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文檔簡介
1、名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備函數(shù)的最值知識梳理1. 函數(shù)最大值一般地,設(shè)函數(shù) y f x 的定義域為 I . 如果存在實數(shù) M 滿足:對于任意 x 都有 f x ( ) M .存在 0 x I,使得 f x 0 ) M .那么,稱 M 是函數(shù) y f x 的最大值 . 2. 函數(shù)最小值一般地,設(shè)函數(shù) y f x 的定義域為 I . 如果存在實數(shù) M 滿足:對于任意 x 都有 f x ( ) M .存在 0 x I ,使得 f x 0 ) M .那么,稱 M 是函數(shù) y f x 的最小值 . 注意: 對于一個函數(shù)來說,不一定有最值,若有最值,則最值一定是值域中的一個元素3. 函數(shù)的最值與其單調(diào)性的關(guān)
2、系(1)若函數(shù)在閉區(qū)間 , a b 上是減函數(shù),則f x 在 , a b 上的最大值為f(a),最小值為f(b);(2)若函數(shù)在閉區(qū)間 , a b 上是增函數(shù),則f x 在 , a b 上的最大值為f(b),最小值為f(a)4二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值探求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題,一般要先作出 y f x 的草圖,然后根據(jù)圖象的增減性進行研究特別要注意二次函數(shù)的 對稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系,它是求解二次函數(shù)在已知區(qū)間上最值問題的主要依據(jù),并且最大 例題精講( 小) 值不一定在頂點處取得【例 1】求函數(shù) f x ( ) 3 x在0,3 上的最大值和最小值解:因為函數(shù) f ( ) 3 x在0,
3、3 上單調(diào)遞增所以 f x ( ) 3 x 在0,3 上的最大值為 f (3) 3 3 9;f x ( ) 3 x 在0,3 上的最小值為 f (0) 3 0 0;【例 2】求函數(shù) y 2在區(qū)間 2 ,6 上的最大值和最小值x 1解:函數(shù) y 2的圖象如下圖所示,所以 y 2在區(qū)間 2 ,6 上單調(diào)遞減;x 1 x 1所以 yx 21 在區(qū)間 2 ,6 上的最大值為2 21 2;最小值為 2 2 .6 1 5名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備題型一利用圖象求最值x 1. 【例 3】求下列函數(shù)的最大值和最小值. (1)y32xx2,x5 3 ,2 2( 2)y|x1|x2 |解:( 1)二次函數(shù)y32 x
4、x 的對稱軸為 2畫出函數(shù)的圖象,由下圖,可知:(2)當(dāng)x1時,y max4;當(dāng)x3時,ymin9. 9. 24所以函數(shù)y32xx2,x5 3 , 2 2最大值為 4,最小值為43,x2y|x1|x2 |2x1,1x2題型二3,x1作出函數(shù)圖象,如下圖,可知:y 3,3所以函數(shù)的最大值為3, 最小值為 3. 利用函數(shù)單調(diào)性求最值【例 4】求函數(shù)f x ( )x9 x在x1,3分析:先判斷函數(shù)的單調(diào)性,再求最值解:因為1x 1x 23上的最大值和最小值 . . 所以f x 1)f x2)x 19(x29)x 1x2(9 x 19)18x 1x 29(x22x 1)1910. x 1x 2x2x
5、x(1)(x 1x 2)(192)x x 1f x 2)因為1x 1x 23所以x 1x 20,x x 29所以1920,所以f x 1)f x 2)0,f x 1),最大值為fx x所以f x ( )x9 x在區(qū)間 1,3 上單調(diào)遞減;93所以求函數(shù)f x 在x1,3上的最小值為f(3)331題型三函數(shù)最值的應(yīng)用名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備【例 5】已知函數(shù)f x ( )x22xa,x1,)x(1)當(dāng)a1時,求函數(shù)f x 的最小值 . 2(2)若對任意的x1,),f x ( )0恒成立,試求 a 的取值范圍 . 解:( 1)當(dāng)a1時,f x ( )x 22x122x設(shè)1x 1x 2則f x 1)
6、f x2)(x 112)(x 212)2x 12x 2(x 1x 2)x 2x 1(x 1x 2)2x x2212x x22x x因為x 1x 20,所以2 x x 1 21,2x x 1 210所以f x 1)f x 2)0,f x 1)f x 2)所以f( ) x 在區(qū)間 1,) 上單調(diào)遞增所以的最小值為f(1)1127. 22(2)f x ( )0對x1,)恒成立 ?x22xa0對x1,)恒成立 ?ax22x 對x1,)恒成立令u2 x2x(x2 1)1,其在 1,) 上是減函數(shù),當(dāng)x1時,u max3. 因此a3. 故實數(shù) a 的取值范圍是 ( 3,) 課堂練習(xí)仔細讀題,一定要選擇最佳
7、答案喲!1函數(shù) f(x)2x6x1,2,則 f(x)的最大值、最小值分別為() x7 x1,1A10,6 B10,8 C8,6 D以上都不對2已知 f(x)在 R 上是增函數(shù),對實數(shù)a、b 若 ab0,則有 () Af(a)f(b)f(a)f(b) Bf(a)f(b)f(a)f(b) 名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備Cf(a)f(b)f(a)f(b) Df(a)f(b)f(a)f(b) 3.若 f(x)x 22ax 與 g(x)a x1在區(qū)間 1,2 上都是減函數(shù),則a 的取值范圍是 () A(1,0)(0,1) B(1,0)(0,1 C(0,1) D(0,1 4函數(shù) y|x3|x1|有() A最大值 4,最小值 0 C最大值 4,最小值 4 B最大值 0,最小值 4 D最大值、最小值都不存在5函數(shù) yx 210 x11 在區(qū)間 1,2上的最小值是 _6如果函數(shù) f(x) x 22x 的定義域為 m,n,值域為 3,1,則 |mn|的最小值為 _7. 已知函數(shù)f x ( )x22 x3,若x , t t2時,求函數(shù)f x 的最值 . 8. 求函數(shù)f x (
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