反常積分和函數(shù)

1、第一張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月1復(fù)習(xí)定積分的幾何意義：由一條連續(xù)曲線表示和三條直線x=a,x=b,y=0 所圍成的曲邊梯形的面積abxyo定積分有 :2.被積函數(shù)是有界函數(shù).1.積分區(qū)間是有限區(qū)間,第二張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2一、無窮限上的反常積分二、無界函數(shù)的反常積分三、 函數(shù)第五節(jié) 反常積分與函數(shù) 第六章 第三張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月3引例：求由曲線y=1/x2 ，直線x=1和y=0圍成圖形的面積.xyo1xyo1t一、無窮區(qū)間上的反常積分因第四張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月4定義：設(shè)在內(nèi)連續(xù)，取如果極限存在，則此極限叫函數(shù)

2、在無窮區(qū)間內(nèi)的反常積分.記作即此時也稱反常積分收斂.否則稱反常積分發(fā)散.注意：反常積分發(fā)散時，仍用記號表示.但只是形式上寫出，不表數(shù)值.一、無窮區(qū)間上的反常積分第五張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月5無窮積分的幾何意義 若對一切xa,+),有f(x)0,且 收斂,則 表示的就是由曲線y=f(x),直線xa和x軸圍成的無窮區(qū)域的面積,若 發(fā)散,則該無窮區(qū)域沒有有限面積. 第六張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月6解由定義知：顯然不存在.故發(fā)散.例1計算反常積分第七張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月7注意:為了簡便起見,另解記解若原式例2 計算反常積分第八張，PPT共三十五頁

3、，創(chuàng)作于2022年6月8證例3證明反常積分當(dāng)p1時收斂，當(dāng)發(fā)散.故當(dāng)p1時，該反常積分收斂于當(dāng)時，該反常積分發(fā)散.第九張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月9設(shè)在內(nèi)連續(xù)，取如果極限存在，則此極限稱為函數(shù)在無窮區(qū)間內(nèi)的反常積分.記作即此時稱反常積分否則稱反常積分發(fā)散.定義2第十張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月10設(shè)在內(nèi)連續(xù)，如果都收斂，則稱兩反常積分之和為在無窮區(qū)間上的反常積分.記作即此時也稱反常積分否則稱反常積分發(fā)散.定義3第十一張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月11一般地：若是的原函數(shù)，則計算方法：例4計算解第十二張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月12解因為 不

4、存在，所以反常積分發(fā)散.注意: 對反常積分, 只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零” 的性質(zhì), 否則會出現(xiàn)錯誤 .例5討論反常積分的斂散性.第十三張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月13二、無界函數(shù)的反常積分(又稱為瑕積分).yxo11yxo11引例：求由曲線 ，及x=0、 x=1和y=0圍成圖形的面積.解：取充分小因第十四張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月14二、無界函數(shù)的反常積分(又稱為瑕積分).例子或或第十五張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月152.瑕積分定義設(shè)在上連續(xù)，而如果極限存在，則稱此極限值叫在上的反常積分.記作即有(又叫瑕積分).此時稱反常積分收斂.若該極

5、限不存在，稱其發(fā)散.(這時稱a是瑕點)，類似地定義：在處為瑕點，則反常積分第十六張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月16另有：若是瑕點時，注意：與同時收斂.才收斂.否則，發(fā)散.2.計算方法：若是的原函數(shù)，當(dāng)a為瑕點時，其中當(dāng)b為瑕點時，其中第十七張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月17解故所給反常積分是收斂的.例6 討論反常積分的斂散性.所以x=a是被積函數(shù)的無窮間斷點.第十八張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月18例7討論反常積分的斂散性.解在上除外連續(xù)，且是的瑕點.則 由于所以發(fā)散，因而發(fā)散.第十九張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月19證因此當(dāng)q1時反常積分收斂， 其值為當(dāng)時反常積分發(fā)散.例8證明反常積分當(dāng)q0).解第三十三張，PPT共三十五頁，創(chuàng)