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文檔簡介

1、 用分離變量法求解球形域的定解問題時，應(yīng)選用球坐標(biāo)系。這樣，不僅能簡單地表達邊界條件，更重要的是可以達到變量分離的目的。在分離變量的過程中，會導(dǎo)出勒讓德方程，并在一定條件下，將以勒讓德函數(shù)作為固有函數(shù)，因此，需利用勒讓德函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。 在球坐標(biāo)系 下，方程中的拉普拉斯算子為2.4球坐標(biāo)系下的分離變量法得到常微分方程 由解的周期性,得固有值問題 固有值為 相應(yīng)的固有函數(shù) 對于方程(2.4.4),令 將 代入(2.4.4),并除以 得 將 代入上式得 當(dāng)n為整數(shù)時，有通解 其中 分別為締合第一、第二類多項式。據(jù)解的有界性，固有值 固有函數(shù) 將 代入方程（2.4.3），有 歐拉方程 求得解 由 ,

2、 故 其中 由解的疊加性,得級數(shù)形式解 由非齊次邊界條件 ，得 所以 由 可推出 因此 例2設(shè)導(dǎo)體球面溫度分布等于 ，求球內(nèi)穩(wěn)恒溫度分布。解：由球面溫度分布知,溫度 u 與 無關(guān)，故定解問題為設(shè)解 ，由例1知 , 故得常微分方程取 得固有函數(shù) 相應(yīng)地,由 方程得 由解的疊加性,得級數(shù)形式解 其中 由 得 令 ,有 因為 所以 由 知 故 所求解為： 解：定解問題為 例3考查上半球的穩(wěn)恒溫度分布，設(shè)上半球保持定溫uo,半球底面為零度。u 與 無關(guān)。 為借助勒讓德函數(shù)求解，需將半球問題化為全球問題。 若保持 ，將邊界條件作奇延拓： 這樣，定解問題化為 由例2知 由非齊次邊界條件得 令 其系數(shù) 又因 所以 故 定解問題的解為 例4考察同心球殼內(nèi)的電勢分布 A、B為常數(shù) 解：由邊界條件知，u 與 無關(guān)，方程化為 因為 所

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