西工大837氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)講義chapter

1、第十章 粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 本章概述:粘性是流體的重要屬性之一，自然界中存在的流體都具有粘性。理論和實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)于氣體繞物體的流動(dòng)，粘性影響主要在靠近物體表面的薄層內(nèi)（稱為附面層）。這樣求解粘性流動(dòng)的問(wèn)題，可以通過(guò)求解粘性流動(dòng)的基本方程，也可以求解附面層內(nèi)的流動(dòng)。因此研究附面層的目的，一方面是解決計(jì)算氣流繞物體的摩擦阻力，而另一方面是估算物體上各點(diǎn)的熱流量。從而尋求減小摩擦阻力，減輕氣動(dòng)加熱的途徑，采取必要的設(shè)計(jì)措施。本章首先討論粘性流動(dòng)的基本方程，由于連續(xù)方程并不涉及到粘性問(wèn)題，因此本章主要討論動(dòng)量方程和能量方程，然后導(dǎo)出湍流流動(dòng)的雷諾方程，最后討論附面層基本知識(shí)。本章內(nèi)容構(gòu)成了粘性流體流動(dòng)

2、的基本知識(shí)。10.1微分形式的動(dòng)量方程（N-S）10.2微分形式的能量方程 10.3 初始條件和邊界條件 10.4 雷諾方程和雷諾應(yīng)力 10.5附面層基本知識(shí) 10.6附面層微分方程 10.7附面層積分方程 10.1微分形式的動(dòng)量方程（N-S）圖10.1動(dòng)量方程推導(dǎo)用圖 與第八章分析質(zhì)量守恒方法類(lèi)似，我們可以針對(duì)微元控制體圖10.1,列出動(dòng)量方程 F= V ) ( Vi)out ( Vi)in （10.1） 同樣，由于控制體為微元體，所以上式積分可以近似為 V ) V)dxdydz （10.2） （10.3）動(dòng)量流量發(fā)生在六個(gè)面上，三個(gè)流入三個(gè)流出. F= V) VxV) VyV)+ VzV)

3、 dxdydz 上式為矢量方程，右邊中括號(hào)內(nèi)可以改寫(xiě)成 V) VxV) VyV)+ VzV) =V + V)+ （10.4）根據(jù)連續(xù)方程上式中右邊中括號(hào)內(nèi)為零，第二大項(xiàng)括號(hào)內(nèi)為加速度，因此方程（10.3） 可以寫(xiě)為 F= （10.5） （10.6） 上式說(shuō)明，微元控制體內(nèi)流體的加速度乘以控制體內(nèi)流體的質(zhì)量，等于控制體所受的合外力?？刂企w所受的外力有兩大類(lèi)，質(zhì)量力和表面力。質(zhì)量力是在某種外部場(chǎng)的作用下使得所有流體質(zhì)量受到的力，如重力、離心力、電磁力等等。表面力是由于控制面上應(yīng)力的作用而產(chǎn)生的力，這些應(yīng)力包括壓強(qiáng)p和流體運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的粘性應(yīng)力 ,其中壓強(qiáng)的作用方向垂直指向控制面。 表示在與i軸垂直的

4、面上j方向的應(yīng)力。 下面來(lái)分析控制體所受表面力的合力。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，以x方向?yàn)槔?。圖10.2給出了六個(gè)面上x(chóng)方向應(yīng)力作用的表面力。圖10.2分析控制體所受表面力 將這些力進(jìn)行矢量和可得出微元控制體所受表面力在x方向的分量為（10.7） 將式（10.6）的第一行代入，兩邊同除以 得 （10.8 a ） 同理可以得出y，z方向的合力 （10.8 b ） （10.8 c ） 將上式寫(xiě)成矢量形式為 （10.9） 上式右邊第二項(xiàng)為粘性力項(xiàng)，由九個(gè)分量組成（10.10） 式（10.10）還可以簡(jiǎn)寫(xiě)成如下的散度形式（10.11） 式中 （10.12） 稱為粘性應(yīng)力張量， 為對(duì)稱張量，即 ，當(dāng) 時(shí)，因此該張量

5、有6個(gè)獨(dú)立分量。表面力的合力包含壓強(qiáng)梯度和粘性應(yīng)力散度兩部分。將(10.11 ) ，(10.9) ，代入（10.5） 最后得出對(duì)于無(wú)限小微元體的微分形式動(dòng)量方程（10.13） 式中 為單位體積所受的質(zhì)量力用文字表示該方程的物理意義為單位體積所受的質(zhì)量力單位體積所受的壓力 單位體積所受的粘性力密度加速度 （10.14） 將方程（10.13）寫(xiě)成分量式為（10.15a） （10.15b） （10.15c） 對(duì)于無(wú)粘流動(dòng) 因此方程（10.13） 變成（10.16) 式（10.16）即為描述理想流動(dòng)的歐拉方程(Eulers equation)。 對(duì)于牛頓流體，粘性應(yīng)力與流體的變形以及粘性系數(shù)成正比，具

6、體關(guān)系為V)V)V)（10.17） 式(3.118 ) 又稱為廣義牛頓內(nèi)摩擦定律。將(3.118 ) 代入到(3.116 ) 可得出 = V) （10.18 a） = V) （10.18 b） = V) （10.18 c） 式（10.18）即為描述牛頓粘性流體運(yùn)動(dòng)的微分方程式，又稱為納維爾斯托克斯（Navier-Stokes）方程，簡(jiǎn)稱N-S方程。它是由C.L.M.H.Navier(1785-1836) 和Sir George G. Stokes(1819-1903)分別獨(dú)立導(dǎo)出的，方程即以他們的名字聯(lián)合命名。該方程可以寫(xiě)成矢量形式，并用 代替（10.19） 對(duì)于不可壓流動(dòng)，上式為 （10.2

7、0） 式中 稱為運(yùn)動(dòng)學(xué)粘性系數(shù)。N-S方程為二階非線性偏微分方程組。在一般情況下，從數(shù)學(xué)上精確求解此方程是不可能的。但是對(duì)于一些簡(jiǎn)單的流動(dòng)，如平行平板的定常層流流動(dòng)、圓管內(nèi)的定常層流流動(dòng)等是可以得到精確解的，而且這些精確解與實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全一致。 10.2微分形式的能量方程類(lèi)似于3.8節(jié)，由式（3.72）同樣可以針對(duì)微元控制體列出能量方程 (Vn)dA (10.21)因?yàn)樵谖⒃刂企w中沒(méi)有軸功，所以 。采用與導(dǎo)出式（10.3）完全相同的方法，可以得出(10.22) 式中 .類(lèi)似于式（10.4）,考慮到連續(xù)方程，上式成為(10.23) 傳熱量 可以分為兩大類(lèi)，一類(lèi)是由于熱傳導(dǎo)對(duì)微元控制體的傳熱，另一

8、類(lèi)是輻射、化學(xué)反應(yīng)等其它形式的熱量傳遞。 用來(lái)表示第二種形式對(duì)控制體內(nèi)單位質(zhì)量流體的傳熱量。 下面推導(dǎo)由于熱傳導(dǎo)而產(chǎn)生的傳熱量，根據(jù)傅立葉熱傳導(dǎo)定律有其中k為導(dǎo)熱系數(shù)，與分析質(zhì)量流率和動(dòng)量流率相同，我們可以得出6個(gè)面上由于熱傳導(dǎo)而產(chǎn)生的熱流率,將6個(gè)面上的熱流量代數(shù)求和得出 q dxdydz (10.24) 將傅立葉熱傳導(dǎo)定律代入上式得出 (10.25) 粘性應(yīng)力做功率等于粘性應(yīng)力分量、相應(yīng)的速度分量和相應(yīng)的面積三項(xiàng)的乘積，見(jiàn)圖10.3，與x軸垂直的左側(cè)面上粘性應(yīng)力做功率為 其中 (10.26) 圖10.3分析粘性應(yīng)力做功率 與上述分析質(zhì)量流量、動(dòng)量流量和熱流量完全相同可以得出，在與x軸垂直的

9、兩個(gè)面上粘性應(yīng)力的做功率為同理可以得出另外兩個(gè)方向上的功率，因此總的粘性應(yīng)力做功率應(yīng)為V (10.27) 將式(10.27)、(10.25) 代入到(10.23) 便得到微分形式的能量方程 V V (10.28) 其中上式中粘性力做功項(xiàng)還可以分解為 V V (10.29) 其中 為粘性耗散函數(shù)，對(duì)于牛頓不可壓流體，該耗散函數(shù)為 通過(guò)上式可以看出 0，也就是說(shuō)耗散項(xiàng)永遠(yuǎn)是正的，即粘性應(yīng)力所做的功總是消耗機(jī)械能，使流體的內(nèi)能增加。 將式(10.29) 代入到(10.28) 中，并采用（10.13）消去 ，得到內(nèi)能形式的能量方程 V (10.31) 根據(jù)連續(xù)方程有 V (10.32) 它表示單位時(shí)間

10、內(nèi)單位體積流體在壓強(qiáng)p的作用下所作的膨脹（或壓縮）功。對(duì)于完全氣體，由熱力學(xué)公式 (10.33) (10.34) 因此可以將式(10.31) 寫(xiě)成熵或焓的形式(10.35) (10.36) 注意到 ， ， (10.37) 式(10.31) 和式(10.36) 又可以寫(xiě)成用溫度表示的能量方程V (10.38) (10.39) 10.3 初始條件和邊界條件 通過(guò)上邊的推導(dǎo)，我們得出了描述牛頓流體運(yùn)動(dòng)的微分方程組，共5個(gè)方程，包括連續(xù)方程（1個(gè)），動(dòng)量方程（3個(gè)），能量方程（1個(gè)），而未知量有6個(gè) （以直角坐標(biāo)為例，柱坐標(biāo)結(jié)果一樣），因此方程并不封閉，所以還要補(bǔ)充一個(gè)熱力學(xué)的關(guān)系式即，完全氣體狀態(tài)方

11、程(10.40) 這樣包括狀態(tài)方程在內(nèi)，基本方程組共有6個(gè)方程，構(gòu)成封閉的方程組。但是要得到具體的解還要給定相應(yīng)的初始和邊界條件，這些條件統(tǒng)稱為定解條件。（一）初始條件 在初始時(shí)刻，方程組的解應(yīng)該等于該時(shí)刻給定的函數(shù)值。在數(shù)學(xué)上可以表示為 在V (x, y, z, t0) = V0 (x, y, z)p (x, y, z, t0) = p0 (x, y, z)(x, y, z, t0) = 0(x, y, z) T(x, y, z, t0) = T0 (x, y, z) (10.41) 式中V0 (x, y, z) ，p0 (x, y, z) ，0(x, y, z) ，T0 (x, y, z)

12、 均為時(shí)刻的已知函數(shù)。 （二）邊界條件 在運(yùn)動(dòng)流體的邊界上，方程組的解所應(yīng)滿足的條件稱為邊界條件。邊界條件隨具體問(wèn)題而定，一般來(lái)講可能有以下幾種情況：固體壁面（包括可滲透壁面）上的邊界條件；不同流體的分界面（包括自由液面、氣液界面、液液界面）上的邊界條件；無(wú)限遠(yuǎn)或管道進(jìn)出口處的邊界條件等。對(duì)于不可滲漏的固體邊界速度為無(wú)滑移條件、溫度為無(wú)突躍條件，即Vfluid = Vwall， Tfluid = Twall (10.42) 如果固體邊界為可滲漏，則邊界條件要根據(jù)具體情況來(lái)確定。對(duì)于所有的流動(dòng)進(jìn)出口截面，應(yīng)給出每時(shí)刻截面上速度、壓力和溫度的分布。對(duì)于流體繞流物體的問(wèn)題，進(jìn)出口邊界變成了無(wú)窮遠(yuǎn)邊界

13、，應(yīng)給出無(wú)窮遠(yuǎn)邊界條件。10.4 雷諾方程和雷諾應(yīng)力從對(duì)湍流的研究可知，湍流運(yùn)動(dòng)中任何物理量都隨時(shí)間和空間不斷的變化，所以要想用方程求解這種運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度是非常困難的。研究表明，雖然湍流運(yùn)動(dòng)十分復(fù)雜，但是它仍然遵循連續(xù)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的特征和一般力學(xué)規(guī)律，因此，雷諾提出用時(shí)均值概念來(lái)研究湍流運(yùn)動(dòng)的方法，導(dǎo)出了以時(shí)間平均速度場(chǎng)為基礎(chǔ)的雷諾時(shí)均NS方程。雷諾從不可壓縮流體的NS方程導(dǎo)出湍流平均運(yùn)動(dòng)方程（后人稱此為雷諾方程）并引出雷諾應(yīng)力的概念。之后，人們引用時(shí)均值概念導(dǎo)出湍流基本方程，使湍流運(yùn)動(dòng)的理論分析得到了很大的發(fā)展。10.4.1常用的時(shí)均運(yùn)算關(guān)系式設(shè)A、B、C為湍流中物理量的瞬時(shí)值， 為物理量的時(shí)均

14、值， 為物理量的脈動(dòng)值，則具有以下的時(shí)均運(yùn)算規(guī)律。（1）時(shí)均量的時(shí)均值等于原來(lái)的時(shí)均值，即 (10.43)因?yàn)樵跁r(shí)間平均周期T內(nèi) 是個(gè)定值，所以其時(shí)均值仍為原來(lái)的值。 （2）脈動(dòng)量的時(shí)均值等于零，即 (10.44)（3）瞬時(shí)物理量之和的時(shí)均值，等于各個(gè)物理量時(shí)均值之和，即 = (10.45) （4）時(shí)均物理量與脈動(dòng)物理量之積的時(shí)均值等于零，即(10.46) 因?yàn)?在平均周期內(nèi)是個(gè)定值，所以有（5）時(shí)均物理量與瞬間物理量之積的時(shí)均值等于兩個(gè)時(shí)均 物理量之積，即(10.47) 同樣在平均周期內(nèi) 是個(gè)定值，所以 （6）兩個(gè)瞬時(shí)物理量之積的時(shí)均值，等于兩個(gè)時(shí)均物理量之積與兩個(gè)脈動(dòng)量之積的時(shí)均值之和，即

15、 (10.48) 推論: (10.49) (7)瞬時(shí)物理量對(duì)空間坐標(biāo)各階導(dǎo)數(shù)的時(shí)均值，等于時(shí)均物理量對(duì)同一坐標(biāo)的各階導(dǎo)數(shù)，即 (10.50) 其中， 代表任意坐標(biāo)方向，如 。 推論：脈動(dòng)量對(duì)空間坐標(biāo)各階導(dǎo)數(shù)的時(shí)均值等于零，即(10.51) （8）瞬時(shí)物理量對(duì)于時(shí)間導(dǎo)數(shù)的時(shí)均值，等于時(shí)均物理量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即 (10.52a) 在準(zhǔn)定常的條件下， (10.52b)10.4.2 湍流運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程 由于湍流流動(dòng)中各物理量都具有某種統(tǒng)計(jì)特征的規(guī)律，所以基本方程中任一瞬間物理量都可用平均物理量和脈動(dòng)物理量之和來(lái)代替，并且可以對(duì)整個(gè)方程進(jìn)行時(shí)間平均的運(yùn)算。在湍流運(yùn)動(dòng)中，瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)的速度應(yīng)滿足粘性流體的基本

16、方程。其連續(xù)方程為對(duì)其進(jìn)行時(shí)均運(yùn)算 所以可壓縮湍流運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程為與瞬時(shí)值的連續(xù)方程相比，多出了三個(gè)脈動(dòng)量乘積的導(dǎo)數(shù)的時(shí)均值。 對(duì)于不可壓縮湍流運(yùn)動(dòng)， ，則連續(xù)方程可化為(10.53a) 并可得到 (10.53b) 可見(jiàn)，對(duì)不可壓湍流運(yùn)動(dòng)，時(shí)均運(yùn)動(dòng)和脈動(dòng)運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程和瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程具有相同的形式。10.4.3雷諾方程 對(duì)于不可壓縮粘性流動(dòng)，在不考慮質(zhì)量力的情況下，NS方程具有下列形式 （10.54a） 利用不可壓流瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程可將式（10.54 a）改寫(xiě)成 （10.54b） 然后對(duì)式（10.54b）中的第一式進(jìn)行時(shí)間平均運(yùn)算，則有 （10.55） 由于 ，應(yīng)用時(shí)均物理量與脈動(dòng)物理量

17、之積的時(shí)均值等于零的運(yùn)算規(guī)則，即（ ），可得這樣式（10.55）經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后，可表示為 再應(yīng)用時(shí)均運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程（10.53），上式可化為 （10.56） 方程組（10.56）就是著名的不可壓縮流體作湍流運(yùn)動(dòng)時(shí)的時(shí)均運(yùn)動(dòng)方程稱為雷諾方程。將時(shí)均運(yùn)動(dòng)方程（10.56）和NS方程（10.54 a）相比可以看出，湍流中的應(yīng)力，除了由于粘性所產(chǎn)生的應(yīng)力外，還有由于湍流脈動(dòng)運(yùn)動(dòng)所形成的附加應(yīng)力，這些附加應(yīng)力稱為雷諾應(yīng)力。雷諾方程與NS方程在形式上是相同的，只不過(guò)在粘性應(yīng)力項(xiàng)中多出了附加的湍流應(yīng)力項(xiàng)。以上導(dǎo)出的雷諾方程和連續(xù)方程中，除過(guò)要求解的四個(gè)變量 、 、 和 外，還有與脈動(dòng)速度有關(guān)的如 、 等六個(gè)未知

18、數(shù)。四個(gè)方程中有十個(gè)未知數(shù)，即方程組不封閉。要使方程組封閉，必須補(bǔ)充其它未知量的關(guān)系式才能夠進(jìn)行求解。10.4.4雷諾應(yīng)力 將雷諾方程與粘性流體應(yīng)力形式的動(dòng)量方程進(jìn)行比較，由式（10.56）可以看出，在湍流的時(shí)均運(yùn)動(dòng)中，除了原有的粘性應(yīng)力分量外，還多出了由脈動(dòng)速度乘積的時(shí)均值 、 等構(gòu)成的附加項(xiàng)，這些附加項(xiàng)構(gòu)成了一個(gè)對(duì)稱的二階張量，即（10.57） 式（10.57）中的各項(xiàng)構(gòu)成了所謂的雷諾應(yīng)力。雷諾應(yīng)力的物理意義可理解如下 在穩(wěn)定湍流中繞某點(diǎn)M處取一微元六面體圖10.4a，考察過(guò)點(diǎn)M取與x軸垂直的某微元面 ，其面積為 。在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位面積的動(dòng)量為 ，其時(shí)均值為（10.58） 式（10.5

19、8）左端是單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于x軸的單位面積所傳遞的真實(shí)動(dòng)量的平均值，右端第一項(xiàng)是同一時(shí)間內(nèi)通過(guò)同一面積所傳遞的按時(shí)均速度計(jì)算的動(dòng)量，第二項(xiàng)是由于x方向 上速度脈動(dòng)所傳遞的動(dòng)量。根據(jù)動(dòng)量定理，通過(guò) 面有動(dòng)量傳遞，那么在 面上就有力的作用。式（10.58）中各項(xiàng)都具有力的因次，從而證明了在湍流情況下，沿x方向的時(shí)均真實(shí)應(yīng)力，應(yīng)等于時(shí)均運(yùn)動(dòng)情況下x方向上的應(yīng)力加上由于湍流中的x方向脈動(dòng)引起的附加應(yīng)力。對(duì) 面來(lái)說(shuō)，附加應(yīng)力與它垂直，所以是法向應(yīng)力，因此稱之為附加湍流正應(yīng)力。圖 10.4a 湍流應(yīng)力分析 圖 10.4b 湍流應(yīng)力分析 由于在點(diǎn)M處沿y方向上有脈動(dòng)速度 ，則在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)微元面 （垂直

20、于y軸）上的單位面積流入的質(zhì)量為 如圖10.4a所示 ，這部分流體本身具有x方向的速度 ，因而隨之傳遞的x方向上的動(dòng)量為 ，其時(shí)均值為根據(jù)時(shí)均運(yùn)算關(guān)系式， ，所以 （10.59a） 圖 10.4b表示一個(gè)單位長(zhǎng)度的流體微團(tuán)因y方向的速度脈動(dòng) ，而在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位面積上增加的x方向上的動(dòng)量的時(shí)均值，即（10.59b） 式（10.59a）表明，在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于y方向的 面的單位面積所傳遞出去的x方向動(dòng)量為 ，因而該單位面積就受到一個(gè)沿x方向的大小為 的作用力。式（10.59b）說(shuō)明了這個(gè)力的變化量?？梢岳斫鉃椋寒?dāng)流體質(zhì)點(diǎn)由時(shí)均速度較高的流體層向時(shí)均速度較低的流體層脈動(dòng)時(shí)由于脈動(dòng)引起的動(dòng)量

21、傳遞，使低速層被加速。反過(guò)來(lái)，如果脈動(dòng)由低速層向高速層發(fā)生，高速層被減速，因此這兩層流體在x方向上各受到切應(yīng)力的作用。 是湍流中流體微團(tuán)的脈動(dòng)造成的，稱為湍流切應(yīng)力，記作 。湍流正應(yīng)力和湍流切應(yīng)力統(tǒng)稱為雷諾應(yīng)力。10.4.5普朗特混合長(zhǎng)度理論 從雷諾方程可以看出，由于湍流運(yùn)動(dòng)采用了時(shí)均方法，在運(yùn)動(dòng)方程中出現(xiàn)了雷諾應(yīng)力，從而增加了方程中的未知量，因此需要補(bǔ)充新的關(guān)系式才能求解。如果補(bǔ)充的關(guān)系式是一個(gè)代數(shù)方程，而不需要補(bǔ)充任何附加的微分方程來(lái)求解時(shí)均流場(chǎng)，則稱這種模型為零方程模型；若補(bǔ)充的關(guān)系式是一個(gè)微分方程（如湍流脈動(dòng)動(dòng)能方程），則稱為一方程模型；若是兩個(gè)微分方程，則稱為雙方程模型等等。本節(jié)所討

22、論的普朗特混合長(zhǎng)度理論即是所謂的代數(shù)模型（零方程模型）。 混合長(zhǎng)度理論是基于經(jīng)驗(yàn)性的一個(gè)經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的理論模型。在許多問(wèn)題中得到了較好的應(yīng)用。其基本思想是如果能夠找出湍流應(yīng)力與其它流場(chǎng)參數(shù)之間的關(guān)系，即找到了這些物理量的補(bǔ)充關(guān)系式，就可以使方程組封閉。為此普朗特把湍流脈動(dòng)與氣體分子運(yùn)動(dòng)相比擬，認(rèn)為雷諾應(yīng)力是由流體微團(tuán)的脈動(dòng)引起的。它和分子運(yùn)動(dòng)引起粘性應(yīng)力的情況十分相似。在定常層流直線運(yùn)動(dòng)中，由分子動(dòng)量輸運(yùn)而引起的粘性切應(yīng)力 ，與此相對(duì)應(yīng)，當(dāng)湍流的時(shí)均流動(dòng)的流線為直線時(shí)，認(rèn)為脈動(dòng)引起的雷諾切應(yīng)力（湍流應(yīng)力）也可以表示成上述類(lèi)似的形式，即（10.60） 式中的 稱為湍流粘性系數(shù)。這就是混合長(zhǎng)度理論

23、的基本思想。另一方面，湍流應(yīng)力與脈動(dòng)速度有關(guān)，為了確定這種關(guān)系，普朗特做出了第一個(gè)假設(shè)：即流體微團(tuán)x方向脈動(dòng)速度 近似等于兩層流體的時(shí)均速度之差，即這一假設(shè)的基礎(chǔ)是認(rèn)為流體微團(tuán)在y方向脈動(dòng)，從這一層跳入另一層時(shí)，要經(jīng)過(guò)一段與其他流體微團(tuán)不相碰撞的距離 （參看圖10.5），在這段距離上速度保持不變。這個(gè)距離稱為混合長(zhǎng)度，它是流體微團(tuán)在湍流運(yùn)動(dòng)中的自由行程的平均值。經(jīng)過(guò) 距離后，流體微團(tuán)以自己原來(lái)的動(dòng)量進(jìn)入另一層和周?chē)黧w相摻混。從圖（10.5）上可以看出， 層上的流體質(zhì)點(diǎn)脈動(dòng)到y(tǒng)層時(shí)，其速度比y層上的流體時(shí)均速度大 。它引起y層上流體速度有一個(gè)正的脈動(dòng)，其值 。同理，當(dāng)流體微團(tuán)從y層脈動(dòng)到 層時(shí)

24、，使 層的流體有一個(gè)負(fù)的脈動(dòng)速度，其大小也是 。 圖10.5湍流的混合長(zhǎng)度 普朗特又做出第二個(gè)假設(shè)，他認(rèn)為y方向的脈動(dòng)速度成正比。其根據(jù)可用圖10.5說(shuō)明。兩層流體混合時(shí)，由于上下兩層流體的速度差為 ，因此兩流體質(zhì)點(diǎn)間相互作用從而引起橫向脈動(dòng)，速度為 。顯然第二個(gè)假設(shè)成立，即普朗特引入了混合長(zhǎng)度的概念，確定了脈動(dòng)速度 的大小與時(shí)均速度梯度之間的關(guān)系，從而確定湍流切應(yīng)力的大小。式中混合長(zhǎng)度 尚未確定，因此可取 。這樣湍流切應(yīng)力就可以寫(xiě)為 考慮到湍流切應(yīng)力的符號(hào) 應(yīng)與粘性切應(yīng)力的符號(hào) 相同。為標(biāo)出符號(hào)，上式可寫(xiě)成（10.61） 式中， ，混合長(zhǎng)度 一般需要實(shí)驗(yàn)確定。10.5附面層基本知識(shí) 10.5

25、.1附面層的概念 1附面層厚度及流動(dòng)阻力 粘性是流體的重要屬性。根據(jù)流體粘性的特點(diǎn)，在靠近物體表面處，流體將粘附在物面上而流速為零，即滿足無(wú)滑移條件。而沿物面的法線方向上，流速逐漸增加，到某一距離處，流速與外邊界速度近似相等。我們定義靠近物體表面，存在較大速度梯度的薄層為附面層或邊界層。通常定義當(dāng)V=0.99V0（V0為附面層外邊界的速度）時(shí)的垂直物面的法向距離為附面 層厚度，用 表示。在航空上，有實(shí)際意義的問(wèn)題大多屬于大雷諾數(shù)下的流動(dòng)問(wèn)題。此時(shí)緊貼物面法線方向速度梯度很大的這一層都是很薄的，因此附面層厚度 是個(gè)小量。氣流流過(guò)物體表面的距離越長(zhǎng)，附面層厚度也越大，即附面層厚度隨氣流流過(guò)物體的距

26、離而增加。粘性影響較大的另一種情況是流體在物體后面的部分，通常要離開(kāi)物體的表面，即在物體后面形成所謂的尾跡區(qū)。由于粘性的作用較強(qiáng)，粘性切應(yīng)力作用較大，因而形成流動(dòng)阻力。顯然，該阻力產(chǎn)生的根源是流體與物體表面之間的摩擦以及附面層分離引起的。之外，由于附面層脫離后的尾跡區(qū)中，還會(huì)導(dǎo)致物體表面上產(chǎn)生流動(dòng)方向的壓力差，因而形成所謂的壓差阻力。在附面層外邊界，流速接近于外邊界速度，因此附面層外邊界的速度梯度很小。而空氣的粘性系數(shù)也很小，所以在附面層之外，可以忽略粘性的影響，而作為理想流動(dòng)來(lái)處理?？傊诳拷矬w表面的附面層內(nèi)以及在物體之后的尾跡區(qū)內(nèi)，粘性都有顯著的影響。 2附面層中沿物面的法向壓強(qiáng)保持近

27、似不變 在附面層內(nèi)，除了速度梯度 很大外，還有另外一個(gè)重要的特點(diǎn)，對(duì)于物面曲率半徑比較大，即物面不太彎曲的情況，沿著其物面的法線方向流體壓強(qiáng)保持近似不變。如果測(cè)量流體流過(guò)平板的附面層內(nèi)沿y方向的壓強(qiáng)梯度，的確可以得到在附面層內(nèi)壓強(qiáng)p沿y方向不變,即 。該結(jié)論非常重要，它可以使附面層運(yùn)動(dòng)方程大大簡(jiǎn)化。同時(shí)它還使得理想流體的結(jié)論具有實(shí)際意義。當(dāng)按理想流體理論計(jì)算附面層外邊界的壓強(qiáng)分布后，即可得到物面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的壓強(qiáng)。3位移厚度 和動(dòng)量損失厚度所謂的位移厚度 就是由于附面層內(nèi)速度降低而要求流道加寬的厚度，即全部粘流所占的流道比無(wú)粘流體流動(dòng)應(yīng)占流道所加寬的部分，即是位移厚度。 圖10.6 附面層位移厚度

28、設(shè)物體上某點(diǎn)處的附面層厚度為 如圖10.6所示，垂直紙面方向?yàn)閱挝粚挾?。則粘性流體與理想流體同時(shí)流過(guò)該物面時(shí)，由于粘性流體中附面層的影響，所減少的質(zhì)量流量為其中 是附面層外邊界處理想流體的密度和速度； 分別是附面層內(nèi)的密度和速度。這些減少的質(zhì)量流量要在主流中擠出 的距離才能流過(guò)去。因此它應(yīng)等于以理想流體 流過(guò) 距離上的質(zhì)量流量，即所以得 （10.62） 由此可見(jiàn)，在質(zhì)量流量相等的條件下，猶如將理想流體的流動(dòng)區(qū)域自物面向外移動(dòng)了一個(gè) 的距離。它表示了由于粘性的作用，附面層內(nèi)流體質(zhì)量流量相對(duì)理想流體減小的程度。 對(duì)于不可壓流體，上式可改寫(xiě)為 (10.63) 根據(jù)以上的分析，如果按理想流體設(shè)計(jì)的型面

29、，為了使相同質(zhì)量流量的粘性流體能夠通過(guò)則物面應(yīng)向外移動(dòng)一個(gè) 的距離。位移厚度的概念，對(duì)于流動(dòng)方向要求嚴(yán)格的流道設(shè)計(jì)具有重要的意義。特別是對(duì)于管道內(nèi)出現(xiàn)聲速截面時(shí)，實(shí)際管道壁面必須進(jìn)行修正。由于流通面積的復(fù)雜性，精確的 的距離很難計(jì)算準(zhǔn)確，下面給出一種相對(duì)簡(jiǎn)便的近似方法進(jìn)行修正，即設(shè)附面層位移厚度取決于當(dāng)?shù)伛R赫數(shù)和沿流動(dòng)下游的距離，即假設(shè)位移厚度與流向距離成正比，則根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知位移厚度隨馬赫數(shù)的變化按下列規(guī)律確定： （a） （b） 式中， 與馬赫數(shù)的關(guān)系為 式中， 式（a）和（b）適合于設(shè)計(jì)馬赫數(shù)直到10的超聲速及高超聲速噴管。 由于附面層內(nèi)的流速小于理想流體的流速，因此附面層內(nèi)流體的動(dòng)量也會(huì)減小

30、。單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)附面層厚度 的流體實(shí)際具有的動(dòng)量為 ，此部分流體若以附面層外邊界上理想流體速度 運(yùn)動(dòng)時(shí)，所具有的動(dòng)量為 ，因此其動(dòng)量損失應(yīng)等于單位時(shí)間內(nèi)以速度 、密度 的流體流過(guò)一層厚度為 的流體所具有的動(dòng)量，即 稱為動(dòng)量損失厚度，即 （10.64） 對(duì)不可壓縮流體， ， 則（10.65） 10.5.2附面層的轉(zhuǎn)捩根據(jù)雷諾實(shí)驗(yàn)，粘性流體存在著兩種流態(tài)，即層流和湍流。附面層流動(dòng)和管流一樣有層流附面層和湍流附面層之分。實(shí)驗(yàn)觀察表明，流體從物體前緣開(kāi)始，先形成層流附面層。層流附面層的存在有一個(gè)極限情況，超過(guò)此極限時(shí)，層流處于不穩(wěn)定狀態(tài)，并逐漸過(guò)渡為湍流附面層。圖10.7是均勻來(lái)流流過(guò)平板時(shí)的流動(dòng)圖形

31、，圖中O-A稱為層流附面層，A-B稱為轉(zhuǎn)圖10.7 平板上的附面層 捩段，轉(zhuǎn)捩起點(diǎn)A距平板前緣的距離用 表示，對(duì)應(yīng)于轉(zhuǎn)捩點(diǎn)A的雷諾數(shù)稱為臨界雷諾數(shù)，即 ,通常轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)的大小要由實(shí)驗(yàn)確定。一般地對(duì)于繞平板的流動(dòng)，經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)捩段A-B后，即 附面層轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧?。?可以 得到轉(zhuǎn)捩點(diǎn)的位置： （10.66） 由上式可見(jiàn)，轉(zhuǎn)捩點(diǎn)的位置與流體的粘性系數(shù)、密度、來(lái)流速度和臨界雷諾數(shù)有關(guān)。文獻(xiàn)5引用了米歇爾（Michel）基于實(shí)驗(yàn)提出的轉(zhuǎn)捩點(diǎn)位置XT和相應(yīng)的動(dòng)量損失厚度之間的關(guān)系為（10.66 a） 參考文獻(xiàn)6給出了經(jīng)過(guò)改進(jìn)的半經(jīng)驗(yàn)公式 只要速度分布光滑和表面光滑，上式提供了確定轉(zhuǎn)捩點(diǎn)位置的較好的方法。 （10

32、.66 b） 10.6附面層微分方程 附面層概念的提出，可以將粘性流動(dòng)的求解簡(jiǎn)化為求解附面層內(nèi)的流動(dòng)和附面層外邊界的理想流動(dòng)。要求解附面層內(nèi)的詳細(xì)流動(dòng)細(xì)節(jié)，必須求解附面層微分方程。10.6.1層流附面層微分方程 由于附面層內(nèi)的流動(dòng)為粘性流動(dòng)，因此應(yīng)符合 方程，所以可以根據(jù)附面層的特點(diǎn)，將 方程簡(jiǎn)化得到附面層微分方程。為了簡(jiǎn)化推導(dǎo)，考慮二維不可壓縮層流流動(dòng)，取物面為 坐標(biāo)軸，垂直于物面為 軸。如果忽略壁面曲率和質(zhì)量力的影響，則連續(xù)方程和 可表示為 （10.68） 為了簡(jiǎn)化式（10.68），對(duì)它進(jìn)行無(wú)量綱化。根據(jù)附面層流動(dòng)的特點(diǎn)，選取附面層外邊界速度 、物體的特征長(zhǎng)度 、附面層厚度 及密度 為特征

33、量，對(duì)上式進(jìn)行無(wú)量綱化，即令（10.69） 式中， 。將式（10.69）代入基本方程式（10.68）可得（10.70） 上式中帶“ ”的物理量的數(shù)量級(jí)均為1，因此各項(xiàng)的量級(jí)取決于相應(yīng)的系數(shù)的量級(jí)。由于在附面層中 ，所以方程中帶有的項(xiàng)可以忽略。方程變?yōu)椋?0.71） 利用式（10.69），可將上式還原為有量綱形式的方程，即（10.72） 上式即為平面壁的二維不可壓層流附面層方程。由上式的最后一個(gè)方程可以看出，對(duì)于直壁，沿垂直于壁面方向，壓強(qiáng)近似保持不變。即附面層內(nèi)橫向截面上的壓強(qiáng)近似等于附面層外邊界處的主流壓強(qiáng)。因此在求解繞平面物體（或物面曲率半徑比較大的物體）的流動(dòng)時(shí)，第三個(gè)方程可以去掉,而壓

34、強(qiáng)可以用附面層外邊界的壓強(qiáng)代替 。因此，平面壁的二維不可壓附面層方程為 （10.73a） （10.73b） 對(duì)于曲面物體，采用沿曲面壁方向作為 坐標(biāo)軸， 軸與 坐標(biāo)軸垂直并從壁面算起。采用正交曲線坐標(biāo)系，并采用與上述同樣的分析方法，考慮到物面的曲率半徑為 ，經(jīng)數(shù)量及分析后，得到曲線坐標(biāo)系中的附面層方程為（10.74） 由上式可以看出，對(duì)于曲壁的情況，由于壁面彎曲產(chǎn)生的離心力，使得橫向的壓強(qiáng)梯度不為零，顯然這是由于壁面彎曲造成的。 求解附面層方程（10.73）或（10.74），必須根據(jù)具體問(wèn)題提出相應(yīng)的邊界條件和初始條件。下面給出初始條件和附面層內(nèi)外邊界上的邊界條件。 初始條件： 時(shí)， ， 邊界

35、條件： 1） 在物面上，滿足物滑移條件，即 時(shí)， ； 2) 在附面層外邊界，滿足外邊界條件，即 時(shí)， ， 其中 附面層外邊界上的理想流體的速度，可以通過(guò)附面層外的無(wú)粘流動(dòng)求出。 10.6.2湍流附面層微分方程 對(duì)于二維不可壓湍流附面層， 方程（10.68）中的動(dòng)量方程中存在有湍流切應(yīng)力的附加應(yīng)力項(xiàng)，省略各時(shí)均化參數(shù)的記號(hào)，則有經(jīng)過(guò)數(shù)量級(jí)的分析，湍流附面層方程可以寫(xiě)成如下形式： （10.76） （10.75） 10.7附面層積分方程 雖然附面層微分方程比較有了很大的簡(jiǎn)化，但是要求解這一組偏微分方程，其計(jì)算工作量仍然很大，需要借助于計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值求解。求解附面層問(wèn)題的另一種方法是附面層積分法。這種

36、方法的基本思想是使流動(dòng)參數(shù)在總體上滿足附面層基本方程。在求解時(shí)，近似的給定一個(gè)只依賴于x坐標(biāo)的單參數(shù)速度分布來(lái)代替附面層內(nèi)真實(shí)的速度分布。解法的精確度取決于所選定的速度分布。10.7.1 附面層的動(dòng)量積分方程 附面層積分方程可以由兩種方法導(dǎo)出，一種是將附面層微分方程在整個(gè)附面層厚度 的區(qū)間上積分，另一種是在附面層內(nèi)取一微元段，運(yùn)用基本方程。前者主要是從數(shù)學(xué)上推導(dǎo)，而后者的物理概念比較清楚。下面我們采用后一種推導(dǎo)方法來(lái)得出附面層動(dòng)量積分方程。圖10.8 動(dòng)量積分方程的推導(dǎo) 圖10.8 給出了附面層內(nèi)流體沿某一壁面的流動(dòng)。設(shè)流動(dòng)為定常的平面不可壓縮流動(dòng)。在附面層中取一微元控制體ABDCA，其中AB

37、和CD是垂直于壁面的兩個(gè)控制面，相距為dx，BD是壁面，AC是附面層外邊界。垂直于紙面控制體的寬度取單位寬度。對(duì)控制體運(yùn)用動(dòng)量定理。 由于dx是無(wú)限小量，所以將AC邊界上的流體速度都看作是 ，實(shí)際上， 是 的函數(shù)， 由壁面形狀決定。在單位時(shí)間內(nèi)，通過(guò)界面流出與流入控制體的動(dòng)量的差值為AB面上x(chóng)方向的作用力CD 面上AC面上BD面上進(jìn)一步分析作用在控制體上的力。因?yàn)樵诟矫鎸觾?nèi) ，所以在 AB，CD面上的壓強(qiáng)沿y方向沒(méi)有變化，于是沿x方向作用在控制體上的力有如下幾項(xiàng)：在上表中，AC面上的壓強(qiáng)取A點(diǎn)和C點(diǎn)的壓強(qiáng)的平均值。AC面積在x方向的投影面積大小為 。符號(hào) 表示壁面上的摩擦應(yīng)力。CD和BD上的作

38、用力方向與x方向相反 ，所以都帶有負(fù)號(hào)。 作用在控制體上沿x方向上的合力經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)整理后得 根據(jù)動(dòng)量定理，作用在控制體上所有作用力的合力等于單位時(shí)間流出和流入控制體動(dòng)量之差，即： 即： （10.77） 式（10.77）稱附面層積分方程。該方程對(duì)于層流附面層和湍流附面層都適用。對(duì)于后一種情況，可直接將附面層連續(xù)和動(dòng)量方程相加后沿附面層積分得到，積分時(shí)注意到在壁面上及附面層外邊界處湍流應(yīng)力等于零。對(duì)不可壓流，式（10.77）化為 （10.78） 式（10.78）右端的壓強(qiáng)梯度可以根據(jù)附面層外邊界的理想流動(dòng)得出。根據(jù)柏努利方程對(duì)x求導(dǎo)后得注意到 ，則（10.78）式右側(cè)第一項(xiàng)寫(xiě)為 a) 式（10.78

39、）左側(cè)第二項(xiàng)，按兩函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則，有 b) 將a)、b)兩式帶入式（10.78）可得 根據(jù) 和 的定義式，上式可進(jìn)一步化成 展開(kāi)合并同類(lèi)項(xiàng)，最后得到 （10.79） 式（10.79）即為附面層動(dòng)量積分方程。 在式（10.79）中，一共有四個(gè)未知數(shù) 、 、 和 ，其中， 未知數(shù) 是由理想流動(dòng)計(jì)算獲得，而 和 由 和 決定，因此方程尚有三個(gè)未知量 、 和 。在求解式（10.79）時(shí)，通常補(bǔ)充附面層內(nèi)速度分布 和壁面摩擦切應(yīng)力 的表達(dá)式。10.7.2速度分布在邊界上應(yīng)滿足的邊界條件 用積分法求解附面層時(shí)，需要補(bǔ)充附面層內(nèi)的速度分布。雖然所選定的速度分布不能精確地表示附面層內(nèi)的流動(dòng)，但是可以精確地

40、滿足邊界條件。在附面層外邊界上，粘性流可以近似地看作理想流體，因此在外邊界上，它們的速度和各階導(dǎo)數(shù)都相等，即 時(shí)， （10.80）在壁面上，應(yīng)滿足無(wú)滑移條件，即 時(shí) （10.81） 如果將此條件用于附面層動(dòng)量積分方程 則可得到另一個(gè)邊界條件，即 時(shí) （10.82） 再把動(dòng)量方程對(duì)y求導(dǎo)，有 根據(jù)連續(xù)方程和無(wú)滑移條件，又可得到一個(gè)邊界條件，即 時(shí) （10.83）只要選定的速度分別滿足邊界條件，則表明它在近物體表面和邊界層外部附近都和真實(shí)速度分布接近。在附面層中間部分雖然可能有一定的誤差，但是在應(yīng)用積分法時(shí)，由于總體上滿足動(dòng)量積分方程，因此可以得到滿足工程需要的結(jié)果。 在上述邊界條件中，無(wú)滑移條件

41、（10.81）和壓強(qiáng)梯度條件（10.82）反映了物面及物面形狀對(duì)速度分布的影響，因此在附面層計(jì)算中，為了保證一定計(jì)算精度，應(yīng)滿足這些條件。 10.7.3不可壓縮平板層流附面層計(jì)算 有一直勻流速度為 ，密度為 流過(guò)如圖10.7所示的平板。假設(shè)平板的厚度無(wú)限薄，平板長(zhǎng)度為1，寬度為b,下面用上節(jié)介紹的附面層積分法對(duì)其進(jìn)行求解，求解的內(nèi)容有：速度近似分布；附面層厚度；切應(yīng)力；摩擦阻力系數(shù)等。 根據(jù)假設(shè)，可以認(rèn)為平板不影響附面層外的流動(dòng)，仍然可以將附面層以外的流動(dòng)看成是與平板平行的理想流動(dòng)。于是，附面層外的流速 ，且沿平板 。將其代入動(dòng)量積分關(guān)系式（10.79），則方程簡(jiǎn)化為（10.84） 為了求解式

42、（10.84），需要補(bǔ)充兩個(gè)關(guān)系式，即附面層內(nèi)的速度分布和壁面上的摩擦應(yīng)力關(guān)系式。求速度分布的步驟為：首先假設(shè)速度分布為的冪函數(shù) ，即 式中的待定系數(shù) 是未知的，它們必須由速度分布應(yīng)遵循的邊界條件確定。式中的冪次方 可根據(jù)具體要求選取。實(shí)驗(yàn)證明，取 ，即可與實(shí)驗(yàn)得到的速度分布曲線吻合很好，即 式中的三個(gè)系數(shù)必須由三個(gè)邊界條件確定。這些邊界條件是： 1）在物面上， ，代入上式，得 2）在附面層外邊界上， ，可得 3）在附面層外邊界上， ，可得 由以上各式，可以確定 。于是，速度分布為 或 （10.85） 需要補(bǔ)充的第二個(gè)關(guān)系式是牛頓內(nèi)摩擦定律，它提供了 的關(guān)系式 （10.86） 利用補(bǔ)充方程（1

43、0.85）、（10.86）和動(dòng)量積分方程（10.84），聯(lián)立求解即可得到附面層內(nèi)所需要的有關(guān)結(jié)果。 由速度分布可求得動(dòng)量損失厚度于是， （10.87） 將（10.86）、（10.87）代入式（10.84）得 整理上式后得 積分為 故得附面層厚度隨 的變化關(guān)系為 （10.88a） 或 （10.88b）式中， 是距平板前緣為x處的當(dāng)?shù)乩字Z數(shù)。由上式可見(jiàn)，層流附面層厚度與 成正比，與當(dāng)?shù)乩字Z數(shù)的平方根成反比。（10.89） 將 代回式（10.86），經(jīng)化簡(jiǎn)后可得平板表面上的切應(yīng)力分布為當(dāng)?shù)啬Σ磷枇ο禂?shù) 定義為 ，將式（10.89）代入可得層流附面層的 ，即 （10.90） 作用在寬度為b的平板上表面

44、的摩擦阻力，積分式（10.89），即（10.91） 整個(gè)平板的上表面的摩擦阻力系數(shù)定義為 （10.92） 式中，10.7.4光滑平板不可壓湍流附面層計(jì)算一般情況，如果繞物體的附面層不發(fā)生嚴(yán)重的脫體現(xiàn)象，曲壁附面層的摩擦阻力與平板情形相差不大，因此可以簡(jiǎn)化計(jì)算。一、光滑平板湍流附面層 當(dāng)流動(dòng)雷諾數(shù)足夠大時(shí)，在靠近平板前緣一段是層流附面層，而靠近平板后一段是湍流附面層，下面討論假設(shè)平板從前緣開(kāi)始就是湍流附面層的情況。 為了求解湍流附面層，根據(jù)普朗特的假設(shè)：沿平板的附面層流動(dòng)與管流的情況沒(méi)有顯著的差別。因此對(duì)于充分發(fā)展的湍流，可以把管流看作一種附面層流動(dòng)，其中附面層厚度已達(dá)到管道半徑，管中心的最大速

45、度 相當(dāng)于附面層外邊界的速度 。實(shí)驗(yàn)證明，當(dāng) 時(shí)，平板湍流附面層的速度分布與管流的速度分布一致。切應(yīng)力的關(guān)系也可采用圓管的結(jié)果。湍流流動(dòng)的速度分布可以根據(jù)半經(jīng)驗(yàn)的對(duì)數(shù)分布規(guī)律，也可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)的冪次方的分布規(guī)律，現(xiàn)采用后者作為第一個(gè)補(bǔ)充方程，即（10.93） 代入附面層動(dòng)量損失厚度的表達(dá)式可得 故 （10.94） 第二個(gè)補(bǔ)充方程為 的關(guān)系式。對(duì)于光滑圓管中的湍流流動(dòng)，當(dāng) 時(shí)，沿程損失系數(shù)（10.95） 式中， ， 是平均速度，當(dāng)用七分之一次方分布時(shí)，它與圓管軸線上的速度 的關(guān)系是 。當(dāng)用圓管中的結(jié)果于附面層計(jì)算時(shí)，要用附面層厚度去代替管徑即 ：用附面層外邊界上的速度 去代替 ，這樣，應(yīng)用壁面切應(yīng)

46、力 與 的關(guān)系，并應(yīng)用式（10.95）就可得到 的表達(dá)式。 （10.96） 將式（10.94），（10.96）代入附面層積分關(guān)系式得簡(jiǎn)化后得到 積分后得到附面層厚度隨 的變化 （10.97） 或 應(yīng)用式（10.96），（10.97），可以得到平板湍流附面層當(dāng)?shù)啬Σ料禂?shù)為 平板上部的摩擦阻力系數(shù)及摩擦阻力為 其中， 上面的公式是應(yīng)用七分之一次方速度分布得出的結(jié)果，一般認(rèn)為在 的范圍內(nèi)較合適，隨著 的增加，偏差也增大。通常在 的范圍內(nèi)采用下列計(jì)算公式二、湍流附面層與層流附面層的比較 湍流附面層與層流附面層在基本特性上有較大差別：（1）.湍流附面層的速度分布曲線比層流速度分布曲線要飽滿得多，附面層內(nèi)

47、流體平均動(dòng)量比層流的大，因此不易分離；（2）湍流附面層的厚度比層流附面層的厚度增長(zhǎng)的快，因?yàn)橥牧鞲矫鎸拥?與 成正比，而層流附面層的 與 成正比，可見(jiàn)湍流附面層比層流附面層要厚得多；（3）對(duì)于湍流附面層來(lái)說(shuō)，作用在平板上的摩擦阻力 與 參數(shù) 及 成正比；對(duì)于層流附面層來(lái)說(shuō)，作用在平板上的摩擦阻力 與 及 成正比；因此，從減小摩擦阻力來(lái)看，層流附面層將優(yōu)于湍流附面層。10.7.5光滑平板混合附面層計(jì)算在高雷諾數(shù)的情況下，繞物體流動(dòng)的附面層往往是混合附面層，即從平板前緣開(kāi)始先是一段層流附面層，經(jīng)過(guò)過(guò)度段再變?yōu)橥牧鞲矫鎸尤鐖D10.9所示。在計(jì)算中忽略過(guò)渡段，即認(rèn)為從轉(zhuǎn)捩點(diǎn)開(kāi)始，都是湍流附面層，混合附面層的摩擦阻力計(jì)算方法如下：圖10.9高雷諾數(shù)的情況下混合附面層令 表示平板總長(zhǎng)度； 表示平板上層流附面層長(zhǎng)度； 表示從前緣開(kāi)始平板上全為湍流附面層時(shí)的摩擦阻力系數(shù)； 表示段上為湍