數學分析第二十二章曲面積分精課件

1、第二十二章 曲面積分 1 第一型曲面積分 2 第二型曲面積分 3 高斯(Gauss)公式第二十二章 曲面積分1 第一型曲面積分一、概念的引入實例 所謂曲面光滑即曲面上各點處都有切平面,且當點在曲面上連續(xù)移動時,切平面也連續(xù)轉動.一、概念的引入實例分割取近似求和取極限二、對面積的曲面積分的定義1.定義被積函數積分曲面則三代：二換：一投：則三代：二換：一投：則三代：二換：一投：則則則注意：這里曲面方程均是單值函數。解xyzo111例2解例3解所以，例4解例5解解依對稱性知：例7解（左右兩片投影相同）例8解四、小結2、對面積的曲面積分的解法是將其化為投影域上 的二重積分計算.1、對面積的曲面積分的概

2、念;（按照曲面的不同情況分為三種）作業(yè)：P282: 1 (1)(4)，2，3.思考題 在對面積的曲面積分化為二重積分的公式中, 有因子 , 試說明這個因子的幾何意義.思考題解答是曲面元的面積,故 是曲面法線與 軸夾角的余弦的倒數.練 習 題練習題答案第二十二章 曲面積分2第二型曲面積分一、基本概念觀察以下曲面的側 (假設曲面是光滑的)曲面分上側和下側曲面分內側和外側曲面的分類:1.雙側曲面;2.單側曲面.典型雙側曲面莫比烏斯帶典型單側曲面:播放曲面法向量的指向決定曲面的側.決定了側的曲面稱為有向曲面.曲面的投影問題:二、概念的引入實例: 流向曲面一側的流量.1. 分割則該點流速為 .法向量為

3、.2. 求和3.取極限三、概念及性質被積函數積分曲面類似可定義存在條件:組合形式:物理意義:性質:四、計算法注意:對坐標的曲面積分,必須注意曲面所取的側.解五、兩類曲面積分之間的聯系兩類曲面積分之間的聯系向量形式解六、小結1、物理意義2、計算時應注意以下兩點曲面的側“一投,二代,三定號”思考題思考題解答此時 的左側為負側，而 的左側為正側.練 習 題練習題答案莫比烏斯帶典型單側曲面:典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯

4、帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶第二十二章 曲面積分3 高斯(Gauss)公式一、高 斯 公 式1. 定理:證明根據三重積分的計算法根據曲面積分的計算法同理-高斯公式和并以上三式得：Gauss公式的實質 表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系.由兩類曲面積分之間的關系知解2. 簡單應用:(利用柱面坐標得)使用Guass公式時應注意:解空間曲面在 面上的投影域為曲面不是封閉曲面, 為利用高斯公式故所求積分為(1). 通量的定義:3. 物理意義:(2). 散度的定義:散度在直角坐標系下的形式積分中值定理,兩邊取極限,高斯公式可寫成二、斯托克斯(stokes)公式- 斯托克斯公式1. 定理:證明思路曲面積分二重積分曲線積分便于記憶形式或Stokes 公式的實質:表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關系.斯托克斯公式格林公式特殊情形解按斯托克斯公式, 有1. 簡單應用:解按斯托克斯公式, 有解則單位法向量解則單位法向量即由斯托克斯公式即由斯托克斯公式三代：二換：一投：三、小結3、應用的條件4、物理意義2、高斯公式的實質1、高斯公式6, 斯托克斯公式成立的條件5, 斯