高三數(shù)學新增教材專題――向量

1、高三數(shù)學新增教材專題-向量河北 劉尚超（063600）平面向量是這次（教材改革新增加的內(nèi)容之一.按新大綱的教學目標和要求， 主要內(nèi)容有向量的概念與性質(zhì)，向量的四種基本運算.向量的簡單應用.其中的重點是向量的運算與簡單應用分析近年的高考試題，有關平面向量部分突出考查了向量的基本運算.由于新教材是首次增加這部分 內(nèi)容，而且大綱要求重在基礎，加之教學中師生還有一個逐步適應的過程.所以預計單獨考查平面向量的 題目應屬基本運算之類，將會以填空題或選擇屬的形式出現(xiàn)1個題目.對于和解析幾何相關的線段的定比分點和平移等交叉內(nèi)容，作為將來學習解析幾何的基本工具，在相關內(nèi)容中也可能會進行考查.本章的另一部分是解斜

2、三角形，它是從初中教材中遂步分離并劃歸到高中教材中的一部分內(nèi)穿.從知 識體系上看，應屬于三角函數(shù)一章，從研究方法上看，應屬于向量應用的一個方面.近幾年的全國高考試 題逐漸加大了對這部分三角內(nèi)容的考查力度，主要是在三角形中考查正弦定理、余弦定理與三角恒等變形 等知識的綜合應用.由于向量溝通著初中數(shù)學的有關知識，與高中數(shù)學中的函數(shù)、三角、解析幾何、立幾幾何的知識密切 相關，較之導數(shù)、概率統(tǒng)計知識更為活躍、更為重要。一、向量正成為支撐高中數(shù)學學科的重點知識2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱（理科數(shù)學。新課程版）明確指出：“對數(shù)學基礎知識的考查，要求全面又突出重點，對于支撐學科知識體系的重點知

3、識，考查時要保持較高的比例，構成數(shù)學 試題的主體，注重學科的內(nèi)在聯(lián)系，不刻意追求知識的覆蓋面，從學科的整體高度和思維價值的高度考慮 問題，在知識網(wǎng)絡交匯點設計試題，考查達到必要的深度。 ” 由于新課程的新增加 的內(nèi)容大都是近年來現(xiàn)代數(shù)學的重要基礎，對于學生對于數(shù)學學科的學習興趣、增 強學生的數(shù)學應用意識，都具有十分重要而深遠的意義，并且它們必然成為支撐數(shù)學學科知識體系的重點 知識，從而他成為保持較高的比例，構成數(shù)學試題的組提的終于只是啊板塊，在向量的在新高考試卷中頻 頻出現(xiàn)，引起大家的注意和關注，對改革傳統(tǒng)高中數(shù)學教育學都產(chǎn)生意義深遠的影響和積極的作用。向量的特有的“神”（坐標形式）形（幾何形

4、式）兼?zhèn)溥@一特征，時向量及其平行、垂直的充要條件 都有其坐標表示形式和幾何表示形式，加之向量的數(shù)量積不僅是一個數(shù)值，而且與向量的夾角及其余弦值 密切聯(lián)系，使得它必然成為溝通數(shù)學個主要分支（解析幾何、立體幾何、三角知識、數(shù)列等知識），嫁接數(shù)學知識之間橫向聯(lián)系的重要橋梁和紐帶，決定了作為新課程卷新增內(nèi)容的向量必然成為支撐數(shù)學學科知 識體系的重點知識，近年來向量的所占的比例大約在30分左右，約占全卷的 20%,向量作為現(xiàn)代數(shù)學的重要基礎進入高中數(shù)學知識體系后，不僅確定立即成為支撐數(shù)學學科的重要知識，也是學習和研究許多重要數(shù)學問題的通性通法的強有力的工具，“注重通性通法，淡化特殊技巧”是近幾年高空新命

5、題的重要理念之一，向量是高中數(shù)學的重要工 具之一，向量作為工具不僅在處理三角、不等式、解幾、立幾問題時顯得簡捷、明快，而且在中學其它學 科也有廣泛的應用，向量的概念與運算包含著豐富的數(shù)學語言，常見形式主要有三種：一是自然語言，二 是符號語言，三是圖形語言，這三種語言本質(zhì)上是等價的，但不同的語義給人不同的信息，因此靈活、準 確地進行語義轉(zhuǎn)換是正確、快速地用向量解題的保證。二、向量概念教學中的幾個似是而非的問題注意向量中一些不合常理的性質(zhì)：如向量不是有向線段，但卻用有向線段表示；（向量有大小方向，但與起點無關，有向線段有大小、方向、和起點組成）向量有大小卻不可以進行大小比較；（向量是一個有大小的量

6、，它可以用數(shù)來表示它的大?。＃杭赐蛴帜Ｏ嗟鹊那闆r下,但它卻不可以進行大小比較，同時向量在一個特殊的情況下可以比較大小,存在a =6)零向量方向是任意的， 但可平行卻不可垂直；（零向量的方向是任意的，因此可以和任意向量平行,但卻不可以與任何向量垂直，因此a 6 = 03a_Lb是錯誤的，必須加上 a,b都是非零向量。向量運算滿足交換律、分配律，但滿足結合律、消去律。（a（b c） = （a b）c, a b = a c= a = c都是錯誤的）向量有坐標，但坐標卻與向量無關；（向量（3, 2）并不意味著向量過點（3, 2），2 ，一22 a，a=a ,，但 a b = ab #|a |b

7、|,常見的錯誤有（a b） =a b ,2 ,2正確的式子是：（a b）2三a b ,| a b|H a | | b |OA OB = BA,但是OA + OB卻要畫輔助線。 a / b u x1y2 - x2 yl = 0,但 a / b不等彳于 a = .b （必須 b = 0）直線方向向量的夾角不一定是直線的夾角。三、向量解題中的通性常法平面向量具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重身份和內(nèi)涵，在高中數(shù)學中起著橋梁和工具的作用，涉及的 主要問題有線段定比分點，平移問題，三角問題、平面幾何，解析幾何等。平面向量在高考中處于解決問 題的輔助地位，在解題中具有獨特的功能.常作為工具與數(shù)列、三角函數(shù)、不等

8、式、解析幾何、立體幾何 等專題結合，綜合解決三角函數(shù)的化簡、求值及三角形中的有關問題，處理有關長度、角度、垂直等問題 以及圓錐曲線中的典型問題等.由于向量有其獨特的形式和內(nèi)涵，因此解題方法也多種多樣，各領風騷，主要的有以下幾種：1.巧用“回路”在平面封閉圖形中，根據(jù)首尾相接的向量和為零向量，構造出一個向量等式，再根據(jù)向量加法的三角 形法則、平行四邊形法則進行化簡求解?！纠咳鐖D，已知任意平面四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，求證：|EF| = ；（ Ab +dc）.【分析】根據(jù)求證的內(nèi)容，將 EF轉(zhuǎn)化為向量 AB、DC的和、差形式表示，充分運用如、減法的運算法則完成.【證明】如圖

9、，在四邊形 CDEF中，EF + FC + CD +DE =0.在四邊形 ABFE 中，EF + FB +BA+AE = 0. + 得(EF + EF) + ( FC+FB) + (CD+BA) + ( DE + AE) =0.E、F 分別是 AD、BC 的中點，F(xiàn)C+ FB r0, DE +AE = 0.-2eF=- Cd - Ba= Ab + Dc .因此 EF = 1（ Ab + Dc）.2【評析】在四邊形 CDE陵口在四邊形 ABFE中寫出向量的“回路”形式是破題的關鍵?！盎芈贰笔窍蛄拷忸}的一個特點，看似簡單，但其應用廣泛。2.數(shù)形結合由于向量具有代數(shù)和幾何的雙重特征，因此充分挖掘問題

10、的幾何背景，數(shù)形結合往往是化解問題難點的制勝法寶。【例】（2003年高考新課程題）設0是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三點，動點 P滿足AB AC OP=OA+M - +)，九W 0,也),則P點的軌跡通過 ABC的(|AB| |AC|（A）外心，（B）內(nèi)心 （C） 重心（D）AABC的垂心.【分析】注意AB AN,| AB | | AN |是單位向量，利用向量加法的三角形法則作圖求解。AB AN _ 【解】記 AM =, AN，則 AM、AN 都是單位向量，設 AQ= AM + AN , |AM |=|AN |,| AB | AN |. AMPN 是菱形，AQ 平分 NBAC,：

11、OP=OA + AP,而由條件知 OP=OA AQ, . AP = , AQ（0,二），.點P的軌跡是射線 AQ ,且AQ通過 ABC的內(nèi)心.，應選BoAB - AN 一【評析】如果設 AM =,AN ，則AM、AN都是單位向量，這是構造單位向量的一條捷徑.|AB| |AN|【例】點P為直線L上一點，A為L外一點，e為L上的單位向量，點 A為點A關于直線L的對稱點，若用e和pA表示pAi ,則pAi =.A1【分析】注意到對稱與垂直、中點的內(nèi)在聯(lián)系，并結合向量中射影的知識?！窘狻咳鐖D，作ab，l于b,則而=(PA e)e,AB = PBPA,所以城=而 函=而 而=2PB -PA =2(pA

12、e)e-pA.【評析】本題解法構思精巧，別出心裁，特別是 pb=(pa e)e是向量數(shù)量積幾何性質(zhì)的巧妙應用。【例】設x, yCR, i , j為直角坐標平面內(nèi)x, y軸正方向上的單位向量，若向量 a=xi + (y + 2) j ,b = xi + (y2) j 且|才|+|b |=8。求點 M (x, y)的軌跡方程；_ 一【解】因為 a = xi + (y + 2) j , b = xi + (y2) j 且|a|+|b|=8。 TOC o 1-5 h z 所以點M(x,y)到兩定點F1(0,2),F2(0,2)的距離之和為8。 HYPERLINK l bookmark49 o Curr

13、ent Document 22所以軌跡C為以Fi, F2為焦點的橢圓，方程為 +2 = 1。1216【評析】如果僅僅從代數(shù)的角度出發(fā)，將 | 5| +1 b | = 8轉(zhuǎn)化為Jx2 +(y+2)2 + & 十(y _ 2)2 = 8 , 則會遭遇“計算之痛”，而數(shù)形結合則巧妙求解，一氣呵成。3. “模”取平方模是向量的一個特性，許多問題都與此相關，向量的模形式上是距離和根式，它的解題方法以兩邊22平方為佳。| x H y |u | x |2 二| y |2u x = y是處理向量模常用的方法，通過平方以及利用向量數(shù)量積等知識轉(zhuǎn)為為實數(shù)的有關問題的研究。這種方法往往與數(shù)學中整體處理方法相結合?！?/p>

14、例】(2005年高考浙江卷(理)已知向量ae,d=1滿足：對任意te巳恒有百t%|引a%|,則 () I- F-I- * a. ateb. a (a - e)c. e!(a - e)d.( a + e)(a - e)【分析】|a te|R|a e|兩邊同時平方展開進行討論；【解】te r,恒有|ate|刁a e|,等價于|a -te|2河a e|2恒成立,即(ate) 2(a e) 2 恒成立.-fr fc- f展開整理得t22a et+(2a e-1)0對任意tCR均成立. TOC o 1-5 h z * 則需方程的判別式 =( 2a e)2 4(2a - e-1) 整理得(a - e)2-

15、2(a - e)+ 1 0,即(a - e- 1)20.a - e=1. f-fc-fH+f-fc-fe(a e)=e a -e2=11=0. e!(a -e). .應選 c.2 - 2- - -【評析】|xy|2 = (x y)2=x +y 2x ycos 是常用的一個公式，應熟練掌握。4 .“建基設系”利用平面向量基本定理， 即如果0、e.是同一平面的兩個不共線向量，則對這個平面內(nèi)的任意向量 a ,有且只有一對實數(shù) 人1、K 2,使a=九1 + K 2& .因此可以將平面上任何一個向量 a表示成不共線兩個向量的線性組合形式，這在證明相關的平面幾何時尤為常用。特別地，向量的中點公式一OM =

16、 (OA+OB),M 為 A、B 的中點?！纠吭?ABC內(nèi)求一點P,使AP2 +BP2 +CP2取得最小值，該點是三角形的A.垂心 B.內(nèi)心C.重心D,外心【分析】解決三角形的有關問題常常以兩邊為基底，將其它的量表示成基底的線性組合形式。【解】如圖，設 cA =a,cB =b,CP = x,AP =x-a,BP = x-b ,AP2 +BP2 +CP2 = (x-a)2 +(x-b)2 +x2 =3x2 -2(a+b)x + a2 + b2 TOC o 1-5 h z 11-12-2212 HYPERLINK l bookmark76 o Current Document =3x (a b)

17、 a b (a b). 33 HYPERLINK l bookmark78 o Current Document 199_9根據(jù)向量運算的意義，知當 x=3(a+b)時，AP2+BP2+CP2有最小值.設M為AB的中點，易知a + b=2CM1 2即當x=(a+b)時，CP= CM ,此時P為三角形的重心.33【評析】本題的關鍵在于建立一個以向量為變量的二次函數(shù)，因此，在解題重應消除只能以實數(shù)為變量的 原有定勢，只要任何一個量是變化的，不管量的性質(zhì)如何，就可以作為變量，從而建立以這個量為變量的 函數(shù).本題也說明了解決利用向量解三角形問題，常?？梢酝ㄟ^建立基向量的方法?！纠恳阎?ABC的三個頂

18、點A,B,C及平面內(nèi)一點 P,滿足PA+PB+PC=AB,則點P與4ABC的關系為()A、P在 ABC內(nèi)部 B、P在 ABC外部 C、P在AB邊所在直線上D、P是AC邊的一個三等分點【解】構作一個特殊三角形， 即以A為頂點的等腰直角三角形， 且A (0, 0), B (1,0), C (0,1),P(x, y)1.則由條件得x=0, y=，應選D。3【評析】利用平面直角坐標系將向量問題坐標化，是向量代數(shù)化的一條有效途徑，向量問題坐標化的優(yōu)點在于思路明晰、以算取勝。5.“算兩次”列方程算兩次的方法在數(shù)學解題中屢試不爽，同一個式子、同一個圖形、同一個問題從兩個不同的角度出發(fā)，得到不同的式子、方程，

19、從而為解決問題提供了方便。在平面向量中“算兩次”的方法運用的最為普遍的 是三點共線問題?！纠?ABC中，|AM| ： |AB| =1 ： 3, |AN| ： |AC| = 1 ： 4。線段 BN與 Cg于點E, AB = a, AC = b，試用a與b表示AE?！痉治觥坑脙煞N方式來刻劃 M E, C三點共線，并注意利用平面向量基本定理。1 -【解】.M E, C三點共線，且 AM =1AB設ME =tMC3由平面向量定理知，AE=t AC + (1-t) AM = t AC +又設 NE = s NB , AN = 1 AC ,4由平面向量定理知， AE=sAB+(1 s) AN=sAB +

20、AC。1-tAB ,3 AB , AC是 ABC的兩條邊向量,b不共線，由平面向量基本定理知，AE的表示唯一。解得,2 一 2 .3t = 2。AE= b + a111111【點撥指導】由 AE=t AC+ (1-t) AM , AE=sAB+ ( 1 s) AN ,和向量表示的唯一性，得到t = 1 -s ,且1t =s.這種“算兩次”的方法被廣泛的應用在利用向量解決幾何問題中，應反復琢磨，領43會要義.6.待定系數(shù)法待定系數(shù)法是常用的數(shù)學思想方法，在平面向量中關于向量的平行、三點共線、點的軌跡、最值問題 等都可以利用待定系數(shù)法，從而轉(zhuǎn)化為方程的求解?！纠恳阎獌牲c A(1, 0)、B (1

21、, 0),點P使AP?AB, AP?PB, BA? BP成公差小于等差數(shù)列,則PA與PB的夾角0的取值范圍是設 P (x, y),則由 2PA?PB= AP?AB+ BA? BP,得 x2 +y2=3.又由公差 d=(1-x) (x-1)一一一 PA PB0,則 0 xw 3 。所以 cos 0 =得PA PB1,1 - - 二=，匚(,1,得 0w 0 4-x223【例】已知 OP= (2, 1) OA= (1, 7), OB= (5, 1),設M是直線OP上的一點(O是坐標原點)，(1)求使MA MB取最小值時的OM ；(2)對(1)中求出的點 M,求/AMB的值?！痉治觥恳驗?M是直線O

22、P上的一點，所以設 OM =入OP并將MA MB表示成九的函數(shù)。求出了 M（2）就容易解決了。y + A【解】（1） : 0、P、M三點共線，設 OM =lOP=（2入，入），則MA =（1一2入，7 入），MB =（52 入,1入），mA - mB =5入 2-20 x + 12,當入=2時，mA mB取最小值，這時 oM =（4, 2）。 MA= (3, 5), MB =(1, - D, cosAMB =mA mb 17又 0 E ZAMB = OA (OB + OC)又 MC = -MB=OA 20M =2|OA|OM | cqs180o=-2|OA|QM |.又 iOA|+i而|=2,

23、|0A|0M0A1；10M |)2=i (當且僅當 |0A|=|而時取等號). OA - (OB + OC)=-2|OA|=|OM除2,即O為AM中點時，oA ( oB + OC )取最小彳1為一2.，應填一2?！驹u析】涉及兩個向量和的問題可聯(lián)想和構作中點、三角形的中線圖形?！纠咳鐖D，0、A、B是平面上一點，向量 oA= a, oB = b，設P是線段AB垂直平分線上任意一點,向量 OP = p。若 |a |= 3, |b |=2,則 p? ( a b )的值是。 TOC o 1-5 h z 1,-1_11_1【解】連結 0C,則 OC = (a +b), BA = a b,CP = p O

24、C.2因為 CPXBA,所以 CP BA=0(pOC) (ab)=0,-1 . -1,-2 -21-225故 p ? ( a - b)= OC ?(ab)= (a+b) ?(ab)= (a - b ) =-( a - b )= 一2222i ,、【評析】向量的中點公式實際上是提供了一個向量萬程0P =(OA +0B),能否充分挖掘和利用這一隱含2條件往往是解題的關鍵和難點。2004年全國高考(四川云南吉林黑龍江)理科數(shù)學第9題4 3、已知平面上直線l的萬向向重e=(,一)，點0 (0, 0)和A (1, 2)在l上的射影分別是 0和A,5 5 TOC o 1-5 h z 則0 A = ? e,

25、其中人=()A . 11B. -C. 2D. -255四、關于向量在立體幾何解題中的作用利用法向量求解和傳統(tǒng)方法相比具有明顯的優(yōu)勢。1、空間向量在許多問題的證明中有獨到之處。比如證明直線和平面垂直的判定定理，傳統(tǒng)方法是構造并多次利用平面幾何中的三角形全等，技巧性大，思想方法靈活（多次轉(zhuǎn)化），雖然解題方法典型但許多同學難以理解和熟練掌握，更不便于表述， 再比如，證明同垂直與一個平面的兩條直線平行，理解很簡單，真正書寫時不少同學無從下手，但使 用空間向量簡單明了，易于掌握?！纠浚?003年高考全國卷）如圖，直三棱柱ABG-AiBiG中，底面是等腰直角三角形，/ ACB=9CT ,側(cè)棱AA=2,

26、D、E分別是CG與AB的中點，點 E在平面ABD上的射影是 ABD的重心G.（1）求AiB與平面ABD所成角的大?。ńY果用反三角函數(shù)值表示）；（2）求點Ai到平面AED的距離【思路分析】本題涉及的垂直、度量、中點、重心等條件比較豐富，適合利用向量方法解題。當然用綜合 幾何的方法也可以解決，這時關鍵要充分利用中點、重心的條件，添加適當?shù)妮o助線，并注意在直角三角 形中射影定理的運用?！痉椒ㄟ^程】法一：解:連結BG，則BG是BE在面ABD上的射影，即/ ABG是AiB與平面ABD 所成的角.如圖所示建立坐標系，坐標原點為O,設CA=2a ,則 A(2 a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,i

27、)- 2a 2a i TOC o 1-5 h z A(2a,0,2),E(a,a,i),G().3 3 3一一 2 c 2.GE BD 二 一一a2 =0.解得a =i.33, BA =(22,2), BG =(-).3 3 3BA BG i4/37cos A BG :：=二.|BA |BG| 2 3 i 2i 33AB與平面ABD所成角是arccos217.i , i), D (0, 0, i)3(2)由(i)有 A (2, 0, 0), Ai (2, 0, 2), E (i,AE =(i,i,i) (2,0,0) =(i,i,i), AD =(0,0,1)(2,0,0) = (2,0,1)

28、, 設平面AED的法向量為n0 =(x, y, z)y = _xz = 2xJ TAE n 0 = -x + y + z = 0 加日則T，解得)AD n0 = 2x +z=0取 x=1,得 n1=(1,1,2)Aa1 =(2,0,2) (2,0,0) =(0,0,2),點Ai到平面AED的距離d =|A：E no |no I41,62.6法二：（1）解：連結 BG,則BG是BE在面ABD 設F為AB中點，連結EF、FC,的射影，即/ EBG是AiB與平面ABD所成的角. 連結 AD,有 Va-ed =Vd a1e丁 ED -LAB,ED _L EF,又 EF c AB = F,二ED _L平

29、面A AB,設A1到平面AED的距離為 則 S.AED h = SA,AB ED丁 D,E分另U是CCi,AB的中點，又DC _L平面ABC. CDEF為矩形 連結DF,G是AADB的重心，,Gw DF .在直角三角形EFD中 EF2 = FG FDFD2, EF =1, FD = 3.3于是 ED =、2,EG =FC =CD =、2, AB =2.2,A1B = 2 3, EB = 3. TOC o 1-5 h z EG.6 12sin EBG= .EB3332二AB與平面ABD所成的角是arcsin.h,一111又S&ae = 2 SAiAB = 4 A A AB = * 2, S*ed

30、 = 2 AE ED =- h =涯/2 =!即A1到平面AED的距離為22但6332【點撥指導】 本題考查的知識點多、數(shù)學內(nèi)涵豐富，問題所給的信息和圖形位置關系比較復雜；對立體幾何的綜合解題能力有較高的要求，兩種解法視角不同、 各顯風采， 比較而言，解法一、目標明確,以算取勝，解法二、構思巧妙，以智奪標。要仔細比較兩種解法的差異，體會其中的實質(zhì)?！纠?7】(2004年春季高考上海卷)如圖，點P為斜三棱柱 ABC-A B1cl的側(cè)棱BB上一點2、空間法向量在求解距離和角度方面比傳統(tǒng)方法更簡單。求解空間角與距離，傳統(tǒng)方法要需要“作一一證一一算”但對于不容易作出的角與距離，空間向量則簡單易行。比較

31、吻合重在能力，重在內(nèi)在，重在空間相象能力的考查，適當?shù)问降慕谈姆较??！纠?9】(2005年上海高考題(理) 在四錐 V-ABCD4底面ABCD正方形，側(cè)面 VAD是正三角形(I )證明AB，平面VAD(II)求面 VAD與面VDB所成的二面角的大小.【證明】(I)作AD的中點0,則VOL底面ABCD建立如圖空間直角坐標系，并設正方形邊長為1,則A ( 1 , 0,20), B ( 1,1, 0), C (-1, 1, 0), D (-1, 0, 0),222V (0, 0,)，1醺=(010)加=(1,0,0)=(一”平面 VADL底面 ABCD2由 AB AD =(0,1,0) (1,0

32、,0) =0 AB _ AD Ab AV =(0,1,0) = OA (OB + OC )、又; MC = -MB=OA 2OM =2|OA|OM | cos180*= 2|OA|OM |.又|OA|+|OM|=2,|Oa|OM| 2,即O為AM中點時，OA - (OB+ Oc )取最小彳1為一2.，應填一2?！纠?2002天津文22,理21)已知兩點 M (1, 0), N (1, 0),且點P使MP MN,PM PN, NM NP成公差小于零的等差數(shù)列(1)點P的軌跡是什么曲線？ 若點P坐標為(X。，y。)，。為PM.與PN的夾角，求tan。.5、以“雙基”為立足點，著重創(chuàng)新能力“雙基”

33、教學是中國的教學特色，對“雙基”的考查一直是高考命題的重點“設有基礎的創(chuàng)新是空想，沒有創(chuàng)新的雙基是傻練”近幾年的高號試題一直在尋求“雙基”與創(chuàng)新之間的個平衡2005年高考試卷中有許多新穎別致的試題，這些試髓的編制，是以“雙基為立足點，進行橫向類比、縱向加深或陳 題開放這些題目背景新穎、運算量不大、但思維容量較大，靠“題誨戰(zhàn)術”和大量重復操練是無法達到的，能很好地考查學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力，【例29】(2005年上海高考題(理)在直角坐標平面中，已知點P1(1,2),P2(2,22),一,Pn(n,2n),其中n是正整數(shù).對平面上任一點A,記A為A0關于點P1的對稱點，A 2為A關于點P2的對

34、稱點，,A n為An-1關于點R的對稱點.(1)求向量A為的坐標；(2)當點A在曲線C上移動時，點A2的軌跡是函數(shù) y=f(x)的圖象，其中f(x)是以3為周期的函數(shù)，且當 xC(0,3時，f(x)=lgx.求以曲線C為圖象的函數(shù)在(1,4上的解析式；(3)對任意偶數(shù)n,用n表示向量A0 Al的坐標.【思路分析】(1)利用對稱點的關系求出 與；(2)利用平移得到g(x),由此根據(jù)周期性進行適當?shù)淖冃?求函數(shù)在(1,4上的解析式；(3)從AgAn = A0A2 +A2A4 + AnAn入手轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和問題?！具^程方法】(1)設點A0(x,y), A0為P1關于點的對稱點兒的坐標為(2-x,

35、4-y),A1為P2關于點的對稱點4的坐標為(2+x,4+y),A0 A2= (2,4).(2)法一：A0A2= (2,4) , .-.f(x)的圖象由曲線C向右平移2個單位，再向上平移4個單位得到因此，曲線C是函數(shù)y=g(x)的圖象，其中g(x)是以3為周期的周期函數(shù)且當 xC (-2,1時,g(x)=lg(x+2)-4.于是，當 xC (1,4時，g(x)=lg(x-1)-4.法二：設點 A)(x,y), A2(x 2,y 2),于是 x2-x=2,y 2-y=4,若 3 x 2W 6,則 0 x 2- 3 3,于是 f(x 2)=f(x 2-3)=lg(x 2-3).當 1 xW4 時，則 3 x26,y+4=lg(x -1).當 xC(1,4時，g(x)=lg(x-1)-4. AA = A0A2A2A4AniAn ,由 A2yA2k =2P2-P2k,得AA =2( P1P2P3P4Pn4Pn)3n-i n 2(2n -1)4(2n -1)=2(1,2+1,2+ +1,2)=2 -, =n, 【例】（2000年上海高考題）根據(jù)指令（r,e）（r20,-180=y10 w180）,機器人在平面上能完成下列動作：先原地旋轉(zhuǎn)角度日（日為正時，按