概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙大版)第三章課件多維隨機(jī)變量及其分布

1、1 二維隨機(jī)變量問題的提出例1：研究某一地區(qū)學(xué)齡兒童的發(fā)育情況。僅研究身高H的分布或僅研究體重W的分布是不夠的。需要同時(shí)考察每個(gè)兒童的身高和體重值，研究身高和體重之間的關(guān)系，這就要引入定義在同一樣本空間的兩個(gè)隨機(jī)變量。例2：研究某種型號(hào)炮彈的彈著點(diǎn)分布。每枚炮彈的彈著點(diǎn)位置需要由橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)來確定，而它們是定義在同一樣本空間的兩個(gè)隨機(jī)變量。定義：設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間S=e；設(shè)X=X(e)和Y=Y(e)是定義在S上的隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的向量(X,Y)叫做二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量。0Se定義：設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y，二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)。

2、幾何意義(X,Y)平面上隨機(jī)點(diǎn)的 坐標(biāo) 即為隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在以點(diǎn)(x,y)為頂點(diǎn),位于該點(diǎn)左下方的無窮矩形區(qū)域G內(nèi)的概率值。 分布函數(shù) 的性質(zhì)x1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)0 2. 二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布中心問題：(X,Y)取這些可能值的概率分別為多少？ 定義 若二維 r.v.（X，Y）所有可能的取值是有限對(duì)或無限可列對(duì)，則稱（X，Y）是二維離散型隨機(jī)變量。則(1)公式法二維（X，Y）的聯(lián)合分布律:(2)表格法X Y(X,Y)的概率分布表：描述(X,Y)的取值規(guī)律例1： 將一枚硬幣連擲三次，令X=“正面出現(xiàn)的次數(shù)”，Y=“正反面次數(shù)之差的絕對(duì)值”

3、，試求(X,Y)的聯(lián)合分布律。（0,3）（1,1）（2,1）（3,3）P(X=0,Y=3)=P(反反反)=1/8解: (X,Y)所有可能的取值為：0123103/83/8031/8001/8XY例2: 設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),另一隨機(jī)變量Y在1到X中隨機(jī)地取一整數(shù).求(X,Y)的分布律。分析 (X,Y)所有可能的取值為： (1,1); (2,1)、(2,2); (3,1)、(3,2)、 (3,3); (4,1)、(4,2)、 (4,3)、(4,4).解：設(shè)X可能的取值為Y可能的取值為則：123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/16

4、40001/16(X,Y)的聯(lián)合分布律為:XY 二維連續(xù)型隨機(jī)變量說明(2) 的性質(zhì)分布函數(shù) 是連續(xù)函數(shù). (因?yàn)?是積分上限函數(shù))反映(X,Y)落在 處附近的概率大小概率微分描述(X,Y)的取值規(guī)律G1 例3：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度： 例4：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度 (1) 求常數(shù)k；(2) 求概率 解：12 邊緣分布 二維隨機(jī)變量(X,Y)作為整體，有分布函數(shù) 其中X和Y都是隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù) 記為： 稱為邊緣分布函數(shù)。事實(shí)上，對(duì)于離散型隨機(jī)變量(X,Y)，分布律為p11p12p1jp1p21p22p2jp2pi1pi2pijpi XYy1y2yjp1p2p

5、.j1X,Y的邊緣分布律為：注意：我們常在表格上直接求邊緣分布律XY1例: 求例1中二維隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X與Y的邊緣分布律.0123103/83/8031/8001/81X與Y的邊緣分布律如下:0123Y13對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)，概率密度為事實(shí)上，同理： X,Y的邊緣概率密度為： 例2：(X,Y)的聯(lián)合分布律為 求：(1)a,b的值； (2)X,Y的邊緣分布律； (3) YX-1100.20.1a120.10.2bX10.420.6Y0.30.5-1100.2(2) 解： (1) 由分布律性質(zhì)知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4 例3：設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A，若二

6、維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度則稱(X,Y)在G上服從均勻分布?，F(xiàn)設(shè)(X,Y)在有界區(qū)域上均勻分布，其概率密度為 求邊緣概率密度 解： 二維正態(tài)分布的圖形作業(yè)題P.84 2、3、5、6、8、91. 當(dāng)（X，Y）為離散型三. 二維隨機(jī)變量的條件分布定義 在(X,Y)中，當(dāng)一個(gè)隨機(jī)變量取固定值的條件下，另一個(gè)隨機(jī)變量的分布，此分布為條件分布在 條件下，X的條件分布固定值自變量同理總和分量1/161/120031/1600041/161/121/8021/161/121/81/414321XY1/41/41/41/425/4813/487/483/48例8 在例2中，求：(1) 在X=3的條件下Y

7、的條件分布律； (2) 求在Y=1的條件下X的條件分布律。因?yàn)椋核?，類似可求?.當(dāng)（X，Y）為連續(xù)型固定值自變量總和分量例:設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的 概率密度為：解獨(dú)立性獨(dú)立性復(fù)習(xí): 兩個(gè)事件A與B獨(dú)立性的定義P(AB)=P(A)P(B)四、隨機(jī)變量的獨(dú)立性1、定義：設(shè)X與Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,若對(duì)任意的(1)由定義可知：若X與Y獨(dú)立,則(2)離散型隨機(jī)變量，X與Y相互獨(dú)立的充要條件為:(3)連續(xù)型隨機(jī)變量，X與Y相互獨(dú)立的充要條件為:2、隨機(jī)變量獨(dú)立性的重要結(jié)論(4) 聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系聯(lián)合分布邊緣分布條件：獨(dú)立性例: 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為:YX01P(y=j)12P

8、(X=i)YX01P(y=j)12P(X=i) 一般n維隨機(jī)變量的一些概念和結(jié)果 邊緣分布 如： 相互獨(dú)立 作業(yè)題P.86：12、14、16、17(1)1. (X,Y)離散加法使 對(duì)應(yīng)的(X,Y)的那些可能值, 其概率之和5 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例1:設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為:0123103/83/8031/8001/8求Z=X+Y的分布律.解:Z的所有取值為:1, 2, 3, 4, 5, 6.Z123456pk03/84/8001/8 2. (X,Y)連續(xù)型方法: 分布函數(shù)法 下面我們就幾個(gè)具體的函數(shù)來討論Z=X+Y的分布由概率密度的定義可得Z的概率密度為：固定 特別地，當(dāng)X和

9、Y相互獨(dú)立時(shí)，上述兩式變?yōu)椋ǚQ為卷積公式）：例1:設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們都服從N(0,1),即有求Z=X+Y的概率密度。解：由卷積公式結(jié)論: 分布的可加性例2:設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立同分布，X的概率密度為：求Z=X+Y的概率密度。解：由卷積公式012. M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y)。由于 現(xiàn)在來求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù)。(1)M=max(X,Y)的分布函數(shù)為：(2) N=min(X,Y)的分布函數(shù)為：例1：設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1，L2聯(lián)接而成，聯(lián)接方式分別為: (1)串聯(lián);(2)并聯(lián);(3)備用(當(dāng)L1損壞時(shí)，L2開始工作)，如圖所示。（1）（2） （3）L1，L2的壽命分別用X，Y表示，已知它們的概率密度分別為:試就以上三種聯(lián)接方式分別