東南大學《數值分析》上機題

1、設$廠-4J1其精確值為俁怙卜編制按從大到小的順序幾=亠+42-131Nl順序計算幾的通用程序。(2)編制按從小到大由-走+詔E+H計算“的通用程月按兩種順序分別計算,%,%,有效并指出位數。(編制程序時用單精度)通過本上機題，你明白了什么?程序代碼(matlab編程):clccleara=single(1/(2:10A7A2-l);(1)=single(0);SI(2)=1/(2A2-1);forN=3:10A2Sl(N)=a(l)；fori=2:N-lSI(N)=S1(N)+a(i);endend(l)=single(0);S2(2)=1/(2A2-1);forN=3:10A2S2(N)=

2、a(N-l);fori=linspace(N-2,1,N-2)S2(N)=S2(N)+a(i);endendS1表示按從大到小的順序的SNS2表示按從小到大的順序的SN計算結果從大到小的順序的值從小到大的順序的值精確值有效位數從大到小從小到大%0.7400490.740050.74004965幾，0.7498520.74990.749944%0.7498520.7499990.74999936通過本上機題，看出按兩種不同的順序計算的結果是不相同的，按從大到小的順序計算的值與精確值有較大的誤差，而按從小到大的順序計算的值與精確值吻合。從大到小的順序計算得到的結果的有效位數少。計算機在進行數值計算

3、時會出現“大數吃小數”的現象，導致計算結果的精度有所降低，我們在計算機中進行同號數的加法時，采用絕對值較小者先加的算法，其結果的相對誤差較小。數值分析上機題 20（上機題）Newton迭代法（1）給定初值、及容許誤差，編制Newton法解方程/“根的通用程序。（2）給定方程弘,易知其有三個根X：=V3,a*=0,X；=J3o1由Newton方法的局部收斂性可知存在5o,當“（一恥）時,Newton迭代序列收斂于根工;。試確定盡可能大的恥2試取若干初始值,觀察當（一一）,x0e（-00,-1）91,（恥），1）,（is時Niwton序列是否收斂以及收斂于哪一個根。MATLAB程序問題1dx=05

4、;x(l)=0.5;while(dxle-6)i=l；error=l;while(errorle-8)x(i+l)=x(i)-(l/3*x(i)A3-x(i)/(x(i)A2-l);error=abs(x(i+1)-x(i);i=i+l;endif(x(i)=0)x(l)=x(l)+dx;elsedx=dx/2;x(l)=x(l)-dx;endend經計算，最大的2為0.774596問題2clcclearx2(l)=lel4;i=l；error=l;while(errorle-8)x2(i+l)=x2(i)-(l/3*x2(i)A3-x2(i)/(x2(i)A2-l);error=abs(x2

5、(i+1)-x2(i);i=i+l;if(ile4)對于不同得初始值收斂于不同的根，心在（8,-1）內收斂于，在（-0.774,0.774）內收斂于0,在（1,+8）內收斂于朽，但在內（0.774,1）和（一1,0.774）均可能收斂于和厲。分析：對于不同的初值，迭代序列會收斂于不同的根，所以在某個區(qū)間內求根對于初值的選取有很大的關系。產生上述結果的原因是區(qū)間不滿足大范圍收斂的條件。數值分析上機題39.(上機題)列主元三角分解法對于某電路的分析，歸結為求解線性方程組RI=VO(1)編制解n階線性方程組Ax=b的列主元三角分解法的通用程序;用所編制的程序解線性方程組RI二V,并打印出解向量，保留

6、五位有效數;本編程之中，你提高了哪些編程能力?程序：clcclearA=31,-13,0z0z0z-10z0z0z0-13,35,-9,0,-11,0,0,0,00,-9,31,-10,0,0,0,0,00,0,-10,79,-30,0,0,0,-90,0,0,-30,57,-7,0,-5,00,0,0,0,-7,47,-30,0,00,0,0,0,0,-30,41,0,0zzzzzz0z0,0,0z5,0,0z27z-20,0z0/-9/0z0z0/-2,29;b=-15,27,-23,0,-20,12,-7,7,101;mzn=size(A);Ap=Azb；x=zeros(n,1);for

7、i=l:m-lj=i；maxa,maxi=max(abs(Ap(i:end,j);maxi=maxi+i-1;if(maxa=0)mid=Ap(maxi,:);Ap(maxi,:)=Ap(i,：)；Ap(i,:)=mid;fork=i:mAp(i+1:mz:)=Ap(i+1:m,:)-Ap(i+1:m,j)*(Ap(i,:)/maxa);endendendfori=linspace(mz1,m)x(i)=(Ap(i,end)-Ap(i,1:endl)*x)/Ap(1,i);end結果：方程的解為（保留5位有效數字）:xl=-0.28923,x2=0.34544,x3=-0.71281,x4=-

8、0.22061,x5=-0.43040,x6=0.15431,x7=-0.057823,x8=0.20105,x9=0.29023習題437(上機題)3次樣條插值函數(1)編制求第一型3次樣條插值函數的通用程F;(2)已知汽車曲線型值點的數據如下：012345678910兒2.513.304.044.705.225.545.785.405.575.705.80端點條件為=0&3-0.2o用所編制程序求車門的3次樣條插值函數S(x)，并打印出S(i+05)(i=0,1,-9)o程序：1)clcclear%x=0,lz2,3z4,5z6z7,8z9z10；y=2.51,3.30z4.04z4.7,

9、5.22,5.54,5.78,5.40,5.57,5.70z5.80;yl=08;yend=02;%n=size(x,2)-1;h=x(2:end)-x(1:end-1);miu=h(1:end-1)/(h(1:end-1)+h(2:end);1amda=1-miu;f1=ylz(y(2:end)-y(1:end-1)/h,yend;%fxn-1,xnf2=f1(2:end)-f1(1:end-1)/h(l)zh(1:end-1)+h(2:end),h(end);%fxn-1zxn,xn+lA=2Sye(n+1);A(2:end,1:end-1)=A(2:end,1:end-1)+diag(m

10、iu,1*);A(1:end-1,2:end)=A(1:end-1,2:end)+diag(1,lamda1);M=A(6*f2f);Sx=y(l:end-1)z(y(2:end)-y(l:end-1)/h)-(1/3*M(1:end-1)+1/6*M(2:end)*hl)z1/2*M(1:end-1)z1/6*(M(2:end)-M(1:end-1)/hf;%xx=input(zx=r);forj=2:n+1ifxxx(j)S=Sx(j-l,:)*l,xx-x(j-l),(xx-x(j-l)A2,(xx-x(j-l)A3；breakendendclcclear%x=0zlz2,3z4z5z6

11、z7z8z9z10；y=2.51,3.30,4.04,4.7,5.22,5.54,5.78,5.40,5.57,5.70,5.80;yl=08;yend=02;%n=size(x,2)-1;h=x(2:end)-x(1:end-1);miu=h(1:end-1)/(h(1:end-1)+h(2:end);lamda=l-miu;f1=yl,(y(2:end)-y(1:end-1)/h,yend;%fxn-1zxnf2=fl(2:end)-fl(l:end-l)/h(l)zh(1:end-1)+h(2:end)zh(end);%fxn-1zxnzxn+lA=2(n+1);A(2:end,1:en

12、d-1)=A(2:end,1:end-1)+diag(miu,1);A(1:end-1,2:end)=A(1:end-1,2:end)+diag(1,lamda1);M=A(6*f2);Sx=y(l:end-1)z(y(2:end)-y(l:end-1)/h)-(1/3*M(1:end-1)+1/6*M(2:end)*h-),1/2*M(1:end-1)z1/6*(M(2:end)-M(1:end-1)/hf;%fori=0:9xx=i+0.5;forj=2:n+1ifxx05e-5)xzy=meshgrid(linspace(c,dz2Ak+l),linspace(azbz2Ak+l);h=

13、(b-a)/2Ak;l=(d-c)/2Ak;z=f(x,y)；zl=z(1:end-1,1:end-1);z2=z(1:end-1,2:end);z3=z(2:end,1:end-1);z4=z(2:end,2:end);t(k)=h*l/4*(sum(sum(zl)+sum(sum(z2)+sum(sum(z3)+sum(sum(z4);%extrapolationif(k=2)T(l,k-l)=4/3*t(k)-l/3*t(k-l);%T(l)error=min(error,abs(t(k)-t(k-1);if(k=3)T(2fk-2)=16/15*T(lzk-l)-1/15*T(1,k-

14、2);%T(2)error=min(error,abs(T(1,k-1)-T(1,k-2);if(k=4)T(3zk-3)=64/63*T(l,k-2)-1/63*T(1,k-3);%T(3)error=min(error,abs(T(2,k-2)-T(2zk-3);if(k=5)endendendendk=k+l;enderror=min(error,abs(T(3,k-3)-T(3fk-4);T(f)Tf)Tf)0.51979650.3440320.3373930.38797340.3378080.3365920.35034950.3366680.3365240.34008870.3365

15、330.336521Tf)0.3377090.336650.3365310.33742180.33652160.3367464I(f)=0.33652二分6次習題623.(上機題)常微分方程初值問題數值解(1)編制RKU方法的通用程序;(2)編制AB4方法的通用程序(由RKU提供初值);(3)編制AB4-AM4預測校正方法的通用程序(由RK4提供初值);編制帶改進的AB4-AM4預測校正方法的通用程序(由RKu提供初值)；對于初值問題門j亍(0X1.5)y(o)3取步長“0.1，應用(1)(4)中的四種方法進行計算，并將計算結果和精確解y(x)=3/(l+x)作比較;(6)通過本上機題，你能得

16、到哪些結論?程序:%Originalquestionf=inline(1-x*x*y*yz1xzy1);yo=3；h=01;xstr=0;xend=l5;x=xstr:h:xend;八yx=3/(1+x3);n=size(xz2);%RK4methodRK4y(l)=yO;fori=l:n-1kl=f(x(i),RK4y(i)；k2=f(x(i)+h/2,RK4y(i)+h/2*kl);k3=f(x(i)+h/2,RK4y(i)+h/2*k2);k4=f(x(i)+h,RK4y(i)+h*k3);RK4y(i+l)=RK4y(i)+h/6*(kl+2*k2+2*k3+k4);end%AB4me

17、thodAB4y(1:4)=RK4y(1:4);fori=4:n-1AB4y(i+1)=AB4y(i)+h/24*(55*f(x(i)zAB4y(i)-59*f(x(i-l),AB4y(i-1)+37*f(x(i-2)zAB4y(i-2)-9*f(x(i-3)zAB4y(i-3);end%AB4-AM4predictivemethodBM4y(1:4)=RK4y(1:4);fori=4:n-1yp(i+1)=BM4y(i)+h/24*(55*f(x(i)zBM4y(i)-59*f(x(i-l),BM4y(i-1)+37*f(x(i-2)zBM4y(i-2)-9*f(x(i-3),BM4y(i-

18、3);BM4y(i+1)=BM4y(i)+h/24*(9*f(x(i+l),yp(i+1)+19*f(x(i)zBM4y(i)-5*f(x(i-1),BM4y(i-l)+f(x(i-2)zBM4y(i-2)；end%ImprovedAB4-AM4predictivemethodimprBM4y(1:4)=RK4y(1:4);fori=4:n-1yP(i+1)=imprBM4y(i)+h/24*(55*f(x(i)zimprBM4y(i)-59*f(x(i-l)zimprBM4y(i-1)+37*f(x(i-2)zimprBM4y(i-2)-9*f(x(i-3)zimprBM4y(i-3);yc

19、(i+1)=imprBM4y(i)+h/24*(9*f(x(i+1)zyP(i+1)+19*f(x(i),imprBM4y(i)-5*f(x(i-1),imprBM4y(i-1)+f(x(i-2),imprBM4y(i-2);imprBM4y(i+1)=251/270*yc(i+1)+19/270*yP(i+1);end%Error計算結果：x(k)y(x)RIG方法謀差AB4方法澳差.XB4-AM4謀差帶改進AB4-AM4瞇帶改進的AB4-AM4預測校正方法結論AM4預測校正方法精度更高，ab4方法比AB41033030303020.12.9970032.9970031J7E-072.997

20、0031JJ7E072.9970031.87E.Q72.9970031.87E-0730.22.976192.976193.92E-072976193.92E072.976193.92EU72.976193.92E4I740.32.9211329211297.58E-072.9211297J8E-0729211297.58E-0729211297.58E4750.42.8195492.8195471.61E-062.8183890.0011628196780.00013281958838E4)560.52.6666672666663318E-062.664672000199426668760.00020926667134.62E-0570.62.4671052.46715.01E-062.4652030.00190324672520.0001472