建模典型實例詳解講義

1、 第三章一. 基本概念：因為人類所從事的一切生產或社會活動均是有目的的，其行為總是在特定的價值觀念或審美取向的支配下進行的，經常面臨求解一個可行的甚至是最優(yōu)的方案的決策問題?？梢哉f，最優(yōu)化思想是數學建模的靈魂。而最優(yōu)化方法作為一門特殊的數學學科分支有著廣泛的實際應用背景。典型的最優(yōu)化模型可以被描述為如下形式：其中表示一組決策變量，通常在實數域內取值，稱決策變量的函數為該最優(yōu)化模型的目標函數；為維歐氏空間的某個子集，通常由一組關于決策變量的等式或不等式刻畫，形如：這時，稱模型中關于決策變量的等式或不等式、為約束條件，而稱滿足全部約束條件的空間中的點為該模型的可行解，稱，即由所有可行解構成的集合為

2、該模型的可行域。稱為最優(yōu)化模型的（全局）最優(yōu)解，若滿足：對均有，這時稱處的目標函數值的為最優(yōu)化模型的（全局）最優(yōu)值；稱為最優(yōu)化模型的局部最優(yōu)解，若存在，對，均有。（全局）最優(yōu)解一定是局部最優(yōu)解，但反之不然，其關系可由下圖得到反映：上圖為函數在區(qū)間上的一段函數曲線（由Mathematica繪制），如果考察最優(yōu)化問題，從圖中發(fā)現它有三個局部最優(yōu)解、，其中是全局最優(yōu)解，最優(yōu)值為“”。二. 最優(yōu)化問題的一些典型的分類：優(yōu)化方法涉及的應用領域很廣，問題種類與性質繁多，根據不同的原則可以給出不同的分類。從數學建模的角度，對最優(yōu)化問題的一些典型分類及相關概念的了解是有益的。根據決策變量的取值類型，可分為函數

3、優(yōu)化問題與組合優(yōu)化問題，稱決策變量均為連續(xù)變量的最優(yōu)化問題為函數優(yōu)化問題；若一個最優(yōu)化問題的全部決策變量均離散取值，則稱之為組合優(yōu)化問題。比方一些最優(yōu)化問題的決策變量被限定只能取整數值，即為組合最優(yōu)化問題，這類優(yōu)化問題通常被稱為整數規(guī)劃問題，另外大多網絡規(guī)劃問題屬于組合最優(yōu)化問題。當然，也有許多應用問題的數學模型表現為混合類型的，即模型的部分決策變量為連續(xù)型的，部分決策變量為離散型的；另外當談論一個最優(yōu)化問題是函數優(yōu)化問題還是組合優(yōu)化問題時，還需結合我們對這一問題的思考方式來進行確定，比方后面介紹的線性規(guī)劃問題的求解，既有將其作為一個組合優(yōu)化問題而開發(fā)的算法，也有將其作為一個函數優(yōu)化問題而開發(fā)

4、的算法；另外的一種分類方式是根據問題中目標、約束條件函數的形式或性質來加以劃分的：若一個最優(yōu)化問題的目標、約束條件函數均為決策變量的線性函數，則稱之為線性規(guī)劃問題，否則稱之為非線性最優(yōu)化問題。線性規(guī)劃問題的研究，理論和方法都已發(fā)展的相當成熟，方法被廣泛應用于生產和管理等領域；而對非線性最優(yōu)化問題，根據建模和算法設計的需要還有更進一步的分類；在生產、經濟與管理等領域中遇到的大量最優(yōu)決策問題，對一個方案的評價是多角度多指標的，反映在數學模型中，優(yōu)化的目標是關于決策變量的一個函數組，我們稱之為多目標規(guī)劃問題。比如導彈的設計，既要其射程遠，又要消耗燃料少，還要命中率高等；又如選擇新廠的廠址，除了要考慮

5、地價、原料采購的運費等經濟指標外，還需考慮對環(huán)境的污染等社會因素。三. 最優(yōu)化問題最優(yōu)解的一階必要條件：這里對形如 的最優(yōu)化問題的一階必要性條件作簡單介紹，它一方面可以將最優(yōu)化問題和方程組問題做某種形式的聯(lián)系，另一方面它在最優(yōu)化問題數值求解算法的設計有重要的意義。定理：設為最優(yōu)化問題的（局部）最優(yōu)解，若滿足：、在均可微；、分別表示、在的梯度向量，向量組線性無關；則，滿足：；對于，均有且。例、求解如下非線性規(guī)劃:。解：目標函數的梯度向量（函數）為，而約束條件相當于有三個：、，它們分別對應梯度向量（函數）、；令、并要求。解之得四組解：；計算每個點的目標函數值，發(fā)現為（全局）最優(yōu)解，最優(yōu)目標函數值為

6、。特別，對于無約束最優(yōu)化問題，其一階最優(yōu)化條件如下：定理：設為最優(yōu)化問題的（局部）最優(yōu)解，若在均可微，則在的梯度向量為零向量，即。3.2 無約束最優(yōu)化方法 在這里我們只是對一些典型的最優(yōu)化算法作簡單介紹，以期那些初次接觸數值計算方法的學習者能對最優(yōu)化算法的設計思想有概貌性了解，能編寫一些簡單的最優(yōu)化算法以處理學習中遇到的問題。而希望對最優(yōu)化方法有更深入的學習或者欲處理相對復雜的最優(yōu)化問題，需要參考更為專門的書籍或借助有關數學軟件。一一維搜索：0.618法（黃金分割法）：設單變量函數在區(qū)間上有定義，若存在一點，使得在區(qū)間上嚴格單調減，在區(qū)間上嚴格單調增，則稱是區(qū)間上的（下）單峰函數。顯然是在區(qū)間

7、上的唯一的極小值點。對（下）單峰函數，有如下基本性質：性質1：設是區(qū)間上的（下）單峰函數，是在區(qū)間上的唯一的極小值點，對任意，若，則必有；性質2：設是區(qū)間上的（下）單峰函數，是在區(qū)間上的唯一的極小值點，對任意，若，則必有；若，則必有。根據（下）單峰函數所具有的性質，對在某區(qū)間上的（下）單峰函數可采用法（黃金分割法）進行搜索其在區(qū)間內的極小值點。方法只需計算函數值，用途很廣。0.618法：這里設為區(qū)間上的單峰函數，（即黃金分割數，算法由此得名），步1：令，以及精度要求；步2： 若，輸出：為近似最優(yōu)解，為近似最優(yōu)目標函數值，停止；步3： 若，轉步2；步4：，轉步2；易知，按照如上算法，每次迭代，只

8、需計算一個點的函數值，均使解的存在區(qū)間以 的比率縮?。欢谒泄潭ǚ謩澅鹊膮^(qū)間分割法中，以上特點為黃金分割法所獨有，其余，每次迭代，需計算兩個點的函數值。從計算相同的函數值數目而使最優(yōu)解的存在區(qū)間長度所能達到的縮小比率考慮，黃金分割法在所有固定分劃比的區(qū)間分割法中是最優(yōu)的，這里將黃金分割法連續(xù)迭代兩次，最優(yōu)解的存在區(qū)間長度所能達到的縮小比率為，而其它所有具有固定分劃比的區(qū)間分割法每次迭代所達到的縮小比率小于。因此黃金分割法在所有固定分劃比的區(qū)間分割法中是最優(yōu)的。例：用法求解，解的初始存在區(qū)間取，這里要求在近似解的誤差不超過。解：用0.618法編程求解，經29步迭代，得該問題的近似解及其目標函數

9、值為。牛頓法與拋物線法：在所有函數中，討論二次多項式函數的極?。ù螅┲祮栴}最為典型。對一元二次多項式，當時，易知是無約束最優(yōu)化問題的最優(yōu)解。而對一般函數最優(yōu)解的求解，可以利用對一些點處目標函數的函數值、一階或二階導數值構造目標函數在一點局部或者在一定范圍內的二次多項式逼近模型，以逼近模型的最優(yōu)解作為求解原最優(yōu)化問題的一個迭代點。稱這類方法為（二次）插值法。對一元函數，二次多項式逼近模型的建立通常有四種方式：其一是利用函數在一點處函數值、一階及二階導數值；其二是利用三個不同點的函數值；其三是利用兩個不同點的函數值以及它們中一點的一階導數值；其四是利用兩個不同點的一階導數值以及它們中一點的函數值。

10、這里只介紹前兩種，而稱基于第一種方式構造的算法為牛頓法，稱基于第一種方式構造的算法為拋物線法。設為的某算法的迭代點列，在牛頓法中，迭代公式采用：而在拋物線法中，迭代公式采用：當函數具有比較好的解析性質時，牛頓法與拋物線法通常比法的效果更好。例：分別用牛頓法、拋物線法求解，在選用牛頓法時初始點取，在選用拋物線法時初始點取且服從均勻分布的一組隨機數，這里要求在近似解處一階導數的絕對值不超過。解：用牛頓法編程求解，經29步迭代，得該問題的近似解及其目標函數值為以下為整個迭代點列：用拋物線法編程求解，經22步迭代，得該問題的近似解及其目標函數值為以下為整個迭代點列：二多元函數的無約束最優(yōu)化方法：對于多

11、元函數的無約束最優(yōu)化問題的數值求解，這里只介紹“最速下降法”和“牛頓法”。前者體現了“一維搜索”在多元函數的最優(yōu)化問題數值求解中的應用，同時也是下降算法中最典型的代表；而后者，可以被視為一元函數最優(yōu)化問題的牛頓法求解的推廣，其每一步基本迭代均采用在當前迭代點處的二階Talor展式作為原目標函數的一個局部逼近模型進行求解。1最速下降法：設為的某算法的迭代點列，為目標函數在點處的負梯度方向，迭代公式采用：這里，步長因子為（一元函數）最優(yōu)化問題的（近似）解，可采用一維搜索進行求解。例：用最速下降法求解，初始點取，這里要求在近似解處目標函數梯度的模不大于。解：用最速下降法編程求解，經28步迭代，得該問

12、題的近似解及其目標函數值為以下為整個迭代點列：2牛頓法：設為的某算法的迭代點列，為目標函數在點處的梯度向量，為目標函數在點處的Hessian矩陣，牛頓法的迭代公式采用：特別當正定時，為的解。例：用牛頓法求解，初始點取，這里要求在近似解處目標函數梯度的模不大于。解：用牛頓法編程求解，經12步迭代，得該問題的近似解及其目標函數值為以下為整個迭代點列：第四章: 存貯模型4.1 不允許缺貨的確定性貯存模型工廠要定期地訂購各種原料，存放在倉庫里供生產之用。商店要成批地購進各種商品，放在貨柜中以備零售。水庫在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航運。不論是原料、商品，還是水的貯存，都有一個貯存多少的問題。原料、商品

13、存得太多，貯存費用（比方倉庫租賃費、資金占用須支付銀行的信貸費用等）高；存得太少則無法滿足需求。在此我們設想是在為一個商店老板制定一個好的進貨策略。模型假設：假設商店經營的商品單一，顧客對該物品的需求量在時間上保持恒定，即在任何時刻，單位時間（每天）對物品的需求量恒為（噸）；商店采用周期進貨策略：每隔時間（天）進貨（噸）；且假設每次進貨是在存貨全部售出后即刻進行，不允許缺貨，即；每次進貨需支付訂貨費（等一次性費用），在正常期間，還需支付貨物的貯存費用，單位時間（天）單位（噸）貨物需支付貨物的貯存費用； 以表示在時刻該貨物的存量；模型建立根據假設，不難得到如下最優(yōu)化問題：可以進一步化簡，得，即本

14、模型本質上只有一個獨立的決策變量，其中目標函數表示在進貨周期為時，商店在單位時間（每天）承擔的平均費用。模型求解令，即，得最優(yōu)的進貨周期，進而得每次的進貨量（即經濟理論中著名的經濟訂貨批量公式）。點評從模型的解可以發(fā)現，當訂貨費越高，需求量越大時，一次訂貨量應越大；當貯存費越高，一次訂貨量應越小。這些關系是符合常識的，但僅憑常識是不能得到準確的依從關系。4.2 允許缺貨的確定性貯存模型 我們經常遇到這樣的情形：當我們到一家商店中購買一件物品時，被店員告知該物品缺貨在本節(jié)我們討論一個允許缺貨的確定性貯存模型，和前面介紹的不允許缺貨的確定性貯存模型相比，容易發(fā)現當一家商店由于缺貨而支走顧客而失去銷

15、售機會，從而使利潤減少；減少的利潤可以視為因缺貨而付出的費用，因此在建模時引入“缺貨費”。模型假設：假設商店經營的商品單一，顧客對該物品的需求量在時間上保持恒定，即在任何時刻，單位時間（每天）對物品的需求量恒為（噸）；商店采用周期進貨策略：每隔時間（天）進貨（噸）；且假設每次進貨是在存貨全部售出之后進行，允許缺貨，即；每次進貨需支付訂貨費（等一次性費用），在正常期間，還需支付貨物的貯存費用，單位時間（天）單位（噸）貨物需支付貨物的貯存費用；在缺貨期間需對由于錯失銷售機會而承擔損失，每天單位時間（天）單位（噸）貨物需支付缺貨費；以表示在時刻該貨物的存量，當時表示缺貨量；模型建立根據假設，不難得到

16、如下最優(yōu)化問題：可以進一步化簡，得，即本模型有兩個獨立的決策變量、，其中目標函數表示在進貨周期為、進貨量為時，商店在單位時間（每天）承擔的平均費用，為、的一個二元函數。模型求解令，解之可得最優(yōu)的進貨周期，進而得每次的進貨量。點評將本模型的解和前面一節(jié)不允許缺貨的模型的解進行比較，發(fā)現進貨周期變長，而一次進貨量卻有所減少，即確實存在一段時間，商店是處在缺貨狀態(tài)下的。如果我們關心的是一家有盈利的商店，其盈利的源泉在于銷售收入，即其盈利行為發(fā)生在有貨供應的時段內，而在缺貨期內只能錯失銷售機會，因此，定性判斷，若以一次進貨量取，商店將進貨周期縮短到，其盈利會增加。即對經營單一商品的以盈利為目的的商店不

17、應當允許缺貨。這與本模型及其解答存在矛盾，問題發(fā)生在什么地方？在追求利潤最大化與成本最小化之間是有差別的，前者是一種積極的經濟行為目標，后者相對消極，只有假定總的銷售收入（產值）相同時，二者才是等價的；如果在假定二者一致的前提下，若，即可得要么不允許缺貨，要么永不進貨（即放棄經營該產品）的結論在自由市場的條件下，這樣的結論更為實用，而本節(jié)模型及其解答只有當商家在對一種商品的經營具有壟斷地位時才有實用意義。在自由市場的條件下，人們在日常生活中遇到某些商品在某家商店缺貨的現象，本節(jié)模型是不能給出回答的，而其原因在于通常的商店經營的商品并非單一，顧客的流量是有很大隨機性的。讀者可以試著考慮在假定顧客

18、的需求量確定的前提下，同時經營兩種以上商品的最優(yōu)進貨策略問題。4.3 隨機貯存模型報童的訣竅前面討論了兩個確定性的貯存模型，即假定顧客對某種商品的需求量是準確預測的前提下給出的，而實際的情形遠為復雜顧客對某種商品的需求量是服從某些規(guī)律的隨機變量，因此應當有區(qū)別于前面兩個模型的處理方法。一 模型假設考慮一種報紙的買進，假定某個報童在某個街區(qū)賣報，而該街區(qū)居民在一天中對這份報紙的需求量是隨機的。表示隨機變量的概率密度函數（即假定該種報紙的需求量通常是一個比較大的量，可以視之為一連續(xù)變量；若視為離散變量處理，以表示居民在一天中對這份報紙的需求量為時的概率）；報童在每天早晨以價格買進份報紙，以價格賣出

19、，經過一天出售，將剩余報紙以價格退給報商，通常。二 模型建立影響報童一天的利潤有兩個因素：，當取定，報童一天的利潤，因為是一隨機變量，因此同樣是一隨機變量，按照期望值準則，可得當報童在早晨購進份報紙其可以獲得的利潤的期望值：將之作為決策變量的目標函數，最大化即構成報童賣報的最優(yōu)化模型。三 模型求解令，可得最優(yōu)性條件為?？梢匀缦吕斫猓?、分別為一份報紙在賣出時所得利潤和在賣不出去時所受損失；、分別表示顧客對報紙的需求量不足和超過的概率，假設購進份報紙是最優(yōu)的，那么考慮購買份報紙，多增加的那一份報紙所能給報童帶來利潤與損失從數學期望的角度將是“接近”相等的。讀者可以給出視為離散變量處理時，模型的描述

20、與模型解的最優(yōu)性條件。4.4 隨機貯存模型策略 由于顧客對一種商品的需求是隨機的，因此在實際生活中，還有一種進貨策略策略被廣為采用：商店老板每隔一定時間要對商品的存貨進行清點，只有當存貨數量不足時才決定進貨，且一次進貨的訂貨量取與當前存貨數量的差值。一 模型假設假設商店經營的商品單一，商店采用周期進貨策略：每隔一定時間，比方一周，商店老板要對商品的存貨進行清點，以決定是否進貨。只有當存貨數量不足時才決定進貨，且一次進貨的訂貨量取與當前存貨數量的差值，表示進貨量；顧客在一周時間內對該物品的需求量是一隨機變量，表示隨機變量的概率密度函數；商店在一周可能支付的費用有：每次的訂貨費，其取值與進貨數量無

21、關；每件商品在一周的貯存費。、分別表示一件商品的購進價格和售出價格；商店在一周的銷售活動全部集中在一周的周初，因此商店須為剩余商品支付一周的貯存費用；二 模型建立首先考慮的確定，設當前存貨數量，且決定進貨，這時進貨數量成為決策變量。和報童賣報一樣，的取值應當在期望值的意義上使得利潤最大化。為進貨數量取，而需求量為時商店在下周的利潤。取其數學期望，得：若記，則。三 模型求解令，得最優(yōu)性條件： ，其經濟意義和對報童購報的訣竅導出的最優(yōu)性條件的解釋是類似的，不在贅述。我們也直接從最優(yōu)性條件獲得，不論當前存貨數量取何值，只要決定進貨，那么最優(yōu)的訂貨量總是使得下期起初的貨物量達到確定的值： ，即應滿足。

22、按照前面的進貨策略，根據當前存貨數量，要么選擇進貨，這時下周銷售利潤的期望；要么選擇不進貨，這時下周銷售利潤的期望。顯然，若時，應當選擇不進貨。如圖所示，函數在上通常為一單峰曲線，可得，也即關于變量方程在內的解。四 點評在本章涉及的四個貯存模型均被歸結為最優(yōu)化問題，或成本最小化，或利潤最大化，這并非偶然，因為人類所從事的一切生產或社會活動均是有目的的，其行為總是在特定的價值觀念或審美取向的支配下進行的，因此，當可行方案不唯一的前提下，總是在某中評價指標下選擇最優(yōu)的方案?？梢哉f，最優(yōu)化思想和方法是數學建模的靈魂。另外，在兩個隨機性模型分析中，目標函數選擇利潤函數，其避免了在“允許缺貨的貯存模型”

23、討論中的許多含糊的地方。第五章 幾個經濟模型5.1 實物交換模型一 問題分析與模型假設:討論甲、乙雙方，限于A、B兩種物品；以、分別表示甲方、乙方擁有A、B兩種物品的量，以、分別表示甲方、乙方相應的滿意程度，稱之為滿意度函數；以、分別表示甲方、乙方在交易前擁有A、B兩種物品的量。二 模型建立：顯然甲、乙雙方均希望通過交易以得到更大的滿意度，即從甲方的角度，應極大化，從乙方的角度，應極大化，當然還應考慮一些約束條件，我們一并歸結為如下多目標最優(yōu)化問題：三 模型求解：作定性的分析，滿意度函數、應具有如下性質：滿意度函數連續(xù)、非負，且對各自變量單調遞增，即；考察滿意度函數的等值線（族），這里稱之為甲

24、方的無差別曲線（族），應滿足：對不同的二常數，無差別曲線與不交；若將視為一隱函數，變量對于變量單調遞減；曲線為下凸的，即在通常情況下，人們當在擁有一種物品（A）的量相對多時，傾向以較多的這種物品（A）來換取較少的另一種物品（B）。而滿足如上特點的函數類有很多，比如（其中為參數）、（其中為參數）、（其中為參數）等。進而可得，問題的一個有效解須滿足的必要條件：，；，即；，。所有有效解構成一段有限曲線段，稱之為交換路徑。5.2 經濟增長模型問題：大到一個國家的國民產值，小到一個企業(yè)中某種產品的生產量，其值通常取決于相關的生產資料和勞動力等重要因素。而這些量之間究竟存在何種依賴關系，進而勞動生產率提高

25、的條件是什么？一 模型假設生產量，只取決于兩個重要因素：生產資料（廠房、設備、技術革新等）和勞動力（數量、素質等），即；另外，這幾個量又是隨著時間的變化而不斷改變的，因此也把它們視為時間的函數：、，在勞動生產率增長的條件的討論中，服從指數增長規(guī)律，相對增長率為常數，而的增長率正比于生產量，即將按照某一固定比率用于生產（資料）性擴大再生產投資；勞動生產率可由生產量與勞動力之比來表征。定性分析，關于均單調增，即二 模型建立與求解道格拉斯（Douglas）生產函數在附表中美國馬薩諸塞州18901926年生產資料指數、勞動力指數與總產量指數的一組統(tǒng)計數據，取1899年為基年，即，以此為參照，也許我們很

26、難直接從表上發(fā)現什么，但若定義，并作的散點圖，發(fā)現基本上服從正比例關系，利用數據擬合，可得。這一結果并非偶然，事實上它被后來更多地區(qū)或國家的統(tǒng)計數據所肯定：存在常數，。當然常數取值通常和相應地區(qū)或國家的經濟發(fā)展階段以及主要產業(yè)類型等因素有關。 進而可得：，即（這里），它是著名的Cobb-Douglas生產函數。由此不難得到，即生產量、生產資料和勞動力三者的相對增長率服從簡單的線性規(guī)律。其中系數分別為產量對勞動力、生產資料的彈性系數，說明產量增長主要靠勞動力的增長；說明產量增長主要靠生產資料的增長。附表：美國馬薩諸塞州18901926年數據-90.950.780.7241.221.221.301

27、73.611.862.09-80.960.810.7851.271.171.30184.101.931.96-70.990.850.8461.371.301.42194.361.962.20-60.960.770.7371.441.391.50204.771.952.12-50.930.720.7281.531.471.52214.751.902.16-40.860.840.8391.571.311.46224.541.582.08-30.820.810.81102.051.431.60234.541.672.24-20.920.890.93112.511.581.69244.581.822.

28、56-10.920.910.96122.631.591.81254.581.602.3401.001.001.00132.741.661.93264.581.612.4511.041.051.05142.821.681.95274.541.642.5821.061.081.18153.241.652.0131.161.181.29163.241.622.00勞動生產率增長的條件：根據模型假設，勞動生產率，其持續(xù)增長的條件應為恒成立。考慮我們討論的幾個主要經濟變量通常均恒取正值，故可以等價地用勞動生產率的相對增長率來刻劃。將代入，得，兩邊同時取對數，然后對求導，可得：令之恒取正值，得等價條件：恒

29、成立，即對生產資料投入的相對增長率恒大于勞動力的相對增長率。同樣根據模型假設，、為如下初值問題的解，得，。因此，就這一具體經濟增長模式，其恒取正值的充分必要條件為，其經濟意義為：只要在初始時，對生產資料的相對增長率大于勞動力的相對增長率，就能保證勞動生產率的不斷增長，反之，勞動生產率只會不斷降低。三點評在本文中Cobb-Douglas生產函數的給出，是通過對大量統(tǒng)計數據分析的基礎上得到的。統(tǒng)計分析方法是一類重要的數學建模途徑：首先對一些變量或他們的導出變量之間的關系，根據統(tǒng)計數據作定性的分析判斷，比方文中提及的借助對一些變量統(tǒng)計數據的散點圖的直觀表現作定性分析，然后在用數據擬合等方法給出相應變

30、量間的具體函數依賴關系。另外一類建模方法這里稱之為機理分析方法，盡管一些變量間的依賴關系難于把握，但它們的某些導出變量之間所服從的規(guī)律卻是相對簡單的，比方一些變量的變化率、相對變化率等。這樣，我們通常首先得到的是我們所關心的變量的一些微分方程（組）或積分方程（組），然后通過解析的或數值的方法給出具體的解，這樣的例子可參考幾個人口增長模型的建立。另外，盡管Cobb-Douglas生產函數的導出在本文中介紹的是采用統(tǒng)計分析方法的途徑，但對其最終形式的表現，我們注意到有如下特點：其中，且。若用財富的單位來統(tǒng)一考察生產量、生產資料和勞動力等三個量，生產函數的形式符合量綱齊次原則。量綱分析是20世紀初被

31、提出的在物理領域中建立數學模型的一種方法，而其方法的核心思想量綱齊次原則，要求當用數學公式表示一個物理定律時，等號兩端必須保持量綱一致。事實上，對經濟增長條件的討論，后來學者的研究工作對生產值（量）的影響因素已不局限于只對生產資料和勞動力兩個量的考慮，而是將像對科技進步、對教育的投入等比較重要的量作為獨立的生產要素加以討論，所用模型是對Cobb-Douglas生產函數的擴展，而上述量綱齊次原則被先驗地利用起來。5.3 多人合作分益模型與公理化方法建模問題：設想n個人從事某項經濟活動, 對于他們之中若干人組合的每一種合作 (特別, 單人也視為一種合作), 都會得到一定的效益, 當人們之間的利益是

32、非對抗性的, 合作中人數的增加不會引起效益的減少, 這樣, 全體n個人的合作將帶來最大效益. n個人組成的集合及各種可能合作的效益就構成n人合作對策, 而一個重要的問題是如何將合作收益合理的分配給每個人, Shapley L. S.應用公理化方法在1953年給出了解決該問題的一種方法Shapley值.一 模型假設個人或合作主體地位平等，其利益非對抗；對于他們之中的任何一種組合均被視為某種合作且可創(chuàng)造一定的收益，合作中人數的增加不會引起效益的減少。這樣，全體個人的合作將帶來最大的效益，而個人單干時所收到的整體效益最小。二 模型建立根據模型假設，合作收益是集合的冪集合上的一個實值函數,滿足： ；對

33、任意，均有。稱任何滿足如上性質的函數為n人合作對策的特征函數。以表示對應合作收益的一個合作對策的分配算法，表示第個人按照算法從最大的合作效益中分得的份額。我們的目標是構造盡可能合理的分配算法。三 模型求解Shapley值：許多類似的問題的解答，合理性有賴于特定的價值體系。在這里我們給出三條準則Shapley公理：對稱性：設均為n人合作對策的特征函數，若存在上的一置換（即到自身的一個一一映射，可以理解為的一全排列），使得（這里，必有。它可以被理解為每人的分配只與他在合作中發(fā)揮的作用有關，而與他被賦予的記號無關；有效性：若某成員，對均有，則；另外。該公理表示，若某成員對于他參加的任何一個合作都不會

34、帶來效益，那他不應當從全體合作的收益中獲得報酬，而各成員所分得的報酬之和應等于全體合作的收益；可加性：設均為n人合作對策的特征函數，不難證明：對均有同樣為n人合作對策的一個特征函數，此時應有。該公理表示當同時進行兩項合作時，而各成員所分得的報酬應等于兩項合作分別分配的收益之和。Shapley利用邏輯推理的方法證明，存在唯一的滿足以上三條公理的效益分配算法：表示集合中元素的個數。四 點評這里并不打算討論Shapley值的推導和給出過程,而是試圖對其結果作一些后驗的分析,發(fā)現這個結果完全可以避開構造和求解方程組,而只作一些適當的理性思考就可給出.事實上,在利益分配中容易出現矛盾通常是因為你發(fā)現分配

35、規(guī)則是由別人制訂的,而類似的規(guī)則由你同樣也能夠制訂,你和你的合作伙伴的力量是相對均衡的.相反,當你面對大自然時,你只能適應,很少表現不滿.為此,每個人都可將他的合作伙伴視為客觀世界的一部分,而每一次可能的合作是大自然隨機呈現在你面前的一次機會,你可以乘其之便從中最大限度獲得地獲得好處.為此給出中的一個全排列其中, 則可表示出現在 面前可供其選擇的合作機會,若 加入, 則可增加收益若將增加的這部分收益全部給 ,顯然從 的角度看, 他應相當滿意.然而這種機會的出現是隨機的, 恰出現在之前, 而恰好出現在之后的概率為. 在具有隨機性的客觀世界面前, 只能取走所有可能合作增加效益的平均值數學期望.從這

36、個例子說明, 對實際問題的重視, 可以為理論研究挖掘豐富多彩的素材, 而就后來對結果所作的分析, 我們也看到科學研究同樣不排斥近乎玄的想象力, 純粹計算、求解并非構成數學的全部, 合理的想象可以直接給出漂亮的結果.5.3 多人合作分益模型與公理化方法建模問題：設想n個人從事某項經濟活動, 對于他們之中若干人組合的每一種合作 (特別, 單人也視為一種合作), 都會得到一定的效益, 當人們之間的利益是非對抗性的, 合作中人數的增加不會引起效益的減少, 這樣, 全體n個人的合作將帶來最大效益. n個人組成的集合及各種可能合作的效益就構成n人合作對策, 而一個重要的問題是如何將合作收益合理的分配給每個

37、人, Shapley L. S.應用公理化方法在1953年給出了解決該問題的一種方法Shapley值.一 模型假設個人或合作主體地位平等，其利益非對抗；對于他們之中的任何一種組合均被視為某種合作且可創(chuàng)造一定的收益，合作中人數的增加不會引起效益的減少。這樣，全體個人的合作將帶來最大的效益，而個人單干時所收到的整體效益最小。二 模型建立根據模型假設，合作收益是集合的冪集合上的一個實值函數,滿足： ；對任意，均有。稱任何滿足如上性質的函數為n人合作對策的特征函數。以表示對應合作收益的一個合作對策的分配算法，表示第個人按照算法從最大的合作效益中分得的份額。我們的目標是構造盡可能合理的分配算法。三 模型

38、求解Shapley值：許多類似的問題的解答，合理性有賴于特定的價值體系。在這里我們給出三條準則Shapley公理：對稱性：設均為n人合作對策的特征函數，若存在上的一置換（即到自身的一個一一映射，可以理解為的一全排列），使得（這里，必有。它可以被理解為每人的分配只與他在合作中發(fā)揮的作用有關，而與他被賦予的記號無關；有效性：若某成員，對均有，則；另外。該公理表示，若某成員對于他參加的任何一個合作都不會帶來效益，那他不應當從全體合作的收益中獲得報酬，而各成員所分得的報酬之和應等于全體合作的收益；可加性：設均為n人合作對策的特征函數，不難證明：對均有同樣為n人合作對策的一個特征函數，此時應有。該公理表

39、示當同時進行兩項合作時，而各成員所分得的報酬應等于兩項合作分別分配的收益之和。Shapley利用邏輯推理的方法證明，存在唯一的滿足以上三條公理的效益分配算法：表示集合中元素的個數。四 點評這里并不打算討論Shapley值的推導和給出過程,而是試圖對其結果作一些后驗的分析,發(fā)現這個結果完全可以避開構造和求解方程組,而只作一些適當的理性思考就可給出.事實上,在利益分配中容易出現矛盾通常是因為你發(fā)現分配規(guī)則是由別人制訂的,而類似的規(guī)則由你同樣也能夠制訂,你和你的合作伙伴的力量是相對均衡的.相反,當你面對大自然時,你只能適應,很少表現不滿.為此,每個人都可將他的合作伙伴視為客觀世界的一部分,而每一次可

40、能的合作是大自然隨機呈現在你面前的一次機會,你可以乘其之便從中最大限度獲得地獲得好處.為此給出中的一個全排列其中, 則可表示出現在 面前可供其選擇的合作機會,若 加入, 則可增加收益若將增加的這部分收益全部給 ,顯然從 的角度看, 他應相當滿意.然而這種機會的出現是隨機的, 恰出現在之前, 而恰好出現在之后的概率為. 在具有隨機性的客觀世界面前, 只能取走所有可能合作增加效益的平均值數學期望.從這個例子說明, 對實際問題的重視, 可以為理論研究挖掘豐富多彩的素材, 而就后來對結果所作的分析, 我們也看到科學研究同樣不排斥近乎玄的想象力, 純粹計算、求解并非構成數學的全部, 合理的想象可以直接給

41、出漂亮的結果.5.4 投入產出分析模型問題：大到國家甚至整個國際社會，小到一家企業(yè)，我們均可以將其視為一個經濟體系來加以考察。一個國家其國民經濟的各個組成部分間、一家企業(yè)的不同車間部門或產品間，投入與產出存在怎樣的相互依存關系，對其進行合理準確的建模分析為管理者做出科學的決策有著非常重要的意義。特別對于一家大型的工業(yè)制造企業(yè)，其部門數、原料與產品種類通常都比較多，且不同部門不同產品的間的技術經濟聯(lián)系非常緊密，生產計劃、產品價格的科學制定，原材料的順利采購等均直接關系企業(yè)的效益。投入產出法最早是有美國經濟學家瓦西里列昂剔夫在20世紀30年代初提出的，迄今已發(fā)展為一個內容相當豐富并有著廣泛應用的方

42、法體系。本文只介紹體系中最基本的一個方法模型。模型假設考慮一家大型的工業(yè)制造企業(yè)，按照產品來劃分其組成部門：種自產產品，種外購原料，其中自產產品有一部分是供應市場需求的，也有一部分是在生產其它產品時作為原料而被中間消耗；每一種產品的生產均有穩(wěn)定的技術條件：、分別表示生產單位第種產品需要消耗的第種自產產品、第種外購原料的量，分別稱之為對自產產品、外購原料的直接消耗系數，它們均為常數，與產品的產量無關；、分別表示在某一時期自產產品的總產（向）量、最終產出（供應市場需求的）（向）量、對自產產品的直接消耗（向）量，以及對外購原料的直接消耗（向）量。二 模型建立若記、，分別稱之為對自產產品、外購原料的直

43、接消耗系數矩陣，根據模型假設，可得如下數學模型：模型中第一個方程是一平衡模型方程，而后兩個分別稱之為中間（對自產產品的）消耗、原始（對外購原料的）消耗函數模型。顯然，模型中所涉及的變量所服從的關系是線性的，稱之為線性投入產出模型。三 模型求解從所建模型可得，若矩陣可逆（表示階單位矩陣），則有，即考慮中間消耗，一家企業(yè)在接到的市場需求定單后，需要組織的實際生產總量和為此需準備的外購原料量。特別當各種外購原料的單位價格已知的情況下，還可以算出各種產品的理論成本。矩陣可逆嗎？其逆矩陣如何計算？下面給出理論回答。定理：對于方陣，若（此時稱矩陣非負，記為）；、，（此時稱向量非負，記為），使得則：矩陣可逆

44、，且。證明：（只須證明在題設條件下收斂即可）這里記，因為矩陣非負，容易得非負且單調增，；另一方面，有界（即指有界）:由已知具有特點: ,. 又, 所以, 即各分量間有一致的關系. 考慮二次間接消耗.依此類推, ,即對任意,我們有，即. 特別. 推出. 所以為有界數列. 因此當時必收斂, 即收斂.記，稱之為對自產產品的完全消耗系數矩陣，而以上定理也被稱為完全消耗系數的存在性定理。四 點評以下是一張簡單的投入產出表（外購原料部分略）, 它是投入產出分析模型應用的基礎：中 間 產 出最終產出總產出12n合計中間投入12n假定一個企業(yè)或經濟部門生產n種產品, 這n種產品又在生產中同時又被作為原料, 該

45、投入產出表反映這一產業(yè)在某一生產周期內的統(tǒng)計結果: 表示第i種產品在生產第j種產品時作為原料企業(yè)自己消耗的數量, 表示在該周期中企業(yè)自己消耗第i種產品的數量, 則表示作為投放市場的最終產出部分, 則表示第i種產品的總產量.表示生產每單位第j種產品消耗掉第i種產品的數量, 即直接消耗系數,直接消耗系數矩陣反映了一個企業(yè)的產品生產工藝.而由此得到的直接消耗系數矩陣，通常自然地滿足完全消耗系數的存在性定理的題設條件。以下給出完全消耗系數的經濟意義解釋：考慮中間（對自產產品的）消耗函數模型, 顯然為得到原料, 企業(yè)須先投入, 稱之為二次間接消耗向量, 依此類推, 可有三次間接消耗, 四次間接消耗, 依

46、此得到一個無窮鏈條, 為生產, 須投入,稱之為完全消耗向量, 根據完全消耗系數的存在性定理該無窮和式收斂，而不會是和向量的某一分量趨于無窮大, 使得生產沒有意義。借助線性代數的特征值理論, 同樣可以給出完全消耗系數的存在性定理的證明, 然而作為對一個很典型的經濟問題的研究, 該論證方式對模型內在的經濟意義揭示很少,而本文的論證過程充分利用了投入產出表的特點,其過程非常簡明,避免了一些相當專業(yè)化的理論，這也部分揭示了多數實際應用問題具有許多好的性質。第六章 軍事模型6.1 核武器競賽問題：甲乙雙方（兩國），均將對方視為假想敵，在某種“國家安全”的定義下發(fā)展核武器，展開核軍備競賽。問題：在這場核軍

47、備競賽中，雙方擁有的核武器會無限增長呢，還是存在某種平衡狀態(tài)？一 模型假設分別以、表示甲乙雙方擁有的核武器數目，這里視之為非負實數（即連續(xù)型變量），以、表示甲乙雙方對對方施行一次致命性打擊所需的核武器數目；甲乙雙方的“國家安全”概念均采用保守定義：即在招到對方“傾瀉性”核打擊后，保證有足夠的核武器被保存下來以給對方致命的還擊；分別以、（）表示甲乙雙方，其一枚核彈頭在遭受對方一枚核彈頭襲擊后有可能被保存下來的概率，這里假定不同核彈頭在遭受對方一枚核彈頭襲擊后有可能被保存下來的機會是相對獨立的。二 模型建立定性分析模型：應當存在二函數、，分別表示當甲乙雙方擁有的核武器數目為、時，對方在遵照模型假設

48、中所給出的有關“國家安全”概念，乙方、甲方所應擁有最少的核武器數目。即當甲方擁有的核武器數目為時，須有時，乙方才會確認自己是安全的。顯然，、均應當為單調增函數。這里稱為雙方安全區(qū)，是核軍備競賽的穩(wěn)定區(qū)域。問：是否為空集？若為空集，即說明核軍備競賽是沒有盡頭的，其終究構成人類持久和平愿望的最大威脅。所附四圖僅僅是在雙方安全曲線滿足單調增函數的條件下給出的四種可能情形，有陰影存在的區(qū)域表示存在雙方安全區(qū)。但實際當中應當是哪一種呢？定量分析模型：在前述模型假設的基礎上，不難得到：，即、分別為甲乙雙方的安全曲線，而上面附圖的后三幅給出的三種可能的典型情形，顯然第四幅表示與兩者至少有一個滿足時方可出現。

49、 在模型中涉及到的幾個參數的取值，比如影響的主要因素可以考慮雙方的國土、一枚核彈爆炸的破壞力，以及各自的防空能力。三 模型分析通過定量分析模型得到的結果表明，核武器競賽是不容樂觀的，要么不存在穩(wěn)定區(qū)域，要么穩(wěn)定區(qū)域是一有界區(qū)域。也即表明建立在本文“安全概念”基礎上的核武器競賽從根本上應當撇棄，因為即使在穩(wěn)定區(qū)域非空，由于某一方（或雙方）不克制的態(tài)度最終導致核武器競賽的災難性后果。這一結果與我們對當前國際上一些有核國家在發(fā)展核武器的現狀有一定距離，考察本模型，應當注意的是在第二條模型假設中提到的“安全概念”，事實上，一個和平國家在發(fā)展核武器時所遵循的原則是在遭到強大敵國的全面入侵，核武器應當作為

50、一種先發(fā)性威懾力量而進行有效阻止而不應當作為一種后發(fā)性的在已遭到毀滅性打擊后的純粹報復行為。事實上在保留模型假設二中提到的“安全概念”，對其余假設作更為貼近問題真相的改進只能導出對核武器競賽的前途更加悲觀的結論。四 點評本例是在作了相當程度的簡化假設下考慮了核武器競賽問題，我們很難期望模型能對所考慮問題給出比較樂觀的指導意義，但其整個建模過程卻對我們有很大的啟發(fā)：定性分析與定量分析：在對一個應用問題分析，通常包括定性分析與定量分析這樣兩個有機統(tǒng)一的環(huán)節(jié)，定性分析是數學建模的初級階段，在這一環(huán)節(jié)著力解決隨機性模型：建模的最終目的在于應用：6.2 戰(zhàn)爭模型一問題分析影響一個軍隊戰(zhàn)斗力的因素是多方面

51、的，比方士兵人數、單個士兵的作戰(zhàn)素質以及部隊的軍事裝備，而具體到一次戰(zhàn)爭的勝負，部隊采取的作戰(zhàn)方式同樣至關重要，此時作戰(zhàn)空間同樣成為討論一個作戰(zhàn)部隊整體戰(zhàn)斗力的一個不可忽略的因素。本節(jié)介紹幾個作戰(zhàn)模型，導出評估一個部隊綜合戰(zhàn)斗力的一些方法，以預測一場戰(zhàn)爭的大致結局。總以、表示甲乙交戰(zhàn)雙方在時刻的兵力，不妨視為雙方的士兵人數，、表示甲乙雙方在開戰(zhàn)時的初始兵力，顯然。在整個戰(zhàn)爭期間，雙方的兵力在不斷發(fā)生變化，而影響兵力變化主要有如下三個因素：戰(zhàn)斗減員率，它取決于雙方的兵力，不妨以、分別表示甲乙雙方的戰(zhàn)斗減員率；非戰(zhàn)斗減員率，比方由于疾病或逃跑等因素導致一個部隊減員，它通常可被設與本方的兵力成正比，

52、比例系數分別對應甲乙雙方；增援率，它通常取決于一個已投入戰(zhàn)爭部隊以外的因素，甲乙雙方的增援率函數分別以表示。由此，可以得到一般的戰(zhàn)爭模型：而評價雙方的勝負，總認定兵力先降為“零”（全部投誠或被殲滅）的一方為敗。以下分正規(guī)戰(zhàn)和游擊戰(zhàn)來討論。二 正規(guī)作戰(zhàn)模型模型假設：不考慮增援，忽略非戰(zhàn)斗減員；甲乙雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn)，每一方士兵的活動均公開，處于對方士兵的監(jiān)視與殺傷范圍之內，一旦一方的某個士兵被殺傷，對方的火力立即轉移到其他士兵身上。因此，甲乙雙方的戰(zhàn)斗減員率僅與對方的兵力有關，簡單的設為是正比關系，以、分別表示甲乙雙方單個士兵在單位時間的殺傷力。若以、分別表示甲乙雙方單個士兵的射擊率，它們通常

53、主要取決于部隊的武器裝備；以、分別表示甲乙雙方士兵一次射擊的（平均）命中率，它們主要取決于士兵的個人素質，則有、。模型建立：根據模型假設，得正規(guī)作戰(zhàn)的數學模型：模型求解：從模型方程得到，進而得該模型的解滿足：不難發(fā)現，甲方獲勝的充要條件為，即。進一步可得甲方獲勝的充要條件為，從其形式，可以發(fā)現一種用于正規(guī)作戰(zhàn)部隊的綜合戰(zhàn)斗力的評價函數，以甲方為例，其綜合戰(zhàn)斗力的評價函數可取為，它與士兵的射擊率（武器裝備的性能）、士兵一次射擊的（平均）命中率（士兵的個人素質）、士兵數的平方均服從正比例關系，這樣在三個因素中只有條件使其中的一個提升到原有水平的兩倍這樣的選擇時，顯然要選士兵數的增加，它可以帶來部隊

54、綜合戰(zhàn)斗力四倍的提升。因此，正規(guī)作戰(zhàn)模型又被稱為平方率模型。三 游擊作戰(zhàn)模型模型假設：不考慮增援，忽略非戰(zhàn)斗減員；甲乙雙方均以游擊作戰(zhàn)方式，每一方士兵的活動均具有隱蔽性，對方的射擊行為局限在某個范圍考慮可以被認為是盲目的。因此，甲乙雙方的戰(zhàn)斗減員率不光與對方的兵力有關，同樣設為是正比關系；而且與自己一方的士兵數有關，這主要是由于其活動空間的限制所引起的，士兵數越多，其分布密度會越大，顯然二者服從正比例關系，這樣對方投來的一枚炮彈的平均殺傷力（期望值）也會服從正比例關系增加；若以、分別表示甲乙雙方的有效活動區(qū)域的面積，以、分別表示甲乙雙方一枚炮彈的有效殺傷范圍的面積，以、分別表示甲乙雙方單個士兵

55、的射擊率，、主要取決于部隊的武器裝備的性能和貯備；、也取決于士兵的個人素質。模型建立：根據模型假設，得游擊作戰(zhàn)的數學模型：模型求解：從模型方程得到，進而得該模型的解滿足：不難發(fā)現，甲方獲勝的充要條件為，即。從其形式，可以發(fā)現一種用于游擊作戰(zhàn)部隊的綜合戰(zhàn)斗力的評價函數，以甲方為例，其綜合戰(zhàn)斗力的評價函數可取為，它與士兵的射擊率（武器裝備的性能）、炮彈的有效殺傷范圍的面積、部隊的有效活動區(qū)域的面積、士兵數四者均服從正比例關系，這樣在四個要素中只要有條件使其中的一個提升到原有水平的兩倍這樣的選擇時，它們均可以帶來部隊綜合戰(zhàn)斗力成倍的提升，即沒有像在正規(guī)作戰(zhàn)模型中所表現出的差別。特別考慮士兵數在表達式

56、中的地位，游擊作戰(zhàn)模型又被稱為線性率模型。四 混合作戰(zhàn)模型（思考題）最后，直接給出一個混合作戰(zhàn)模型：讀者試著理解其意義，并通過求解給出甲方取勝的條件。第七章 生態(tài)學模型7.1 微分方程穩(wěn)定性理論簡介一 基本概念考慮維空間中的向量值函數，當、時我們可以將之想象為平面或空間中一質點的運動曲線，它描述質點在時刻的位置。許多物理或社會系統(tǒng)均可以被一組形如的微分方程描述，簡記為，其中，通常稱之為自治的動力系統(tǒng)。稱點為動力系統(tǒng)的一個平衡點，若。這時為動力系統(tǒng)的一個奇解。平衡點在對一個動力系統(tǒng)的定性分析中具有特殊的意義，稱動力系統(tǒng)的平衡點是（漸近）穩(wěn)定的，若對該動力系統(tǒng)的任一解，均有。例：求解微分方程組 的

57、平衡點，并討論其穩(wěn)定性。解：很容易該微分方程組的唯一平衡點；由已知微分方程組可以得到，進而，對該微分方程組的任一解，因此，因此平衡點是穩(wěn)定的。讀者可以自己驗證是微分方程組的唯一平衡點，但不是穩(wěn)定的。對于一個齊次的線性微分方程組（為一階實方陣），有如下結果：定理：若非退化，則是線性動力系統(tǒng)唯一平衡點，且平衡點是穩(wěn)定的充分必要條件為的所有特征值的實部均小于0。二 二階方程平衡點的拓撲分類與判別 對于二維平面中（二階方程）的情形，根據平衡點的局部拓撲性狀分為結點、焦點、鞍點以及中心等四類，其中鞍點、中心這兩類型的平衡點是不穩(wěn)定的，而結點、焦點類型的平衡點還可以分為穩(wěn)定與不穩(wěn)定的情形，可參照示意圖。就

58、二階齊次線性微分方程組（），下表給出其平衡點的類型和穩(wěn)定性：二特征值，平衡點類型穩(wěn)定性，穩(wěn)定結點穩(wěn)定，不穩(wěn)定結點不穩(wěn)定鞍點不穩(wěn)定，穩(wěn)定退化結點穩(wěn)定，不穩(wěn)定退化結點不穩(wěn)定，穩(wěn)定焦點穩(wěn)定，不穩(wěn)定結點不穩(wěn)定，中心不穩(wěn)定（其中、分別表示復數的實部、虛部）對于一般的非線性微分方程組的討論，由于其平衡點不存在或者存在但并不唯一，因此需引入局部穩(wěn)定的概念：稱動力系統(tǒng)的平衡點是局部（漸近）穩(wěn)定的，若存在，對該動力系統(tǒng)的任一解，只要存在某滿足，均有。而對平衡點局部（漸近）穩(wěn)定性的判別，只須對原微分方程的右端項取一階Taylor展式，構造線性動力系統(tǒng)進行討論，這里。7.3 種群相互依存問題：自然界中處于同一環(huán)境下

59、兩個種群相互依存而共生的現象是很普遍的。比方植物與昆蟲，一方面植物為昆蟲提供了食物資源，另一方面，盡管植物可以獨立生存，但昆蟲的授粉作用又可以提高植物的增長率。事實上，人類與人工飼養(yǎng)的牲畜之間也有類似的關系。我們關心兩個相互依存的種群，它們之間有著類似于在農業(yè)社會中人和牛的關系。其發(fā)展和演進有著一些什么樣的定性性質呢？模型假設以、表示處于相互依存關系中甲、乙二種群在時刻的數量，種群數量的增長率與該種群數量成正比，同時也與有閑資源成正比；兩個種群均可以獨立存在，而可被其直接利用的自然資源有限，均設為“”，分別表示甲、乙二種群在單種群情況下自然資源所能承受的最大種群數量；此外，兩種群的存在均可以促

60、進另一種群的發(fā)展，我們視之為另一種群發(fā)展中可以利用的資源，為二折算因子，表示一個單位數量的乙可以充當種群甲的生存資源的量，表示一個單位數量的甲可以充當種群乙的生存資源的量；分別表示甲、乙二種群的固有增長率。二 模型建立根據模型假設，可得如下數學模型：經化簡，得：三 模型求解令，可得該模型的四個平衡點：、。 類似于在種群競爭模型中的討論，我們可以得到平衡點均不穩(wěn)定，而只有當時，平衡點為第一象限內的點，可以論證它是穩(wěn)定的。7.4 弱肉強食模型問題：在自然界中，像生活在草原上的狼和羊，種群之間捕食與被捕食的關系普遍存在。兩個弱肉強食的種群，其發(fā)展和演進又會遵循一些什么樣的規(guī)律呢？一 模型假設以、表示