第二節(jié)　等差數(shù)列

1、第二節(jié)等差數(shù)列 有關(guān)等差數(shù)列通項(xiàng)、前n項(xiàng)和的基本運(yùn)算考向聚焦高考?？純?nèi)容,主要是以選擇、填空題形式考查a1、n、d、an、Sn的基本運(yùn)算問題,即“知三求二”,難度較低,分值占5分左右備考指津要熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式,運(yùn)算時(shí)注意方程思想與整體思想的運(yùn)用1.(2012年全國大綱卷,理5,5分)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a5=5,S5=15,則數(shù)列1anan+1的前100項(xiàng)和為()(A) 100101(B)99101(C)99100(D)101100解析:由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式,得a5=a1+4d=5S5=5a1+10d=15解得d=1,a1=1.an=a1+(n-1)

2、d=n1anan+1=1n(n+1)=1n-1n+1.數(shù)列1anan+1的前100項(xiàng)和為T100=(11-12)+(12-13)+(13-14)+(1100-1101)=1-1101=100101.答案:A.2.(2012年遼寧卷,理6,5分)在等差數(shù)列an中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11=()(A)58(B)88(C)143(D)176解析:an成等差數(shù)列,a4+a8=a1+a11=16,S11=11(a1+a11)2=11162=88.故選B.答案:B.3.(2011年大綱全國卷,理4)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,則k等于

3、()(A)8(B)7(C)6(D)5解析:Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=a1+(k+2-1)d+a1+(k+1-1)d=2a1+(2k+1)d=21+(2k+1)2=4k+4=24,k=5.故選D.答案:D.4.(2011年天津卷,理4)已知an為等差數(shù)列,其公差為-2,且a7是a3與a9的等比中項(xiàng),Sn為an的前n項(xiàng)和,nN*,則S10的值為()(A)-110(B)-90(C)90(D)110解析:等差數(shù)列an的公差d=-2,a3=a1+2d=a1-4,a7=a1+6d=a1-12,a9=a1+8d=a1-16,又a72=a3a9,(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),解得a1

4、=20.S10=1020+12109(-2)=110.故選D.答案:D.5.(2011年四川卷,理8)數(shù)列an的首項(xiàng)為3,bn為等差數(shù)列且bn=an+1-an(nN*).若b3=-2,b10=12,則a8等于()(A)0(B)3(C)8(D)11解析:設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d,b3=b1+2d=-2,b10=b1+9d=12,解得b1=-6,d=2,bn=2n-8.由bn=an+1-an,得an+1-an=2n-8.a2-a1=21-8a3-a2=22-8a8-a7=27-8相加得a8-a1=2(1+2+7)-56=56-56=0.a8=a1=3.故選B.答案:B.6.(2010年福建卷,理3

5、)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,則當(dāng)Sn取最小值時(shí),n等于()(A)6(B)7(C)8(D)9解析:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.a1=-11,a4+a6=2a1+8d=-22+8d=-6,d=2.后續(xù)有兩種解法:法一:注意到a1=-110.數(shù)列an為:-11,-9,-7,-5,-3,-1,1,S6最小.故選A.法二:Sn=d2n2+(a1-d2)n=n2-12n=(n-6)2-36,(nN*),n=6時(shí),Sn有最小值.故選A.答案:A.7.(2012年廣東卷,理11,5分)已知遞增的等差數(shù)列an滿足a1=1,a3=a22-4,則an=.解析:設(shè)公差為d,a1=

6、1,a1+2d=(a1+d)2-4,解得:d2=4.又an是遞增的等差數(shù)列,d=2.an=a1+(n-1)d=2n-1.答案:2n-18.(2011年湖南卷,理12)設(shè)Sn是等差數(shù)列an(nN*)的前n項(xiàng)和,且a1=1,a4=7,則S5=.解析:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由a4=7得a1+3d=7,又a1=1,d=2,a5=a1+4d=9,S5=(a1+a5)52=(1+9)52=25答案:259.(2011年廣東卷,理11)等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和.若a1=1,ak+a4=0,則k=.解析:S9=a1+a2+a3+a4+a5+a9,即S9=S4+a5+a9,又S9=S4,a5+a

7、6+a7+a8+a9=0,又a5+a9=a6+a8=2a7,5a7=0,a7=0,則公差d=a7-a17-1=-16,又ak+a4=0,a1+(k-1)d+a1+3d=0,即1+(k-1)(-16)+1+3(-16)=0,k=10.答案:1010.(2010年浙江卷,理15)設(shè)a1,d為實(shí)數(shù),首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,滿足S5S6+15=0,則d的取值范圍是.解析:由S5S6+15=0可得2a12+9a1d+10d2+1=0,(*)由存在實(shí)數(shù)a1,使(*)式成立,=81d2-8(10d2+1)0,解得d-22或d22.答案:d-22或d22 在推出2a12+9a1d+

8、10d2+1=0后,由于存在a1滿足此式,所以可以把它看成關(guān)于a1的一元二次方程有解,由0得d的取值范圍.這體現(xiàn)了方程思想的運(yùn)用.11.(2012年湖北卷,理18,12分)已知等差數(shù)列an前三項(xiàng)的和為-3,前三項(xiàng)的積為8.(1)求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若a2,a3,a1成等比數(shù)列,求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和.解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則a2=a1+d,a3=a1+2d,由題意得3a1+3d=-3,a1(a1+d)(a1+2d)=8.解得a1=2,d=-3,或a1=-4,d=3.所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5,或an=-4+3(n-1)=3n-7.故

9、an=-3n+5,或an=3n-7.(2)當(dāng)an=-3n+5時(shí),a2,a3,a1分別為-1,-4,2,不成等比數(shù)列;當(dāng)an=3n-7時(shí),a2,a3,a1分別為-1,2,-4,成等比數(shù)列,滿足條件.故|an|=|3n-7|=-3n+7,n=1,2,3n-7,n3.記數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和為Sn.當(dāng)n=1時(shí),S1=|a1|=4;當(dāng)n=2時(shí),S2=|a1|+|a2|=5;當(dāng)n3時(shí),Sn=S2+|a3|+|a4|+|an|=5+(33-7)+(34-7)+(3n-7)=5+(n-2)2+(3n-7)2=32n2-112n+10.當(dāng)n=2時(shí),滿足此式.綜上,Sn=4,n=1,32n2-112n+10,n

10、1.等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用考向聚焦高考熱點(diǎn)內(nèi)容,多以選擇、填空形式考查等差數(shù)列的性質(zhì),難度低檔,分值占5分左右12.(2012年重慶卷,理1,5分)在等差數(shù)列an中,a2=1,a4=5,則an的前5項(xiàng)和S5等于()(A)7(B)15(C)20(D)25解析:S5=5(a1+a5)2=5(a2+a4)2=5(1+5)2=15.故選B.答案:B.13.(2012年福建卷,理2,5分)等差數(shù)列an中,a1+a5=10,a4=7,則數(shù)列an的公差為()(A)1(B)2(C)3(D)4解析:a1+a5=2a3=10,a3=5,d=a4-a3=2.故選B.答案:B.14.(2012年浙江卷,理7,5分)設(shè)Sn

11、是公差為d(d0)的無窮等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,則下列命題錯(cuò)誤的是()(A)若d0,則數(shù)列Sn有最大項(xiàng)(B)若數(shù)列Sn有最大項(xiàng),則d0(D)若對(duì)任意nN*,均有Sn0,則數(shù)列Sn是遞增數(shù)列解析:C項(xiàng)錯(cuò)誤,因?yàn)镾n是遞增數(shù)列時(shí),數(shù)列an的第一項(xiàng)可以是負(fù)值,第二項(xiàng)是正值,此時(shí)S10,故選C.答案:C.15.(2010年大綱全國卷,理4)如果等差數(shù)列an中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+a7等于()(A)14(B)21(C)28(D)35解析:a3+a4+a5=12,a4=4,則a1+a2+a7=7a4=28,故選C.答案:C.16.(2012年江西卷,理12,5分)設(shè)數(shù)列an,bn都是等

12、差數(shù)列.若a1+b1=7,a3+b3=21,則a5+b5=.解析:本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及整體代換的數(shù)學(xué)思想.設(shè)數(shù)列an,bn的公差分別為d1,d2,因?yàn)閍3+b3=(a1+2d1)+(b1+2d2)=(a1+b1)+2(d1+d2)=7+2(d1+d2)=21,所以d1+d2=7,所以a5+b5=(a3+b3)+2(d1+d2)=21+27=35.答案:3517.(2012年北京卷,理10,5分)已知an為等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,若a1=12,S2=a3,則a2=;Sn=.解析:設(shè)公差為d,則由S2=a3,2a1+d=a1+2d,a1=d.又a1=12,d=12.a2=a1+d=1.Sn

13、=12n+12n(n-1)12=n2+n4=n(n+1)4.答案:1n(n+1)418.(2011年重慶卷,理11)在等差數(shù)列an中,a3+a7=37,則a2+a4+a6+a8=.解析:由等差數(shù)列性質(zhì)得a2+a4+a6+a8=2(a3+a7)=237=74.答案:74與等差數(shù)列有關(guān)的綜合問題考向聚焦一般圍繞等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式和有關(guān)性質(zhì)的基本運(yùn)算,結(jié)合函數(shù)、方程及不等式等知識(shí)綜合命題,多以解答題形式出現(xiàn),難度中低檔,分值一般為12分19.(2011年湖北卷,理13)九章算術(shù)“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升.下面3節(jié)的容積共4升.

14、則第5節(jié)的容積為升.解析:設(shè)自上而下各節(jié)容積成等差數(shù)列的公差為d,首節(jié)容積為a1,則由已知得a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)=3(a1+6d)+(a1+7d)+(a1+8d)=4,解得a1=1322d=766.第5節(jié)容積為a1+4d=6766.答案:676620.(2011年陜西卷,理14)植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹,每人植一棵,相鄰兩棵樹相距10米.開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊,使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小,這個(gè)最小值為米.解析:將20個(gè)樹坑依次編號(hào)為1,2,20,將樹苗集中放在n號(hào)樹坑旁,其中1n20(nN*),由m號(hào)

15、(1m20)(mN*),樹坑到n號(hào)樹坑的往返路程為210|n-m|,所以總路程S=20(n-1)+(n-2)+(n-3)+2+1+0+1+2+(20-n)=20(n-1)(n-1+1)2+(20-n)(1+20-n)2=20(n2-21n+210),當(dāng)且僅當(dāng)n=10或n=11時(shí)有Smin=20100=2000(米)答案:2000 本題實(shí)質(zhì)是在一個(gè)新背景下的數(shù)列求和問題.21.(2011年大綱全國卷,理20)設(shè)數(shù)列an滿足a1=0且11-an+1-11-an=1.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=1-an+1n,記Sn=k=1nbk,證明:Sn1.(1)解:11-an+1-11-an=1,11-an為等差數(shù)列且首項(xiàng)為11-a1=1,公差d=1,11-an=1+(n-1)1=n,an=1-1n.(2)證明:an=1-1n,bn=1-an+1n=1-1-1n+1n=n+1-nn+1n=1n-1n+1,Sn=k=1nbk=(11-12)+(12-13)+(1n-1n+1)=1-1n+11,Sn1.22.(2010年山東卷,理18)已知等差數(shù)列an滿足:a3=7,a5+a7=26,an的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn=1an2-1(nN*),求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的