2022年初中幾何三角形五心及定理性質(zhì)

1、初中幾何三角形五心定律及性質(zhì) 三角形的重心，外心，垂心，內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內(nèi)心定理，旁心定理的總稱重心定理三角形的三條邊的中線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的重心。 三中線交于一點(diǎn)可用燕尾定理證明，十分簡(jiǎn)單。（重心原是一個(gè)物理概念，對(duì)于等厚度 的質(zhì)量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點(diǎn)，重心因而得名）重心的性質(zhì)：1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為 21。2、重心和三角形任意兩個(gè)頂點(diǎn)組成的 的距離與三條邊的長(zhǎng)成反比。3 個(gè)三角形面積相等。即重心到三條邊3、重心到三角形 3 個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。4、在平面直

2、角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，即其重心坐標(biāo)為（ X1+X2+X3 ）/3，（Y1+Y2+Y3 ）/3）。5. 以重心為起點(diǎn)，以三角形三頂點(diǎn)為終點(diǎn)的三條向量之和等于零向量。外心定理第 1 頁(yè) 共 6 頁(yè)三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。外心的性質(zhì)：1、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為該三角形的外心。2、若 O 是 ABC 的外心，則 BOC=2 A（A 為銳角或直角）或BOC=360-2A（ A 為鈍角）。3、當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)， 外心在三角形內(nèi)部； 當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，外心在三角形外部；當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，外心在斜邊上，與斜邊的中點(diǎn)重 合。5、外心到

3、三頂點(diǎn)的距離相等垂心定理圖 1 圖 2 三角形的三條高（所在直線）交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的垂心。第 2 頁(yè) 共 6 頁(yè)垂心的性質(zhì)：1、三角形三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)垂足，垂心這7 個(gè)點(diǎn)可以得到 6 個(gè)四點(diǎn)圓。2、三角形外心 O、重心 G 和垂心 H 三點(diǎn)共線，且 OG GH=1 2。（此直 線稱為三角形的歐拉線（Euler line ）3、垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對(duì)邊距離的 2 倍。4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。推論：1. 若 D 、 E 、 F 分別是 ABC 三邊的高的垂足，則1 = 2 。（圖 1）2. 三角形的垂心是其垂足三角形的內(nèi)心。 （圖 1）3. 若 D 、 E

4、 、 F 分別是 ABC 三邊的高的垂足，則1 = 2 。（圖 2）定理證明 已知： ABC中，AD、BE 是兩條高， AD、BE 相交于點(diǎn) O，連接 CO 并延長(zhǎng) 交 AB 于點(diǎn) F ，求證： CFAB 證明：連接 DE ADB= AEB=90 度A、B、D、E 四點(diǎn)共圓 ADE= ABE 第 3 頁(yè) 共 6 頁(yè)又 ODC= OEC=90 度O、D、C、E 四點(diǎn)共圓 ACF= ADE= ABE 又 ABE+ BAC=90 度 ACF+ BAC=90 度CFAB 因此，垂心定理成立內(nèi)心定理三角形內(nèi)切圓的圓心，叫做三角形的內(nèi)心。內(nèi)心的性質(zhì)：1、三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心

5、。2、直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和與斜邊的差的二分之一。3、P 為 ABC所在空間中任意一點(diǎn)， 點(diǎn) 0 是 ABC內(nèi)心的充要條件是： 向量 P0=(a 向量 PA+b 向量 PB+c 向量 PC)/(a+b+c). 4、O 為三角形的內(nèi)心， A、B、C 分別為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，延長(zhǎng) AO 交 BC 邊于 N，則有 AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 第 4 頁(yè) 共 6 頁(yè)5、(歐拉定理 )ABC 中，R 和 r 分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，O 和 I 分別為其外心和內(nèi)心，則 OI2=R2-2Rr 6、（內(nèi)角平分線分三邊長(zhǎng)度關(guān)系） ABC 中，0 為內(nèi)心，

6、A 、B、 C 的內(nèi)角平分線分別交 BC、AC、AB于 Q、P、R，則 BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b. 7、內(nèi)心到三角形三邊距離相等。旁心定理三角形的旁切圓 （與三角形的一邊和其他兩邊的延長(zhǎng)線相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。旁心的性質(zhì)：1、三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的旁心。旁心一定在三角形外。2、任何三角形都存在三個(gè)旁切圓、三個(gè)旁心。3、旁心到三角形三邊的距離相等。第 5 頁(yè) 共 6 頁(yè)如圖，點(diǎn) M 就是 ABC 的一個(gè)旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個(gè) 角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。一個(gè)三角形有三個(gè)旁心，而且一定在三角形外。附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時(shí)重心，內(nèi)心，外心，垂心，四心合一。巧記詩(shī)歌 三角形五心歌（重外垂內(nèi)旁）三角形有五顆心，重外垂內(nèi)和旁心，重 心 三條中線定相交，交點(diǎn)位置真奇巧，重心分割中線段，數(shù)段之比聽(tīng)分曉；外 心 三角形有六元素，三個(gè)內(nèi)角有三邊此點(diǎn)定義為外心，用它可作外接圓垂 心 三角形上作三高，三高必于垂心交五心性質(zhì)很重要，認(rèn)真掌握莫記混交點(diǎn)命名為 “重心”，重心性質(zhì)要明了，長(zhǎng)短之比二比一，靈活運(yùn)用掌握好作三邊的中垂線，三線相交共一點(diǎn)內(nèi)心外心莫記混，內(nèi)切外接是關(guān)鍵高線分割三角形，出現(xiàn)直角三對(duì)整，直角三角形有十二，