電磁場與電磁波理論(第二版)(徐立勤曹偉)第2章習(xí)題解答

1、電磁場與電磁波理論（第二版 ）（徐立勤_曹偉）第2 章習(xí)題解答第 2 章習(xí)題解答已知半徑為 、 長為 l 的圓柱體分布著軸對稱的體電荷，已知其電荷密度（）0V p p p =,（）0 p 的球面之間均勻分布著體電荷，電荷密度為0 p。兩球面的球心相距為d ,且d o試求空腔的電場。解：我們把空腔看成是由電荷密度分別為 0 P和0 p-的體電 荷，那么在空腔電場可以看成電荷密度為0 p、半徑為b的大圓球產(chǎn)生的場和電荷密度為0p-、半徑為 的小圓球查收的場的疊加。由高斯定理，大圓球產(chǎn)生的電場為0233b bb b Q E r r r pee =-r r r而小圓球產(chǎn)生的電場為 0233b Q E

2、r r r p =-r rr因此合成場為000333bE r r d p p p =-=rr r r2.22 如題 2.22 圖所示，在半徑為 的圓柱導(dǎo)體并排挖了兩個與其軸線平行、半徑為 b 的圓柱形空腔。兩空腔的軸線與導(dǎo)體柱的軸線的距離相等， 均為 d ， 且 d b 。當(dāng)導(dǎo)體通以均勻分布的電流I 時，試求空腔的 H r。解：假設(shè)導(dǎo)體中的電流是 z e +r方向的。由于導(dǎo)體的電流密度為 ()220/兀2J I b =-,所以可以把空腔看成是兩個電流密度也為 0J 的 z e -r方向的導(dǎo)體柱。 那么在空腔磁場可以看成該兩個小導(dǎo)體柱和半徑為 ，沒有空腔的大圓柱導(dǎo)體柱所產(chǎn)生的場的疊加。利用安培環(huán)

3、路定律， 可以分別得到大圓柱在兩個空腔產(chǎn)生的磁場以及兩個小導(dǎo)體柱在兩個空腔產(chǎn)生的磁場，最后得到左腔 H H H H =+r r r r左右大()()()()()()()()()()()222222222222222222 兀22 兀22 兀22 兀2xy x y x y x y I I e y e x e y e x d b b I b e y e x d b x d yx d b I yb e e d b x d y x d y ?=-+?-+-?-+?-?=+-?-+-+?r r r rr rr r右腔 H H H H =+r r r r左右大()()()()()()()()()()()2

4、22222222222222222兀22 兀22 兀22 兀2x y x y x yx y I I b e y e x e y e x d b b x d y I e y e x d b x d b I yb e e d b x d y x d y ?=-+-+?-+?-+-?-?+?=+-?-+?r r r rr rr r已知無源的自由空間()0cos x E e E t z a B=-r r ，其 中0E , B和a為常數(shù)。試求磁場強(qiáng)度Hr和位移電流 d J r 。解：由麥克斯韋第二方程可得()000sin 00 xy z x y z y xxyz e e e e e e B E e E

5、t z t xy zz E E E E 0 3 ?-=?=-?r rr r r r rr r r于是有()()000001sin d cos ty y E B H e E t z t e t z 003030 以以干-以-=-?r r r r而位移電流()d 000sin x D E J e E t z t t a 3?=-?r rr r已知無源的自由空間()0 Ttcos sin y xH e H t za B=-r r,其中0,H B和a為常數(shù)。試求E r和d J r解：由于在無源的自由空間 0J =r ，由麥克斯韋第一方程可得000 xy z x y z y y x z yxyze e

6、e e e e H H D H e e t xy z xz z x H H H H ?=?=-+?rr r r rr rr r r r ()()00 兀兀 cos cos sin sin x z H x x e H t z e t z03030=-r r于是有 ()()()0000000 tt1 % ;d cos sin sin cos t x z H H D x x E H t e t z et z03030 3 =?=-+-?r r r r r 而位移電流()()0d 0 兀兀 cos cos sin sin x z H D x x J0 3 0 3 ?=一？r r r r已知介電常數(shù)為，

7、磁導(dǎo)率為以的空間()0cos y x z E e E t k x k z w=-r r試求：電荷密度p和電流密度J r , 0J =r的條件是什么?解：由麥克斯韋第四方程可得0D E p =?=?=r rrr而由麥克斯韋第二方程可得()()00000sin sin xy z x y z yxy zy y x z x z x z z x x z e e e e e e B E t xy z xz E E E E E E e e e k E t k x k z e k E t k x k z z x3 3?-=?=?=-+=-+-?r r r r r r rr r r r r v于是有 () ()

8、()000001d cos cos tzxxxzzxz k E k EB H E t e t k x k z e t k x k z 33 以以 3 以 ct=-?=-+-?r r r r r r而()()22000000sin sin xy z x y z x z y xzx y z z x x x z x z e e e e e e H H H e x y z x z z x H H HH H k E k E e t k x k z t k x k z 333 以 3 ?=- ?=-+-?r r r r r r r r r r代入麥克斯韋第一方程可得()220sin yxyx ykkDJ

9、HeE tkxkyt aeaa 以 3?=?-=? ? ?r r r r r 由此可見， 0J =r的條件是 222x y k k 3 +=。已知無源的自由空間 ()()12sin 4cos cos4sin x z H ex t ky e x t ky 33 =-+-rr r試求相應(yīng)的位移電流密度。解：由于在無源的自由空間 0J =r，由麥克斯韋第一方程可得00 x y z x y zx z z x y z x y z x z e e e e e e H H H D H e e e t x y z x yy x yH H H H H ?=?=-?r r r r r r rr r r r r()

10、()()221cos4cos 4sin 4sin sin 4sin x y z e k x t ky ex tky e k x t ky 33 w=-+一r r r于是有()()()()00022101d 1cos 4sin 4sin 4cos sin 4cos t x y z D E H te k x t ky e x t ky e k x t ky 333 g=?=+-?rr r r r r r而位移電流()()()d 221cos 4cos 4sin 4sin sin 4sin x y z D J e k x t kye x t ky e k x t ky t3 3 w ?=-+一？rr

11、 r r r已知半徑為 0R 的球面外的電場分別為()()()()0003cos sin 2cos sin r r e e r R RE B e e r R re e e e ?-+?r0 。試求：（1 ）滿足邊界條件的假設(shè)球外的介電常數(shù)均為B ； （ 2 ）球面上的面電荷密度及其總電量； （ 3 ）球面外的體電 荷密度。解：由電場切向重量連續(xù)的邊界條件可得21t2t120r R r R r R r R E E E E B R e e=?=?= 代入電場法向方向重量滿足的邊界條件可 得（）01n2n1n2n012S S rr R r R r R r R r R r R D D D D E E p p =-=?=-=-003cos SR p ?=已知半徑為0R、磁導(dǎo)率為以的球體外的磁場強(qiáng)度為 ()()()()0032cos sin 2cos sin rr e e r R H e e r R r e e e e ?-?r r r r r且球外為空氣。試求： ( 1 )滿足