第1課實數的概念及運算（教師版）

1、PAGE PAGE 10第1課 實數的概念及運算一、【考綱解讀】考 試 內 容了解理解掌握運用有理數有理數、相反數、絕對值數軸、有理數的大小比較有理數的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算實數平方根、立方根、算術平方根開方運算實數及其分類，實數與數軸，實數運算二次根式及其運算近似數與有效數字，科學記數法估算二、【命題規(guī)律】實數是中考必考知識點，在考查內容上，主要圍繞實數的有關概念。如：相反數、倒數、數軸、絕對值等，還有實數的分類、實數的大小比較和實數的混合運算。不僅考查概念的掌握情況，而且還考查運算能力。這些年又出現了給出結果由學生自行探究計算式結構等類型的開放性、創(chuàng)新性的題目。解決這類問題的

2、關鍵是準確無誤地理解與實數有關的概念，熟練掌握實數大小的比較方法、科學記數法以及實數的運算法則和技巧。三、【知識梳理】1實數的分類：整數(包括:正整數、0、負整數)和分數(包括:有限小數和無限環(huán)循小數)都是有理數. 有理數和無理數統(tǒng)稱為實數.2數軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫數軸實數和數軸上的點一一對應.。3絕對值：在數軸上表示數a的點到原點的距離叫數a的絕對值，記作a，正數的絕對值是它本身；負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0.4相反數：符號不同、絕對值相等的兩個數，叫做互為相反數a的相反數是-a，0的相反數是0.5有效數字：一個近似數,從左邊笫一個不是0的數字起,到最末一個數

3、字止,所有的數字,都叫做這個近似數的有效數字.6科學記數法： 如:407000=4.07105,0.000043=4.3105.7大小比較：正數大于0，負數小于0，兩個負數，絕對值大的反而小.8數的乘方：求相同因數的積的運算叫乘方，乘方運算的結果叫冪.9平方根：一般地，如果一個數x的平方等于a,即x2=a那么這個數x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0只有一個平方根，它是0本身；負數沒有平方根10開平方：求一個數a的平方根的運算，叫做開平方11算術平方根：一般地，如果一個正數x的平方等于a,即x2=a，那么這個正數x就叫做a的算術平方根，0的算術平方根是0

4、12立方根：一般地，如果一個數x的立方等于a,即x3=a，那么這個數x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正數的立方根是正數;負數的立方根是負數；0的立方根是013開立方：求一個數a的立方根的運算叫做開立方14有理數加法法則：同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；異號兩數相加，絕對值相等時和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；一個數同0相加，仍得這個數15有理數減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數16有理數乘法法則： 17有理數除法法則：兩個有理數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除； 0除以任何非0的數都得0；除以一個數等于乘以這個

5、數的倒數18有理數的混合運算法則：先算乘方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，先算括號里面的19有理數的運算律： 加法交換律：(a, b,為任意有理數) 加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c為任意有理數) 乘法法則：（1）交換律 （2） （3） 四、【基礎自測】1() ； ； QUOTE * MERGEFORMAT = ； QUOTE * MERGEFORMAT = 2如果“盈利10%”記為+10%，那么“虧損6%”記為（）A、16%B、6% C、+6%D、+4%3如圖，是一個數值轉換機.若輸入數為3，則輸出數是 .輸入數（ ）2-1（ ）2+1輸出數減去54定義一種運算，

6、其規(guī)則為ab= QUOTE * MERGEFORMAT QUOTE * MERGEFORMAT ，根據這個規(guī)則，計算23的值是（）A. B. C.5 D.65已知數軸上A、B兩點坐標分別為3、6，若在數軸上找一點C，使得A與C的距離為4；再找一點D，使得B與D的距離為1，則下列何者不可能為C與D的距離（）A、0B、2 C、4D、6五、【題型詳解】例1(2013南京)3的相反數是 ；3的倒數是 。答案：3；解析：負數的相反數為正數，絕對值相等，一個數的倒數是將原數分子與分母對換位置。變式：（2013常州）計算（3）= ，|3|= ，（3）1= ，（3）2= 考點：有理數的乘方；相反數；絕對值；有

7、理數的減法分析：根據相反數的定義，絕對值的性質，負整數指數冪，有理數的乘方的意義分別進行計算即可得解解答：解：（3）=3， |3|=3，（3）1=， （3）2=9故答案為：3；3；9點評：本題考查了相反數的定義，絕對值的性質，負整數指數冪，以及有理數的乘方的意義，是基礎題例2（2013曲靖）若a=1.9105，b=9.1104，則a b（填“”或“”）考點：有理數大小比較；科學記數法表示較大的數分析：還原成原數，再比較即可解答：解：a=1.9105=190000，b=9.1104=91000，19000091000，ab，故答案為：點評：本題考查了有理數的大小比較和科學記數法的應用，注意：科學

8、記數法化成a10n的形式，其中1a10，n是整數變式：（2013泰州）2013年第一季度，泰州市共完成工業(yè)投資22300000000元，22300000000這個數可用科學記數法表示為 考點：科學記數法表示較大的數分析：科學記數法的表示形式為a10n的形式，其中1|a|10，n為整數確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同當原數絕對值1時，n是正數；當原數的絕對值1時，n是負數解答：解：22 300 000 000=2.231010故答案為：2.231010點評：此題考查科學記數法的表示方法科學記數法的表示形式為a10n的形式，其中1|a|10，n

9、為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值例3（2013淮安）如圖，數軸上A、B兩點表示的數分別為和5.1，則A、B兩點之間表示整數的點共有（） A6 個 B5個 C4個 D3個考點：實數與數軸；估算無理數的大小分析：根據比1大比2小，5.1比5大比6小，即可得出A、B兩點之間表示整數的點的個數解答：解：12，55.16，A、B兩點之間表示整數的點有2，3，4，5，共有4個；故選C點評：本題主要考查了無理數的估算和數軸，根據數軸的特點，我們把數和點對應起來，也就是把“數”和“形”結合起來，二者互相補充，相輔相成，把很多復雜的問題轉化為簡單的問題，在學習中要注意培養(yǎng)數形結合的數學思想變式：（2

10、013菏澤）如圖，數軸上的A、B、C三點所表示的數分別是a、b、c，其中AB=BC，如果|a|b|c|，那么該數軸的原點O的位置應該在（）A點A的左邊 B點A與點B之間C點B與點C之間 D點B與點C之間或點C的右邊考點：數軸分析：根據絕對值是數軸上表示數的點到原點的距離，分別判斷出點A、B、C到原點的距離的大小，從而得到原點的位置，即可得解解答：解：|a|b|c|，點A到原點的距離最大，點B其次，點C最小，又AB=BC，原點O的位置是在點C的右邊，或者在點B與點C之間，且靠近點C的地方故選D點評：本題考查了實數與數軸，理解絕對值的定義是解題的關鍵例4（2013蘇州）計算：解答：解：=1+1+3

11、=3考點：實數的運算；零指數冪分析：按照實數的運算法則依次計算，注意：（1）3=1，（+1）0=1，=3點評：此題主要考查了實數運算，本題需注意的知識點是：負數的立方是負數，任何不等于0的數的0次冪是1變式：（2013菏澤）計算：解答：解：（1）原式=2+；考點：實數的運算；零指數冪；負整數指數冪；特殊角的三角函數值分析：求出每部分的值，再代入求出即可；點評：本題考查了二次根式的性質，零整數指數冪，負整數指數冪，特殊角的三角函數值六、【課后練習】基礎鞏固1（2013鹽城）如果收入50元，記作+50元，那么支出30元記作（）A+30 B30 C+80 D80解：收入50元，記作+50元，支出30

12、元記作30元故選B本題考查了正數和負數的知識，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，確定一對具有相反意義的量2（2013蘇州）|2|等于（）A2 B2 C D解：根據絕對值的性質可知：|2|=2故選A此題考查了絕對值的性質，要求掌握絕對值的性質及其定義，并能熟練運用到實際運算當中絕對值規(guī)律總結：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是03（2013曲靖）實數a、b在數軸上的位置如圖所示，下列各式成立的是（）A0 Bab0 Cab0 Dab0解：由圖可知，2a1，0b1，A、0，正確，故本選項正確； B、ab0，故本選項錯誤；C、ab0，故本選項錯誤； D、ab0，故

13、本選項錯誤故選A本題考查了實數與數軸，有理數的乘除運算以及有理數的減法運算，判斷出a、b的取值范圍是解題的關鍵根據數軸判斷出a、b的取值范圍，再根據有理數的乘除法，減法運算對各選項分析判斷后利用排除法求解4（2013南通）某市2013年參加中考的考生人數約為85000人，將85000用科學記數法表示為（）A8.5104 B8.5105 C0.85104 D0.85105解：85 000=8.5104故選A此題考查科學記數法表示較大的數的方法，準確確定a與n值是關鍵科學記數法的表示形式為a10n的形式，其中1|a|10，n為整數確定n的值是易錯點，由于85000有5位，所以可以確定n=51=45

14、（2013淮安）在1，02，1四個數中，最小的數是（）A1 B0 C2 D1解：在1，02，1四個數中，最小的數是2；故選C本題考查了有理數的大小比較，其方法如下：（1）負數0正數；（2）兩個負數，絕對值大的反而小6（2013常州）在下列實數中，無理數是（）A2 B3.14 C D解：A、2是有理數，故本選項錯誤； B、3.14是有理數，故本選項錯誤；C、是有理數，故本選項錯誤；D、是無理數，故本選項正確故選D主要考查了無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有：，2等；開方開不盡的數；以及像0.1010010001，等有這樣規(guī)律的數7（2013泰州）9的平方根是 解：3的平方是9，9的平方根

15、是3此題主要考查了平方根的定義，要注意：一個非負數的平方根有兩個，互為相反數，正值為算術平方根8（2013鄂州）若|p+3|=0，則p=3解：|p+3|=0，p+3=0，解得p=3故答案為：3本題考查了絕對值的性質，一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是09（2013鎮(zhèn)江）計算：（2）= 解：（2）=1；故答案為：1此題主要考查了有理數的乘法，關鍵是熟練掌握有理數的乘法法則，注意符號的判斷根據有理數的乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘，即可得出答案10（2013六盤水）H7N9禽流感病毒的直徑大約為0.0000000805米，用科學記數法表示為

16、 米（保留兩位有效數字）解：0.000 0000 805=8.051088.1108，故答案為：8.1108此題主要考查科學記數法的表示方法，以及用科學記數法表示的數的有效數字的確定方法11（2013臺灣）判斷之值會介于下列哪兩個整數之間？（）A22、23B23、24C24、25D25、26考點：估算無理數的大小分析：先算出與的積，再根據所得的值估算出在哪兩個整數之間，即可得出答案解答：解：=，又2425，之值會介于24與25之間，故選C點評：本題考查了估算無理數大小，掌握的大約值是解題的關鍵，是一道基礎題12（2011長沙）已知a，b20110，c(2)，求abc的值考點：實數的運算分析：因

17、為a3，b201101，c(2)2，所以原式3124解答：當a3，b201101，c(2)2時，原式3124點評：對于實數的簡單運算題，應熟練地掌握二次根式的化簡、絕對值的定義、負整數指數冪及零指數冪的意義、特殊角的三角函數值等知識，因是這類試題是中考的高頻考題，也大都是送分題，在中考試卷中屬于低檔題即容易題13計算（2013連云港）計算：解：=5+16，=0此題主要考查了實數運算，本題需注意的知識點是：負整數指數冪時，一定要根據負整數指數冪的意義計算，任何不等于0的數的0次冪是1 （2013南通）計算：解：=13=3主要考查了實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型解決此類題目的關鍵

18、是熟練掌握零指數冪、絕對值、二次根式等考點的運算。（2013宿遷）計算：解：原式=12+2=12+1=0本題考查實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型解決此類題目的關鍵是掌握零指數冪、負整數指數冪、特殊角的三角函數值等考點的運算 能力提升14（2013咸寧）在數軸上，點A（表示整數a）在原點的左側，點B（表示整數b）在原點的右側若|ab|=2013，且AO=2BO，則a+b的值為 解：如圖，a0b|ab|=2013，且AO=2BO，ba=2013，a=2b，由，解得b=671，a+b=2b+b=b=671故答案是：671本題考查了數軸、絕對值以及兩點間的距離根據已知條件得到a0b是解

19、題的關鍵15（2013濰坊）對于實數，我們規(guī)定表示不大于的最大整數，例如，若，則的取值可以是（ ）.A.40 B.45 C.51 D.56答案：C考點:新定義問題.點評:本題需要學生先通過閱讀掌握新定義公式，再利用類似方法解決問題.考查了學生觀察問題，分析問題，解決問題的能力.16(2013南京)計算：(1)()(1)()的結果是 。答案：解析：設x，則原式（1x）（x）（1x）x17（2013綿陽）把所有正奇數從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），現用等式AM=（i，j）表示正奇數M是第i組第j個數（從左往右數），如A7=（2，3），則A2013=（ ）A（45，77） B（45，39） C（32，46） D（32，23）解析第1組的第一個數為1，第2組的第一個數為3，第3組的第一個數為9，第4組的第一個數為1