高等數(shù)學(xué)(下)8_4課件

1、8.4 重積分的應(yīng)用把定積分的微元法推廣到二重積分的應(yīng)用中.內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域 時，可近似地表示為 的形式，其中 在所求量的積分表達(dá)式為d內(nèi)若要計算的某個量U對于閉區(qū)域D具有可加性當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時，許多部分量，并且在閉區(qū)域D所求量U相應(yīng)地分成且U等于部分量之和)，(即相應(yīng)地部分量記為 稱為所求量U的微元，這個8.4 重積分的應(yīng)用8.4.1 利用二重分計算曲面面積 如圖，設(shè)小區(qū)域設(shè)曲面的方程為：dAS，為截切平面dzs軸的小柱面，邊界為準(zhǔn)線，母線平行于以截曲面S為dS ；為S上過的切平面。則有點(diǎn)8.4.1 利用二重分計算曲面面積 曲面S的面積元素曲面面積若曲面的方程為：則公式

2、為：8.4.1 利用二重分計算曲面面積 設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得8.4.1 利用二重分計算曲面面積 解求球面，含在圓柱體內(nèi)部的那部分面積.例8.21由對稱性知曲面方程 8.4.1 利用二重分計算曲面面積 于是面積8.4.2 重積分在力學(xué)中的應(yīng)用8.4.2 重積分在力學(xué)中的應(yīng)用設(shè)平面上有個質(zhì)點(diǎn)，則該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心的坐標(biāo)為為處，點(diǎn)其中為質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量。它們分別位于質(zhì)量分別為8.4.2 重積分在力學(xué)中的應(yīng)用分別為該質(zhì)點(diǎn)系對軸和軸的靜矩。 設(shè)有一平面薄片，在點(diǎn)處的面密度為假定在上連續(xù)，在閉區(qū)域上任取一直徑很小的閉區(qū)域(這個閉區(qū)域的面積也記作)，由于的直徑很

3、小，的質(zhì)量近似于這部分質(zhì)量可近似面上的閉區(qū)域占有求平面薄片的質(zhì)心的坐標(biāo)。在上連續(xù)，且薄片8.4.2 重積分在力學(xué)中的應(yīng)用當(dāng)薄片是均勻的，此時質(zhì)心稱為平面圖形的形心.看作集中在點(diǎn)上，于是靜矩元素及薄片的質(zhì)心為8.4.2 重積分在力學(xué)中的應(yīng)用解例8.22設(shè)平面薄板由與軸圍成，求形心坐標(biāo)它的面密度所以形心在上，由于區(qū)域關(guān)于直線對稱 ，即8.4.2 重積分在力學(xué)中的應(yīng)用 所求形心坐標(biāo)為 8.4.2 重積分在力學(xué)中的應(yīng)用處，轉(zhuǎn)動慣量依次為設(shè)平面上有個質(zhì)點(diǎn)，則該質(zhì)點(diǎn)系對于軸和軸的它們分別位于質(zhì)量分別為8.4.2 重積分在力學(xué)中的應(yīng)用設(shè)有一平面薄片，假定的轉(zhuǎn)動慣量。在點(diǎn)處的面密度為在上連續(xù)，軸和軸求該薄片對于在閉區(qū)域上任取一直徑很小的閉區(qū)域(這個閉區(qū)域的面積也記作)，由于的直徑很小，的質(zhì)量近似于這部分質(zhì)量可近似面上的閉區(qū)域占有在上連續(xù)，且薄片8.4.2 重積分在力學(xué)中的應(yīng)用薄片對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量薄片對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量看作集中在點(diǎn)上，于是薄片對軸及軸的轉(zhuǎn)動慣量元素為8.4.2 重積分在力學(xué)中的應(yīng)用類似地，占有空間有界閉區(qū)域、在點(diǎn)處的密度為（假設(shè)在上連續(xù)）的物體對于軸的轉(zhuǎn)動慣量為8.4.2 重積分在力學(xué)中的應(yīng)用