而采取變式教學卻能有效的解決這一難題，使學生度過難關。通過變式或前后知識對比，或聯系實際情況或創(chuàng)設思維障礙情境，來散發(fā)學生學習興趣，變枯燥的東西為樂趣。例如，在學習“正數”與“負數”前，教師先提出：某地氣候，白天最高氣溫為10，夜晚最高氣溫為零下10，問晝夜最高溫度

3、一樣嗎？學完這節(jié)課后你就能回答這個問題了！這樣激發(fā)了學生的好奇心和求知欲，便能產生“樂學”的氛圍，這樣對新概念撐握則通過變式使之內化并上升為能力。又例如，學習了“梯形”和“等腰梯形”的定義后，提出：1、有一組對邊平行(pngxng)的四邊形是梯形嗎？2、一組對邊平行加一組對邊相等的四邊形是等腰梯形嗎？通過反例變式進行反面刺激，使學生更明確(mngqu)的理解和掌握“梯形”、“等腰梯形”、“平行四邊形”等概念。二、變式教學有利于培養(yǎng)學生(xu sheng)良好的思維品質眾所周知，發(fā)展智力，培養(yǎng)能力的關鍵是培養(yǎng)學生良好的思維品質，而運用變式手法恰好是訓練和培養(yǎng)學生思維的有效途經。1、利用興趣培養(yǎng)學

4、生思維主動性積極性，在教學中，教師有意識的運用興趣變式來誘發(fā)學生的好奇心，激發(fā)他們主動鉆研，積極思考，可以(ky)克服惰性，培養(yǎng)思維主動積極性。2、利用反例變式，培養(yǎng)學生思維(swi)的嚴謹性和批判性。教學時，通過反例變式的訓練有意識的設置一些陷阱，去刺激學生讓其產生“吃一塹，長一智”。3、利用(lyng)一題多解培養(yǎng)學生思維的靈活性，在教學中教師利用解題過程的變式訓練，引導學生善于運用新觀點，從多用度去思考問題，用自由聯想的方式，使學生廣泛建立聯系，多用度地認識事物和解決問題，打破那種“自古華山一條路”的思維定勢，使他們開動腦筋，串聯有關知識，養(yǎng)成靈活的思維習慣。4、運用逆向變式培養(yǎng)逆向思維

5、能力。在教學中培養(yǎng)學生的雙向思維習慣，這種訓練要保持經常性和多樣性，逐步優(yōu)化他們的思維品質。5、采用對一題多變和開放性題目的探討，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性。教學中，在加強雙基訓練的前提下，運用一題多變和將結論變?yōu)殚_放性的方式來引導學生獨立思考，變重復性學習為創(chuàng)造性學習。創(chuàng)造性思維是對學生進行思維訓練的歸宿與新的起點，是思維的高層次化。實踐證明，教學中經常改變例題結論，引導學生自編一些開放性題目，對激發(fā)學生興趣，培養(yǎng)其研究探索能力，發(fā)展創(chuàng)造性思維大有益處。三、利用(lyng)變式教學有利于學困生的轉換在初中階段(jidun)，隨著年齡的增大和年級的增高，會感到數學越來越難學，學困生的面就逐漸增大，并呈增

6、長的趨勢。擺在教學面前的重要問題除防止新的學困生形成外，還要注重學困生的轉化工作。傳統的教學方式解決這一問題是遠遠不夠的。通過實踐，對學習和掌握不同的知識采用不同的變式手段，使用不同的授課類型，可以適應各種層次的學生人，使學生聽課有針對性，從而避免教師一講到底。利用章頭圖和實例進行興趣變式，激發(fā)學困生的學習興趣和學習知識的自覺性、主動性，甚至讓他們主動參與變式，將幾種變式有機結合，增強他們的學習信心，充分暴露他們的思維障礙，以減輕他們的心理負擔。當然老師也要關心和愛護他們，對癥下藥，優(yōu)化疏導，才能使他們的思維得到鍛煉和最佳發(fā)展，使學困生發(fā)生轉化。四、運用變式教學手段，有利于提高畢業(yè)(b y)復

7、習效率初三畢業(yè)復習時間倉促，為了取得理想效果，這時師生往往會陷入傳統的“題海戰(zhàn)術”之中難以自拔。這種“沙里淘金”的辦法不但使師生倍加疲勞，且效果不盡人意。變式教學(jio xu)在這里卻有著它的獨到功效，因為它是培養(yǎng)學生思維能力，提高應變能力的一種有效的教與學的手段。事實上，復習?不同于新課，新課一節(jié)僅需要掌握一兩個知識點，而復習課要在有限的時間內大容量、高效率完成一章節(jié)的復習任務，使知識條理化、系統化、網絡化，不僅要掌握知識，而且要形成基本技能，同時要掌握基本數學思想和數學方法，還要培養(yǎng)數學意識。從歷年的中考試題來看，絕大多數的題目源于教材，活于教材，部分綜合性強的題目略高于教材。因此，復習

8、中老師應立足于課本，精選課本中的典型例題、習題(xt)，充分運用各種變式進行挖掘、延伸、改造，用問題編成變式題進行教學，注重剖析破題思路，優(yōu)化課堂結構，溝通知識間的聯系，充分暴露思維障礙，展示知識的形成、演變過程，提高思維品質和應變能力，從而提高復習效率。實踐證明，變式教學能擺脫“題海”變被動思維為主動自覺思維，形成“趣學”、“樂學”的氛圍，讓學生成為學習的主人，減小差生面，培養(yǎng)學生良好的思維品質(pnzh)，提高教學效益，從而大面積提高教學質量。以上(yshng)僅屬于個人在嘗試(chngsh)變式教學中的幾點體會，雖取得了較好的成績，但教學要想達到最佳效果和在教育教學中產生深遠的影響還有很

9、大的差距，也還有待于我在今后的教學中不斷地去探索，并發(fā)揚光大。在我談及的問題中有不妥之處，敬請各位同仁指教，我將表示衷心的感謝。Tag：體會 使用 數學 初中 學生 思維 教學 培養(yǎng) 學習 知識 該文章轉自flash課件資源網 原文鏈接： HYPERLINK /lw/jxlw/sxlw/200810/8338.html /lw/jxlw/sxlw/200810/8338.html一、關于數學(shxu)問題結構性變式教學 對于數學變式題的分類，有許多不同的界定。孫旭花、黃毅英、林智中合作的數學問題結構性變式的研究（選編于中國數學雙基教學）將變式分為表面特征變化的水平變式和結構變化的垂直變式。表

10、面形式特征是指問題呈現(chngxin)的表述方式的“淺層”特征(tzhng)。數學結構特征指涉及問題本質的概念、關系與原則等的“深層”特征。 數學問題結構性變式教學是指通過適當的水平變式和恰到的垂直變式，抽取出問題表面特征以外的數學結構特征，從而達到數學學習的內化，關注數學本質的一種變式教學。 表面形式變化的水平變式實際上是以“重復”源問題來實現的，也就是說，“重復”通過水平變式源問題得以發(fā)展，水平變式反映的是量的問題。數學結構變化的垂直變式實際上是以“突破”源問題來體現的，也就是說，“突破”通過垂直變式源問題得以升華，而垂直變式反映的則是質的問題。 結構性變式教學螺旋上升示意圖 數學問題的

11、變式發(fā)展是螺旋上升的（見上圖）。是一種從量變到質變的過程。因此，在數學教學中要握好“重復”的“量”和“突破”的“度”，注意“重復”和“突破”的和諧統一，只有這樣，才能有助于形成真正意義上的“螺旋上升”的數學知識結構。 二、一個數學問題結構變式典型例子的分析 源問題是一個運用加減消元法解二元一次方程組的典型例題，根據一般初中學生的認知水平，變式題組一為水平變式題，變式題組二為垂直變式題。 源問題提供了利用加減消元法解二元一次方程組的樣本，其中包括與學生有關的關鍵成分：規(guī)則功能、適用條件等，學生從源問題中可獲得加減消元法解決二元一次方程組的初步認識，再加上水平變式題的訓練，逐步建立起利用加減消元法

12、解二元一次方程組的數學結構。 變式題組二采用含字母系數的二元一次方程組進行垂直變式的訓練，學生通過反思源問題中利用加減消元法解二元一次方程組的特點，逐步擺脫源問題的表面內容，認識到加減消元法解二元一次方程組的關鍵是方程組同一未知數的系數相同或互為相反數（或者通過變形得到系數相同或互為相反數），從而抓住了利用加減消元法解二元一次方程組的本質，發(fā)展了原來的數學結構，建立新的數學結構。 當然，我們可以將問題引向更高結構層次，解決含有更多未知數的一次方程組的解的問題。如：解方程組 上例是比較典型的數學問題結構性變式題，既包括表面形式變化的水平變式題，又包括數學結構變化的垂直變式題。通過以上的結構性變式

13、教學，學生就會形成一張較為完整的數學知識網絡，就會更加高瞻遠矚地看待問題，把數學問題結構化。模型化，使得更加有基礎和有能力加快對新知識的理解和學習，從而更加有效的學好數學。 三、兩個數學問題結構性變式實例的教學與設計 1.一個源于中考題的數學問題結構性變式實例的教學 例2 （2006年遼寧省大連市）圖1、圖2分別是兩個相同正方形、正六邊形，其中一個正多邊形的頂點在另一個正多邊形外接圓圓心O處。 (1)求圖1中，重疊部分面積與陰影部分面積之比； (2)求圖2中，重疊部分面積與陰影部分面積之比（直接出答案）； (3)根據前面探索和圖3，你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況（n為大于2的偶數）?若能

14、，寫出推廣問題和結論；若不能，請說明理由。 這是一道數學問題結構性變式題，解決此問題的關鍵是找出源問題。本題中的問題(1)是否可以看作源問題呢？當然可以。但是，我們也不難發(fā)現，問題(1)也有更特殊位置關系的源問題（如圖4、圖 5所涉及的問題）。這里，我們將圖4、圖5所涉及的問題看作源問題，圖1所涉及的問題看源問題的水平變式題，而圖2、圖3所涉及的問題看作源問題的垂直變式題。 在數學問題結構性變式教學中，源問題一般都會較早呈現，但也不盡然。本例中的源問題就沒有直接呈現。因此，找出問題結構性變式的源問題是解決本例的關鍵。在找出源問題后，我們要對源問題加以深入的探究，找出源問題與變式題之間的關系，獲

15、得解決問題的一般規(guī)律，從而形成新的知識結構。只有這樣，問題才可以迎刃而解。 2.一個基于教材的數學問題結構性變式實例的設計 例3 如圖6，某公路的同一側有A，B，C三個村莊，要在公路邊建一貨運站P，向A，B，C三村送農用物資，線路是：PABCP和PCBAP（公路邊近似看作公路上）。請在公路上找出點P，使送貨路程最短。 本題的解決方案見圖7，P點即為所求點。 實際上，本題是人教版數學八年級上教材p131例題的水平變式題，只是增加了一點C，但也正是這一點的增加，有些學生的思維就出現了障礙，找不到解決此類問題的數學結構。讓我們重新審視一下教材中的這一源問題。 源問題 （人教版數學八年級上教材p131

16、）如圖8，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A，B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？ 圖9中的點P就是所求的點，此時PA+PB最短，這是教材給出的答案。 但是我們也發(fā)現，在現實生活中，并不是每個鎮(zhèn)的燃氣管道都要和泵站相連，也就是說，如果源問題中去掉“分別”兩字，就成為一個與源問題不同結構的垂直變式題，此時所用的燃氣管線的最短長度可以是AP+PB的長度，或者是AA+AB長度，或者是AB+BB的長度（圖10）。由于具體過程較為復雜，這里不再展開。 圖10 通過對變式題的進一步分析，學生會從原來的一定的心理定勢中擺脫出來，從而重新審視源問題的結構，避免了錯覺的產生，這時，學

17、生的思路大為開闊，思維更加活躍。 另外，我們可以再進一步對源問題作如下的垂直變式。 變式子問題：如圖11，已知直線l與l異側兩點A，B，在l上求作一點P，使線段(PA-PB)長度最大。 圖12中的P點就是所求的點，此時(PA-PB)最短。 本題將源問題中用到的“三角形兩邊之和大于第三邊”這一性質轉為運用“三角形的兩邊之差小于第三邊”的性質，雖然兩條性質是統一的，但是兩題的結構還是有所變化，通過與源問題的比較，進一步讓學生掌握解決源問題以及變式題的方法的實質。 四、初中數學問題結構性變式教學的反思 1.數學問題結構性變式教學的認知理論與新課標教學理念 問題表面特征與數學結構特征彼此相異，又互相補

18、充。從認知角度看，表面形式變化的水平變式題相對于數學結構變化的垂直變式題而言，認知負荷就顯得相對較小。因此，水平變式應是垂直變式的基礎。數學問題結構性變式教學中，從源問題到變式題、從水平變式題到垂直變式題的設計過程，充分體現了認知的連續(xù)性，變式教學將數學知識串成一條線，使得雜亂無章的知識形成一個體系，整個過程是逐漸地增加學生的認知負荷，逐步地提高學生的數學能力，體現了新課標初中數學教學中強調的“突出知識之間的聯系與綜合”的特征和理念在新課標下的初中數學教學中，數學知識的難度整體有所下降，但關注同一領域內容之間的相互連接，關注不同知識領域之間的實質性關聯，從更高的視角適當把握數學知識的內涵和外延

19、，抽象出數學問題的本質特征，提高學生分析問題、解決問題的能力，都是數學新課標所提倡的。 2.數學問題結構性變式教學設計中的幾個問題 (1)水平變式題的“量”和垂直變式題的“度”的把握問題 數學問題結構性變式教學通過水平變式題的適當“重復”，使得“雙基”教學得以實現，也為垂直變式題的解決打下了堅實的基礎，同時通過垂直變式題的恰到“突破”，使得學生思維得以盡情發(fā)散，學生分析問題、解決問題能力得以進一步提高。而水平變式題“重復”的量和垂直變式題“突破”的度的把握并不簡單，是進行數學問題結構性變式教學最值得研究的一個問題，根據物質變化從量變到質變的原理，在水平變式題“重復”一定程度的情況下，自然會“突

20、破”量變，走向質變。因此，在適當的時候，拋出垂直變式題，以達到水到渠成的效果。一般情況下，對于水平變式題的設計盡量控制在3至 4題左右，垂直變式題控制在2至3題，難度也不要突破新課標的要求。當然，由于所教內容不同，所教學生層次不同，水平變式題的“量”和垂直變式題的“度”在教學中要作精心的設計，同時結合課堂教學進行適當的調整和改變?？傊?，合理地安排水平變式題的“量”和垂直變式題的“度”，才能達到既有量的積累，又有質的飛躍。 (2)數學問題結構性變式教學中變式題的銜接問題 數學問題結構性變式教學中的變式題銜接問題包括水平變式題之間的銜接，垂直變式題之間的銜接，以及水平變式題與垂直變式題之間的銜接，

21、而水平變式和垂直變式的銜接是數學問題結構性變式教學設計的難點和關鍵。在進行數學問題結構性變式教學設計時不要將原本需要淡化的、不重要的問題引向無用的死角，更不要將原本沒有聯系的知識或者聯系不密切的知識加以過度的延伸，這樣不僅增加學生的負擔，達不到教學設計預期的要求，同時也起不到形成數學知識網絡的目的。總之，在進行數學問題結構性變式教學過程中，一定要注意變式題之間的銜接問題，不要為了追求新穎題型、較難題的教學而忽視數學知識的連續(xù)性和學生能力遞進性，導致數學知識結構的大跳躍，出現知識的“真空”狀態(tài)。 3.數學問題結構性變式教學的局限性 數學問題結構性變式教學在初中數學教學中有提倡和推廣的價值，實際上

22、，許多教師已經或多或少地進行著這方面的實踐。在初中數學教學中，由于所涉及到的數學知識的外延不夠寬，加上學生思維的廣度和深度不夠，所以在進行數學問題結構性變式教學的時候，水平變式題的選擇相對更多一點，這一點可從新課標的要求和近幾年的中考題中得以體現。也正因為這樣，垂直變式題在初中數學教學中的局限性有時會顯得比較突出，尤其是在新課教學中，而垂直變式題則比較適合章節(jié)的習題課、復習課、活動課，特別是在總復習中運用。因此，在進行數學結構性變式教學的實踐中，要認識數學問題結構性變式教學的適用性和局限性，精心設計變式題，不要讓數學結構性變式教學“變味”。 總之，在現行的初中數學教學中，適當地利用問題結構性變

23、式教學會對數學知識網絡的形成、對學生數學能力的提高會帶來意想不到的效果。在進行數學問題結構性變式教學時，既要關注水平變式題的設計和教學，也要兼顧垂直變式題的設計和教學。只有這樣，才能既不停留于水平變式的“淺層”特征的學習，也不盲目于垂直變式的“深層”特征的理解，也只有這樣，才能將兩者的優(yōu)點充分發(fā)揮出來，促進學生思考問題、解決問題能力的提高。當然，在進行數學問題結構性變式教學和設計的時候，選擇合理的源問題加以變式、關注變式題之間的銜接問題、把握水平變式題的“量”和垂直變式題的“度”，以促進學生在已有認知水平的基礎上，數學知識結構和數學能力都能循序漸進，螺旋上升的發(fā)展。初中數學變式教學的實踐研究

24、浙江省寧?？h桃源中學 王偉 等 一、 課題的提出 本課題的研究起源可追溯到筆者在高中求學時。當時，筆者最喜歡的功課就是數學，我們的數學老師在課堂上的常用語是“比如說”。她在講完一道題后，往往能再比如說出許多與之同類的數學考題，以提醒我們能觸類旁通，舉一反三，這樣的數學教學方式使我們茅塞頓開，恍然大悟，學習效益大增。90年大學畢業(yè)后，筆者被分配進寧?？h城關中學，初出茅廬，教書育人只憑一腔熱情，大搞題海戰(zhàn)術，盡管學生中考數學成績名列前茅，但師生俱累得心神俱疲。從92年開始一直到2000年，筆者一直擔任初三數學教師，并擔任校數學競賽總教練。八年來，筆者做了幾乎能收集到的全國各地中考題和競賽題，慢慢發(fā)

25、現并總結出一些規(guī)律脈絡。許多數學考題盡管歷年都在不斷變化發(fā)展，但無論怎樣改革，都離不開歷史數學題的繼承.數學基礎知識、基本技能、思想方法總是不變的，即“萬變不離其宗”，只是在題目的立意、創(chuàng)設的情景、設問的角度中力求新穎和鮮活的變化.目前在教學一線的部分教師工作勤勤懇懇，一直以“熟能生巧”來鞭策自己，但事實給我們以極大的反差：許多我們認為讓學生練熟的知識，在一次次考試中，只要對問題的背景或數量關系稍作演變，有的學生就無所適從。許多實例也表明，大量單一的、重復的機械性練習，達到的不是“生巧”，而是“生厭”，它不僅對學生知識與技能的掌握無所裨益，而且還會使學生逐步喪失學習數學的興趣，這正是“題海戰(zhàn)術

26、”的最大弊端。許多教師曾意識到此類問題，因此在課堂教學中頻頻提醒學生解題學習要觸類旁通，懂一題會解一片。但究竟如何對數學問題進行舉一反三，深入挖掘，充分演變，教師自己也很困惑。2002年，寧?？h教育局組織了第八屆縣教壇新秀評比，筆者作為主要評委之一，參與了筆試部分的命題工作，其中有一教學設計題，選自初一教材“在直線t同側有兩點A、B，在直線t上找一點P，PA+PB最小，請你設計一教學方案，如何將此題向初三學生進行講解，分析問題的引申、拓展與演變?！眳⑴c評比的青年教師均有較強的解題能力，但此題的得分較低，絕大部分教師無所適從，只能就題論題。這正反應出我們教師對數學知識的處理。比較單一，沒能將問題

27、進行引申和一般化，不能演變，不能在各種不同的情況下，識別出數學問題的本質，從而不能使學生在參與中展示知識發(fā)展的過程，不能將所學知識歸納入自己的知識系統，獲得更深刻、更廣闊的理解。2007年參加了省教育廳安排的“名師送教”活動，在臺州玉環(huán)給全市數學教師主講了在美麗的變式中領略數學的魅力學術報告，引起了全體教師的濃厚興趣。2008年受寧波市數學教研員沃蘇青老師推薦，在市新華書店報告廳主講了變式教學教案從二點間距離談起的報告，引起了與會者的強烈反響，受到了一致好評。同時，課題在筆者名師帶徒活動中也進行了長達四年的研究和實施，已取得了良好的實際教學效果。二、本課題的創(chuàng)新之處本課題的研究與實踐較以往的“

28、變式教學研究”有更實在明顯的教學效益。以往的變式教學更多地在理論上列舉了一題多變、舉一反三的教學與學習的優(yōu)勢，更多地立足于宏觀教學理論上的探討。本課題則立足于具體的教師課堂教學和學生解題訓練的實際，具體研究了數學問題是如何演變和如何深入的途徑，注重于數學問題演變的技術手段（1、圖形內部結構的變式探究2、幾何圖形形狀的變式探究3、對原題型的條件或結論的變式探究4、原題數量關系的變式探究5、因某一知識遷移的變式探究6、增加試題層次的變式探究7、轉化設問方向的變式探究8、縱橫交錯、信息互換的變式探究）。 2004年，我根據自己對數學變式教學的理解，寫過兩篇論文三角形相似判定定理（1）的教學實錄、習題

29、演變的常見策略。文章得到了中國教育學會中學數學教學專業(yè)委員會的肯定，文章均在中學數學教育發(fā)表。特別是提供可供教師課堂教學與學生解題訓練所用的經典變式問題。數學變式百例精講是國內教學類書籍選題的首創(chuàng)（寧波出版社選題審題調研結論）。因此，本課題的研究成果具有更強的模仿性、可操作性、推廣性。三、研究的依據隨著科技、信息的高速發(fā)展，迫切要求中學數學教學不應僅局限于知識的傳授，更應教會學生會學數學、會用數學，培養(yǎng)學生善于創(chuàng)新的精神。為此，探索并采用有效的教學策略和教學方法，形成實用高效的課堂教學模式，已成為中學數學教學研究和改革的重要內容。但是，長期以來，受“應試教育”的影響，“掐頭去尾燒中段”的“題海

30、戰(zhàn)術”不僅嚴重困擾著中學數學教學，而且已成為導致學生厭學，扼制學生學習主動性、針對性和探索創(chuàng)新精神的主要根源。如何解決這個問題？變式教學及其模式，也許是達到這一目的的一個有效途徑。這種方法不但可應用于課堂教學，而且在數學課外活動中也具有更為廣泛的價值，更是當前大力倡導的開展研究性學習的重要途徑。變式教學以現代教育理論為指導，以精心設計問題、引導探索發(fā)現、展現形成過程、注重知識建構、摒棄題海戰(zhàn)術、提高應變能力、優(yōu)化思維品質、培養(yǎng)創(chuàng)新精神為基本要求，以知識變式、題目變式、思維變式、方法變式為基本途徑，遵循目標導向、啟迪思維、暴露過程、主體參與、探索創(chuàng)新等教學原則，深入挖掘教材中蘊涵的變式創(chuàng)新因素，

31、努力培養(yǎng)學生的求異思維、創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力。1皮亞杰的認知發(fā)展理論認為，學習是一種能動的建構過程。學生認知結構的發(fā)展是在其認識新知識的過程中伴隨著同化和順應的認知結構不斷再建構的過程，是在新水平上對原有認知結構進修延伸、改組而形成的新系統。學生只有通過積極自覺的認知活動，來激活大腦中的原有認知結構，使具有邏輯意義的新知識與認知結構中的舊知識發(fā)生相互作用（同化與順應），才能實現內化中的再建構。2建構主義的數學教學觀認為，學習是學習者主動的建構活動，而不是對知識的被動接受。真正的數學教學應具有如下幾個特征：（1）在學習目標方面，表現為對知識的深層次的理解；（2）在學習過程方面，表現為高水平的思維；

32、（3）在學習的情境方面，表現為師生、生生之間的充分溝通、合作。教師應成為學習活動的促進者，在肯定學生主體地位的前提下，教師又應在教學活動中起主導作用。教師需要就學習內容設計出有思考價值的、符合學生認知發(fā)展水平的、具有挑戰(zhàn)性的問題，創(chuàng)設平等、自由、相互接納的學習氛圍，充分開展師生、生生之間的交流與合作學習，引導學生通過持續(xù)的概括、分析、討論、探索、假設、檢驗等高水平的思維活動，建構對知識的理解。3波利亞的數學教育思想源于兩個基本觀點：（1）數學具有二重性，即數學既有演繹科學，又是歸納科學。（2）人類的后代學習數學與人類的祖先認識數學的歷史是相似的。據此，波利亞創(chuàng)立了“數學教與學的三條原則”和“數

33、學解題理論”。波利亞認為：學習任何東西的最好途徑是自己去發(fā)現，為了有效地學習，學生應當在給定的條件下，盡量多地自己去發(fā)現要學習的材料（主動學習原則）；學習材料的生動性和趣味性是學習的最佳刺激，強烈的心智活動所帶來的愉快是這種活動的最好報償，所有最佳學習動機是“學生應當對所學習的材料感興趣，并且在學習活動中找到樂趣”（最佳動機原則）；學生必須學習有序，教師教學要有層次（階段漸進原則）。隨著新一輪課程改革的啟動、新數學課程標準的頒布，新的教育理念也必將貫穿于教學實踐，其中數學探究活動已成為貫穿整個初中數學課程始終的重要內容數學探究活動能促進學生將原有知識和新知識有效地組合和溝通，使學生獲得深切的感

34、受與體驗數學變式的研究能幫助學生養(yǎng)成良好的質疑、多思的學習習慣，提高類比推理的思維能力，點燃創(chuàng)新思維的火花而“變式教學”和“變式訓練”，通過對數學問題多角度、多方位、多層次的討論和思考，能幫助學生打通關節(jié)，建構有價值的變式探索研究，展示數學知識發(fā)生、發(fā)展和應用的過程，有意識、有目的地引導學生從“變”的現象中發(fā)現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規(guī)律，使所有知識點融會貫通，使思維在所學知識中游刃有余、順暢飛翔用繼承和發(fā)展的觀點進行反思牞我們傳統的教學確實存在著缺乏培養(yǎng)創(chuàng)新精神和探究能力的現象現在，我國在校學生中不乏解題高手，我國選手歷年參加國際奧林匹克數學競賽，都取得了優(yōu)異成績，但在

35、創(chuàng)造性地提出新問題、建立新理論方面都落后于國際平均水平美籍華裔學者蔡金法先生曾對中美學生的數學能力做過一次調查在第九屆世界數學大會上，他介紹了自己的調研結果：中國學生的計算能力和解決簡單問題的能力方面，比美國學生好；在比較復雜、過程或結論具有開放性的數學問題和創(chuàng)造性地提出問題方面，美國學生的平均成績比中國學生好在實際課堂教學中也是如此，在課上、課下敢于提出和能夠提出較新的、有一定深度和廣度的數學問題的學生寥寥無幾所以我國傳統的教學方式較難培養(yǎng)學生潛在的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力，學生大多只停留在解決理解前人留下的東西，解決前人留下的疑問，即為解題，從未想過“越雷池一步”，缺乏因舊問題的解決而激發(fā)新問題

36、產生的能力，即問題的演變。其實，一種新的教學理論，只靠嚴謹的邏輯演繹是無法推導的，必須加上生動的思維再創(chuàng)造。數學理論發(fā)展的歷史證明，人們的直覺和“靈光一閃”的頓悟，往往已經得出了整個新理論的百分之七十，剩下的百分之三十則是邏輯與驗證。數學史上冠以某數學家名字的猜想、定理、法則，往往并無邏輯證明，邏輯推演是今人補做的，但人們仍把功勞歸于提出新問題的首創(chuàng)者，英國富豪出百萬美元懸賞“哥德巴赫猜想”的驗證，僅僅是在已構造的理論大廈上添磚加瓦。四、研究的構想（一）概念間界定變式教學是指相對于某種范式（即數學教材中具體的數學思維成果，含基礎知識、知識結構、典型問題、思維模式等）的變式形式，就是不斷變更問題

37、的情境或改變思維的角度，在保持事物的本質特征不變的情況下，使事物的非本質屬性不斷遷移的變化方式。變式有多種形式，如“形式變式”、“內容變式”、“方法變式”等。變式是模仿與創(chuàng)新的中介，是創(chuàng)新的重要途徑。變式既是一種重要的思想方法，又是一種重要的教學途徑。通過變式方式進行技能與思維的訓練叫做變式訓練；采用變式方式進行教學叫做變式教學。變式教學要求在課堂上通過變式展示知識的發(fā)生、發(fā)展、形成的過程，因此，變式教學有利于培養(yǎng)學生探究問題的能力，是“三”基教學、思維訓練和創(chuàng)新能力培養(yǎng)的重要途徑（二）研究目標1、通過變式教學，解決如何優(yōu)化學生教學思維素質的問題。2、通過變式教學，解決如何使學生貫通教學思想到

38、問題。3、通過變式教學，解決如何培養(yǎng)學生學習興趣，提高教學效益，真正達到“輕負高質”的問題。（三）研究的思路筆者從1998年就開始了對本課題的研究與實際開展工作，并且已經積累了豐富的教學經驗和相應的教學理論素養(yǎng)。從2003年起在縣教育局名師帶徒中所帶動徒弟中進行實踐教學試點實驗，先給徒弟們灌輸變式教學的理論，傳授筆者在實際中所積累的經驗，并提供相應的教學資料，引導徒弟中積極開展變式教學課題的實施。從而在桃源中學數學組全面展開本課題的實施工作，邊實踐、邊摸索，邊總結，以期達到預期的研究目標。（四）研究的步驟1、研究的方法：不同學校實驗學生成績對比分析法。同校平行班成績對比分析法。個體調查法。2、

39、研究的步驟：準備階段：1996年9月1998年11月，查閱與之相關的資料，學習有關理論，確定研究方向，制訂研究計劃。研究階段：第一期1998年12月2003年筆者執(zhí)行研究計劃。第二期2003年2008年，桃源中學、西店中學、城關中學、躍龍中學各設兩班試點執(zhí)行研究計劃。總結階段：2006年8月2008年10月。分析積累的數據和資料，總結提煉完成課題，撰寫報告。五、研究的操作策略（一）、培養(yǎng)數學問題演變能力的策略著名的數學教育家波利亞曾形象地指出：“好問題同種蘑菇類似，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個。”教師教授數學問題時，培養(yǎng)學生思考問題、解決問題的目的是

40、培養(yǎng)探索解決問題途徑的能力，探索新事物的學習精神，提出更一般的、更廣闊的、更深刻的新問題和建立新理論。那么如何培養(yǎng)學生針對舊問題而提出新問題（問題演變）的能力？1、夯實基礎，溝通聯系數學基礎知識，基本概念（定義、定理、性質、公式、法則）是解決數學問題，產生新問題的起點。從知識發(fā)生的過程設計問題，突出概念的形成過程和來龍去脈，從學生認知的最近發(fā)展區(qū)來設計問題，不是將公式簡單地告訴學生，而是通過設計開放性問題，讓學生通過類比、歸納、猜想得出結論，再對所得結論進行論證。案例1.求證：順次連結平行四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。變式1、求證：順次連結矩形各邊中點所得的四邊形是菱形。變式2、求證

41、：順次連結菱形各邊中點所得的四邊形是矩形。變式3、求證：順次連結正方形各邊中點所得的四邊形是正方形。變式4、順次連結什么四邊形中點得到平行四邊形。變式5、順次連結什么四邊形中點得到矩形。變式6、順次連結什么四邊形中點得到菱形等。通過這樣一系列變式訓練，使學生充分掌握了四邊形這一章節(jié)所有基礎知識和基本概念，強化溝通常見特殊四邊形的性質定理、判定定理、三角形中位線定理等，極大拓展了學生解題思路，活躍思維，激發(fā)興趣。案例2、圓臺側面積公式為（R+r）l，當r=0時，即圓臺體變形為圓錐體，即圓錐體側面積公式為Rl；當R=r時，圓臺體變形為圓柱體，圓柱體側面積公式為2Rl。這樣，我們用整體的觀點，站在更

42、高的層次上，分析與研究知識之間的縱橫關系、因果關系、演變關系，溝通不同知識間的內在聯系，以知識為經，方法為緯，編織一個“知識網”，為進行數學問題演變奠定堅實的知識基礎。2、推陳出新，發(fā)展思維豐富而扎實的基礎知識是形成創(chuàng)新意識的前提，無“知”必無“能”，有“知”未必有“能”，要想知識和能力同步協調發(fā)展，教學中既要使學生掌握知識，更要使學生把握知識的產生“過程”，并從中吸取豐富的智力營養(yǎng)，盡力讓學生體會到蘊藏在數學問題中的“生命”價值。具體在數學活動中，它是一種不依常規(guī)，尋求變異，從多角度、多層次、全方位去思考問題，尋求答案的優(yōu)良思維品質，其基本特征是：流暢性能在短時間內表達較多的概念，反應迅速；

43、變通性思維方向靈活多樣舉一反三，觸類旁通，能提出超常的構想或新觀點；獨創(chuàng)性對事物的處理或判斷表現出獨特的見解，推陳出新。案例3：如圖2-1，在RtABC中，當C=90，則c2=a2+b2（勾股定理）變式1、當C不是90時，c2=a2+b2仍成立嗎？如不能成立，a、b、c三邊又成何關系式呢？解：如圖2-2，設ABC中，AB=a，BC=b，AC=c。過點B作AC的垂線BD，垂足為D。則BD=asinc，DC=acosc，AD=b-acosc，根據勾股定理可得：c2=(asinc)2+(b-acosc)2 =a2sin2c+b2-2abcosc+acos2c =a2(sin2c+cos2c)+b2-

44、2abcosc =a2+b2-2abcosc這即是解斜三角形所需用的余弦定理。從而，我們可以發(fā)現，勾股定理亦可視為余弦定理的特殊情況。即c2=a2+b2-2abcos90 變式2、我們已知所有符合a2+b2= c2的正整數解即為一組勾股數，如：3、4、5，5、12、13，9、40、41那是否存在正整數a、b、c使a3+b3=c3呢？變式3、當n3時，是否存在正整數a、b、c，使an+bn=cn也成立呢？這就是有名的數學難題費馬最后定理。由上例可知，教材中一些常見定理，反映著相關數學理論本質屬性，蘊含著豐富的數學思維方法和思想精髓，這就是學生創(chuàng)新思維的生長點。案例4：求一元二次方程x2-5x+6

45、=0的根。變式1、求一元二次不等式x2-5x+60的解集。解：畫出二次函數y= x2-5x+6的圖象，如圖2-3，解得點A坐標為（2，0），點B坐標為（3，0）由圖象可知一元二次不等式x2-5x+60的解集為x3。變式2、如圖2-4在直角坐標系中作出點B（0,1）和Q（p,q）以BQ為直徑作圓C，交x軸于M，N，則M，N的橫坐標即為二次方程x2-px+q=0的實根。證明：連結QT，過點Q作QSX軸，垂足為S，BQ為直徑BTQ=90OT=QS=q由相交弦定理可知OMON=OTOB 即OMON=q又易證OTMQNSOM=NSOM+ON=OM+OM+MN =OM+MN+NS=OS=TQ=P由韋達定理

46、可知M，N的橫坐標即為一元二次方程 x2-px+g=0的根，這即為19世紀蘇格蘭文學家卡萊爾給出了有名的任意一元二次方程實根的一個新穎、簡潔的幾何求法。因此對于數學問題的思考，能夠抓住問題的本質和規(guī)律深入細致地加以分析和解決，而不被一些表面現象所迷惑，解題以后能夠總結規(guī)律和方法，把獲得的知識和方法遷移應用于解決其它問題，培養(yǎng)學生思維的深刻性。案例5：如圖2-5，O為ABC內任一點，連結OA、OB、OC，在OC上任取一點E，作EFAC，交OA于點F，作DEBC交OB于點D，連結DF。求證DEFABC（浙教版教材例題）證明：EFAC，DEBC 1=2，3=4，5=6 = DFAB 7=8 ACB=

47、FED,DFE=BAC DEFABC。變式1：如圖2-6，上題中“O為ABC內一點”改為“O為ABC外任一點”，其他條件不變，求證DEFABC。變式2：如圖2-7，當“O跑到AB邊上”，求證DEFABC。變式3：如圖2-8，當“O跑到AB的特殊點A上”，求證DEFABC。變式4、上幾題都是“O點在運動”，現ABC進行變化呢？如圖2-9，這此多邊形都相似嗎？如此，對于教材中許多重要的例、習題，進行類比，引申、推廣，提出新問題并加以解決，從而引發(fā)了學生暇思綿綿，既更好地發(fā)揮了教材的擴張效應，更能鞏固學生數學思維的靈活性，問題演變的深刻性。3、掌握規(guī)律，建立技能 數學問題的演變是以基礎問題為基本，并

48、且要與學生的思維水平相適應，對學生的思維素質要求較高，但仍有一定的方法技巧可循，如何引導學生根據現有的思維水平，運用已掌握的知識，通過正確的思維方式，把碰到的數學問題，轉化為熟悉的或容易解決的數學問題，變中求解，解中求變，以下流程圖是可行的：直覺思維大膽猜想、類比、聯想 解法發(fā)散，條件結論發(fā)散，動靜變換，主次易位，相關問題比擬熟悉化、簡單化、具體化、特殊化，組合、分拆發(fā)散思維辯證思維問題AA的變式策略構建檢驗與擇優(yōu) 案例6： 已知點P是拋物線y=x2+1上的任意一點，記點P到x軸的距離為d1,點P與點F（0，2）的距離為d2.(1)猜想d1、d2的大小關系，并證明；(2)若直線PF交此拋物線于

49、另一點Q（異于P點）：試判斷以PQ為直徑的圓與x軸的位置關系，并說明理由；以PQ為直徑的圓與y軸的交點為A、B，若OAOB=1，求直線PQ對應的函數解析式（2003揚州中考題）.解：（1）猜想：d1= d2，證明如下：設點P（x0,y0）是拋物線y=x2+1上的任一點，則 d1= y0=+1又d2= PF =,而x20=4 y0-4，d2= y0= d1，（2）如圖2-10，以PQ為直徑的圓與x軸相切，設M為PQ中點，分別過點M、P、Q向x軸作垂線，垂足分別為C、P、Q。當PQy軸時，由四邊形PQQP為矩形，易得MC =（QQ+PP） =（QF+PF）=PQ；當PQ不垂直于y軸時，MC是梯形P

50、QQP的中位線。MC =（QQ+PP）=PQ以PQ為直徑的圓與x軸相切。設直線PQ的解析式為y=kx+b,點F（0，2）在PQ上，b=2,y=kx+2,由 消去y,并整理得：x2-4kx-4=0.(*)記P（x0,y0）、Q（x1,y1），則x0、x1為方程（*）的兩實根.M與x軸相切于點C，與y軸相交于A、B，且OAOB=1，由切割線定理，得： OC2=OAOB=1，OC=1，點C坐標為（1，0）或（-1，0），又點C為線段QP中點，若C點坐標為（1，0），則x0-1=1- x1，即x0 + x1=2，4k = 2, k =. 若C點坐標為（-1，0），則x0-(-1)=-1- x1，即x0

51、 + x1= -2，4k = -2, k = -.直線PQ的函數解析式為：y =x + 2,或y = -x + 2.變式1、定長為5的線段PQ的兩個端點在拋物線y=x2+1上移動，F（0，2），記線段PQ的中點為M，求點M到x軸的最短距離。解：如圖2-11，過M作MCx軸，垂足為C，易得MC =(PP+QQ),易證PP=PF，QQ=QF.MC=(PF+QF),即只要求PF+QF最小，而PF+QFPQ故當P、F、Q三點共線時，PF+QF最小，且PF+QF=PQMCPQ =,M到x軸的最短距離為變式2、如圖2-12，已知拋物線y =x2+1,F(0,2),過點F的直線交拋物線于P、Q兩點，點M為線

52、段PQ中點，MRPQ且與y軸交于點R，證明：PQ=2FR.證明：設R（0，y0），P（x1,y1）、Q(x2,y2),則FR=y0-2.由題設易知RP=RQ，代入兩點間距離公式，得 x12+（y0-y1）2= x22+（y0-y2）2，x12=4（y1-1），x22=4（y2-1），代入上述方程，得（y0-y1）2-（y0-y2）2=4（y2-y1），即2 y0-（y1+y2）（y2-y1）=4（y2-y1），y1y2，y0=+2,即FR+2=+2,FR=，分別過P、Q作PPx軸，QQx軸，垂足分別為P、Q，易證PP=PF，QQ=QF。PQ=PF+FQ=PP+QQ = y1+y2，PQ=2FR

53、.變式3、如圖2-13，以點E（0，8）為圓心，6為半徑作半圓交y軸于B、D，交拋物線y=x2+1于P1、P2，求證：P1B+P2B=12解：設P1B=m，P2B=n，過P1作P1MAE，P1Q1x軸，垂足為M、Q1，過P2作P2NAE，P2Q2x軸，垂足為N、Q2。P1B22=BMBD，而P1B=P1Q1，即P1Q12=BMBD設P1Q1=m，m2=(m-2)12 m2-12m+24=0同理可得P2B2=BNBD 即P2Q22=BNBD設P2Q2=n，n2=(n-2)12 n2-12n+24=0即m、n是方程z2-12z+24=0的根，m+n=12P1B+P2B=12此題及變式是以直線、拋物

54、線、圓之間位置關系為背景，在知識網絡的交匯點設計問題，綜合考查了函數、方程、幾何的基礎知識，其綜合性極強（初中階段重要的知識點幾乎全部涉及），同時，也深刻地考查了初中重要數學思想，如數形結合思想、函數方程思想、轉化和分類思想、建立模型思想、運動辯證思想、教師和學生如果能夠如此解題與問題演變，將對其數學思維能力的提高具有極大作用，看待一些數學問題將會有“一覽眾山小”的感覺。4、數學問題變式設計應注意的問題前面，我們舉例說明了數學問題變式的方法，但應當指出，問題變式不是為了“變式”而變式，而是要根據教學需要，遵循學生的認知規(guī)律而設計數學變式。其目的是通過變式訓練，使學生在理解知識的基礎上，把學到的

55、知識轉化為能力，形成技能技巧，完成“應用理解形成技能培養(yǎng)能力”的認知過程。因此，數學變式設計要巧，要有一定的藝術性，要正確把握變式的“度”。一般地，設計數學變式，應注意以下幾個問題：1、差異性。設計數學問題變式，要強調一個“變”字，避免簡單的重復。變式題組的題目之間要有明顯的差異。對每道題，要使學生既感到熟悉，又感到新鮮。從心理學角度看，新鮮的題目給學生的刺激性強，學生的神經興奮度高，做題時注意力集中，積極性大，思維敏捷，使訓練達到較好的效果。因此，設計數學變式，要努力做到變中求“活”，變中求“新”，變中求“異”，變中求“廣”。2、層次性。所謂的問題變式要有一定的難度，才能調動學生積極思考。但

56、是，變式要由易到難，層層遞進，讓問題處于學生思維水平的最近發(fā)展區(qū)，充分激發(fā)學生的好奇心和求知欲。要讓學生經過思考，能夠跨過一個個“門坎”，既起到訓練的作用，又可以培養(yǎng)學生的思維能力，發(fā)展學生的智力。3、開闊性。一幅好畫，境界開闊，就會令人回味無窮。同樣，設計數學問題變式，一定要內涵豐富，境界開闊，給學生留下充足的思維空間，讓學生感到內容充實。因此，所選范例必須具有典型性：一要注意知識的橫向聯系；二要具有延伸性，可進行一題多變；三要注意思維的創(chuàng)造性、深刻性。4、靈活性。根據教學內容和學生的實際情況，數學問題變式訓練的方式要靈活多樣，力求使學生獨立練習和教師啟發(fā)引導下的半獨立練習相結合。同時，根據

57、數學內容，有時可分散訓練，有時可集中訓練，有時一個題目的變式可分幾次完成，充分展現知識螺旋上升的方式。這種靈活的訓練方式，不僅可以提高學生的興趣，集中學生的注意力，而且可以使學生的多種感官參與學習，提高大腦和神經的興奮度，達到最佳的訓練效果。（二）、變式教學課堂的模式策略1、概念課教學模式(1)、模式框架(2)、模式說明變式教學概念課的教學模式，是一個以學生為中心，以學生自主創(chuàng)新學習為基礎，以學生創(chuàng)新精神和創(chuàng)新素質的全面發(fā)展為目標的教學過程。具體操作程序為：“問題情境探究新知形成概念變式深化變式訓練總結升華”六個環(huán)節(jié)。應當指出，上述六個環(huán)節(jié)可根據具體情況有所刪減。1、問題情境新知來源于問題，所

58、以創(chuàng)設問題情境應從概念的來源入手。根據概念的來源，概念大致可分為兩類：一類是來源于生活、生產、科研等實際，也就是根據實際問題抽象出來的概念；一類是由已知概念得到的新概念。在“問題情境”環(huán)節(jié)中，教師活動主要體現在：根據概念類型、設計概念引入變式，將概念還原到客觀實際(如實例、模型或已有經驗、題組等)提出問題，為學生創(chuàng)設生動形象的教學情境，激發(fā)學生自主學習的內驅力。所提問題要適當，既要符合教學大綱和教材的要求，又要符合學生的“最近發(fā)展區(qū)”。學生活動主要表現在：激發(fā)自主創(chuàng)新學習的情感，積極進行發(fā)現性學習。學生在教師創(chuàng)設的特定情境中，從實踐經驗和原認知結構中提取與新知相關的舊知，發(fā)現新知、舊知間的聯系

59、。2、探究新知這是根據教師創(chuàng)設的問題情境，學生自主創(chuàng)新學習的過程。它包括學生個體自主探究、小組相互討論、集體相互討論、師生相互釋疑等自主創(chuàng)新的方式。在“探究新知”環(huán)節(jié)中，教師活動體現在：(1)教師的主導性。當學生在自主探索過程中遇到困難時，教師應適當啟發(fā)點撥，指導學生明確探究方向，充分挖掘學生自主創(chuàng)新的潛力。教師要創(chuàng)造性地引導學生“探究”，鼓勵學生“質疑”，激勵學生“超越”，調動學生“選擇不，以促進學生創(chuàng)造思維的發(fā)展，并形成教師與學生相互協作的新型師生關系。(2)創(chuàng)設自主學習的氛圍。在學生自主學習、小組討論、集體交流的過程中，教師既要了解學生所掌握的知識，又要觀察學生的心理變化，創(chuàng)設平等、和諧

60、、民主、寬松、愉快的學習氛圍，讓學生大膽質疑，勇于求異，敢于爭辯。學生活動體現在：(1)學生自主創(chuàng)新學習。展示學生尋找結論的過程，展示思維過程、探索過程的獨特性、層次性和創(chuàng)造性。(2)個體自主探究。(3)小組相互探討。(4)集體相互交流。3、形成概念這是在學生充分探究、討論的基礎上，學生自主歸納、概括、抽象形成概念的過程。在這一環(huán)節(jié)中，教師活動體現在：對學生實施積極的和適度的鼓勵性評價。對抽象概念過程中出現差錯的學生，要以寬容、諒解、和藹的態(tài)度對待，允許再“想一想”，使學生獲得成功的情感體驗。學生活動體現在：(1)學生積極參與的狀態(tài)。學生在課堂上熱情飽滿，注意力集中，與老師和諧互動、雙向交流。