高三數(shù)學復數(shù)的運算,在復數(shù)集中解方程,復數(shù)運算的幾何意義知識精講

1、高三數(shù)學 復數(shù)的運算，在復數(shù)集中解方程，復數(shù)運算的幾何意義知識精講(一)復數(shù)的運算(1)復數(shù)的代數(shù)形式：z = a+bi(a,bw R)；(2)復數(shù)的加法與減法：(a +bi )土(c + di ) = (ac)+(bd；(3)復數(shù)的乘法與除法：(a +bi /c +di ) = (ac bd )+(ad +bc j ；abiacbdbc - ad.=-22 -22 i，cdicdc d,、 m nm-nm n mnn n nz z =z , (z ) =z , (Zi z) =Zi 34n： 1 4nH24n：；3 4ni 的周期性 i =i, i = 1, i = i, i =1(n =

2、Z)；(6) co的性質(zhì)及應用：若 n為虛數(shù)，且。3 =1 ,則稱。為1的虛立方根,1、31的乂方根為1, * i，232= 一0 =1 ,8=0、 01*.；32-i且有性質(zhì)：1 +6+ 6 = 0。22(7)常用計算結(jié)果：2 a bi a - bi = a2(1 i ) = w2i ；年1 i -二i ;-i2+ b2;(二)在復數(shù)集中解方程(1)形如f(z, z, |z| )=0型的復數(shù)方程解法，通常設z = x+yi(x, y w R),利用復數(shù)相等的充要條件，將復數(shù)問題實數(shù)化。2(2) 一兀二次萬程 ax +bx+c=0,右a、b、c中至少有一個虛數(shù)，則求根公式仍適用；韋達定理仍適用

3、；判別式判別根的情況無效；虛根成對出現(xiàn)性質(zhì)無效。(3)解形如axn+b=0的二項方程(a,bC)(三)復數(shù)運算的幾何意義(1)復數(shù)加、減法的幾何意義(平行四邊形和三角形法則)(2)復數(shù)乘法的幾何意義(逆時針和順時針旋轉(zhuǎn))(3)復數(shù)除法的幾何意義(4)復數(shù)開方的幾何意義注意：有關模與輻角(主值)的變化。W高考點撥例1. (98全國 8)復數(shù)T和一個立方根是i,它的另外兩個立方根是(A.、.31 2B.、,32C.、3D.,3解析：、.3二.3 二萬法一：-i =cos i sin TOC o 1-5 h z 223x3 二2k 二2k 二二-i的三個立方根是 cos-+ i sin -(k =

4、0,3333n k2二.一 .當 k=0時，cos+isin = cos+ isin= i322當k =1時,當k = 2時,- 2個.三；2 二22cos- i sin 3333一：4 一 二 4二22cos- i sin-33cos二isin二一史 6622cos衛(wèi)二 isin 生二色一3 6622故選D方法二：由復數(shù)開方的幾何意義，i與-i的另外兩個立方根表示的點均勻地分布在以 原點為圓心，以1為半徑的圓上，于是另外兩個立方根的虛部必為-1,排除A、B、C,2說明：本題主要考查了復數(shù)開方的運算，既可用代數(shù)方法求解，也可用幾何方法求解, 但由題干中的提示，幾何法解題較簡捷。例2. （95全

5、國理 21）在復平面上，一個正方形的四個頂點按照逆時針方向依次為乙、Z2、Z3、O （其中O為原點）已知z2對應復數(shù)z2 =1 + 0 )的輻角主值的取值范圍。2一一 一一 一 解：:萬程x十(4+i)x + 4+ai= 0(a R R)有頭根b 2，、.一.b (4 i)b 4 ai = 0一 一 2.一一得：b 4b 4 (b a)i = 02b2 4b 4-0b a = 0a - 2二看 ,得：z = a +bi = 2 2ib 二2.z 1 - ci = 2 2i 1 - ci = 2 2c 2 - 2c i當0 Ec M1時，復數(shù)z(1 - ci )的實部大于0,虛部不小于0復數(shù)z（

6、1 - ci ）的輻角主值在ar或 1。ci I - arctg0,3）范圍內(nèi)，有2 -2c2 2c0 ：二 c 工1,0 - - -1 ： 11 cJI有 0 M arctg-1 J 40 三 arg 1 -ci 1 ：:：當c1時，復數(shù)Z(1ci)的實部大于0,虛部小于0-3n一、，復數(shù)z(1 - ci )的輻角王值在, 2n ,范圍內(nèi)，有-1 J一 .1八，2 - 2c -，a r gz 1 - ci I - 2 二 arctg 二 2 二 arctg2 2cc 1, . -1 ： - -1 ： 01 c-1 0)的輻角主值的取值范圍為0, -)U(, 2冗)。說明：本題主要考查復數(shù)的基

7、本概念和考生的運算能力，強調(diào)了考生思維的嚴謹性。*用型展示例1,設復數(shù)z = 3cos0 + i 2sin6 ,求函數(shù)y =日一argz0 6 ；,的最大值以及對 應的9值。(1999年全國高考)解：由0日0八 .八 .八二一2s2 ,.由 z = 3cos +i -2sin B 得：0 argz 一 及tg(argz )=-tg823cos13故 tgy =tg 二-argz =3t產(chǎn)133 2tgu tg。3tgu3tgu2tgu當且僅當3tgu= 2tg,；l(時,即 tgi =二6時，上式取等號。2- 66所以當a = arctg 時，函數(shù)tgy取取大值 由 y =e - argz得:

8、 n n , 由于在一內(nèi)正切函數(shù)是遞增函數(shù)，函數(shù)22y也取得最大值arctg 。12說明：復數(shù)的代數(shù)形式z = 3cosH+i2sinH與其輻角主值argztgargz有直接的聯(lián)系，tgargz = 2sin =2 3tg8 ,故需先構(gòu)造出函數(shù)3cos -3沒有直接聯(lián)系，而與tgy = tg(6 -argz),建立tgy關于日的函數(shù)，此處能較好地考查學生的創(chuàng)新能力，是高考改革的方向，建立 tgy =tg（8 -argz）,也是本題解答過程的關鍵和難點，本題還考查了三角變換，三角函數(shù) 的單調(diào)性，三角方程及代數(shù)基本不等式求最值等知識。例2.設復平面上的點A、B、C對應的復數(shù)分別為乙、Z2、Z3 ,

9、已知 乙=1,3，Z2 =Z1，Z, Z3 =Z2 Z,其中 z = （1 + 3 3l ）,求四邊形 OABC 的面積。 .一3 ，工 L ， n，.n ）小，.八解：如圖，z = （1 + d3i ）= 3 cos+ i sin ，Z1 = cos6十i sin 日 TOC o 1-5 h z 233J/ 兀JT ）對應點A ,對應向量 OA , z2 =乙z = Z1 3 cos + i sin ,表明z?對應點B,對 ，一之，之八 ji 一 .,、應向量OB由OA繞O點按逆時針方向旋轉(zhuǎn) -,且模變?yōu)樵瓉淼?3倍，_ 冗_ （ 互一.冗：一-一- OB =3且/AOB = , z3 =

10、z2 z = z2 3, cos + isin , z3對應的點 C,其 3133對應的向量Oc可視為由向量Ob按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 工，模變?yōu)樵瓉淼?倍，3兀- OCl = 9且/BOC =二,3SOABC TOC o 1-5 h z 1二1二15.3OA OB sin OB OC sin =23232說明：這是復數(shù)乘法的幾何意義的直接應用，乘法的幾何意義。若 Z1 =r1（cose +isin 6 1）, Z2 =2（8$日2 +i sin% ）對應向量分別為：ffO乙,OZ2 , Z1 Z2T即把向量OZ1繞o點按逆時針（日2 0）或順時針（日2 0）方向旋轉(zhuǎn)|日2|，再把它的模變?yōu)樵瓉淼膔

11、2倍所得向量OZ對應的復數(shù)。這里要注意：（i）旋轉(zhuǎn)對象；（ii）旋轉(zhuǎn)方向（取決于 a2的符號）；（iii）模的變化 倍數(shù)。0實戰(zhàn)零擬.設乙，z2是兩個不相等的非零復數(shù)，且 a = z1 + z2, P = Z1 -z2,若Z1 =|z2，求 證：a，P或為0或為純虛數(shù)。.已知 f（z） =z4 +4z3 +8z2 +8z + 5,求 f（1 +v2i）的值。.設a、3是實系數(shù)一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a豐0）的兩根，若 &為虛數(shù)，且23 . r-.設復數(shù)Zi,Z2,Z3 滿足：Z1=1, 4=3、Z3= Z1z，其中 z= (1+H3i),若2乙，z2 , z3在復平面上所

12、對應的點分別是乙、Z2、Z3,求乙Z2Z3的面積。3 1.225.已知復數(shù)z = -i ,豆=十i ,復數(shù)z5、z23在復平面上所對應的點分2222別為P、Q,證明AOPQ是等腰直角三角形(其中O為原點)。2.已知二次萬程 x +2px+1 =0的兩虛根為“、3 ,且復平面上“、3、1所對應的點 組成一個正三角形，求實數(shù) p。.設a至0 ,在復數(shù)集中解方程 z2+2 z = a。參考答案丫 Otp + OtP = OtP + Otp TOC o 1-5 h z =ZiZ2Zi- Z2 ZiZ2Zi- Z2=ZiZ2ZiZ2iZi- Z2Zi-Z2=2 ZiZi Z2 Z2222(Zi 一 Z2

13、1)=0:.,設 aP = x + yi(x, y w R),則x yi = - x - yix = -x; x , x = 0y 二 y二 aP =0 或 aP = yi(y * 0)解法 1：令 g(Z)= Iz-(-1 +2i )Iz-(-1 -2 )=z2 +2z + 3,由豎式除法可得:f(Z)= g(z) z2 2z i2 二:：z22z 3 z2 2z i 2Yg(-i+V2i)=0,二 f(_i+&i)=2解法 2： f(z) =(z i)42z2 4z4 hz i4 2 zi 22當 z = i +C2i 時，z+i = J5i二 f(-1 + &i)=(、,2i 4 +2(

14、v;2i 2 +2=23.二次方程，而解法1：設a = m+ ni(m,n w R,且n*0),因為原方程是實系數(shù) 且有虛根，那么虛根成對出現(xiàn)，則 一：=m-ni3m2n -n3 .22 im n23二 3m n -n =0,且n 豐 0,n - - 3m解法m 一 一 3miot或一m - 3mim 一 3mi2:二原方程是實系數(shù)二次方程，且是虛根,2一根為a ,則另一根P =a、上2 又下、 2R,：2 =It、2T：3 .二 13 I，3為共軻虛數(shù)aP#1 一4.由復數(shù)及復數(shù)乘法的幾何意義Zi在單位圓 O上，設其輻角主值為日，Z點是33, 73 I其輻角主值是 一， z2 = z1，z,

15、二z2點即是將223Oz逆時針旋轉(zhuǎn)e角后對應向量OZ2的終點，同理OZ3 ,向量則是由OZ2向量逆時針旋轉(zhuǎn)JT后，再將模伸長為。22模3的3倍而得到（如下圖所示）11 S Z1Z2Z3 = S OZ1Z2|z11| z2 sin NZQZ2 +|z2|z3 sin/Z2OZ3 一-|zi|z3sin. Z1OZ31一 25.4zs*3sK-z2 . 2nsin3=21.343 1 .z - i = co22(JT + i si n-2 二i=co - sijin-4是 z = cos isin 12(上1212f ji ) + i s i n 12 /cos-co： isi45 二.5 二 =c o s i si n1212因為OP與OQ的夾角為12122z2 萬3 =1所以OPOQ,又因 OP =|z | =1, OQ =所以OP| = OQ ,由此知AOPQ有兩邊相等且夾角為直角，故 AOPQ為等腰直角三 角形。.方程有虛根，且 p R一 2A=4p -40,即-1p1設方程一個虛根為 支，則它的另一個虛根為 =反由韋達定理得：a 5 =1 ,即|a|2 =1A|=1, |P|=1又a、3、1所對應的三個點 A、B、C組成正三角形，由平面幾何知識知： TOC o 1-5 h z 3.:13a = 十|,戶=_