1結構化學第一章量子力學基礎知識講解課件

1、緒 言結構化學的研究范圍結構化學的主要內容結構化學的發(fā)展歷程結構化學的學習方法結構和物性李國政辦公室：明理樓C116結構化學的研究范圍 原子、分子和晶體的微觀結構 原子和分子的運動規(guī)律 物質的結構與性能間的關系結構化學的主要內容決定反映原子結構（原子中電子的分布和能級）分子結構（化學鍵的性質和分子的能量狀態(tài)）晶體結構（晶胞中分子的堆垛）實驗方法（IR、NMR、UPS、XPS、XRD）結構與性能的關系（結構 性能）微觀粒子運動所遵循的量子力學規(guī)律結構化學的發(fā)展歷程利用現代技術不斷武裝自己 采用電子技術、計算機、單晶衍射、多晶衍射、原子光譜、 分子光譜、核磁共振等現代手段，積累了大量結構數據，為歸

2、納總結結構化學的規(guī)律和原理作基礎；運用規(guī)律和理論指導化學實踐 將結構和性能聯系起來，用以設計合成路線、改進產品質量、開拓產品用途。結構化學的學習方法培養(yǎng)目標用微觀結構的觀點和方法分析、解決化學問題學習方法把握重點（原理、概念、方法） 重視實驗方法（衍射法、光譜法、磁共振法) 結構與性能間的關系 主要章節(jié) 第一章. 量子力學基礎知識第二章. 原子的結構與性質第三章. 共價鍵和雙原子分子的結構化學第四章. 分子的對稱性第五章. 多原子分子的結構和性質第六章. 配位化合物的結構和性質第七章. 晶體的點陣結構和晶體的性質第八章.金屬的結構和性質 第一章 量子力學基礎知識 1 . 微觀粒子的運動特征 2

3、 . 量子力學基本假設 3 . 勢箱中自由粒子的薛定諤 方程及其解 十九世紀末，經典物理學已經形成一個相當完善的體系，機械力學方面建立了牛頓三大定律，熱力學方面有吉布斯理論，電磁學方面用麥克斯韋方程統(tǒng)一解釋電、磁、光等現象，而統(tǒng)計方面有玻耳茲曼的統(tǒng)計力學。當時物理學家很自豪地說，物理學的問題基本解決了，一般的物理現象都可以從以上某一學說獲得解釋。唯獨有幾個物理實驗還沒找到解釋的途徑，而恰恰是這幾個實驗為我們打開了一扇通向微觀世界的大門。 十九世紀末的物理學 電子、原子、分子和光子等微觀粒子，具有波粒二象性的運動特征。這一特征體現在以下的現象中，而這些現象均不能用經典物理理論來解釋，由此人們提出

4、了量子力學理論，這一理論就是本課程的一個重要基礎。1.1.1黑體輻射和能量量子化 黑體是一種能全部吸收照射到它上面的各種波長輻射的物體。帶有一微孔的空心金屬球，非常接近于黑體，進入金屬球小孔的輻射，經過多次吸收、反射、使射入的輻射實際上全部被吸收。當空腔受熱時，空腔壁會發(fā)出輻射，極小部分通過小孔逸出。黑體是理想的吸收體，也是理想的發(fā)射體。第一節(jié).微觀粒子的運動特征 一個吸收全部入射線的表面稱為黑體表面。一個帶小孔的空腔可視為黑體表面。它幾乎完全吸收入射幅射。通過小孔進去的光線碰到內表面時部分吸收，部分漫反射，反射光線再次被部分吸收和部分漫反射，只有很小部分入射光有機會再從小孔中出來。如圖11所

5、示 圖12表示在四種不同的溫度下，黑體單位面積單位波長間隔上發(fā)射的功率曲線。十九世紀末，科學家們對黑體輻射實驗進行了仔細測量，發(fā)現輻射強度對腔壁溫度 T的依賴關系。 經典理論與實驗事實間的矛盾： 經典電磁理論假定，黑體輻射是由黑體中帶電粒子的振動發(fā)出的，按經典熱力學和統(tǒng)計力學理論，計算所得的黑體輻射能量隨波長變化的分布曲線，與實驗所得曲線明顯不符。 Rayleigh-Jeans把分子物理學中能量按自由度均分原則用到電磁輻射上，按其公式計算所得結果在長波處比較接近實驗曲線。 Wien假定輻射波長的分布與Maxwell分子速度分布類似，計算結果在短波處與實驗較接近。 經典理論無論如何也得不出這種有

6、極大值的曲線。Planck能量量子化假設1900年，Planck（普朗克）假定，黑體中原子或分子輻射能量時作簡諧振動，只能發(fā)射或吸收頻率為、能量為h的整數倍的電磁能，即振動頻率為的振子，發(fā)射的能量只能是0h，1h，2h，nh（n為整數）。h稱為Planck常數，h6.6261034JS按Planck假定，算出的輻射能E與實驗觀測到的黑體輻射能非常吻合：能量量子化：黑體只能輻射頻率為，數值 為h的整數倍的不連續(xù)的能量。The Nobel Prize in Physics 1918 Max Karl Ernst Ludwig Planck Germany Berlin University Ber

7、lin, Germany 1858 - 1947 普朗克這一創(chuàng)造性的工作使他成為量子理論的奠基者，在物理學發(fā)展史上具有劃時代的意義。他第一次提出輻射能量的不連續(xù)性，著名科學家愛因斯坦接受并補充了這一理論，以此發(fā)展自己的相對論，波爾也曾用這一理論解釋原子結構。量子假說使普朗克獲得1918年諾貝爾物理獎。光電效應和光子學說光電效應是光照在金屬表面上，金屬發(fā)射出電子的現象。1.只有當照射光的頻率超過某個最小頻率（即臨閾頻率）時，金屬才能發(fā)射光電子，不同金屬的臨閾頻率不同。 2.隨著光強的增加，發(fā)射的電子數也增加，但不影響光電子的動能。 3.增加光的頻率，光電子的動能也隨之增加。1.1.2圖1-3 光

8、電效應示意圖 (光源打開后,電流表指針偏轉) 根據光波的經典圖像，波的能量與它的強度成正比，而與頻率無關，因此只要有足夠的強度，任何頻率的光都能產生光電效應，而電子的動能將隨光強的增加而增加，與光的頻率無關，這些經典物理學的推測與實驗事實不符。 經典理論與實驗事實間的矛盾： 光電效應和光子學說 (2).光子不但有能量，還有質量(m)，但光子的靜止質量為零。按相對論的質能聯系定律,=mc2,光子的質量為 m = hc2所以不同頻率的光子有不同的質量。 1905年，Einstein提出光子學說，圓滿地解釋了光電效應。光子學說的內容如下： (1).光是一束光子流，每一種頻率的光的能量都有一個最小單位

9、，稱為光子，光子的能量與光子的頻率成正比，即式中h為Planck常數，為光子的頻率。 將頻率為的光照射到金屬上，當金屬中的一個電子受到一個光子撞擊時，產生光電效應，光子消失，并把它的能量h轉移給電子。電子吸收的能量，一部分用于克服金屬對它的束縛力，其余部分則表現為光電子的動能。(3).光子具有一定的動量(p)P = mc = h /c = h光子有動量在光壓實驗中得到了證實。(4).光的強度取決于單位體積內光子的數目，即光子密度。Ek = h W 當h W時，從金屬中發(fā)射的電子具有一定的動能，它隨 的增加而增加，與光強無關。 式中W是電子逸出金屬所需要的最低能量，稱為逸出功，它等于h0；Ek是

10、光電子的動能，它等于 mv22 ，上式能解釋全部實驗觀測結果： 當h n1, n1、n2為正整數21（3）各態(tài)能量一定，角動量也一定( M=nh/2 ) 并且是量子化的，大小為 h/2 的整數倍。（1）原子中有一些確定能量的穩(wěn)定態(tài)，原子處于定態(tài) 不輻射能量。（2）原子從一定態(tài)過渡到另一定態(tài)，才發(fā)射或吸收能量。 為了解釋以上結果，玻爾綜合了普朗克的量子論，愛因斯坦的光子說以及盧瑟福的原子有核模型，提出著名的玻爾理論：+e-er庫侖引力 離心力 角動量總能量動能勢能Bohr玻爾他獲得了1922年的諾貝爾物理學獎。 Bohr模型對于單電子原子在多方面應用得很有成效，對堿金屬原子也近似適用. 但它竟不

11、能解釋 He 原子的光譜，更不必說較復雜的原子；也不能計算譜線強度。后來，Bohr模型又被Sommerfeld等人進一步改進，增加了橢圓軌道和軌道平面取向量子化(即空間量子化). 這些改進并沒有從根本上解決問題, 促使更多物理學家認識到, 必須對物理學進行一場深刻變革. 法國物理學家德布羅意(L.V.de Broglie)勇敢地邁出一大步. 1924年, 他提出了物質波可能存在的主要論點.實物微粒的波粒二象性 Einstein為了解釋光電效應提出了光子說，即光子是具有波粒二象性的微粒，這一觀點在科學界引起很大震動。1924年，年輕的法國物理學家德布羅意（de Broglie）從這種思想出發(fā),提

12、出了實物微粒也有波性,他認為：“在光學上,比起波動的研究方法，是過于忽略了粒子的研究方法；在實物微粒上，是否發(fā)生了相反的錯誤？是不是把粒子的圖像想得太多，而過于忽略了波的圖像？” - 德布羅意物質波 1.1.3他提出實物微粒也有波性，即德布羅意波。 E = h v , p = h / 1927年，戴維遜（Davisson）與革末（Germer）利用單晶體電子衍射實驗，湯姆遜（Thomson）利用多晶體電子衍射實驗證實了德布羅意的假設。 光（各種波長的電磁輻射）和微觀實物粒子（靜止質量不為0的電子、原子和分子等）都有波動性（波性）和微粒性（粒性）的兩重性質，稱為波粒二象性。 戴維遜(Daviss

13、on)等估算了電子的運動速度，若將電子加壓到1000V,電子波長應為幾十個pm，這樣波長一般光柵無法檢驗出它的波動性。他們聯想到這一尺寸恰是晶體中原子間距，所以選擇了金屬的單晶為衍射光柵。 將電子束加速到一定速度去撞擊金屬Ni的單晶，觀察到完全類似射線的衍射圖象，證實了電子確實具有波動性。圖1-5為電子射線通過 CsI薄膜時的衍射圖象，一系列的同心圓稱為衍射環(huán)紋。該實驗首次證實了德布羅意物質波的存在。后來采用中子、質子、氫原子等各種粒子流，都觀察到了衍射現象。證明了不僅光子具有波粒二象性，微觀世界里的所有微粒都有具有波粒二象性，波粒二象性是微觀粒子的一種基本屬性。 微觀粒子因為沒有明確的外形和

14、確定的軌道，我們得不到一個粒子一個粒子的衍射圖象，我們只能用大量的微粒流做衍射實驗。實驗開始時，只能觀察到照象底片上一個個點，未形成衍射圖象，待到足夠長時間，通過粒子數目足夠多時，照片才能顯出衍射圖象，顯示出波動性來。可見微觀粒子的波動性是一種統(tǒng)計行為。微粒的物質波與宏觀的機械波（水波，聲波）不同，機械波是介質質點的振動產生的；與電磁波也不同，電磁波是電場與磁場的振動在空間的傳播。微粒物質波，能反映微粒出現幾率，故也稱為幾率波。 空間任意一點處微粒物質波的強度與粒子出現在此處的幾率成正比,此即物質波的統(tǒng)計解釋. 德布羅意（Louis Victor de Brogli，1892-1987）法國物

15、理學家。德布羅意提出的物質波假設。為人類研究微觀領域內物體運動的基本規(guī)律指明了方向。為了表彰德布羅意，他被授予1929年諾貝爾物理學獎。具有波動性的粒子不能同時有精確坐標和動量.當粒子的某個坐標被確定得愈精確,則其相應的動量則愈不精確;反之亦然.但是，其位置偏差(x )和動量偏差(p )的積恒定. 即有以下關系:通過電子的單縫衍射可以說明這種“不確定”的確存在。 1.1.4 不確定度關系-測不準原理x = b在同一瞬時，由于衍射的緣故，電子動量的大小雖未變化，但動量的方向有了改變。由圖可以看到，如果只考慮一級(即 )衍射圖樣，則電子絕大多數落在一級衍射角范圍內，電子動量沿 軸方向分量的不確定范

16、圍為由德布羅意公式和單縫衍射公式 和 上式可寫為又因為x = b， 因此 宏觀世界與微觀世界的力學量之間有很大區(qū)別，前者在取值上沒有限制，變化是連續(xù)的，而微觀世界的力學量變化是量子化的，變化是不連續(xù)的，在不同狀態(tài)去測定微觀粒子，可能得到不同的結果，對于能得到確定值的狀態(tài)稱為“本征態(tài)”，而有些狀態(tài)只能測到一些不同的值（稱為平均值），稱為“非本征態(tài)”。例如，當電子處在坐標的本征態(tài)時，測定坐標有確定值，而測定其它一些物理量如動量，就得不到確定值，相反若電子處在動量的本征態(tài)時，動量可以測到準確值，坐標就測不到確定值，而是平均值。海森伯（Heisenberg）稱兩個物理量的這種關系為“測不準”關系。 海

17、森伯(W. K. Heisenberg，1901-1976)德國理論物理學家，他于1925年為量子力學的創(chuàng)立作出了最早的貢獻，而于26歲時提出的不確定關系則與物質波的概率解釋一起，奠定了量子力學的基礎，為此，他于1932年獲諾貝爾物理學獎。海森伯所以，子彈位置的不確定范圍是微不足道的。可見子彈的動量和位置都能精確地確定，不確定關系對宏觀物體來說沒有實際意義。 例1.一顆質量為10g 的子彈，具有200ms-1的速率，若其動量的不確定范圍為動量的0.01%(這在宏觀范圍已十分精確)，則該子彈位置的不確定量范圍為多大?解: 子彈的動量動量的不確定范圍由不確定關系式，得子彈位置的不確定范圍我們知道原

18、子大小的數量級為10-10m，電子則更小。在這種情況下，電子位置的不確定范圍比原子的大小還要大幾億倍，可見企圖精確地確定電子的位置和動量已沒有實際意義。 例2. 一電子具有200 的速率，動量的不確定范圍為動量的0.01%(這已經足夠精確了)，則該電子的位置不確定范圍有多大?解: 電子的動量為動量的不確定范圍由不確定關系式，得電子位置的不確定范圍 宏觀物體 微觀粒子具有確定的坐標和動量 沒有確定的坐標和動量可用牛頓力學描述。 需用量子力學描述。 有連續(xù)可測的運動軌道，可 有概率分布特性，不可能分辨 追蹤各個物體的運動軌跡。 出各個粒子的軌跡。體系能量可以為任意的、連 能量量子化 。續(xù)變化的數值

19、。不確定度關系無實際意義 遵循不確定度關系微觀粒子和宏觀物體的特性對比 量子力學的基本假設，象幾何學中的公理一樣，是不能被證明的。公元前三百年歐幾里德按照公理方法寫出幾何原本一書，奠定了幾何學的基礎。二十世紀二十年代，狄拉克，海森伯，薛定鍔等在量子力學假設的基礎上構建了這個量子力學大廈。假設雖然不能直接證明，但也不是憑科學家主觀想象出來的，它來源于實驗，并不斷被實驗所證實。 第二節(jié).量子力學基本假設主要特點是能量量子化和運動的波性。是自然界的基本規(guī)律之一。主要貢獻者有：Schrdinger，Heisenberg，Born & Dirac量子力學由以下5個假設組成，據此可推導出一些重要結論，用以

20、解釋和預測許多實驗事實。半個多世紀的實踐證明，這些基本假設是正確的。 量子力學是描述微觀體系運動規(guī)律的科學. 假設I：對于一個微觀體系，它的狀態(tài)和有關情況可以用波函數(x,y,z,t)來表示。是體系的狀態(tài)函數，是體系中所有粒子的坐標函數，也是時間函數。 例如：對一個兩粒子體系,=(x1,y1,z1,x2,y2,z2,t)，其中x1,y1,z1為粒子1的坐標； x2,y2,z2為粒子2的坐標；t是時間。1.2.1 波函數和微觀粒子的狀態(tài) 在經典物理學中，常用一個函數形式來描述波的運動狀態(tài)，而實物微粒的波雖然和經典的波不同，但憑其相干性可以產生衍射現象這個通性，以及波所代表的幾率密度，有必要采用波

21、函數的概念來代替“軌道”，以表示微粒的運動狀態(tài)。* =(f-ig) (f+ig)=f2+g2因此*是實數，而且是正值。為了書寫方便，有時也用2代替*。 的形式可由光波推演而得，根據平面單色光的波動方程：=A expi2(x/-t)將波粒二象性關系 E=h，p=h/ 代入，得單粒子一維運動的波函數:=A exp（i2/h）(x p x-Et)一般是復數形式：= f+ig , f和g是坐標的實函數， 的共軛復數為*,其定義為* = f-ig。為了求 * ，只需在 中出現i的地方都用 i 代替即可。由于德布羅意提出實物微粒也有波性: E = h, p = h /在原子、 分子等體系中，將稱為原子軌道

22、或分子軌道；將*稱為概率密度，它就是通常所說的電子云；*d為空間某點附近體積元d(dxdydz)中電子出現的概率。用量子力學處理微觀體系，就是要設法求出的具體形式。雖然不能把看成物理波，但是狀態(tài)的一種數學表達，能給出關于體系狀態(tài)和該狀態(tài)各種物理量的取值及其變化的信息，對了解體系的各種性質極為重要。波函數(x,y,z)在空間某點取值的正負反映微粒的波性；波函數的奇偶性涉及微粒從一個狀態(tài)躍遷至另一個狀態(tài)的幾率性質（選率）。平方可積：即在整個空間的積分*d應為一有限數，通常要求波函數歸一化，即*d 1。 合格波函數的條件 由于波函數描述的波是幾率波，所以波函數必須滿足下列三個條件：單值：即在空間每一

23、點只能有一個值 ；連續(xù)：即的值不會出現突躍，而且對x，y，z 的一級微商也是連續(xù)函數 ；符合這三個條件的波函數稱為合格波函數或品優(yōu)波函數。波函數 合格波函數是有限或平方可積的，故都可歸一化，但一般所給的波函數不一定歸一化（數學結果）。當用波函數的絕對值的平方描述體系狀態(tài)時，必須將波函數歸一化（物理意義）。即：設則令故推論：c和描寫同一狀態(tài)（c為常數），雖然c2|2給出的幾率比|2處大了c2倍，但其在空間各點的比值并沒有變化。例1. 已知一個在一維勢箱中運動的粒子，其波函數為：求此波函數的歸一化常數A。解：定態(tài)波函數不含時間的波函數(x,y,z)稱為定態(tài)波函數。意味著原子、分子體系內部的電子在空

24、間某處單位體積內出現的幾率將不隨時間而變化。A. 體系能量不隨時間而改變；B. 幾率密度分布不隨時間而改變；C. 所有力學量的平均值不隨時間而改變。定態(tài)是指體系能量有確定值的狀態(tài)，體系處于定態(tài)有如下幾個特點：本課程只討論定態(tài)波函數。 1.2.2 物理量和算符假設II：對一個微觀體系的每個可觀測的物理量，都對應著一個線性自軛算符。算符：對某一函數進行運算操作，規(guī)定運算操作性質的符號。如：sin，log等。線性算符：(12) 1 2自軛算符：1*1 d1(1 )*d 或1*2 d2(1 )*d例如， id/dx，1expix，1*exp-ix，則，exp-ix(id/dx)expixdx exp-

25、ix(-expix)dx -x. expix(id/dx)expix*dx expix(-expix)*dx-x.量子力學需用線性自軛算符，目的是使算符對應的本征值為實數。力學量與算符的對應關系如下表：力學量算符力學量算符位置 x勢能 V動量的x軸分量px動能T=p2/2m角動量的z軸分量Mzxpyypx總能量E=T+V1.2.3 本征態(tài)、本征值和Schrdinger方程假設：若某一力學量A的算符作用于某一狀態(tài)函數后，等于某一常數a乘以，即a，那么對所描述的這個微觀體系的狀態(tài)，其力學量A具有確定的數值a，a稱為力學量算符的本征值，稱為的本征態(tài)或本征函數，a稱為的本征方程。自軛算符的本征值一定為

26、實數(第一重要性質)： a，兩邊取復共軛，得，*a*，由此二式可得： *()da* d，(*)da*d 由自軛算符的定義式知， * d(*)d 故，a* da*d，即 aa*，所以，a為實數。 一個保守體系（勢能只與坐標有關）的總能量E在經典力學中用Hamilton函數H表示，即，對應的Hamilton算符為： Schrdinger方程能量算符的本征方程，是決定體系能量算符的本征值（體系中某狀態(tài)的能量E）和本征函數（ 定態(tài)波函數，本征態(tài)給出的幾率密度不隨時間而改變）的方程，是量子力學中一個基本方程。具體形式為：對于一個微觀體系，自軛算符給出的本征函數組1，2，3形成一個正交、歸一的函數組(第二

27、重要性質) 。歸一性：粒子在整個空間出現的幾率為1。即 i*id1正交性：i*jd0。由組內各函數的對稱性決定，例如，同一原子的各原子軌道（描述原子內電子運動規(guī)律的波函數）間不能形成有效重疊（H原子的1s和2px軌道，一半為，另一半為重疊）。 原子軌道輪廓圖(各類軌道標度不同)正交性可證明如下： 設有 iaii； jajj；而aiaj，當前式取復共軛時，得： (i)*ai*i*aii*，（實數要求aiai*）由于i*jdaji*jd， 而(i)*jdaii*jd上兩式左邊滿足自軛算符定義，故， (aiaj)i*jd0，而aiaj 故 i*jd01.2.4 態(tài)疊加原理假設：若1，2 n為某一微觀

28、體系的可能狀態(tài)，由它們線性組合所得的也是該體系可能的狀態(tài)。 組合系數ci的大小反映i貢獻的多少。為適應原子周圍勢場的變化，原子軌道通過線性組合，所得的雜化軌道（sp，sp2，sp3等）也是該原子中電子可能存在的狀態(tài)?？捎蒫 i值求出和力學量A 對應的平均值a 本征態(tài)的力學量的平均值 設與1，2 n對應的本征值分別為a1，a2，an，當體系處于狀態(tài)并且已歸一化時，可由下式計算力學量的平均值a（對應于力學量A的實驗測定值）：非本征態(tài)的力學量的平均值若狀態(tài)函數不是物理量A的算符的本征態(tài)，當體系處于這個狀態(tài)時，a，但這時可用積分計算物理量的平均值：a*d例如，氫原子基態(tài)波函數為1s，其半徑和勢能等均無

29、確定值，但可由上式求平均半徑和平均勢能。1.2.5 Pauli原理假設：在同一原子軌道或分子軌道上，至多只能容納兩個自旋相反的電子?；蛘哒f，兩個自旋相同的電子不能占據相同的軌道。Pauli原理的另一種表述：描述多電子體系軌道運動和自旋運動的全波函數，交換任兩個電子的全部坐標（空間坐標和自旋坐標），必然得出反對稱的波函數。電子具有不依賴軌道運動的自旋運動，具有固有的角動量和相應的磁矩，光譜的Zeeman效應(光譜線在磁場中發(fā)生分裂)、精細結構都是證據。微觀粒子具有波性，相同微粒是不可分辨的。(q1,q2)= (q2,q1)費米子：自旋量子數為半整數的粒子。如，電子、質子、中子等。 (q1,q2,

30、qn)(q2,q1,qn) 倘若q1q2，即(q1,q1,q3,qn)(q1,q1,q3,qn) 則， (q1,q1,q3,qn)0，處在三維空間同一坐標位置上，兩個自旋相同的電子，其存在的幾率為零。據此可引申出以下兩個常用規(guī)則： Pauli不相容原理：多電子體系中，兩自旋相同的電子不能占據同一軌道，即，同一原子中，兩電子的量子數不能完全相同； Pauli排斥原理：多電子體系中，自旋相同的電子盡可能分開、遠離。 玻色子：自旋量子數為整數的粒子。如，光子、介子、氘、粒子等。 (q1,q2,qn)(q2,q1,qn)泡利 Pauli獲1945年諾貝爾物理學獎。 以一維勢箱中粒子為例，說明如何運用量

31、子力學的基本假設來處理微觀體系的一般步驟和方法。 一維勢箱中粒子是指一個質量為m的微觀粒子，在一維x方向上運動，它受到如圖所示的勢能限制：步驟1：建立Schrdinger方程V=0 0 xlV= x0, x l第三節(jié) 箱中粒子的Schrdinger方程及其解故粒子在箱壁及箱外出現的幾率為0，即：而在箱內，V=0。其Hamilton算符為：Schrdinger方程為：或：聯想簡諧振動方程：步驟2：解Schrdinger方程，得出和E的表示形式。上式為二階線性齊次常微分方程，其通解為：利用邊界條件確定c1，c2：而c2不能為0，否則0 ，這樣粒子就不存在，是一個空箱子，與事實不符，故只能是：由此得：注意：這里n 0，因為若n=0，則同樣失去意義。另外，若n取負整