2022年函數(shù)的最值知識點總結(jié)與經(jīng)典題型歸納

1、名師推薦精心整理學習必備函數(shù)的最值知識梳理1. 函數(shù)最大值一般地，設(shè)函數(shù) y f x 的定義域為 I . 如果存在實數(shù) M 滿足：對于任意 x 都有 f x ( ) M .存在 0 x I，使得 f x 0 ) M .那么，稱 M 是函數(shù) y f x 的最大值 . 2. 函數(shù)最小值一般地，設(shè)函數(shù) y f x 的定義域為 I . 如果存在實數(shù) M 滿足：對于任意 x 都有 f x ( ) M .存在 0 x I ，使得 f x 0 ) M .那么，稱 M 是函數(shù) y f x 的最小值 . 注意： 對于一個函數(shù)來說，不一定有最值，若有最值，則最值一定是值域中的一個元素3. 函數(shù)的最值與其單調(diào)性的關(guān)

2、系（1）若函數(shù)在閉區(qū)間 , a b 上是減函數(shù)，則f x 在 , a b 上的最大值為f(a)，最小值為f(b)；（2）若函數(shù)在閉區(qū)間 , a b 上是增函數(shù)，則f x 在 , a b 上的最大值為f(b)，最小值為f(a)4二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值探求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，一般要先作出 y f x 的草圖，然后根據(jù)圖象的增減性進行研究特別要注意二次函數(shù)的 對稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系，它是求解二次函數(shù)在已知區(qū)間上最值問題的主要依據(jù)，并且最大 例題精講( 小) 值不一定在頂點處取得【例 1】求函數(shù) f x ( ) 3 x在0,3 上的最大值和最小值解：因為函數(shù) f ( ) 3 x在0,

3、3 上單調(diào)遞增所以 f x ( ) 3 x 在0,3 上的最大值為 f (3) 3 3 9；f x ( ) 3 x 在0,3 上的最小值為 f (0) 3 0 0；【例 2】求函數(shù) y 2在區(qū)間 2 ，6 上的最大值和最小值x 1解：函數(shù) y 2的圖象如下圖所示，所以 y 2在區(qū)間 2 ，6 上單調(diào)遞減；x 1 x 1所以 yx 21 在區(qū)間 2 ，6 上的最大值為2 21 2；最小值為 2 2 .6 1 5名師推薦精心整理學習必備題型一利用圖象求最值x 1. 【例 3】求下列函數(shù)的最大值和最小值. （1）y32xx2,x5 3 ,2 2（ 2）y|x1|x2 |解：（ 1）二次函數(shù)y32 x

4、x 的對稱軸為 2畫出函數(shù)的圖象，由下圖，可知：（2）當x1時，y max4；當x3時，ymin9. 9. 24所以函數(shù)y32xx2,x5 3 , 2 2最大值為 4，最小值為43,x2y|x1|x2 |2x1,1x2題型二3,x1作出函數(shù)圖象，如下圖，可知：y 3,3所以函數(shù)的最大值為3, 最小值為 3. 利用函數(shù)單調(diào)性求最值【例 4】求函數(shù)f x ( )x9 x在x1,3分析：先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值解：因為1x 1x 23上的最大值和最小值 . . 所以f x 1)f x2)x 19(x29)x 1x2(9 x 19)18x 1x 29(x22x 1)1910. x 1x 2x2x

5、x(1)(x 1x 2)(192)x x 1f x 2)因為1x 1x 23所以x 1x 20，x x 29所以1920，所以f x 1)f x 2)0,f x 1)，最大值為fx x所以f x ( )x9 x在區(qū)間 1,3 上單調(diào)遞減；93所以求函數(shù)f x 在x1,3上的最小值為f(3)331題型三函數(shù)最值的應用名師推薦精心整理學習必備【例 5】已知函數(shù)f x ( )x22xa，x1,)x（1）當a1時，求函數(shù)f x 的最小值 . 2（2）若對任意的x1,)，f x ( )0恒成立，試求 a 的取值范圍 . 解：（ 1）當a1時，f x ( )x 22x122x設(shè)1x 1x 2則f x 1)

6、f x2)(x 112)(x 212)2x 12x 2(x 1x 2)x 2x 1(x 1x 2)2x x2212x x22x x因為x 1x 20，所以2 x x 1 21，2x x 1 210所以f x 1)f x 2)0，f x 1)f x 2)所以f( ) x 在區(qū)間 1,) 上單調(diào)遞增所以的最小值為f(1)1127. 22（2）f x ( )0對x1,)恒成立 ?x22xa0對x1,)恒成立 ?ax22x 對x1,)恒成立令u2 x2x(x2 1)1，其在 1,) 上是減函數(shù)，當x1時，u max3. 因此a3. 故實數(shù) a 的取值范圍是 ( 3,) 課堂練習仔細讀題，一定要選擇最佳

7、答案喲！1函數(shù) f(x)2x6x1，2，則 f(x)的最大值、最小值分別為() x7 x1，1A10,6 B10,8 C8,6 D以上都不對2已知 f(x)在 R 上是增函數(shù)，對實數(shù)a、b 若 ab0，則有 () Af(a)f(b)f(a)f(b) Bf(a)f(b)f(a)f(b) 名師推薦精心整理學習必備Cf(a)f(b)f(a)f(b) Df(a)f(b)f(a)f(b) 3.若 f(x)x 22ax 與 g(x)a x1在區(qū)間 1,2 上都是減函數(shù)，則a 的取值范圍是 () A(1,0)(0,1) B(1,0)(0,1 C(0,1) D(0,1 4函數(shù) y|x3|x1|有() A最大值 4，最小值 0 C最大值 4，最小值 4 B最大值 0，最小值 4 D最大值、最小值都不存在5函數(shù) yx 210 x11 在區(qū)間 1,2上的最小值是 _6如果函數(shù) f(x) x 22x 的定義域為 m，n，值域為 3,1，則 |mn|的最小值為 _7. 已知函數(shù)f x ( )x22 x3，若x , t t2時，求函數(shù)f x 的最值 . 8. 求函數(shù)f x (