2.4 向量組的極大線性無關(guān)組

1、2.4 向量組的極大線性無關(guān)組 第二章 n維列向量 2.4 向量組的極大線性無關(guān)組 一. 定義 如果向量組1, 2, , s的部分組 滿足以下條件: , , i1 , i2 ir 線性無關(guān); , , i1 (1) , i2 ir (2) 1, 2, , s中任一向量都可由線性表示, , , i1 , i2 ir 極大線性無關(guān)組(maximal linearly independent subset).為1, 2, , s的一個 , , i1 則稱 , i2 ir 12.4 向量組的極大線性無關(guān)組 第二章 n維列向量 二. 有關(guān)結(jié)論 定理2.5. 秩為r的向量組1, 2, , s一定有由 r個向

2、量構(gòu)成的極大無關(guān)組. 命題2.1. 秩為r的向量組中任何r個線性無關(guān)的 向量都構(gòu)成它的一個極大無關(guān)組. 22.4 向量組的極大線性無關(guān)組 第二章 n維列向量 定理2.6. 一個向量組的任何兩個極大無關(guān)組 都是等價的, 因而任意兩個極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)都相同, 且等于這 個向量組的秩. 命題2.2. 一個向量組與它的任何一個極大無 關(guān)組都是等價的. 32.4 向量組的極大線性無關(guān)組 第二章 n維列向量 三. 計算 理論依據(jù): (1) 命題2.1(2) 定理1.11 (初等變換不改變矩陣的秩). 例2.8. 已知向量組1, 2, 3線性無關(guān), 求 1 2, 2 3, 3 1 的一個極大無關(guān)組.

3、 42.4 向量組的極大線性無關(guān)組 第二章 n維列向量 列向量組相關(guān)計算問題1.求向量組的秩：初等行變換化為行階梯形，行階梯形的非零行數(shù)等于矩陣的秩，等于行（列）向量組的秩。2. 判斷向量組的線性關(guān)系：初等行變換化為行階梯形，判斷秩與向量個數(shù)的大小，秩小于個數(shù)，向量組線性相關(guān)，秩等于個數(shù)，向量組線性無關(guān)。初等行變換不改變列向量組之間的線性關(guān)系。52.4 向量組的極大線性無關(guān)組 第二章 n維列向量 3.求向量組的一個極大線性無關(guān)組：初等行變換化為行階梯形，原矩陣中與行階梯形非零行非零首元所在的列相同位置的幾個列向量一定4. 用極大無關(guān)組線性表示其余向量：初等行變換化為行最簡形，依3方法找到一組極

4、大無關(guān)組，在行最簡形中將非零首元不在列分別由非為一個極大線性無關(guān)組。個數(shù)和秩相同。零首元所在列線性表示，再將表達(dá)式轉(zhuǎn)換到原向量組中即可。62.4 向量組的極大線性無關(guān)組 第二章 n維列向量 例2.9設(shè)A = 3 2 0 5 03 2 3 6 12 0 1 5 31 6 4 1 4, 求A的列向量組 的一個極大無關(guān)組. 1 6 4 1 40 4 3 1 10 0 0 4 10 0 0 0 0解: A =3 2 0 5 03 2 3 6 12 0 1 5 31 6 4 1 4初等行變換可見A的第1, 2, 4列構(gòu)成A的列向量組的一個極大無關(guān)組.7例2.10 已知參數(shù)a, b互異，求向量組的極大無關(guān)組解：由于三個2維向量