數(shù)學(xué)及應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文-向量在立體幾何中的應(yīng)用

1、.1向量在立體幾何中的應(yīng)用摘要作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要標(biāo)志之一的向量已進(jìn)入了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)， 為用代數(shù)方法研究幾何問題提供了強(qiáng)有力的工具，促進(jìn)了高中幾何的代數(shù)化 . 而在高中數(shù)學(xué)體系中，幾何占有很重要的地位，有些幾何問題用常規(guī)方法去解決往往比較復(fù)雜，運用向量作行與數(shù)的轉(zhuǎn)化，則使過程得到大大的簡化 . 向量法應(yīng)用于平面幾何中時，它能將平面幾何許多問題代數(shù)化、 程序化從而得到有效的解決， 表達(dá)了數(shù)學(xué)中數(shù)與形的完美結(jié)合 . 立體幾何常常涉及到的兩大問題：證明與計算，用空間向量解決立體幾何中的這些問題， 其獨到之處， 在于用向量來處理空間問題， 淡化了傳統(tǒng)方法的有“形到“形的推理過程，使解題變得程序化 .裝關(guān)

2、鍵詞：向量；立體幾何；證明；計算；運用訂線.1ABSTRACTAs one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. And in the high school mathema

3、tics system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be ple*, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. Vector method was used the plane geometry, it will be when the plane g

4、eometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect bination of Numbers and forms. Three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its unique

5、, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are form to form reasoning process, causes the problem-solving bee programmed.Keywords：Vector; solid geometry; proof; calculation; use.1師學(xué)院2021 屆本科生畢業(yè)論文設(shè)計目錄摘要 . .ABSTRACT.1 向量方法在研究幾何問題中的作用 .12 向量方法解決證明問題的直接應(yīng)用 .22.1 平行問

6、題 .2證明兩直線平行 .2證明線面平行 .32.2 垂直問題 .4證明兩直線垂直 .4證明線面垂直 .4證明面面垂直 .52.3 處理角的問題 .6求異面直線所成的角 . .6求線面角 .7求二面角 .83 向量方法解決度量問題的直接應(yīng)用 .103.1兩點間的距離 .103.2點與直線距離 .103.3點到面的距離 .113.4求兩異面直線的距離 .113.5求面積 .12.1師學(xué)院2021 屆本科生畢業(yè)論文設(shè)計3.6求體積 .134向量方法解決證明與計算問題有關(guān)的綜合應(yīng)用.145向量在立體幾何中應(yīng)用的教學(xué)反思 .215.1比照綜合法與向量法的利弊 . .215.2向量法解決立體幾何問題的步

7、驟 . .225.3向量法能解決所有立體幾何問題嗎 . .22參考文獻(xiàn) . .23.1師學(xué)院2021 屆本科生畢業(yè)論文設(shè)計1 向量方法在研究幾何問題中的作用 1向量是高中數(shù)學(xué)新增加的容， 在作用上它取代了以往復(fù)數(shù)在高中數(shù)學(xué)教材中的地位，但從目前的使用情況來看，向量的作用要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于復(fù)數(shù). 一個復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點只能在平面上， 而向量卻有平面向量和空間向量之分，這一點在與幾何尤其是立體幾何的聯(lián)系上表現(xiàn)得更加突出. 向量知識、向量觀點在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科的很多分支上都有著廣泛的應(yīng)用，它具有代數(shù)形式和幾何形式的 “雙重身份，能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)容中的許多主干知識相結(jié)合，形成知識交匯點 . 向量進(jìn)

8、入高中數(shù)學(xué)教材，為用代數(shù)方法研究幾何問題提供了強(qiáng)有力的工具，促進(jìn)了高中幾何的代數(shù)化 . 而在高中數(shù)學(xué)體系中，幾何占有很重要的地位，有些幾何問題用常規(guī)方法去解決往往比較繁雜， 而運用向量作形與數(shù)的轉(zhuǎn)化，則能使過程得到大大的簡化 . 用向量法解決幾何問題有著思路清晰、過程簡潔的優(yōu)點，往往會產(chǎn)生意想不到的神奇效果 . 著名教育家布魯納說過：“學(xué)習(xí)的最好刺激是對所學(xué)材料的興趣，簡單的重復(fù)將會引起學(xué)生大腦疲勞，學(xué)習(xí)興趣衰退 . 這充分提醒了方法求變的重要性，如果我們能重視向量的教學(xué)，重視學(xué)生在學(xué)習(xí)向量過程中產(chǎn)生的障礙并且提供相應(yīng)的教學(xué)對策， 必然能引導(dǎo)學(xué)生拓展思路，減輕他們的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān) .向量方法在解決幾

9、何問題時充分表達(dá)了它的優(yōu)越性，平面向量就具有較強(qiáng)的工具性作用，向量方法不僅可以用來解決不等式、三角、復(fù)數(shù)、物理、測量等*些問題，還可以簡捷明快地解決平面幾何許多常見證明平行、垂直、共線、相切、角相等與求值距離、角、比值等問題. 不難看出向量法應(yīng)用于平面幾何中時，它能將平面幾何許多問題代數(shù)化、程序化從而得到有效的解決，表達(dá)了數(shù)學(xué)中數(shù)與形的完美結(jié)合.向量法是將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)方法研究幾何問題 . 立體幾何的證明與計算常常涉及到兩大問題：一是位置關(guān)系，它主要包括線線垂直、線面垂直、線線平行、線面平行；二是度量問題，它主要包括點到線、點到面的距離，線線、線面所成的角，面面所成角等 .用空間向量解

10、決立體幾何中的這些問題， 其獨到之處，在于用向量來處理空間問題，淡化了傳統(tǒng)方法的有“形到“形的推理過程，使解題變得程序化 .則解立體幾何題時就可以用向量方法， 對*些傳統(tǒng)性較大， 隨機(jī)性較強(qiáng)的立體幾何問題，引入向量工具之后，可提供一些通法 .1師學(xué)院2021屆本科生畢業(yè)論文設(shè)計向量方法解決證明問題的直接應(yīng)用平行問題 2證明兩直線平行A, Ba; C, Db, ABCDa / b .知 AB(*, y ), CD( *, y) ，則有 *1 y2*2 y1a / b .1122例 1直線OA平面，直線 BD平面， O、 B 為垂足，求證：OA/BD.證明：如上圖，以點 O為原點，以射線OA為 z

11、 軸，建立空間直角坐標(biāo)系O*yz ，i , j , k 為沿 *軸， y 軸， z 軸的坐標(biāo)向量，且設(shè) BD( *, y, z) ， BD， BDi, BD j BD i(*, y, z) (1,0,0)*0 ，BD j(*, y, z) ( 0,1,0)y0 ， BD(0,0, z) BDzk ，又知 O、B 為兩個不同的點， BD / OA .方法思路：在兩條直線上分別取不同的兩點得到兩向量，轉(zhuǎn)化為證明兩向量平行 .1師學(xué)院2021 屆本科生畢業(yè)論文設(shè)計證明線面平行1、線 a 面A, B a，面的法向量為 n ，AB n 0AB nAB / .，方法思路：求面的法向量， 在直線找不同兩點得

12、一向量， 證明這一向量與法向量垂直即證明數(shù)量積為0，則可得線面平行 .2、面外的直線 a 的方向向量為 a ， e1 , e2是平面的一組基底不共線的向量，假設(shè) a1 e12 e2a / .例 2如上圖 , 正方形 ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直 ,P 、Q分別是對角線 AC、BF 上的一點 , 且 AP = FQ, 求證 :PQ平面 BCE.證明：設(shè) APAC ， AP = FQ, FQFB ， PQPAAFFQ=ACBEFB=ABBCBEBEAB=BC(1)BE PQ / 平面BCE.方法思路： 證明直線的方向向量可用平面的一組基底線性表示即在平面存在一向量與方向相等，則

13、可得面一直線與面外的線平行，從而證明線面平行.面面平行1、不重合的兩平面與的法向量分別是 m 和 n ， mn/.方法思路：求平面的法向量，轉(zhuǎn)化為證明兩法向量平行，則兩平面平行.1師學(xué)院2021 屆本科生畢業(yè)論文設(shè)計2、不重合的兩平面與，面的法向量為 m ，假設(shè) m/.方法思路：求出其中一平面的法向量， 再證該法向量與另一面的不共線的兩向量數(shù)量積為 0即垂直，則可得兩平面平行 .2.2 垂直問題 3證明兩直線垂直不重合的直線 a 和直線 b 的方向向量分別為 a 和 b ，則有 a b0ab .3 如圖，四棱錐 P-ABCD的底面為等腰梯形， AB/ CD,AC BD，垂足H，PH 是四棱錐的

14、高， E 為 AD 中點 . 證明：PEBC證明：以H 為原點，HA , HB , HP分別為*, y, z 軸，線段 HA 的長為單位長， 建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則 A(1,0,0), B(0,1,0)設(shè) C (m,0,0),P(0,0, n)(m0, n0) ，則 D ( 0, m,0), E( 1 , m ,0) ，22可得1m ,n),BC( ,1,0)，PE (,m22因為 PE BCmm00 ，22所以PEBC .2.2.2 證明線面垂直直線 l 的方向向量為a4，平面 的方向向量為 m ，則有 am l.例 4，如圖，m, n 是平面的兩條相交直線 . 如果l m, ln，求證

15、：l.證明：在作任一直線 g ，分別在 l , m, n, g 上取非零向量l ,m, n, g .1師學(xué)院2021 屆本科生畢業(yè)論文設(shè)計因為 m與 n 相交，所以向量 m, n 不平行 . 由向量共面的充要條件知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對 *,y , 使 g*mynl將上式兩邊與向量 l 作數(shù)量積，得nmlg*lm yl n ，g因為 lm 0, l n0 ，所以 l g0 ，所以 lg 即lg .這就證明了直線l垂直于平面的任意一條直線，所以 l.方法思路：找直線的方向向量 在兩直線上取兩點得一向量 及平面的法向量，只需證明兩向量平行，則可證線面垂直 .證明面面垂直1、不重合的平面與的法向量分

16、別為 m 和 n ，則有 m n0.方法思路：找平面的法向量，只需證明兩向量數(shù)量積為0，則可證明兩平面垂直 .2、平面的法向量為 n ， e1,e2 是平面的一組基底不共線的向量 ，則有 n1 e12 e2.例 5在正方體 ABCD-A1B1C1D1 中， E、F 分別是 BB1，CD的中點1求證： AD D1F； (2) 證明平面 AED平面 A1FD1分析：涉及正方體中一些特殊的點、線、面的問題，建立空間直角坐標(biāo)系來解，不僅容易找到解題方向，而且坐標(biāo)也簡單，此時“垂直問題轉(zhuǎn)化為“兩向量數(shù)量積為“ 0的問題，當(dāng)然也可用其它的證法 .證明：建立空間直角坐標(biāo)系如圖，并設(shè)AB=2，z則 A(0,0

17、,0), D(0,2,0),A1(0,0,2)A1D1D1(0,2,2)， E(2,0,1),F(1,2,0)B 1C 1(1) AD(0,2,0), D1F(1,0, 2)DAy*BCAD D1 F =01+21+0(-2)=0,ADD1F2AE =2，0，1 D1F = 1，0，-2 ， | AE |5 ， | D1 F | 5.1師學(xué)院2021 屆本科生畢業(yè)論文設(shè)計設(shè) AE與 D F 的夾角為，則1cosAE D 1F2 1 0 0 1 ( 2)=0| AE | D 1F |5 5所以 D1FAE，由 1知 D1FAD，又 ADAE=A，D1F平面 AED，D1F平面 A1FD1M平面

18、AED平面 A1FD1方法思路：找其中以平面的法向量， 證明法向量與另一平面平行， 即法向量可以用另一平面的一組基底不共線的向量線性表示 .2.3 處理角的問題 5求異面直線所成的角a,b是兩 異面 直 線 ， A, Ba, C , Db ，a，b所 成 的 角 為， 則有coscos AB,CDAB CD.ABCD例 6 如下列圖 , 三棱錐A-BCD,AB 平面 BCD, BDCD, 假設(shè) AB=BC=2BD,求二面角 B-AC-D 的大小 .解:如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-*yz,AB=BC=2BD,設(shè) BD=1則 AB=BC=2,DC=3A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,3 ,

19、0),D(0,0,0)AB(0,0, 2), BC ( 1,3,0), DC(0,3,0), DA (1,0,2)設(shè)平面 ABC的法向量為n1( *1 , y1 , z1 ) ,則 AB. n10z10.1師學(xué)院2021 屆本科生畢業(yè)論文設(shè)計BC .n1 0*13 y10取平面 ABC的法向量n1( 3,1,0)設(shè)平面 ACD的法向量為n2(*2 , y2 , z2 )則 DC . n20y20DA .n2 0*22z20取法向量 n(2,0,1)cos= n1n23(2)1 00115n2n23104015n1, n2arccos155二面角 BACD 平面角與n1 , n2互補(bǔ) ,所求二面

20、角 BACD 的大小的 arccos15 .5方法思路：找兩異面直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，套公式但要理解異面直線所成的夾角與向量的夾角相等或互補(bǔ) .求線面角設(shè)平面 的斜線 l 與面 所成的角為，假設(shè) A, Bl , m是面的法向量，則有 sincos AB, m .例 7 如圖，直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是等z腰直角三角形， ACB90 ，側(cè)棱 AA12，D、E 分C1別是 CC1與 A1 B 的中點，點 E 在平面 ABD上的射影是A1B1 ABD的重心 G.求 A1B 與平面 ABD所成角的大小結(jié)D果用余弦值表示；D解析：如下列圖，建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點為C，EK GC

21、設(shè) CA2a ，則 A(2a,0,0) ， B(0,2a,0) ， D (0,0,1)，.1*ABy.1師學(xué)院2021 屆本科生畢業(yè)論文設(shè)計A1 (2a,0,2) ，E(a, a,1)，G (2a,2a,1) ，333 GEa ,a ,2，333BD0,2a,1 ，GEBD2 a220 ，33 a1 ，GE1,12，33 ,3A1 B2,2, 2A1 B GE2 GE 為平面ABD的法向量，且cos A1B,GE.A1 B GE3 A1B 與平面 ABD所成角的余弦值是2 .3方法思路：找直線的方向向量與平面的法向量， 轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題， 再套公式注意線面角與兩向量所在直線夾角互余 .求二

22、面角方法一：構(gòu)造二面角l的兩個半平面、 的法向量 n1、n2都取向上的方向，如右圖所示 ，則n2BAln1 假設(shè)二面角l是“鈍角型的如圖 3.1甲所示，則其大小等于兩法向量n1、n2的夾角的補(bǔ)n1 n2.角，即 cos| n1 | | n2|假設(shè)二面角l是“銳角型的如右圖所示，則其n1.1n2.1大小等于兩法向量 n1、nn1n2.2的夾角，即 cos| n1 | | n2 |方法二：在二面角的棱l 上確定兩個點A、 B ，過 A、 B 分別在平面、求出與 l 垂直的向量n1、n2，則二面角ll.1師學(xué)院2021 屆本科生畢業(yè)論文設(shè)計的大小等于向量 n1、n2的夾角，即cosn1n2.| n1

23、| n2|例 8 在長方體 ABCDA B CD 中， AB=2，BC=4，AA=2, 點 Q是 BC的中點，求11111此時二面角 AA1DQ的大小解 如下列圖，建立空間直角坐標(biāo)系O*yz ，z依題意： A 0，0，2，D0，a，0.D11C1Q2，2，0， D 0， 4， 0，A1B1 A1 Q(2,2,2), QD (2,20)，面 AAD的法向量n1(1,0,0)，y1CD設(shè)面 A1DQ的法向量 n2(a1 , a2, a3 ) ，QB*O An2 A1Q 2a12a22a30,a2a1 ,則a32a1 ,n2QD2a12a20, n2(a1 , a1 ,2a1 ) ，令 a1 =1，

24、則 n2(1,1,2) ， cosn1 , n2n1n21166 ，n1 n26二面角的平面角為銳角，6二面角 A A1D Q的大小為arccos.6此法在處理二面角問題時， 可能會遇到二面角的具體大小問題，如此題中假設(shè)令a11 ，則n2( 1, 1, 2)，cos n1, n26 ，二面角 1DQ 的6A A大小 是n1, n2arccos6的補(bǔ)角 arccos6 . 所以在計算之前不妨先依題66意直觀判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計算取“相等角或取“補(bǔ)角.1師學(xué)院2021 屆本科生畢業(yè)論文設(shè)計向量方法解決度量問題的直接應(yīng)用兩點間的距離 6兩點間距離重在“轉(zhuǎn)化，即將空間兩點間距離轉(zhuǎn)化為向

25、量的長度問題 . 利用向 量 的 模 ， 可 以 推 導(dǎo) 出 空 間 兩 點 的 距 離 公 式 ， 即 空 間 兩 點P*,y,z ,P*,y,，則z dPP*2yy222*zz111122221212121例 1在三棱錐 SABC 中，面 SAC面 ABC ， SAAC ， BCACSA6 , AC21,BC8 ，求 SB的長 .分析如圖，此題可以用幾何法求出SB，但需要證明假設(shè)用向量法，注意到SAACBC，之間的關(guān)系 . 建立以 A 點為原點的空間直角坐標(biāo)系 .則無須證明就有如下巧解.解如圖，建立以 A 為原點的空間直角坐標(biāo)系，則A 0,0,0 , B 8,21,0, S 0,0,6，2

26、22所以 SB SB08216 0011.此題用向量法巧妙地把與SB 有關(guān)元素的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量是SB的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造向量的空間距離模型，然后通過數(shù)值計算將問題加以解決.3.2 點與直線距離 7如圖 求得向量 AP 在向量 AB 的射影長為 d ,則點 P 到直線 AB的距離等于2d 2 .AP例 2 設(shè) P為矩形 ABCD所在平面外的一點，直線PA垂直平面外的一點，直線 PA垂直平面 ABCD，AB ，BC ，PA求點 P 到直線 BP的距離.=3=4=1解2.1BP BDBAAPBCBAAB9.1師學(xué)院2021 屆本科生畢業(yè)論文設(shè)計BD5所以 BP 在 BD 上的射影長為9，又 BP

27、10 ，5所以點 P 到直線 BD的距離.1d103.3 點到面的距離291355.1任取一點 Q得 PQ, m 是平面的法向量，則有：點P 到平面的距離dPQ m向量 PQ 在法向量 m 的投影的長度 .m方法思路：求出平面的任一法向量m方程組可求，在平面任取一點Q與P 得一向量轉(zhuǎn)化為PQ在法向量的投影長度，套公式.求兩異面直線的距離a, b 是兩異面直線， A, B a,C , D b ，找一向量與兩異面直線都垂直的向AC m量 m ，則兩異面直線的距離 dm例 3 如圖，三棱柱中， A BCD是邊長為 1 的正方形，四邊形AA B B 是矩形，平面 AA B B平面 ABCD 。假設(shè) A

28、A ，求直線AB到面 DAC 的距離.解：如圖建立空間坐標(biāo)系 A*yz ，DA( 1,1,a) ， DC (0,1,0).1師學(xué)院2021 屆本科生畢業(yè)論文設(shè)計( *, y,1)，則DA n0設(shè)面 DAC 的法向量為n1DC n10得 n1的距離就等于點到面(a,0,1) ，直線 AB到面DACDAC 的距離，ADn12.也等于向量 AD 在面 DAC 的法向量上的投影的絕對 d2n1方法思路：求異面直線的距離，先找一向量與兩異面直線都垂直的向量m ，然后分別在兩異面直線上任取一點A, C ,則距離 d 就是AB在向量m上的投影長度，距離 d AC m . m3.5 求面積 8由于平行四邊形

29、ABCD面積 S ABCD = ABAC ，所以三角形的面積是平行四邊形的面積的一半 .S ABC= 1ABAC2特別地當(dāng) A、 B、C 三點均在O*y面上，且坐標(biāo)為 A *1 , y1 ,0， B*2 , y2 ,0 ，C *3 , y3 ,0 ，時*1y11S ABC2*2y21 =1 或-1 ，保證面積取正值 .*3y31例4空間三點A ， ， B ， C ， ，1試求三1 2 32 -153 2 -5角形的面積， 2求三角形的 AB邊上的高 .解: SABC1 ABAC2.1AB1, 3,2AC2,0, 8.1師學(xué)院2021 屆本科生畢業(yè)論文設(shè)計ijkABAC13224i12 j6k2

30、08ABAC24212 262621，所以三角形的面積是 321 .因為三角形 ABC的 AB邊上的高 CH即是平行形四邊形的 AB邊上的高，所以 CHS ABCDAB ACABAB，又因為AB1222214 ，3所以CHABAC62136 .AB14例 5 ABabADab ，其中a 2b1 a與b的夾角為，3求平行四邊形 ABCD的面積 .解： ABaba2222a b222 ab cos7babab3同理 AD3，設(shè) AB 與 AD 的夾角為，2222abababcosAB ADab3 ，ABADABADABADABAD21所以 sin1cos22 7 ，7所以SABCDABAD sin

31、23 .3.6 求體積三個不共面向量a, b, c 的混合積的絕對值等于以a, b, c 為棱的平行六面體的體積，即 V6a,b, c.1師學(xué)院2021 屆本科生畢業(yè)論文設(shè)計四面 體的 體 積等于以 a, b,c 為 棱的 平行 六面 體體積的 六分 之一，即V41a, b, c .6例 6 空間四點的坐標(biāo)A0，0，0， B 0，1，0，C0，1，1，D1，1，1求四面體 ABCD的體積及 A 到 BCD平面的距離 .解 由初等幾何知識，四面體ABCD的體積 V 等于以 AB，AC，AD為棱的平行六面體的體積的1 ,6010V41AB, AC, AD1 0 1 11 ,661161另外設(shè) A

32、到 BCD所確定平面的距離為d， dAB, AC, ADBCBD則 V41 BC BD d1 1 d， d 1.66上三個點 B，C，D注：求點 A 到平面 的距離時，取1求出 AB, AC, AD ；2求出 AB, AC, AD 為棱的平行六面體的體積AB, AC, AD ；3求出 BC, BD 為鄰邊的平行四邊形的面積BCBD ；4求出點到平面的距離d，即 dAB, AC, AD.BC BD4 向量方法解決證明與計算問題有關(guān)的綜合應(yīng)用例 1 證明三角形各邊的垂直平分線共點，且這點到各頂點等距.分析 設(shè)ABC 三邊BC,CA,AB的中點分別為D,E,F ,如圖，令 AB的垂直平分線與AC的垂

33、直平分線交于一點G，連接 GD，只要證明 GD BC，也即證 GD CB0 . 從而GD垂直平分 BC.證明 設(shè) GAa, GB b ,GC c 則.1師學(xué)院2021 屆本科生畢業(yè)論文設(shè)計1GF a b , BA a b 2由于 GFBA, 因而0=GF BA1a b a b122a b所以 a b22利用 GE CA0 可得0=1a c a c122a c所以 a c22GA GB GC從而 =b c1 b c，且 b c , 故又 GD CB1 b c2222GD CB0 于是 GDCB 所以 GD是 BC邊上的垂直平分線 .于是證得了三角形三條垂直平分線交于一點G，且 G到 A，B，C的

34、距離均相等 .例 2 一個空間四邊形對邊平方和相等的充要條件是四邊形的對角線互相垂直證明：如圖，設(shè) ABa, BCb, CDc, DA d ，各邊長各為 a,b,c,d對角線是 AC和 BD.由 abcd0 得2abc2d22c22c a2a bab2b c2222a b c 2 b b c a b a c22222 a b b c 2 AC BD ，故于是 d a b c2222ACBDdbac即 d 2b2a 2c2AC BD .例 3 如果一個四面體 ABCD有兩對對棱互相垂直，則第三對對棱也互相垂直,且三對對棱的平方和相等.1師學(xué)院2021 屆本科生畢業(yè)論文設(shè)計證法一 : 設(shè) ABa,

35、 BCb,CDc, DA d, AC e, DBf22222 AC BD1如圖，由上例知 dabc又由 ecfa 0 ，可得 ae cf222f2ae c2e c 2c f 2e f 故222f2ecf2DA BC 2ace2 c假設(shè)四面體兩對對棱互相垂直，即ACBD , DABC由 12可得22223acbd22224acef3 4得22220b d e f于是在四邊形 BCAD中，對邊平方和相等 . 由22222 AB CD5bdef得 ABCD，于是四面體第三對對棱AB與 CD也互相垂直.又由 ， 34可得222222acbdef即AB2CD 2BC 2DA 2AC 2DB 2.以上結(jié)果

36、說明，四面體三對對棱平方和相等.如果沒有用上例的結(jié)果，也可以用下面的方法來證證法二 : 如果四面體 ABCD中兩對對棱互相垂直，即AB CD0, BC AD0.1BDACBCCDABBC.1師學(xué)院2021 屆本科生畢業(yè)論文設(shè)計BC ABCD AB2CD BCBCBC AB BC BC CDBC ABBC BDBC AD =0于是第三對對棱 BDACAB22222222CB BD6CDABCB BDABCBBDBC2222222AB227ADBCABBDBCBD2 AB BDAC2222222AB228BDBDABBCBDBC2 AB BCAB CD0, ABCBBD0, ABBCAB BD ,

37、BCAD0, BCABBD0, ABBCCB BD對照 6，7，8可得 AB2CD2BC2AD2AC2BD2 即四面體三對對棱平方和相等 .注 由以上例題可以看出在進(jìn)展向量運算時， 可以把所有的向量都表示成坐標(biāo)向量的線性組合，然后進(jìn)展運算 .在證明兩直線垂直時， 可把問題轉(zhuǎn)化成這兩條直線的方向向量與直線平行的非零向量的垂直問題進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩向量數(shù)量積為零的問題.在證明有關(guān)長度的等式時， 首先將數(shù)量轉(zhuǎn)化成向量等式， 即用向量的模表示線段的長度，其次運用公式ABAB 2，使問題化為有關(guān)向量數(shù)性積的等式證明問題 .例 4 證明以平行四邊形的兩條對角線為鄰邊的平行四邊形的面積等于原平行四邊形面積的兩倍

38、.設(shè)平行四邊形的兩鄰邊分別是a 和 b ，兩條對角線分別是ab 和 ab證ababababbabb.10abba0.1師學(xué)院2021 屆本科生畢業(yè)論文設(shè)計abab2 ab例 5 正四棱錐 ABCDA BC D ， AB1, AA2 ，點 E 為才 CC1中點，11111點 F為 BD1的中點，求 D1到平面 BDE的距離 .解 建立如下列圖直角坐標(biāo)系，則D 0,0,0 , B 1,1,0 , E 0,1,1 , D1 0,0,2DE0,1,1 , DB1,1,0設(shè) D1在平面 BDE上的射影為 G*, y, z，則 DG*, y, z , D1G*, y, z2由于 111DG，所以DG DE

39、 , DGBD, DGyz20*y0*2y2z z 2 0解此方程組得*23*02y和 y0 舍去3z0z43222所以 D1G, ,333故 D1到平面 BDE的距離222223D1G223333.1師學(xué)院2021 屆本科生畢業(yè)論文設(shè)計上面所用的向量法思路清晰， 可方便簡捷地求出平面外一點 P 到平面的距離 .其解題步題驟為：1 建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)P 點在平面的射影為 G*, y, z，并求出平面 的三點 A，B，C的坐標(biāo)；2 求出向量 AB, AC, AG, PG 的坐標(biāo)；3 由 PG AB, PGAC, PGAG ，及兩個互相垂直的向量的數(shù)量積為0，得到關(guān)于*, y, z的三元一次

40、方程組； 解方程組求得 *, y, z 便得到P點在平面的射影 G的坐標(biāo)；4 求出PG的模長 PG，便得出點 P 到平面的距離.5例 6 在直平行六面體 AC1中 , ABCD菱D1C1形, DAB60 , ACBDO , ABAA1 .A1B1(1) 求證 : C1O / 平面 AB1 D1，DC(2) 求證 : 平面 AB1D1平面 ACC1 A1，AOB(3) 求直線AC與平面 AB1 D1所成角的大小 .證明 :(1) 連接 AC11交 B1D1于 O1 , 連結(jié) AO1在平行四邊形AAC C, C O / AO , C OAO ,11 中1 11 1四邊形 AOC1O1為平行四邊形D

41、1C1C1O / AO1A1O1B1C1O 平面 AB1D1 , AO1平面 AB1 D1DCC1O / 平面 AB1 D1AOB(2) 在直平行六面體 AC1中, A1A 平面 A1B1C1 D1A1 AB1D1四邊形 A1 B1C1D1為菱形.1師學(xué)院2021 屆本科生畢業(yè)論文設(shè)計B1 D1AC111 111 1平面1 11平面1 1ACAAA1 , ACACC A , AAACC AB1 D1平面 ACC1 A1B1 D1平面 AB1D1平面 AB1D1平面 ACC1 A1(3) 過C作 CHAO1交 AO1于H平面 AB1D1平面 ACC1 A1 , 平面 AB1 D1平面 ACC1A

42、1AO1CH平面 AB1 D1DC1_1OAH 為 AC 在平面AB1D1上的射影A1 B1H1CAH 是 AC 與平面AB1D1所成的角DC設(shè) AB2 ,在菱形 ABCD 中,DAB 60AOBAC2 3在 RtAAO11中 , AO71AO1CH AC OO1zDC.1421CH711AO1 B11.1CH27sin CAHDCy.1AC7O.1CAH arcsin 2 7 7AB*.1 3解法二 :連 AC交 B D 于 O , 分別以O(shè)B , OC , OO所在直線為*軸, y軸, z 軸建111111立空間直角坐標(biāo)系 , 如下列圖設(shè) AB2 ,在菱形 ABCD 中,DAB 60.1師

43、學(xué)院2021 屆本科生畢業(yè)論文設(shè)計AC2 3 , BD2則 A (0,3 ,0),C (0,3 ,0) ， B1 (1,0,2), O1 (0,0,2)AO1(0,3 ,2),AB1(1, 3 ,2)設(shè)平面 AB1D1的法向量n( * , y , z )則nAO10，n AB10.3y2z 0，*3 y2 z0.*0 ，令y3, 則z32n(0,3 ,3 )2設(shè) AC 與平面AB1D1所成的角為n AC62 7sin217n AC234arcsin 2 7 7命題意圖 : 熟悉立體幾何中常見問題及處理方法 , 要求學(xué)生敏銳把握所給圖形特征 , 制定合理的解決問題策略 . 立體幾何主要是兩種位置關(guān)系 ( 平行、垂直 ),兩個度量性質(zhì) ( 夾角、距離 ). 解決問題的方法也有兩種: 幾何方法和向量方法 . 兩種方法各有優(yōu)缺點 , 前者難在“找和“作的技巧性, 后者難在建系和計算上 ,終究用哪種方法 , 到時根據(jù)自己的情況決斷.5 向量在立體幾何中應(yīng)用的教學(xué)反思 95.1 比照綜合法與向量法的利弊綜合方法不使用其他工具，對幾何元素及其關(guān)系直接進(jìn)展討論. 其優(yōu)點是注重培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力以及轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想. 缺點是有時解決問題時的技巧性過強(qiáng)， 而且沒有一般規(guī)律可循， 常常讓學(xué)生感