(王桃)常用的數(shù)學思想和方法

1、 -中考復習專題 宜昌22中 王 桃 常用的數(shù)學思想和方法 （1）已知點P在x 軸上，且與原點的距離為2，那么點P 坐標是 ；（2）函數(shù) 中，自變量x 的取值范圍是 ；（3）已知點P（3，a）在函數(shù) 的圖象上，則a = ；（4）點P（a, b）在第二象限，則直線 不經(jīng)過第 象限.小測驗:(2,0)或(-2,0) x3且x42三常用的數(shù)學思想分類討論思想化歸轉化思想函數(shù)方程思想數(shù)形結合思想特殊化思想整體思想類比思想統(tǒng)計思想建模思想換元法配方法待定系數(shù)法消元降次法公式法賦值法反證法幾何變換法常用的數(shù)學方法例1.（08揚州）按如圖所示的程序計算，若開始輸入的x的值為48，我們發(fā)現(xiàn)第一次得到的結果為2

2、4，第2次得到的結果為12，請你探索第2009次得到的結果為_.輸入xx+5輸出分類討論思想點評：此類程序操作題題型新穎，能力立意，滲透分類討論思想. x為奇數(shù)時x為偶數(shù)時8例2（06濟寧）如圖，將一等邊三角形剪去一個角后， 等于（ ） A B CD 12化歸轉化思想12ABC點評:在幾何問題中“化歸”的思想是一種常用的重要思想方法，三角形是大量幾何問題的重要化歸目標.四邊形的問題常常轉化為三角形來解決，相反地，三角形通過裁剪或拼合也可以得到四邊形.特殊與一般思想變式A=60B函數(shù)方程思想例3.（08北京）在平面直角坐標系xoy中，反比例函數(shù) 的圖象與 的圖象關于x軸對稱，又與直線 交于點A（

3、m，3），試確定a的值.點評：此題綜合一次函數(shù)與反比例函數(shù)的有關知識，運用數(shù)形結合思想理解題目，運用方程思想求出待定系數(shù)k，從而確定a的值.a=-1例4.（08南京）南京至上海的滬寧高速公路長約300千米.甲、乙兩車同時分別從距南京240千米、60千米的入口行駛上滬寧高速上正常行駛.甲車駛往南京、乙車駛往上海.甲車在行駛過程中速度始終不變.甲車離南京（滬寧高速公路南京起點）的距離y（千米）與行駛時間x（時）之間的函數(shù)圖象如圖所示.（1）求出甲車離南京的距離y（千米）與行駛時間x（時）之間的函數(shù)表達式；（2）乙車若以60千米/時的速度勻速行駛，1小時后兩車相距多少千米？（3）乙車按（2）中狀態(tài)行

4、駛與甲車相遇后，速度改為a千米/時，結果兩車同時到達滬寧高速南京、上海起點，求乙車變化后的速度a;并在如圖所示的直角坐標系中，畫出乙離南京的距離y（千米）與行駛時間x（時）之間的函數(shù)圖象.數(shù)形結合思想點評：數(shù)形結合 ：“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而優(yōu)化解題途徑.巧妙地運用數(shù)形結合的方法解決一些抽象的數(shù)學問題，可以起到事半功倍的效果.數(shù)形結合思想例5.（07麗水）為了開展陽光體育運動，堅持讓中小學生“每天鍛煉一小時”，某地教研室體育組搞了一個隨機調(diào)查，調(diào)查內(nèi)容是：“每天鍛煉是否超過1小時及鍛煉未超過1小時的原因”，他們隨機調(diào)查了720名學生，所得的數(shù)據(jù)制成了如

5、下的扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖根據(jù)圖示，請你回答以下問題： （1）“沒時間”的人數(shù)是 ，并補全頻數(shù)分布直方圖； （2）2006年麗水市中小學生約32萬人，按此調(diào)查，可以估計2006年全市中小學生每天鍛煉未超過1小時約有 萬人； （3）如果計劃2008年麗水市中小學生每天鍛煉未超過1小時的人數(shù)降到3.84 萬人，求2006年至2008年鍛煉未超過1小時人數(shù)的年平均降低的百分率是多少？不喜歡沒時間其它原因鍛煉未超過1小時頻數(shù)分布直方圖人數(shù)統(tǒng)計思想建模思想400270超過1小時未超過1小時點評：常見模型有函數(shù)模型、方程模型、不等式模式、幾何模型、三角模型、圖表模型等. 40024點評：近年中考試題范

6、圍不僅包括數(shù)軸、直觀圖和軸對稱圖形等應用，也包括幾何變換和統(tǒng)計圖等應用，此題滲透統(tǒng)計思想、數(shù)形結合思想和建模思想.1.（08揚州）如圖,已知四邊形ABCD中，R、P分別是BC、CD上的點，E、F分別是AP、RP的中點，當點P在CD上從C向D移動而點R不動時，那么下列結論成立的是（ ）A線段EF的長逐漸增大 B線段EF的長逐漸減小C線段EF的長不變 D線段EF的長與點的位置有關運動變化思想點評:本題是一道非常簡單的動態(tài)幾何問題，要體會運動之中有不變，向學生滲透運動變化的思想.C2.（08宜昌）如圖，將三角尺ABC（其中ABC60，C90）繞B點按順時針方向轉動一個角度到A1BC1的位置，使得點A

7、，B，C1在同一條直線上，那么這個角度等于（ ）A120 B90 C60 D30變換思想A特殊與一般思想3.將一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處,將三角板繞P點旋轉,三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點,圖1、2、3是旋轉三角板得到的圖形中的3種情況.（1）三角板繞點P旋轉,觀察線段PD和PE之間有什么數(shù)量關系?并結合圖形2加以證明;ABCPDE圖1ABCPDE圖2ABCPDE圖3特殊與一般思想3.將一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處,將三角板繞P點旋轉,三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點,圖1、2、3是旋轉三角板得到的圖形中的3種情況

8、.（1）三角板繞點P旋轉,觀察線段PD和PE之間有什么數(shù)量關系?并結合圖形2加以證明;ABCPDE圖1ABCPDE圖2ABCPDE圖3點評：這是“從特殊到一般，再由一般到特殊”的辯證思想在數(shù)學中的具體體現(xiàn).有些特殊問題，需要研究一般性規(guī)律；而對于一般性問題，也常常通過考察其特殊情況（如特殊圖形、特殊位置、特殊取值等）來揭示其本質規(guī)律.4.（2008宜昌）用煤燃燒發(fā)電時，所說的標準煤是指含熱量為7 000大卡/千克的煤生產(chǎn)實際中，一般根據(jù)含熱量相等，把所需標準煤的用煤量折合成含相同熱量的實際用煤量來計算（“大卡/千克”為一種熱值單位） 光明電廠生產(chǎn)中每發(fā)一度電需用標準煤0.36千克，現(xiàn)有煤矸石和

9、大同煤兩種可選為生產(chǎn)實際用煤，這兩種煤的基本情況見下表： （1）求生產(chǎn)中只用大同煤每發(fā)一度電的用煤量（即表中m的值）；（2）根據(jù)環(huán)保要求，光明電廠在大同煤中摻混煤矸石形成含熱量為5 000大卡/千克的混合煤來燃燒發(fā)電，若使用這種混合煤比全部使用大同煤每發(fā)1 000度電的生產(chǎn)成本增加了5.04元，求表中a的值（生產(chǎn)成本購煤費用其它費用）煤的品種含熱量（大卡/千克）只用本種煤每發(fā)一度電的用煤量（千克/度）平均每燃燒一噸煤發(fā)電的生產(chǎn)成本購煤費用（元/噸）其他費用（元/噸）煤矸石1 0002.52150a（a0）大同煤6 000m600a2 建模思想點評：數(shù)學模型常見的有函數(shù)模型、方程模型、不等式模式

10、、幾何模型、三角模型、圖表模型等. 1、復習基礎，把握核心，形成體系.2、注重數(shù)學思想方法的運用. 初中階段常見的數(shù)學思想與方法有： 數(shù)形結合思想 函數(shù)方程思想 分類討論思想 化歸轉化思想 變換思想 整體思想 類比思想 建模思想 估算與猜想思想等小結歸納 感悟體驗:消元法降次法配方法換元法反證法構造法賦值法待定系數(shù)法幾何變換法等. “數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂!”結語：讓我們把握靈魂，提高數(shù)學文化素質!1（基礎題）(改編)拋物線 的頂點坐標是 .分層練習題:2.（基礎題）如圖，已知直線 經(jīng)過點M，求此直線與x軸，y軸的交點坐標 圖2M-2O1xy13.（基礎題）初三數(shù)學課本上，用“描點法”畫二次

11、函數(shù) 的圖象時列了如下表格： 根據(jù)表格上的信息回答問題：該二次函數(shù) 當x=3時，y= 點評:本題要求考生對二次函數(shù)的性質有較高層次的理解，滲透著數(shù)形結合研究函數(shù)的重要思想.4.（基礎題）用換元法解方程 : ，令 代入原方程后，變形為 . 點評：換元法是非常重要的數(shù)學方法，整體思想是中考中考查的難點之一.5.（中檔題）當 時，代數(shù)式 的值為 6.(中檔題)如圖，在矩形ABCD中， AB=16，BC=8，將矩形沿AC折疊，使點D落在點E處，且CE與AB交于點F，那么AF= .7.（提高題）已知甲、乙兩車分別從相距300千米的A、B兩地同時出發(fā)相向而行，其中甲車到B地后立即返回，下圖是它們離各自出發(fā)地的距離y（千米）與行駛時間x（小時）之間的函數(shù)圖象.（1）求甲車離出發(fā)地的距離y（千米）與行駛時間x（小時）之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）當它們行駛到與各自出發(fā)地的距離相等時，用了 小時，求乙車離出發(fā)地的距離y（千米）與行駛時間x（小時）之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）在（2）的條件下，求它們在行駛的過程中相遇的時間.甲乙甲y(千米)300 x（小時）3 O8.(選做題)如圖1，點A是直線ykx（k0，且k