統(tǒng)計學之機率概論與機率分配

1、授 課 目 錄質(zhì)量治理概講統(tǒng)計學概論機率概論及機率分配統(tǒng)計制程管制與管制圖計量值管制圖計數(shù)值管制圖制程能力分析允收抽樣的差不多方法計數(shù)值抽樣打算計量值抽樣打算量具之再現(xiàn)度與再生度質(zhì)量治理之新七大手法第三章 機率概論及機率分配3.1 集合論集合論(Set Theory)機率論(Probability)群體分配集合是元素的聚合，而元素是集合的單位。A=1, 2, 31, 2, 3為A集合的單位 1A無元素的集合存在，稱之為空集合，記做 或例 集合B=X|X2+6X+5=0求B=-1, -5元素和集合的關(guān)系A=1, 2, 31A； 4A集合和集合的關(guān)系子集關(guān)系：AB(A含于B或B包含A)即A中任一元

2、素均在B集合中可找到A=1, 2, 3B=1, 2, 3, 4ABBA等集關(guān)系：A=B(A等于B)即集合A與集合B中的元素完全相同A=0, 1B=X|X(X-1)=0A=BA=B對等關(guān)系：AB(A對等于B) 即集合A中每一元素可與集合B中的每一元素一對一對應關(guān)系合格品不合格品A集合合B集合合10A=0, 1B=合格品，不合格品集合之運算聯(lián)集運算：AB交集運算：AB去集運算：A-BABBA結(jié)合律：ABC=(AB)C=A(BC)交換律：AB =BA分配律：A(BC)=(AB)(AC)余集：設為全集，則-A稱之為A之余集，記作A，-A=AAA若AA=AA=(A)=A另A-B= A B分割：設為全集，

3、集合A、B均含于，當滿足(a)AB=(b) AB=時，則稱為A、B為上的分割。AB余集律：(AB)=AB(AB)=AB*符號講明：X：隨機變數(shù)，P：機率，p：不合格率p(x)：機率密度函數(shù)(離散型)f(x)：機率密度函數(shù)(連續(xù)型)F(x)：累積機率分配函數(shù)(連續(xù)型、離散型)EX = (期望值)，VX = 2 (變異數(shù)) ：母體平均值，2：母體變異數(shù)：樣本平均值，S2：樣本變異數(shù)*3.2 機率的概念機率論是現(xiàn)代統(tǒng)計學的基礎。機率是為了衡量不確定結(jié)果，而建構(gòu)出來的一種測度。其中差不多的概念為：機率空間(Probability Space)：系統(tǒng)中，集合所有可能出現(xiàn)的事件而構(gòu)成的一個抽象空間，通常以

4、表示。有時亦稱樣本空間(Sample Space)或結(jié)果空間(Outcome Space)。事件(Events)：系統(tǒng)中我們所要討論合理且可能發(fā)生的現(xiàn)象，是機率空間的差不多元素。隨機實驗(Random Experiment)：可能出現(xiàn)的結(jié)果有專門多種，重復實驗時無法明確預知得到什么結(jié)果的實驗方式。隨機變數(shù)(Random Variables)：定義在機率空間的一個量測機率的工具，通常以一個一對多的不確定函數(shù)表示。它對實驗的每一種結(jié)果指定一數(shù)值與之對應。或?qū)⑽淖謹⑹鲛D(zhuǎn)換成數(shù)字敘述(將實驗結(jié)果以數(shù)值表示，省略一一列出可能實驗結(jié)果的煩雜)。常以X表示之，且其結(jié)果常符合某一特定分配。函數(shù)系針對定義域與對

5、應域(值域)之間一對一或多對一的關(guān)系，即輸入某一數(shù)值就對應輸出另一數(shù)值，過程與結(jié)果均是確定的(Deterministic)。但當輸入一事件卻可能出現(xiàn)好幾種其它情況時，如擲一骰子對應的是可能出現(xiàn)6種情況，此即隨機變量。簡言之，隨機變量是一種多的廣義函數(shù)。實數(shù)值x(事件)之機率P(X=x)決定機率分配函數(shù)p(x)。范例、某品牌相同原子筆n支，內(nèi)有不合格品，某同學任意選1支，試寫出樣本空間？(合格品=G，不合格品=NG) = G，NG=21若以不格合品數(shù)目表示(隨機變量之概念，轉(zhuǎn)換成數(shù)字)X的可能值有0，1； = X|0，1；如x=1=NG(X：隨機變數(shù)表選得不合格品數(shù)；x：事件)范例、承上題，某同

6、學任意選2支，試寫出樣本空間? = (G，G)，(G，NG)，(NG，G)，(NG，NG) =22若以不格合品數(shù)目表示(隨機變量之概念，轉(zhuǎn)換成數(shù)字)X 的可能值有0，1，2；X = X|0，1，2如x=1=(G，NG)，(NG，G)范例、承上題，某同學任意選3支，試寫出樣本空間? = (G，G，G)，(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)，(G，NG，NG)，(NG，G，NG)，(NG，NG，G)，(NG，NG，NG) =23若以不格合品數(shù)目表示(隨機變量之概念，轉(zhuǎn)換成數(shù)字)X的可能值有0，1，2，3；X = X|0，1，2，3如x=1=(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG

7、，G，G)實驗檢驗真理，真理只有一個。然隨機實驗中，其產(chǎn)生之結(jié)果是不確定的(Uncertainty)。機率確實是衡量此不確定結(jié)果，而建構(gòu)出來的一種測度。如何決定機率值-決定機率值的方法(1)理論機率=古典機率=機會均等機率樣本空間內(nèi)有n()個元素，若事件A為之部份集合，含n(A)個元素，則事件A的機率為：P(A)= n(A)/ n()范例、承上題，某同學任意選1支，為不合格品之機率?n()=21事件= NGn(A)=1 P(A)= 1/ 2若以不格合品數(shù)目表示(隨機變量之概念，轉(zhuǎn)換成數(shù)字)X 的可能值有0，1； = X|0，1；則x=1=NGP(A)= n(A)/ n()P(x=1) =P(N

8、G)=1/2范例、承上題，某同學任意選2支，有1不合格品之機率?n()=22事件= (G，NG)，(NG，G)n(A)=2 P(A)= 2/22=1/2若以不格合品數(shù)目表示(隨機變量之概念，轉(zhuǎn)換成數(shù)字)X 的可能值有0，1，2；X = X|0，1，2x=1=(G，NG)，(NG，G) ； P(x=1) =P(G，NG)，(NG，G)= 2/4 =1/2范例、承上題，某同學任意選3支，有1不合格品之機率?n()=23事件=(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)n(A)=3 P(A)= 3/23=3/8若以不格合品數(shù)目表示(隨機變量之概念，轉(zhuǎn)換成數(shù)字)X的可能值有0，1，2，3；X

9、= X|0，1，2，3則x=1=(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)P(x=1) =P(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)= 3/8 計算理論機率的方法亦稱古典方法，此法依靠抽象的推理與邏輯分析，而不必進行實際的試驗。(2) 經(jīng)驗機率=客觀機率一隨機實驗重復試行n次，其中A事件共發(fā)生fA次，則A事件發(fā)生之機率可視為發(fā)生次數(shù)與總次數(shù)比：P(A)= fA/n當實驗的次數(shù)愈多，事件的相對次數(shù)比將愈趨穩(wěn)定；即P(A)=fA/n(3)主觀認定機率一事件發(fā)生之機率，常由人們對此事的經(jīng)驗，或心理的感受而決定。此機率較有爭議。機率公設在樣本空間中，事件A發(fā)生的機率記做P(A)，

10、機率必須符合以下公設：P()=1，P()=0P(A)0P(A)=1-P(A)，其中A=-A若B，P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)樣本空間計算差不多法則法則一(加法原理)：完成一件事有二種方式，第一種方式有n1種方法，第二種方式有n2種方法，則完成此事件共有n1+n2種方法。法則二(乘法原理)：完成一件事有k個時期，第一時期有n1種方法，第二時期有n2種方法，第k時期有nk種方法，則完成此事件共n1n2nk種方法。法則三：在n個不同事物中，任取r個予以組合，其方法有C(n, r)=n!/(n-r)!r!。范例、甲、乙二人擲骰子，約定甲擲出點數(shù)是1, 2時，甲可得2元；點數(shù)是3, 4時可

11、得4元；點數(shù)是5時可得10元；點數(shù)是6時，則甲需付給乙20元。令X表擲骰子后甲所得的鈔票，求X的機率分布?=1, 2, 3, 4, 5, 6；n() = 6X的可能值有2，4，10，-20；X=X|2, 4, 10, -20P(x=2) =P(1, 2)= n(A)/n() = 2/6 P(x=4) =P(3, 4)= n(A)/n() = 2/6P(x=10) =P(5)= n(A)/n() = 1/6P(x=-20) =P(6)= n(A)/n() = 1/6x2410-20p(x)2/62/61/61/6p(x) (x) p(x=2)1)p(x=4)p(x=10)p(x=-20)x=2x

12、=4x=10 x=-20范例、甲擲一枚銅板2次，令X表出現(xiàn)正面的次數(shù)，求X的機率分布?=正正, 正反, 反正, 反反；n() = 4X的可能值有0, 1, 2；X=X|0, 1, 2P(x=0) =P(反反)= n(A)/n() = 1/4 P(x=1) =P(正反, 反正)= n(A)/n() = 2/4P(x=2) =P(正正)= n(A)/n() = 1/4x012p(x)1/42/41/4p(x)p(x=0)p(x=1)p(x=2)x=0 x=1x=2上述二范例均為離散型數(shù)據(jù)系屬離散型隨機變量，即實驗結(jié)果其對應之數(shù)值只有可數(shù)的幾種可能值，且可一一列出此種情況，以機率P(X=x)決定機率

13、分配函數(shù)p(x)(離散型)。反之，連續(xù)型數(shù)據(jù)系屬連續(xù)型隨機變量，即實驗結(jié)果其對應之數(shù)值不能列出各種可能值，則以機率P(Xa)決定機率分配函數(shù)f(x) (連續(xù)型)。3.3 統(tǒng)計獨立與條件機率定義：統(tǒng)計獨立(Statistically Independent)在樣本空間中有兩事件A與B，若A發(fā)生的機率不受B阻礙，即P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與B為統(tǒng)計獨立。范例：(獨立無關(guān)聯(lián))愛足球不愛足球合計男648252900女7228100P(男)=900/1000=0.9；P(女)=100/1000=0.1=1-0.9P(愛足球)=(648+72)/1000=0.72P(不愛足球)=(252+

14、28)/1000=0.28=1-0.72P(男愛足球)=648/1000=0.648P(男不愛足球)=252/1000=0.252P(女愛足球)=72/1000=0.072P(女不愛足球)=28/1000=0.028由于P(男愛足球) =0.648= P(男) P(愛足球)P(男不愛足球) =0.252= P(男) P(不愛足球)P(女愛足球) =0.072= P(女) P(愛足球)P(女不愛足球) =0.028= P(女) P(不愛足球)定義：互斥事件(Disjoint Events)在樣本空間中有兩事件A與B，若其集合無共同元素，即AB= ，則稱事件A與B互斥。P(AB)= 0。定義：條件

15、機率在樣本空間中有兩事件A與B。在事件A已發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的機率稱為條件機率，以P(B|A)表示，則P(B|A)=P(B A)/P(A)。范例、擲一枚銅板2次，求2次均出現(xiàn)相同結(jié)果下，至少出現(xiàn)一次正面的機率?=正正, 正反, 反正, 反反；n() = 4A：2次均出現(xiàn)相同結(jié)果=正正, 反反；n(A)=2P(B|A) = P(B A)/P(A) = (1/4)/(1/2) = 1/2范例、甲到玉市購玉，已知某玉店的10塊玉中有4塊為膺品。甲欲買該店2塊玉，則2塊均為真品的機率?設A為第一塊玉為真品的事件，B為第二塊玉為真品的事件，則P(B A) = P(A) P(B|A)= (6/10)

16、*(5/9) = 1/3定理：貝氏定理設B1, B2,Bn為互斥事件，且事件A為含有各種事件Bi某種共同特性之任意事件。在事件A已發(fā)生情況下，則事件Bk發(fā)生之機率為P(Bk|A) = P(Bk)P(A|Bk)/P(Bi)P(A|Bi)范例、甲制造車廠有二條生產(chǎn)線B1 , B2，分不各占60%和40%的生產(chǎn)量。已知生產(chǎn)線B1有2%的不合格率，生產(chǎn)線B2有3%的不合格率，茲某人購買該車廠乙部車有瑕疵，則此車為生產(chǎn)線B1之產(chǎn)品的機率？B1= 0.6B2= 0.4A/ B1=0.02A/ B2=0.03P(B1) = 0.6，P(A| B1) = 0.02；P(B2) = 0.4，P(A| B2) =

17、 0.03P(B1) = P(B1)P(A| B1)/P(B1)P(A| B1)+P(B2)P(A| B2)=(0.6)(0.02)/(0.6)(0.02)+(0.4)(0.03)= 0.53.4 機率分配函數(shù)及其特征值機率分配函數(shù)(Probability Distribution Function)可了解事件在機率空間中，其密度分布的情況，或樣本在母體中出現(xiàn)的頻率的情形。機率分配函數(shù)通常指累積機率分配函數(shù)(cdf, Cumulative Probability Distribution) 以F(x)表示之，或機率密度函數(shù)(pdf, Probability Density Function)分

18、不以p(x)-離散型與f(x)-連續(xù)型表示之。機率分配之性質(zhì)x離散型： (1)0 p(xi) 1所有xi值(2)P(X = xi) = p(xi)所有xi值(3)p(xi) = 1所有xi值x連續(xù)型： (1)0 f(x)(2)P(a x b) =f(x)dx(3) f(x)dx = 1一個隨機變量X之累積機率分配函數(shù)F(x)定義為：F(x) = P(Xx)F(x)表示隨機變量X之值小于或等于x的機率。x1X x2時P(x1X x2) = F(x2)-F(x1)F(x)具有下列性質(zhì)F(x)是遞增函數(shù)，即若a b，則F(a) F(b)limx -F(x)=0,limx F(x)=1F(x)是右連續(xù)

19、函數(shù)擲1骰子2次，令隨機變數(shù)X為2次點數(shù)之和x23456789101112p(x)1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36F(x)1/363/366/3610/3615/3621/3626/3630/3633/3635/361P(5 X 9) = F(9) F(5) = 30/36 10/36 = 20/36平均值、變異數(shù)與期望值一個機率分配的平均值是其集中趨勢。其定義為 =xf(x)dx連續(xù)型 = xp(x) (所有x值)離散型亦可將平均值表示為隨機變量X的期望值(Expected Value)。其定義為 = EX =xf(x)dx連續(xù)型 =

20、EX = xp(x) (所有x值)離散型其中E代表為期望值運算子(Expected Value Operator)。一個機率分配的變異數(shù)是其離散趨勢。其定義為2= (x-)2f(x)dx連續(xù)型2 = (x-)2p(x) (所有x值)離散型亦可將變異數(shù)以期望值表示。其定義為2 = E(x-)2另變異數(shù)的使用亦可定義為變異數(shù)運算子(Variance Operator) V表示VX = E(x-)2= 2有關(guān)隨機變數(shù)X之平均值 與變異數(shù)2與常數(shù)c，則Ec = cEX = EcX = c EX = cVc = 0VX = 2= EX2 - 2VcX = c22EX1+X2 = EX1+EX2 = 1+

21、 2VX1+X2 = VX1 + VX2+ 2CovX1, X2其中 CovX1, X2 = E(X1-1)(X2-2)為隨機變數(shù)X1與X2之共變異數(shù)(Covariance)。如X1與X2是獨立的，則CovX1, X2=0。(9) VX1-X2 = VX1 - VX2+ 2CovX1, X2倘X1與X2是獨立的，則(10) VX1-X2 = VX1 + VX2= 21+ 22(11) EX1X2 = EX1 EX2 = 1 2一般而言，X1與X2是否獨立(12) EX1 / X2 EX1 / EX2范例：每天大型生日蛋糕銷售量(X)銷售量012345機率0.10.10.20.30.20.1EX

22、00.10.40.90.80.52.7EX200.10.82.73.22.59.3VX9.3 2.72 = 2.01范例：投資電子股股票的投資酬勞率(X)可能投資酬勞率-10-6515機率0.10.30.40.2EX-1-1.8232.2E2X + 32 EX+3 = 2*2.2 + 3 = 7.4EX21010.8104575.8V2X + 34(75.8 2.22) = 283.84習 題1、下列何種抽樣方法，抽樣作為可能群體誤差為最小(1)單純隨機抽樣法(2)系統(tǒng)抽樣法(3)分層隨機抽樣法(4)集體抽樣法(5)視情形。2、隨機數(shù)表 03 92 18 27 46 57 99 16 96 5

23、6 30，若在50件(編號0049)要抽5件時，則抽樣第5件之編號為( 16 )。3、進貨50件，系統(tǒng)抽樣，要抽5件，若第一件為編號3，則第四件之編號為（ 33 ）。4、 eq oac(,1)一班學生50人之重量(群體/樣本) eq oac(,2)一桶溶液取一杯量來分析，一杯量為(群體/樣本) eq oac(,3)每批中取30個量測尺寸(群體/樣本) eq oac(,4)100箱（當抽樣數(shù)為5）該箱可視為(無限群體/有限群體) eq oac(,5)30箱(當抽樣數(shù)為5時)該箱可視為(無限群體/有限群體)5、隨機數(shù)表 03 92 18 27 46 57 99 16 96 56 30，若在1000

24、件(編號000999)要抽五件時，則抽樣第3件之編號為( 274 )6、不良品A類10件，B類3件，C類6件，D類2件，E類4件，繪制柏拉圖，則于柏拉圖內(nèi)第三要項之累積不良比率( 80% )。A: 10/25=40%, B: 3/25=12%, C: 6/25=24%, D: 2/25=8%, E: 4/25=16%, (40+24+16)%=80%7、不良品A類10件，B類3件，C類6件，D類2件，E類4件，B類在百分比圖中之%為( 12 )。8、同上，扇形圖A類之圖心角度( 144 )。9、次數(shù)分配表之組中點為3.5，5.5，7.5，9.5，11.5試求組距( 2 ) 。10、直方圖向規(guī)格

25、上下限伸展時，表示 eq oac(,1)變異過大 eq oac(,2)平均數(shù)過小 eq oac(,3)平均數(shù)過大 eq oac(,4)變異過小 eq oac(,5)平均數(shù)過小，變異也變小。11、一組數(shù)字 1，4，7，9，Y 其R值10求Y。9-Y=10, Y=-1 or Y-1=10, Y=1112、23，21，22，20，X 平均值23求X。(23+21+22+20+X)/5 = 23, X=2913、1，3，5，7，9 求樣本變異數(shù)及樣本標準差。8, 2(2)0.514、某批取12個量測尺寸，其數(shù)據(jù)之特性必有(中位數(shù)/平均數(shù)/眾數(shù))。15、常態(tài)分配平均值3，標準差0.2，則2.63.4間之

26、次數(shù)約占全部次數(shù)之( 95.45 % )。16、和中心值無關(guān)統(tǒng)計量(標準差/平方和/R值/平均偏差/變異數(shù))。17、寫出1至30中可被5整除之集合。5, 10, 15, 20, 25, 3018、集合B=XX2+6X+5=0求B= -1, -5 19、A=1，3 B=3，5，6 C=1，3，5，8AB=1, 3, 5, 6 AB= 3 A-B=120、樣本空間=1，2，3，4 A=1，2 B=3A=3, 4 A-B=1, 2, (AB)=1, 2, 3=4, BA=33, 4=321、某公司有五架同型電視機，內(nèi)有二架故障，王小姐任意選擇二架，試寫出樣本空間=G G, G NG, NG G, N

27、G NG22、一批制品有4個良品，3個疵品，自其中抽取二個時，其樣本空間以不良品數(shù)目表示時，其樣本空間為G G, G NG, NG G, NG NG= X| 0, 1, 2。23、一銅幣，其出現(xiàn)正反面之機會相等，擲一銅幣二次，樣本空間以正面出現(xiàn)次數(shù)表示，樣本空間為正正, 正反, 反正, 反反=X| 0, 1, 2。24、某制程要操縱溫度，原料及水份，今考慮有4種水平的溫度，5種原料及2種不同水份，則制造方法共有( 4*5*2=40)種方法。25、7題是非題總共有幾種答法。26、求C(20，4)= 4845 ；C(100，3)=161700； C(100，97)=16170027、從10件制品送

28、驗批中，任取3件加以檢驗，選取的方法有多少種？C(10,3)=12028、五男三女選4人組成委員會，可能組成若干委員會(2男2女)。 C(5,2)*C(3,2)=30 29、撲克牌52張中，隨機取出4個，全部均為紅磚的機率(C(13,4)C(39,0)/C(52,4)=0.00264)。30、投一個六面骰子，出現(xiàn)偶數(shù)的機率= ( 1/2 )。31、投二個六面骰子，出現(xiàn)和大于10機率= ( 1/12 )。32、P(A-B)=0.4 P(AB)=0.7 求P(B)=？ P(B)=0.333、設A，B為互斥事件P(A)=0.4 P(B)=0.5 eq oac(,1)P(AB)=(0.9) eq oa

29、c(,2)P(AB)=( 0 ) eq oac(,3)P(A)=( 0.6 ) eq oac(,4)P(AB)=(0.5 ) eq oac(,5)P(AB)=( 0.4 )。34、P(A)=0.3， P(B)=0.4，P(AB)=0.7 則 P(AB)=( 0 )。35、P(A)=0.4 P(AB)=0.7 P(B)=Y 若A及B互斥事件則Y=(0.3 )36、P(ABCD)寫出上列公式。37、P(AB)=0.8 P(B)=0.6 P(A)=0.2 P(AB)=( 0 )。38、P(B)=0.6 P(AB)=0.4 P(AB)=(0.4/0.6= 2/3 )。39、A，B，C互斥事件，P(A)

30、=0.2 P(B)=0.4 P(C)=0.1求P(A(BC)=(0.5 )。=P(B C)=P(B)+P(C)-P(B C)= P(B)+P(C)=0.1+0.440、A，B，C互斥事件，P(A)=0.2 P(B)=0.4 P(C)=0.1 P(ACB)=(0.2+0.1)/0.6=1/2 )41、P(B)=0.6 P(AB)=0.4 P(AB)=( 2/3 )42、A，B二罐子，A罐裝50個甜糖果，40個酸糖果，B罐裝60個甜糖果，30個酸糖果，今拿出一糖果并試出其為甜者，試問此糖從A罐取出之機率為何？A：取A罐之事件 B：取B罐之事件； D：甜糖果之事件；甜糖果，從A罐取出之機率，即求P(

31、AD)=P(AD)/P(D)P(D)=P(AD)+P(BD)=P(A)P(DA)+P(B)P(DB)=(1/2*50/90+1/2*60/90=11/18 )P(AD)=P(AD)P(D)=(1/2*50/90)/(11/18)=5/11 )43、設A和B互相獨立，P(A)=0.4，P(AB)=0.9則 P(B)=( 5/6 )P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B)= P(A)+P(B)-P(B)P(A)0.9=0.4+ P(B)-0.4P(B) P(B)=5/644、A，B獨立P(A)=13 P(B)=12，A和B同時發(fā)生之機率=( 1/6 )45、P(A)=0.4 P(AB)=0.

32、7 P(B)=Y若A，B為獨立事件則Y=( 1/2 )P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B)= P(A)+P(B)-P(B)P(A)0.7=0.4+ P(B)-0.4P(B) P(B)=1/246、A打靶命中率0.9，B打靶命中率0.8，若P(A)=0.9 P(B)=0.8，P(AB)=( 0.72 )，則P(AB)=(0.9+0.8-0.8*0.9=0.98 )47、某校IQ平均值110，標準差9，契畢懈夫定理計算至少含3/4 IQ之區(qū)間。( 92, 128 )48、某校IQ平均值110，標準差9，謝比雪夫定理計算，(78.5，141.5)區(qū)間內(nèi)次數(shù)之%。( 91.8% )49、常態(tài)

33、分配平均值3，標準差0.2，則2.63.4間之次數(shù)約占全部次數(shù)之( 95.45% )。若未知其分配型態(tài)則2.53.5間之次數(shù)約占全部次數(shù)最少為( 84% )。50、致遠工管統(tǒng)計學期末考，到考學生100人，平均分數(shù)為55分，標準差為5分，試問考生分數(shù)在4070分間有幾人？(a) 謝比雪夫不等式，(b) 常態(tài)分配。51、假設隨機變異X之機率密度函數(shù)如下：，試求P(x 2)、EX，VX52、某天麻豆空氣污染指數(shù)是75，試問(a) 依馬可夫不等式求其空氣污染指數(shù)大于100之機率？(b) 已知標準差為5，依謝比雪夫不等式求其空氣污染指數(shù)大于50，小于100之機率？常用的機率分配與統(tǒng)計分配當獲得母體的樣本

34、數(shù)據(jù)時，須從各種機率分配當中，選擇出最接近該母體的機率分配，使樣本數(shù)據(jù)與母體參數(shù)有最佳的推論與檢定能力。常用的機率分配有：離散型與連續(xù)型二大類。3.5 離散型機率分配離散型機率分配(p)-常見有二項分配、卜氏分配、離散型均勻分配、超幾何分配。若一隨機實驗只有成功和失敗兩種結(jié)果，事件成功發(fā)生的機率為p，事件失敗發(fā)生的機率為1-p。令隨機變量x = 1代表成功的事件，x = 0代表失敗的事件，此稱隨機變量X服從白努依分配(Bernoulli Distribution)。x10P(x)p1-pEX1p0(1-p)VX=EX2-(EX)2p(1-p)p(x) = P(X=x) = px(1- p)1-

35、x二項分配(Binomial)-執(zhí)行n次白努利隨機試驗，事件成功發(fā)生的機率為p，事件失敗發(fā)生的機率為1-p。通常以隨機變量XB(n, p)表示。其機率密度函數(shù)與累積分配函數(shù)為：p(x) = C(n, x) px (1-p)n-x x =0, 1,n F(x) =C(n, k) pk (1-p)n-k其期望值與變異數(shù)為：EX = npVX =np(1-p) Excel : pp. 99-100, Bernoulli Distribution pp. 101-110, Binomial Distribution范例、致遠治理學院約有40%的學生喜愛打籃球，茲隨機機訪問1個學生，試問(a) 此學生喜

36、愛打籃球的期望值與變異數(shù)? (b) 隨機機訪問5個學生，此5個均喜愛打籃球的期望值與變異數(shù)? 有2個均喜愛打籃球的期望值與變異數(shù)? 至少有3個喜愛打籃球的期望值與變異數(shù)?SOL：公式、查表、Excel(binomdist(x,n,p,true)(a) 令隨機變量X代表喜愛棒與否，則(注意:N/Y)EX = p = 0.4 VX = p(1-p) = 0.24(b) 令隨機變量X代表喜愛棒的人數(shù)，則(注意:人數(shù))EX = np = 5* 0.4 = 2 VX = np(1-p) = 1.2P(X=2) = C(5,2)(0.4)2 (0.6)3 = 0.346/binomdist(2,5,0.4

37、,false)/P(X 3) = 1- P(X 2) = 0.317/1-binomdist(2,5,0.4,true)/范例、工管系期末考統(tǒng)計學出20題選擇題(4選1)，每題5分。某學生采完全以猜的方式作答，試問(a) 此學生答對數(shù)的期望值與變異數(shù)? (b) 此學生期末考統(tǒng)計學分數(shù)的期望值與變異數(shù)? (c) 此學生考及格的機率? (d) 此學生最多考40分的機率? SOL：公式、查表、Excel(a) 令隨機變量X代表此學生答對題數(shù)，則(注意:題數(shù))EX = np = 20* 1/4 = 5 VX = np(1-p) = 3.75(b) 分數(shù)期望值(注意:分數(shù))E5X = 5EX = 25

38、V5X = 25*3.75 = 93.75(c) 此學生須答對12題以上才能及格，因此，P(X 12) = 1- P(X 0F(x) = 1- e-x/其期望值與變異數(shù)為：EX= VX = 2范例、工管系進行迎新烤肉活動，地點是曾文水庫。歸來時大伙兒歡樂的走到候車亭等往麻豆的臺南客運。不巧，同學們剛到候車亭時，車子正好剛開走?？禈饭砷L看看站牌上寫著：往麻豆班車平均每20分鐘開一班。 (a) 同學們最多再等10分鐘之機率? (b) 超過30分鐘之機率?SOL：公式、查表、Excel令隨機變量X代表臺南客運到達時刻間距，XExp() = Exp(20)，則(a) F(x) = P(x 10) =

39、0.39/=expondist(10,1/20,true)/(b) P(x 30) = 0.2231/=1-expondist(30,1/20,true)/(3) 常態(tài)分配(Normal )應用最廣的機率分配，其貼切地模式化或描述專門多自然現(xiàn)象或社會科學實例。通常以隨機變數(shù)XN(,2)表示。其機率密度函數(shù)與累積分配函數(shù)為：-,0其期望值與變異數(shù)為：EX = VX = 2常態(tài)分配具有以下各項特性：是一以平均值為中心線，呈左右對稱鐘狀圖形的分配。愈大，分配偏離中心愈遠，曲線圖愈平緩。母體的平均值、眾數(shù)、中位數(shù)均相同值。機率分配函數(shù)圖形向曲線中心的兩端延伸，該漸趨近橫軸(即機率函數(shù)值遞減)。通常將其

40、XN(, 2)標準化。標準化過程是令Z=(X-)/則ZN(0, 1)，又稱Z分配。標準常態(tài)機率密度函數(shù),-x標準常態(tài)分配之期望值與變異數(shù)為：EX = 0,VX = 1范例、工管系期末考統(tǒng)計學成績，經(jīng)整理得知具有N(50,16)，試問成績于5060的人數(shù)，大概占所有參加考試人數(shù)的比例為多少? 公式、查表、ExcelSOL：令隨機變量X代表考試成績，其具有N(50,16)，則P(50 X 60) = P(50-50)/4 (x-50)/4(60-50)/4=0.494/=normdist(60,50,4,true)-normdist(50,50,4,true)/范例、工管系某品管實驗，經(jīng)整理資料得

41、知具有N(0.3,0.012)，老師規(guī)定此實驗規(guī)格應為0.30.02之間才合格。試問此實驗不合格的比率有多少?SOL：公式、查表、Excel令隨機變量X代表實驗數(shù)據(jù)，其具有N(0.3,0.012)，則P(0.28x0.32)=P(0.28-0.3)/0.01(x-0.3)/0.01(0.32-0.3)/0.01=0.9544/=normdist(0.32,0.3,0.01,true)-normdist(0.28,0.3,0.01,true)/(4) 伽瑪分配Gamma Distribution如隨機變量X，具有以下的機率密度函數(shù)，則該分配稱之為伽瑪分配：其中、是伽瑪分配的參數(shù)，其值均大于0。W

42、here the gamma function is defined as: 伽瑪函數(shù)將被運用到數(shù)個統(tǒng)計量分配-Chi-Square, t, F Distribution。3.7常用的統(tǒng)計分配母體樣本分配、參數(shù)統(tǒng)計量隨機抽取推 論檢定計算描述如何將樣本數(shù)據(jù)x1, x2,xn推估母體參數(shù)(, 2)，此種由抽樣資料推論母體的長像，統(tǒng)計上稱為統(tǒng)計推論。為了推論母體所服從的機率分配，即推論該機率分配的母體(,2)。從母體中抽取數(shù)個樣本，利用這些樣本組成所謂的樣本統(tǒng)計量，而樣本統(tǒng)計量所服從的機率分配則稱之為統(tǒng)計分配，亦稱抽樣分配(Sampling Distribution)。常用的統(tǒng)計分配有常態(tài)分配，t

43、分配，卡方分配，F(xiàn)分配等。統(tǒng)計推論的目的系利用樣本里的信息對母體作結(jié)論，所采之方法為隨機樣本，即倘母體有N個元素而抽出n個樣本，所有的C(N, n)個可能樣本中的每一個被選中的機率均相等，亦稱隨機抽樣(Random Sampling)。樣本統(tǒng)計量：集中趨勢統(tǒng)計量-平均數(shù)。離散趨勢統(tǒng)計量-變異數(shù)與標準差等。=(x1 + x2 + + xn)/n = (xi)/nS2=(xi-)2/(n-1)，(xi-)2：Sum Square)常用統(tǒng)計分配：(1)常態(tài)分配上述已定義過常態(tài)分配，要緊是用來講明隨機變量的分布狀況。而在統(tǒng)計應用上，常態(tài)分配是用來推論與檢定母體的特征值。如，以樣本平均值去推論，其中的統(tǒng)

44、計分配即常態(tài)分配。大數(shù)法則從同一母體隨機抽取出n個樣本，當n專門大時，則由樣本算出的樣本平均值會接近母體平均數(shù)，即 (n)(E= )中央極限定理19世紀法國學數(shù)家Pierre Simon de Laplace(1749-1827)所提出。他是從觀看到量測誤差有常態(tài)分配的趨向而得到此定理。樣本平均數(shù)大都趨近于常態(tài)分配。中央極限定理的精神：從任何以期望值，變異數(shù)2的母體中，隨機抽出n個樣本x1, x2,xn且x =x1+x2+xn，則樣本平均值將會趨近于標準常態(tài)分配。其中/n1/2稱之為標準誤(Standard Error)；2/n變異誤(Error Variance)。范例、致遠治理學院女學生平

45、均身高為160cm，標準差為9cm；茲隨機抽取36位女學生，試問平均身高大于160cm而小于162cm的機率有多少?公式、查表、ExcelSOL：令隨機變數(shù)代表隨機抽取36位的平均身高，即 =160,/ n1/2 = 9/(36)1/2=1.5，則P(160 162) = P(160-160)/1.5 (-160)/1.5(162-160)/1.5=0.4082/=normdist(162,160,1.5,true)-normdist(160,160,1.5,true)/范例、致遠治理學院學生選修科技與人生人數(shù)服從二項分配B(n, p= 0.07)，為了幸免選修該課程的人數(shù)過多，阻礙教學質(zhì)量，

46、倘選修的人數(shù)超過80人則開2班上課。試問本學期有1000人可選此門課，則此門課開2班上課的機率有多少? 公式、查表、ExcelSOL：令隨機變量X代表選修該課程的學生人數(shù)，則P(X80)=1-binomdist(79,1000,0.07,true)= 0.1207另應用中央極限定理，因EX=np=70、VX=np(1-p)=65.1，則P(X80)=P(X-70)/(65.1)1/2 (80-70)/(65.1)1/2=0.1075(2)卡方分配(Chi-Square)一個可用常態(tài)隨機變量來定義的重要的抽樣分配確實是卡方分配(2)。倘z1, z2,zk為k個獨立且相同分配的常態(tài)隨機變量，期望值

47、0且變異數(shù)1，簡記為NID(0,1)(Normally and Independently Distribution)，隨機變數(shù) x = z12+z22+zk2，即會依循自由度為k的卡方分配，其機率密度函數(shù)。通常以隨機變數(shù)X 2k表示?？ǚ綑C率密度函數(shù)，0 x The gamma function is defined as: 其期望值與變異數(shù)為：EX = kVX = 2k卡方分配是不對稱的統(tǒng)計分配，其對應的機率分配隨著自由度k而有所不同。假設x1, x2,xn是一個來自N(, 2)分配的隨機樣本。則其平方和除以2后就依循卡方分配。SS/2= (xi-)2/2= 2n-1另S2=(xi-)2/

48、(n-1) = SS/(n-1)= 2/(n-1)2n-1S2的分配為2/(n-1)2n-1。故樣本變異數(shù)的抽樣分配為一個常數(shù)乘以卡方分配。如下圖，卡方分配(k =1, 5, 15)假設隨機變量X 2n-1，定義2,n-1為自由度(n-1)之卡方分配其右邊(累積)機率等于的臨界值，即P(X 2n-1)= ，則P(X 21- /2,n-1)= 1- /2，及P(21- /2,n-1 X 2/2,n-1)= 1- = 0.1，/2 = 0.05，2/2= 20.05，21- /2= 20.95倘P(X 21- /2,n-1)= 1- /2，P(1- /2,n-12 X /2,n-12)= 1- 2

49、0.9520.0520.95請查表20.975,4，20.95,13，20.01,4，20.10,13。/=chiinv(0.975,4)/，/=chiinv(0.95,13)/=chiinv(0.01,4)/，/=chiinv(0.10,13)/20.1,6= 10.644620.05,10= 18.3070(3) t分配(Student)倘z與2k分不為獨立標準常態(tài)NID(0,1)與卡方分配，則隨機變數(shù)tk= z/(2k/k)1/2依循k個自由度的t分配，通常以t tk表示。t機率密度函數(shù)， - x 其期望值與變異數(shù)為：EX = 0，VX =k/(k-2)t分配與標準常態(tài)分配類似，其對應的

50、機率分配皆對稱于原點，尤其當樣本數(shù)n愈大時，t分配機率分配情形愈趨近于標準常態(tài)分配。假設x1, x2,xn是一個來自N(, 2)分配的隨機樣本，則 tn-1t分配最早由W. S. Gosset所發(fā)覺，因故用Student的筆名發(fā)表，又稱Student的t分配。如下圖，t分配(k = 1, 10, 100)假設隨機變量X tn-1，定義tn-1為自由度(n-1)之t分配其右邊(累積)機率等于 的臨界值，即P(X tn-1)= ，則P(X t/2, n-1)= /2，及P(-t/2, n-1 X t/2, n-1)= 1- = 0.1，/2 = 0.05，t/2 = t0.05= -t0.05，

51、倘P(X t/2, n-1)= /2，P(-t/2, n-1 X t/2, n-1)= 1- t0.05- t0.05 t0.05 請查表t0.1, 4，t0.05, 13，t0.01, 4，t0.025, 13。/=tinv(0.1*2,4)/，/=tinv(0.05*2,13)/=tinv(0.01*2,4)/，/=tinv(0.025*2,13)/ t0.1, 5 = 1.476/，/ t0.05, 10 = 18.3070/(4) F分配倘2u與2v分不為二個獨立卡方分配，則隨機變量Fu, v = (2u/u)/( 2v/v) 依循分子u個自由度、分母 個自由度的F分配，通常以F Fu

52、, v表示。F機率密度函數(shù)， 0 x 其期望值與變異數(shù)為：EX=u/(v-2), v2；VX= 假設分不來自二個不同母體的隨機樣本，各取樣本n1 , n2，其各不樣本變異為S21與S22則如下圖，F(xiàn)分配(u=4,v=10, 30;u=10,v=10, 30)假設隨機變量X，定義為自由度(n1-1, n2-1)之F分配其右邊(累積)機率等于 的臨界值，即P(X)= ，則P(X )= ，另請查表F0.1, 4, 10，F(xiàn)0.9, 10, 4，F(xiàn)0.025, 4, 10，F(xiàn)0.975, 10, 4 。 /=finv(0.1,4,10)/，/=finv(0.9,10,4)/=finv(0.025,4,

53、10)/，/finv(0.975,10,4)/F0.1, 4, 10 = 2.61/，/F0.9, 10, 4 = 0.383828/，(2.61=1/0.383828)/ F0.025, 10, 8 = 4.30/習 題1、當N=3000，n=100，c=1且=5%；=10%時， (AQL= )；其允收機率(以二項分配計算= ，以卜氏分配計算= )。另(LTPD= ) 其允收機率(以二項分配計算= ，以卜氏分配計算= )。2、假設AQL=0.1%，n=100，c=1，若不合格品率p =AQL=0.1%時，則生產(chǎn)者冒險率=( )。(2%)3、已知N=2000，n=80，c=2之選不型抽樣打算，

54、其允收機率(以二項分配計算= ，以卜氏分配計算= )。4、設N=1200， n=80 ，c=1，當p =0.1%時之允收機率Pa=( )。5、N = 10,000、n1=200、Ac1=2、Re1=6；n2=350、Ac =6、Re2=7，允收機率( (Pa) = 1 * ROMAN I = ；(Pa) = 2 * ROMAN II = )。6、設單次抽樣打算n=250，Ac=2，Re=3，若產(chǎn)品平均不合格率為1.0%，則長期檢驗結(jié)果，該產(chǎn)品被允收之機率約為多少(以二項分配計算= ，以卜氏分配計算= )。 7、 300個單位的批量中，抽取20件，此質(zhì)量約有1%的不合格品，若此抽樣發(fā)覺3件或超過

55、3件不合格品的機率 ( )。(2%)8、下述樣本(1.75，1.75，1.75，1.75，1.75，1.75)的標準差為何( )。9、丟二個銅板，若正面為1，反面為0，請完成下表，求變異數(shù)值Vx隨機變數(shù)x(x)EXVX01210、隨機變數(shù)x=1, 2, 3, 4，機率f(x)=ax，求a=( )，E(X)=( )，V(X)=( ) HINT：所有機率和=111、一批制品有4個合格品，1個疵品，自其中抽取1個，X表示取出為不合格品數(shù)目，求E(X)及V(X)？ 12、一項投資可能有3種結(jié)果獲利100元、獲利600元、損失400元，其機率各為0.2, 0.3, 0.5求投資者之期望所得。13、連續(xù)隨機變量X，在X= 0與2之間有一密度函數(shù)f(x)=ax，求a=( )，P(1X1.6)=( )，EX=( ) VX=( )14、 E(X)=1，E(X2