數(shù)值分析7 線(xiàn)性空間中向量的極限和范數(shù)

1、 5線(xiàn)性空間中向量的極限與范數(shù)直接法的誤差分析和迭代法的收斂性一線(xiàn)性空間中向量的極限一用范 數(shù)來(lái)度量一、向量的極限設(shè)V是n維向量空間(線(xiàn)性空間)，X(K)EV設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)是仰勺一組基底，(& (k),&(k)，,&(k)是x(k)在這組 12n12n基底下的坐標(biāo)，即X(k) =&(k) +&(k) + + & (1)(2)【定義1】|(向量序列的極限2對(duì)2于V中的向量序列X(K)，由(1)式， 若對(duì)于任何i (i=1,2,n)總成立 lim & k =& k 3 11則稱(chēng)x(k)收斂到向量X = & +& + & 。 1122nn【例1】設(shè)11111V = R3, X(k) = (, (1 + )

2、k , 一)t V,貝U由于k 3時(shí),0,(1 + )k e,kk2kkk1 八0,因此有2 kx( k) (0, e,0) t = x【例2】設(shè)V=R3X3中1 -1 k sin k / ksin k / k1 + 1/2k1/k1/k1 + 2 k2 k1 1 1 + 2k 汪意至 U lim 1 一一 = lim 1 + =lim k k32k k3 2klim x(k)= E (單位矩陣)。 k3k 3所以 sin k11,而 lim= 0 = lim ,k3 kk3k二、范數(shù)|【定義2】設(shè)V是線(xiàn)性空間，之對(duì)應(yīng)且滿(mǎn)足非負(fù)性對(duì)于xEV，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，hxh=0；齊次性對(duì)于xEV，II

3、 A x I = | 入 III x I若對(duì)于任意的xV,都有一個(gè)實(shí)數(shù)II xh與總有H X 110(3)入EC, C是復(fù)數(shù)域，總有(4)(3)三角不等式：對(duì)于x, yV,總有II x+y IIWII x | + | y II (5)則稱(chēng)H x I為元素x的范數(shù)。三、向量的內(nèi)積與正交【定義3】|設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的線(xiàn)性空間，若對(duì)V中任意元素a , p和Y，都唯一地對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)(a , p )，使?jié)M足交換律：(a , p ) = (p , a )分配律：(a +p , y ) =(a , y)+(P，丫 )非負(fù)性：(a ,a ) 30,當(dāng)且僅當(dāng)a =0時(shí)(a ,a ) =0齊次性：對(duì)任意 keR,

4、 (ka , p )=k (a , p )則稱(chēng)實(shí)數(shù)(a , p )為元素a與0的內(nèi)積。【注】1)n維有序數(shù)組集(n維向量)&之中，對(duì)任意x, yeRn3, y)=才氣.七(6)i=1稱(chēng)為x與y的內(nèi)積。2)a, b上連續(xù)函數(shù)的全體構(gòu)成線(xiàn)性空H V=Ca, b,對(duì)x, yeV, 規(guī)定(x, y) = jb p (t)x(t) y(t)dt ( 7 )a稱(chēng)其為帶權(quán)p (t)的內(nèi)積。它顯然滿(mǎn)足內(nèi)積的定義。其中，權(quán)函數(shù)p(t)滿(mǎn)足:在a, b上p(t)N0；對(duì)于g(t)eca, b, j人p(t)g(t)dt恒存在，且對(duì)非負(fù)的ag(t),b P (t)g(t)dt = 0時(shí)恒有g(shù)(t) = 0。a【定義

5、4】若V中兩個(gè)向量x, y,其內(nèi)積滿(mǎn)足(x, y) =0 (8)則稱(chēng)x與y為正交向量。當(dāng)V中的向量組x，x，x(n)兩兩正交時(shí)，稱(chēng)其為正交向量 組。若還有II x|=1對(duì)任何i=1, 2,，n成立，則稱(chēng)此向量組為標(biāo) 準(zhǔn)正交向量組。下面討論一些具體的范數(shù)。四、Rn中的范數(shù)x G Rnv(9)(10)Il x ii 1= x.j=1II x II 2= J(x, x)=II x II = max x81 j 0 1=0,即I X. | =0,當(dāng)且僅當(dāng)X=0 齊次性：對(duì)于入ER, XfRn,1)而H x H2),(j=1, 總有IMII廣習(xí)印|二1j=1三角不等式：ix+,qij=1依范數(shù)定義，x是

6、范數(shù)。注：1)Rn中的P范數(shù)：對(duì)于XeRn,xj i=13)Xj +七 j=ij=i+乙jj=1(11)2,., n)從而 x=0。=N-| XI1(12)X = X p ) p ,1 p 0; k E R 時(shí)，|kx| = |A(kx)| = |k|Ax| = |k| |x| ;驗(yàn)證三角不等式，當(dāng)x, y E Rn,由H ： | b定義，有iix+l=iA(x+川 K10使對(duì)一切XERn，成立不等式aPk11xl p I虬k2k (14)常用的向量范數(shù)等價(jià)關(guān)系：|圳 J H n |x|II圳: I HI 2 jn 虬 土同I 11 圳2 IHI說(shuō)明：任何兩種范數(shù)做為逼近度量的尺度，逼近性態(tài)是

7、一樣的。 五、方陣的范數(shù)【定義5】I Rnxn是n階方陣全體的集合，如果AFRnXn , A的某個(gè) 非負(fù)的實(shí)值函數(shù)II A H，滿(mǎn)足：（1）|A|30,而 |同| = 0。A = 0；（2）網(wǎng)| = |k|A|,k e R;（3）IA + 劌 | A| +| B；（4）網(wǎng) |A|.| B。則稱(chēng)I A I是Rnxn上的一個(gè)方陣范數(shù)【例】（Frobenius范數(shù)）如果把方陣?yán)斫鉃閚2維向量，按向量范數(shù)（2范數(shù)）的定義，來(lái)定義A的范數(shù)，即對(duì)AERnXn,規(guī)定|A| =咨 n aj）2 （15）i=1 j =1，A eRnXn，當(dāng)(16)為Frobenius范數(shù)（F范數(shù)）。I【定義6】| （方陣與向量

8、乘積的范數(shù)）對(duì)任何xeRnIAHa J Hl -I HII則稱(chēng)I Al |與|H是相容的?！?a構(gòu)造方陣的算子范數(shù)：利用定義6,有|Ax| |A INI從而H llHlln a aX令=可，則y是單位向量，在閉球：=i內(nèi)ihi是變量的連續(xù)函數(shù)（定理4），因此，它能達(dá)到最大值|A|，即既| HM =1Hly =1 a a【定義7】I Ml是Rn上的任一向量范數(shù)，則lAl = ma4Arx0 xxRn=max|Ayl = max Axlyl=1 lx L1yeRnxwRn為Rnxn上的一個(gè)矩陣范數(shù)，稱(chēng)為矩陣的算子范數(shù)。(17)可以驗(yàn)證它符合方陣范數(shù)的定義常用的算子范數(shù)是從屬于向量P（P=1，2,

9、+8）范數(shù)的算子范數(shù):（1）列范數(shù)=max a1 j j(18)=%頂 At A（2） 2-范數(shù)2其中是AAtA方陣AtA的最大特征值.| A| = max aij j=1證（18）式：設(shè)|x|I，則 Ax = （3）行范數(shù)l|Ax|1= j=1設(shè)j=k時(shí)|i=1證（19）式：因?yàn)閨A|2但是(19)(20)a x , a x，, a x )1 j j 2 j jnj jj =1j =1 町可=（i=1 j=1j=1aj i=1j=1 X X 0為AtA的特征值，量，則有2而l1，12, , l n為對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。X0：?jiǎn)挝幌?c |Ll + C |Ll + + C |Ll1 12 2n n|x |2 = (x , x ) = C2 = 1i=1由于八2i=1入c 2i i i i ii ii=1i=1i=1|Ax0|2 = (%, ATAX0)=(二四 Zx c 口 = E 當(dāng)X0=以1時(shí)|Ap I2 =(日,ata)=(日,人日)=x111 11所以A2【例】設(shè)求范數(shù)II AH 1, 解顯然H a|I AIL 及I AIf。AH =7由于 IATA =IAI2, =