控制工程基礎(chǔ)-第三章

1、2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系13、線性系統(tǒng)的時域分析3.1 典型輸入信號與時域性能指標3.2 一階系統(tǒng)的時域分析3.3 二階系統(tǒng)的時域分析3.4 高階系統(tǒng)的時域分析3.5 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解3.6 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系2本章學(xué)習(xí)要點了解典型輸入信號和時域性能指標掌握一階系統(tǒng)的時域分析方法掌握二階系統(tǒng)的時域分析方法了解高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點及其時域分析方法掌握反饋系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差及其誤差補償?shù)姆椒ㄕ莆站€性系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)和求解方法掌握狀態(tài)方程的求解方法2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化

2、系3引言-時域分析在控制理論中的地位和作用系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型G(s)時間域復(fù)數(shù)域頻率域系統(tǒng)的性能指標系統(tǒng)的校正、綜合時域分析是三大分析方法之一，在時域中研究問題，重點討論過渡過程的響應(yīng)形式。其特點：1).直觀、精確。2).比較煩瑣。2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系43.1 典型輸入信號與時域性能指標1）系統(tǒng)的響應(yīng)過程瞬態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)在某一輸入信號作用下，其輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程。瞬態(tài)響應(yīng)也稱為過渡過程。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：當某一信號輸入時，系統(tǒng)在時間趨于無窮大時的輸出狀態(tài)。穩(wěn)態(tài)也稱為靜態(tài)。 控制系統(tǒng)的動態(tài)性能，可以通過在輸入信號作用下系統(tǒng)的過渡過程來評價。 系統(tǒng)的過渡過程

3、不僅僅取決于系統(tǒng)本身的特性， 還與外加輸入信號的形式有關(guān)。 許多系統(tǒng)的外加輸入信號是事先不可能知道的。有兩個問題：2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系53.1 典型輸入信號與時域性能指標 分析瞬態(tài)響應(yīng)時，需要選擇典型輸入信號，這有如下好處：分析處理簡單，給定典型信號下的性能指標，便于分析、綜合系統(tǒng)；典型輸入的響應(yīng)往往可以作為分析復(fù)雜輸入時系統(tǒng)性能的基礎(chǔ)；便于進行系統(tǒng)辨識，確定未知環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)斜坡函數(shù)單位斜坡函數(shù)拋物線函數(shù)單位拋物線函數(shù)脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)正弦函數(shù)2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系63.1 時域響應(yīng)與典型輸入信

4、號（1）階躍函數(shù)2）常用的典型輸入信號A=1時，稱為單位階躍函數(shù)，記為1(t)。拉氏變換為： L ； 一般情況為：2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系73.1 典型輸入信號與時域性能指標（2）斜坡函數(shù)（3）拋物線函數(shù)2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系83.1 典型輸入信號與時域性能指標（4）單位脈沖函數(shù)(t)L（5）正弦函數(shù)2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系93.1 典型輸入信號與時域性能指標3）時域性能指標 時域中評價系統(tǒng)的暫態(tài)性能，通常以系統(tǒng)對單位階躍輸入信號的暫態(tài)響應(yīng)為依據(jù)。動態(tài)過程：系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響

5、應(yīng)過程。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：表征系統(tǒng)輸出量最終跟蹤或復(fù)現(xiàn)理想輸出的程度。2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系103.1 典型輸入信號與時域性能指標動態(tài)性能上升時間tr延遲時間td峰值時間tp調(diào)節(jié)時間ts超調(diào)量%振蕩次數(shù)N2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系113.1 典型輸入信號與時域性能指標上升時間tr：響應(yīng)曲線從零首次上升到穩(wěn)態(tài)值h()所需的時間，稱為上升時間。若響應(yīng)曲線無振蕩的系統(tǒng)，tr是響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間。延遲時間td: 響應(yīng)曲線第一次到達終值一半所需的時間。峰值時間tp: 響應(yīng)曲線超過穩(wěn)態(tài)值h()達到第一個峰值所需的時間。

6、調(diào)節(jié)時間ts: 在穩(wěn)態(tài)值h()附近取一誤差帶，通常取響應(yīng)曲線開始進入并保持在誤差帶內(nèi)所需的最小時間，稱為調(diào)節(jié)時間。 ts越小，說明系統(tǒng)從一個平衡狀態(tài)過渡到另一個平衡狀態(tài)所需的時間越短。2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系123.1 典型輸入信號與時域性能指標超調(diào)量%：響應(yīng)曲線超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏差與穩(wěn)態(tài)值之比。即 超調(diào)量表示系統(tǒng)響應(yīng)過沖的程度，超調(diào)量過大將使系統(tǒng)元件工作于惡劣條件，同時加長了調(diào)節(jié)時間。振蕩次數(shù)N：在調(diào)節(jié)時間以內(nèi)，響應(yīng)曲線穿越其穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半。 tr,tp和ts表示控制系統(tǒng)反映輸入信號的快速性，而%和N反映系統(tǒng)動態(tài)過程的平穩(wěn)性。其中ts和%是最重要的兩個動態(tài)

7、性能的指標。2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系13h(t)tA時間tr上 升超調(diào)量% =AB100%峰值時間tpBh(t)t調(diào)節(jié)時間ts動態(tài)性能指標定義1h(t)t時間tr上 升峰值時間tpAB超調(diào)量% =AB100%調(diào)節(jié)時間ts2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系14h(t)t上升時間tr調(diào)節(jié)時間 ts動態(tài)性能指標定義22022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系15h(t)ttstptrAB動態(tài)性能指標定義3%=BA100%2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系163.1 典型輸入信號與時域性能指標穩(wěn)態(tài)性能指標

8、：穩(wěn)態(tài)誤差(steady-state error) ess：指響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值與期望值之差。穩(wěn)態(tài)誤差ess是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量。2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系173.2 一階系統(tǒng)的時域分析開環(huán)傳函為：凡以一階微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。一階系統(tǒng)在控制工程中應(yīng)用廣泛，如加熱爐、單容水箱等 。閉環(huán)傳函為：微分方程為：T為系統(tǒng)的時間常數(shù)，1/T為開環(huán)增益.2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系183.2 一階系統(tǒng)的時域分析1）單位階躍響應(yīng)對上式取拉氏反變換，得單位階躍響應(yīng)為：單位階躍輸入 的像函數(shù)為則系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為

9、： 2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系193.2 一階系統(tǒng)的時域分析tT2T3T4T5Ty(t)0.6320.8650.950.9820.993T 2T 3T 4T 5T98.2%95%99.3%86.5%B0t163.2%A0.632一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線斜率1/T2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系203.2 一階系統(tǒng)的時域分析2）單位斜坡響應(yīng)當輸入信號 時， 系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為：對上式取拉氏反變換，得單位斜坡響應(yīng)為：2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系213.2 一階系統(tǒng)的時域分析2022/7/28 9:07北京

10、科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系223.2 一階系統(tǒng)的時域分析 當u(t)=(t)時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為該系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。因為L (t)=1，一階系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的拉氏變換為：3）單位脈沖響應(yīng)對應(yīng)單位脈沖響應(yīng)為：2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系233.2 一階系統(tǒng)的時域分析2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系243.2 一階系統(tǒng)的時域分析 若輸入函數(shù)成導(dǎo)數(shù)關(guān)系，則響應(yīng)函數(shù)成導(dǎo)數(shù)關(guān)系，由于階躍響應(yīng)的暫態(tài)特性較直觀，且又有一定代表性，因此今后以單位階躍響應(yīng)分析暫態(tài)特性。2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系25一階系統(tǒng)時域分析 無零點的一階系

11、統(tǒng) (s)=Ts+1k, T時間常數(shù)(畫圖時取k=1,T=0.5)單位脈沖響應(yīng)k(t)=T1e-Ttk(0)=T1K(0)=T單位階躍響應(yīng)h(t)=1-e-t/Th(0)=1/Th(T)=0.632h()h(3T)=0.95h()h(2T)=0.865h()h(4T)=0.982h()單位斜坡響應(yīng)c(t)=t-T+Te-t/TT?r(t)= (t) r(t)= 1(t) r(t)= t 問1 、3個圖各如何求T？2 、調(diào)節(jié)時間ts=？3 、r(t)=at時，ess=？4、求導(dǎo)關(guān)系？k(0)= -1/T22022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系263.2 一階系統(tǒng)的時域分析幾點

12、說明和結(jié)論： 1。根據(jù)動態(tài)性能指標的定義， 的暫態(tài)指標為： ts=3T(5%) ts=4T(2%) 2。 如果把復(fù)現(xiàn)和跟蹤輸入信號為理想輸出那么， 對脈沖和單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差為0，而對單位斜波輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為T。 3。觀察輸入信號和對應(yīng)的輸出信號可知，輸入函數(shù)成導(dǎo)數(shù)關(guān)系，則響應(yīng)函數(shù)成導(dǎo)數(shù)關(guān)系。由于階躍響應(yīng)的暫態(tài)特性較直觀，且又有一定代表性，因此今后以單位階躍響應(yīng)分析暫態(tài)特性。2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系273.2 一階系統(tǒng)的時域分析 一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，若kt=0.1,試求系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間ts，如果要求ts 0.1秒。試求反饋系數(shù)應(yīng)取多大？例3.2.12

13、022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系283.2 一階系統(tǒng)的時域分析系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)解3.0tk故,1.001.033,1.0=tsskTtt秒如果要求3.03=sTt秒，因此調(diào)節(jié)時間為1.0=T秒顯然時間常數(shù),1.0=tk時當11.010)(+=ss101.0/11001/100)(+=+=tttkskksss2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系293.2 一階系統(tǒng)的時域分析思考題和選做題：（1）當一階對象的模型為 時，分別求其輸出響應(yīng)所得的結(jié)果是否符合前面的證明和結(jié)論？試著解釋為什么有這樣的結(jié)果？（2）當輸入信號為 時， 的輸出響應(yīng)是什么？能否根據(jù)

14、這個結(jié)果利用上面思考題直接寫出 對 的輸出響應(yīng)？2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系303.3 二階系統(tǒng)的時域分析1）典型的二階系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：特征方程：特征根：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：n:無阻尼自然振蕩角頻率:阻尼系數(shù)或阻尼比2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系313.3 二階系統(tǒng)的時域分析當0 1時，特征方程具有兩個不相等的負實根，稱為過阻尼狀態(tài)（如圖c）。當=0時，系統(tǒng)有一對共軛純虛根，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)作等幅振蕩，稱為無阻尼狀態(tài)（如圖d）。當-1 0時，此時系統(tǒng)特征方程具有一對正實部的共軛復(fù)根。系統(tǒng)動態(tài)過程振蕩發(fā)散，稱為負欠阻

15、尼狀態(tài)。（如圖e）當-1時，特征方程具有兩個不相等的正實根，系統(tǒng)動態(tài)過程單調(diào)發(fā)散，稱為負過阻尼狀態(tài)。（如圖f）2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系323.3 二階系統(tǒng)的時域分析2）二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)（1）欠阻尼情況（01）閉環(huán)極點為：輸出的拉氏變換為：2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系373.3 二階系統(tǒng)的時域分析 系統(tǒng)響應(yīng)含有兩個單調(diào)衰減的指數(shù)項，它們的代數(shù)和決不會超過穩(wěn)態(tài)值1，因而過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是非振蕩的。拉氏反變換得：響應(yīng)曲線2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系383.3 二階系統(tǒng)的時域分析無因次時間2

16、022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系393.3 二階系統(tǒng)的時域分析（4）無阻尼情況（=0）系統(tǒng)為不衰減的振蕩，其振蕩頻率為n，系統(tǒng)屬臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。響應(yīng)曲線2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系403.3 二階系統(tǒng)的時域分析（5）負過阻尼情況（ -1）響應(yīng)曲線2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系413.3 二階系統(tǒng)的時域分析（6）負欠阻尼情況（-10時不管系統(tǒng)的暫態(tài)過程如何變化，系統(tǒng)輸出都會穩(wěn)定在值1上。3）當=0時系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，既沒有穩(wěn)定在一個值上也沒有發(fā)散，而是在0 2中周期變化。不穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定2022/7/28 9

17、:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系473.3 二階系統(tǒng)的時域分析進一步系統(tǒng)的穩(wěn)定性與系統(tǒng)的特征有什么聯(lián)系：1）負阻尼情況下：0時：不管系統(tǒng)是欠阻尼還是過阻尼，系統(tǒng)的極點都有負實部。3）當=0時：系統(tǒng)的極點是純虛的，實部為零。思考和疑問：能否將上面的總結(jié)作為判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的結(jié)論？2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系48j0-nd=n1-2s1,2=-nj1-2nn3.3 二階系統(tǒng)的時域分析3）二階系統(tǒng)（欠阻尼）動態(tài)性能分析。阻尼振蕩頻率自然振蕩頻率阻尼角2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系493.3 二階系統(tǒng)的時域分析上升時間tr：由定義知：tr為輸

18、出響應(yīng)第一次到達穩(wěn)態(tài)值所需時間，所以應(yīng)取n=1。當n一定時，越小，tr越小當一定時，n越大，tr越小則2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系503.3 二階系統(tǒng)的時域分析峰值時間tp2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系513.3 二階系統(tǒng)的時域分析當n一定時，越小，tp越??；當一定時，n越大，tp越小。tp為輸出響應(yīng)達到第一個峰值所對應(yīng)的時間所以應(yīng)取n=1。于是2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系52超調(diào)量%3.3 二階系統(tǒng)的時域分析2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系53%與的關(guān)系曲線增大，%減小，通常為了

19、獲得良好的平穩(wěn)性和快速性，阻尼比取在0.4-0.8之間,相應(yīng)的超調(diào)量25%-2.5%。 超調(diào)量是阻尼比的函數(shù)，與自然振蕩頻率n的大小無關(guān)。3.3 二階系統(tǒng)的時域分析2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系543.3 二階系統(tǒng)的時域分析根據(jù)定義：振蕩項（1）衰減項調(diào)節(jié)時間ts2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系553.3 二階系統(tǒng)的時域分析當=0.68（5%誤差帶）或=0.76（2%誤帶），調(diào)節(jié)時間ts最短。所以通常的控制系統(tǒng)都設(shè)計成欠阻尼的。近似計算時，常用阻尼正弦振蕩的包絡(luò)線衰減到誤差帶之內(nèi)所需時間來確定ts。當=0.8時,常把去掉。寫成 即 可近似表

20、示為：2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系563.3 二階系統(tǒng)的時域分析調(diào)節(jié)時間ts取sin項為1，則n3.5由此解出2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系57調(diào)節(jié)時間不連續(xù)的示意圖值的微小變化可引起調(diào)節(jié)時間ts顯著的變化。3.3 二階系統(tǒng)的時域分析2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系583.3 二階系統(tǒng)的時域分析為了使用上的方便，人們作出了nts與的關(guān)系曲線，如下圖所示：在設(shè)計系統(tǒng)時, 通常由要求的最大超調(diào)量決定,而調(diào)節(jié)時間ts則由無阻尼振蕩頻率n來決定。2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系593.3 二階

21、系統(tǒng)的時域分析阻尼比?。悍逯禃r間短，調(diào)整時間長，超調(diào)量大。阻尼比大：峰值時間長。希 望：上升時間短、調(diào)整時間短、超調(diào)量小，工程上阻尼比一般取0.40.8。阻尼比為0.707稱為最佳阻尼比.2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系603.3 二階系統(tǒng)的時域分析 設(shè)系統(tǒng)的輸入量為單位階躍函數(shù),試計算放大器增益KA=200時,系統(tǒng)輸出響應(yīng)的動態(tài)性能指標。當KA增大到1500時或減小到KA =13.5,這時系統(tǒng)的動態(tài)性能指標如何?已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:例3.3.12022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系613.3 二階系統(tǒng)的時域

22、分析則根據(jù)欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能指標的計算公式,可以求得:（1）2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系623.3 二階系統(tǒng)的時域分析由此可見,KA越大, 越小,n越大,tp越小,%越大,而調(diào)節(jié)時間ts無多大變化。系統(tǒng)工作在過阻尼狀態(tài),峰值時間,超調(diào)量不存在,而調(diào)節(jié)時間可將二階系統(tǒng)近似為大時間常數(shù)T的一階系統(tǒng)來估計:（2）（3）2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系63穩(wěn)性。為了改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，可采用比例微分控制或速度反饋控制，即對系統(tǒng)加入校正環(huán)節(jié)。調(diào)節(jié)時間比前兩種KA大得多,雖然響應(yīng)無超調(diào),但過渡過程緩慢,曲線如下：3.3 二階系統(tǒng)的時域分析KA增大

23、，tp減小，tr減小，可以提高響應(yīng)的快速性，但超調(diào)量也隨之增加，僅靠調(diào)節(jié)放大器的增益，即比例調(diào)節(jié)，難以兼顧系統(tǒng)的快速性和平2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系64 如圖所示的系統(tǒng)，施加8.9N階躍力后，記錄時間響應(yīng)如圖，試求該系統(tǒng)的質(zhì)量M、彈性剛度 K 和粘性阻尼系數(shù)D的數(shù)值。 質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng) 系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線3.3 二階系統(tǒng)的時域分析例3.3.22022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系653.3 二階系統(tǒng)的時域分析解解得 根據(jù)牛頓第二定律：進行拉氏變換，并整理得：2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系663.3 二階系統(tǒng)的時域

24、分析由終值定理得（系統(tǒng)穩(wěn)定）：2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系673.3 二階系統(tǒng)的時域分析4）二階系統(tǒng)（過阻尼）動態(tài)性能分析。當1時，系統(tǒng)沒有%，故也沒有tp，但有： 1時的特征多項式若T145T2，則：若=1(T1=T2) ,ts=4.75T12022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系683.3 二階系統(tǒng)的時域分析具有一個附加零點的閉環(huán)二階系統(tǒng)為 5）帶有零點的二階系統(tǒng)響應(yīng)2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系693.3 二階系統(tǒng)的時域分析2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系703.3 二階系統(tǒng)的時域分析2

25、022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系713.3 二階系統(tǒng)的時域分析峰值時間2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系723.3 二階系統(tǒng)的時域分析 超調(diào)量超調(diào)有增加的趨勢。 表示零點與極點距離虛軸 的距離比；零點離虛軸越近，超調(diào)量越大。調(diào)節(jié)時間 調(diào)節(jié)時間增加或減小，取決于l/z比值的大小2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系733.3 二階系統(tǒng)的時域分析j02022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系743.3 二階系統(tǒng)的時域分析 下圖表示引入了一個比例微分控制的二階系統(tǒng),系統(tǒng)輸出量同時受偏差信號 和偏差信號微分 的雙重控制

26、。試分析比例微分校正對系統(tǒng)性能的影響。1-+例3.3.32022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系753.3 二階系統(tǒng)的時域分析系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù):等效阻尼比：2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系763.3 二階系統(tǒng)的時域分析解試分析速度反饋校正對系統(tǒng)性能的影響。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 圖:是采用了速度反饋控制的二階系統(tǒng)。例3.3.4U(s)Y(s)-kts2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系773.3 二階系統(tǒng)的時域分析式中kt為速度反饋系數(shù)其中：為系統(tǒng)的開環(huán)增益(不引入速度反饋開環(huán)增益 )閉環(huán)傳遞函數(shù)：2022/7/28

27、9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系78等效阻尼比：顯然 ，所以速度反饋可以增大系統(tǒng)的阻尼比,而不改變無阻尼振蕩頻率n,因此,速度反饋可以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。3.3 二階系統(tǒng)的時域分析在應(yīng)用速度反饋校正時,應(yīng)適當增大原系統(tǒng)的開環(huán)增益,以補償速度反饋引起的開環(huán)增益減小,同時適當選擇速度反饋系數(shù)Kt,使阻尼比t增至適當數(shù)值,以減小系統(tǒng)的超調(diào)量,提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度,使系統(tǒng)滿足各項性能指標的要求。2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系793.4 高階系統(tǒng)的時域分析 一般的高階機電系統(tǒng)可以分解成若干一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的疊加。其瞬態(tài)響應(yīng)即是由這些一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響

28、應(yīng)函數(shù)疊加組成。傳遞函數(shù)可表示為：2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系803.4 高階系統(tǒng)的時域分析設(shè)輸入為單位階躍，則如果其極點互不相同： 經(jīng)拉氏反變換，得：2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系813.4 高階系統(tǒng)的時域分析當所有極點均具有負實部時，除常數(shù) 其它各項隨著時間 而衰減為零。 高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量衰減的快慢由-pj和-kk決定。即高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量衰減的快慢由閉環(huán)極點在S平面左半邊離虛軸的距離決定。高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量的系數(shù)不僅和極點在S平面的位置有關(guān)，還與零點的位置有關(guān)。2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化

29、系823.4 高階系統(tǒng)的時域分析主導(dǎo)極點 在高階系統(tǒng)中某一極點或一對共軛復(fù)數(shù)極點距虛軸的距離是其它極點距虛軸距離的1/5或更小，并且附近沒有閉環(huán)零點，稱該極點（對）為該高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點。偶極子(dipole) 指相距很近的一對零、極點?？梢杂弥鲗?dǎo)極點來估計高階系統(tǒng)的性能指標。2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系833.4 高階系統(tǒng)的時域分析例3.3.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下，計算系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系843.4 高階系統(tǒng)的時域分析2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系853.4 高階系統(tǒng)的時域分析2

30、022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系863.4 高階系統(tǒng)的時域分析：G1與G3比較，-1起主要作用（主導(dǎo)極點）。：G2與G4比較，極點-1與零點-1.01 相接近，零點對極點起到動態(tài)響應(yīng)抵消作用，使遠處的極點作用發(fā)揮出來（偶極子）。：G3與G4比較，零點起到微分作用，起加快響應(yīng)速度的目的。：G3與G4比較，傳遞函數(shù)的穩(wěn)定零點不影響系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)分量的個數(shù)，也不影響它們的穩(wěn)定性。零點僅影響各分量系數(shù)大小正負。：一階環(huán)節(jié)起慣性滯后作用，離原點、虛軸越近，慣性滯后作用越強。2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系873.5 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解第二章我們討論了系統(tǒng)

31、的數(shù)學(xué)模型：傳遞函數(shù)與傳遞函數(shù)矩陣狀態(tài)空間表達式本節(jié)討論在狀態(tài)空間表達式描述下線性定常系統(tǒng)的響應(yīng)問題。即已知系統(tǒng)的輸入u(t)和系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)，如何求解系統(tǒng)的狀態(tài)變量x(t)和輸出量y(t)。2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系883.5 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解零輸入疊加原理零狀態(tài)2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系893.5 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解設(shè)：則：比較系數(shù)：又：齊次方程的解零輸入2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系90狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：矩陣指數(shù)函數(shù)由齊次方程的自由解： 可知，由于 的存在，只要已知 ，任一時刻的x(t)

32、都會變成已知。 3.5 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解即從時間的角度而言， 隨著時間的推移，不斷的在狀態(tài)空間中做轉(zhuǎn)移，所以意味著它能夠使得狀態(tài)向量稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，通常記為 2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系91狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣（矩陣指數(shù)函數(shù)）的基本性質(zhì)1）3.5 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2）3）當且僅當AB=BA時，有 4）當 5）)()()()(tttt+F=FFtAAAteeett2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系92幾個特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)：1）對角陣3.5 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系932）約當塊3.5

33、線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解則2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系943）模態(tài)陣 3.5 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系95矩陣指數(shù)函數(shù)的三種計算方法 1）由 的定義或展開式直接計算 2）變換矩陣A為約當標準型 A單根時： A有重根時： A有復(fù)根時： 3.5 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系96 解： 求特征值，由 得： 求特征向量 ，并組成變換矩陣P及P-1 (采用變換矩陣法) 3.5 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解例3.5.12022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系97 求約

34、當標準形 求 3.5 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系983）利用拉氏變換法求 證： 3.5 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系99(采用拉氏變換法) 解：3.5 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解例3.5.22022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1003.5 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1013.5 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解非齊次狀態(tài)方程的解方法1對于狀態(tài)方程： 有：兩邊同乘以有：即：兩邊同時在區(qū)間t0,t內(nèi)積分，有：得：2022/7/28 9:07北

35、京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1023.5 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解所以有 ：兩邊左乘 有：即：如果t0=0,則2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系103拉氏反變換3.5 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解非齊次方程的解方法2卷積定理 2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系104求下述系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的響應(yīng)例3.5.33.5 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解并將這種響應(yīng)與系統(tǒng)對應(yīng)的傳遞函數(shù)的響應(yīng)做對比。解：求 （約當標準法，拉氏反變換法） 2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系105系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)3.5 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解由 初始條件為零，即2022/7/

36、28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1063.5 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1073.5 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解例3.5.42022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1083.5 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1093.5 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1103.5 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1113.6 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算控制系統(tǒng)的三性分析

37、：穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)特性、動態(tài)特性 對于一個穩(wěn)定的控制系統(tǒng)而言，穩(wěn)態(tài)誤差是反映其控制精度的一種度量，通常又稱為穩(wěn)態(tài)性能。在控制系統(tǒng)設(shè)計中，穩(wěn)態(tài)誤差是一項重要的技術(shù)指標。研究表明：穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、輸入信號的形式有很大關(guān)系?？刂葡到y(tǒng)設(shè)計的任務(wù)之一就是要保證系統(tǒng)在穩(wěn)定的前提下，盡量地減小乃至消除穩(wěn)態(tài)誤差。2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1123.6 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算1）誤差的定義輸入端定義法輸出端定義法(1)輸入端定義法設(shè)控制系統(tǒng)的典型動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，稱E(s)為誤差信號。2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1133.6 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算

38、(2)輸出端定義法輸入端定義法可測量實現(xiàn)，輸出端定義法常無法測量，因此只有數(shù)學(xué)意義，以后在不做特別說明時，系統(tǒng)誤差總是指輸入端定義誤差。誤差本身是時間的函數(shù)，其時域表達式為：動態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系114 2)穩(wěn)態(tài)誤差 誤差信號 的穩(wěn)態(tài)分量 。 對穩(wěn)定系統(tǒng)而言，隨著時間趨于無窮，系統(tǒng)的動態(tài)過程結(jié)束， 將趨于零。根據(jù)拉氏變換終值定理，穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 由上式可知，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號的形式和開環(huán)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)有關(guān)。當輸入信號形式確定后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差就取決于以開環(huán)傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。3.6 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算2022/7/28

39、9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系115 例: 一系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 求：u(t)=1(t)及t時的穩(wěn)態(tài)誤差 解:u(t) = 1(t) 時, U(s)=1/su(t) = t 時, U(s)=1/s23.6 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1163.6 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算3）系統(tǒng)的分類sv表示開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面原點處的v重極點。系統(tǒng)按v的不同取值可以分為不同類型。v=0，1，2時，系統(tǒng)分別稱為0型，型和型系統(tǒng)。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為：2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1173.6 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算4）給定作

40、用下的穩(wěn)態(tài)誤差（1）單位階躍函數(shù)輸入根據(jù)定義，有：定義為系統(tǒng)的位置誤差系數(shù)，2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1183.6 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算對0型系統(tǒng)對型系統(tǒng)及型以上的系統(tǒng)由此可見，對于單位階躍輸入，只有0型系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)誤差，其大小與系統(tǒng)的開環(huán)增益成反比；而型和型以上的系統(tǒng)位置誤差系數(shù)均為無窮大，穩(wěn)態(tài)誤差均為零。為了降低穩(wěn)態(tài)誤差ess，在穩(wěn)定條件允許的前提下，可增大開環(huán)放大系數(shù)K。2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1193.6 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算（2）單位斜坡函數(shù)輸入定義為系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)。2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院

41、自動化系1203.6 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算對0型系統(tǒng)對型系統(tǒng)對型或高于型系統(tǒng) 由此可見，對于單位斜坡輸入，0型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為無窮大；型系統(tǒng)可以跟蹤輸入信號，但有穩(wěn)態(tài)誤差，該誤差與系統(tǒng)的開環(huán)增益成反比；型或高于型系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差為零。2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1213.6 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算（3）單位拋物線函數(shù)輸入定義為系統(tǒng)的加速度誤差系數(shù)。2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1223.6 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算對型或高于型系統(tǒng)對0型系統(tǒng)對型系統(tǒng)對型系統(tǒng) 由此可知，0型及型系統(tǒng)都不能跟蹤拋物線輸入；型系統(tǒng)可以跟蹤拋物線輸入，但存在一定的誤差，該

42、誤差與系統(tǒng)的開環(huán)增益成反比；只有型或高于型的系統(tǒng)，才能準確跟蹤拋物線輸入信號。2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1233.6 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算下表列出了不同類型的系統(tǒng)在不同參考輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差。2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系124例: 如下系統(tǒng)，當輸入信號分別為I（t）、t和t2/2 時，試分別求出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：此系統(tǒng)為I型系統(tǒng) 輸入為階躍、斜坡、拋物線輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差分別為： 3.6 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1253.6 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算5）擾動輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差控制系統(tǒng)

43、的典型結(jié)構(gòu)圖2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1263.6 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算(1)輸入端定義法擾動作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為根據(jù)拉氏變換終值定理，求得擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1273.6 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算(2)輸出端定義法2022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1283.6 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，設(shè)被控對象的傳遞函數(shù)為：求當采用比例調(diào)節(jié)器和比例積分調(diào)節(jié)器時，系統(tǒng)對階躍作用信號的穩(wěn)態(tài)誤差。例3.6.12022/7/28 9:07北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系1293.6 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算若令U(s)=0，N(s)= N/s，則系統(tǒng)對階躍擾動輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為： 可見，階躍擾動輸入下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為常值，它與階躍信號的幅值成正比，與控制器比例系數(shù)KP成反比。解若采用比例調(diào)節(jié)器，即由圖可以看出，系統(tǒng)對給定輸入為型系統(tǒng)，令擾動N(s)=0，給定輸入U(s)=U/s，則系統(tǒng)對階躍