泛函分析中的度量空間

1、泛函分析主要內(nèi)容泛函分析是20世紀(jì)30年代形成的數(shù)學(xué)分科。是從變分問(wèn)題，積 分方程和理論物理的研究中發(fā)展起來(lái)的。它綜合運(yùn)用函數(shù)論，幾何學(xué)， 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)研究無(wú)限維向量空間上的函數(shù)，算子和極限理論。 它可以看作無(wú)限維向量空間的解析幾何及數(shù)學(xué)分析。主要內(nèi)容有拓?fù)?線性空間等。泛函分析在數(shù)學(xué)物理方程，概率論，計(jì)算數(shù)學(xué)等分科中 都有應(yīng)用，也是研究具有無(wú)限個(gè)自由度的物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具。泛函 分析是研究拓?fù)渚€性空間到拓?fù)渚€性空間之間滿足各種拓?fù)浜痛鷶?shù) 條件的映射的分支學(xué)科。1、度量空間定義：設(shè)X為一個(gè)集合，一個(gè)映射d： XXX-R。若對(duì)于任 何x,y,z屬于X，有(正定性)d(x,y)A0,且 d(x

2、,y)=0 當(dāng)且僅當(dāng) x = y；(對(duì)稱性)d(x,y)=d(y,x)；(三角不等式)d(x,z) Wd(x,y)+d(y,z)則稱d為集合X的一個(gè)度量(或距離)。稱偶對(duì)(X，d)為一 個(gè)度量空間，或者稱X為一個(gè)對(duì)于度量d而言的度量空間。例：實(shí)數(shù)帶有由絕對(duì)值給出的距離函數(shù)d(x, y) = |y x|，和 更一般的歐幾里得n維空間帶有歐幾里得距離是完備度量空間2、賦范線性空間泛函分析研究的主要是實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域上的完備賦范線性空間。 這類空間被稱為巴拿赫空間，巴拿赫空間中最重要的特例被稱為希爾伯特空間。例：任何賦范向量空間通過(guò)定義d（x, y） = iy xll也是度量空間。（如果這樣一個(gè)空間是

3、完備的，我們稱之為巴拿赫空間。例:曼哈 頓范數(shù)引發(fā)曼哈頓距離，這里在任何兩點(diǎn)或向量之間的距離是在 對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)之間距離的總和。3、希爾伯特空間希爾伯特空間可以利用以下結(jié)論完全分類，即對(duì)于任意兩個(gè)希爾 伯特空間，若其基的基數(shù)相等，則它們必彼此同構(gòu)。對(duì)于有限維希爾 伯特空間而言，其上的連續(xù)線性算子即是線性代數(shù)中所研究的線性變 換。對(duì)于無(wú)窮維希爾伯特空間而言，其上的任何態(tài)射均可以分解為可 數(shù)維度（基的基數(shù)為50）上的態(tài)射，所以泛函分析主要研究可數(shù)維 度上的希爾伯特空間及其態(tài)射。希爾伯特空間中的一個(gè)尚未完全解決 的問(wèn)題是，是否對(duì)于每個(gè)希爾伯特空間上的算子，都存在一個(gè)真不變 子空間。該問(wèn)題在某些特定情況下

4、的答案是肯定的。4、巴拿赫空間巴拿赫空間理論（Banach space）是192O年由波蘭數(shù)學(xué)家巴拿 赫（S.Banach） 手創(chuàng)立的，數(shù)學(xué)分析中常用的許多空間都是巴拿赫 空間及其推廣，它們有許多重要的應(yīng)用。大多數(shù)巴拿赫空間是無(wú)窮維 空間，可看成通常向量空間的無(wú)窮維推廣。巴拿赫空間(Banach space)是一種賦有長(zhǎng)度的線性空間，泛函分析研究的基本對(duì)象之一。數(shù)學(xué)分析各個(gè)分支的發(fā)展為巴拿赫空 間理論的誕生提供了許多豐富而生動(dòng)的素材。從外爾斯特拉斯，K.(T.W.)以來(lái)，人們久已十分關(guān)心閉區(qū)間a , b 上的連續(xù)函數(shù)以及 它們的一致收斂性。甚至在19世紀(jì)末，G.阿斯科利就得到a , b 上一族

5、連續(xù)函數(shù)之列緊性的判斷準(zhǔn)則，后來(lái)十分成功地用于常微分 方程和復(fù)變函數(shù)論中。5、內(nèi)積空間(1)內(nèi)積空間的定義：設(shè)H是域K上的線性空間，對(duì)任意X H，有一個(gè)中K數(shù)(x, y )與 之對(duì)應(yīng)，使得對(duì)任意x, y,乙G H ； ae K滿足(x,y) 0 ； (x,y) =0，當(dāng)且僅當(dāng) x = 0 ；(x,y)Xy7x_ _ ；c (ax, y) = a (x, y)；(x + y, z) = (x, z) + (y, z)；稱(,)是H上的一個(gè)內(nèi)積，H上定義了內(nèi)積稱為內(nèi)積空間。二、線性算子線性算子與線性泛函 設(shè)x、Y是兩個(gè)(實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)域上的) 線性空間，T是x到Y(jié)的映射。T的定義域和值域分別記為D(T

6、 )、 R(T)。如果對(duì)任何數(shù)、6 和 xx2eD(T)，滿足a x/g x2eD(T)， 并且Fg邙技=閔+，則稱T是以D (T)為定義域的x到Y(jié)的線性算子。特別當(dāng)D(T)=x, Y 是實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域時(shí)，稱T是x上的線性泛函。例1,設(shè)x=G【0,1】(【0,1】上連續(xù)可微函數(shù)全體)，Y=B【0,1】(【0,1】上有界函數(shù) 全體)，定義=畚沖，則T是x到Y(jié)的線性算子。例2,設(shè)x=C【a ,b】(【a ,b】上的 連續(xù)函數(shù)全體)，K(t,s)是【a ,b】X【a ,b】上的二元連續(xù)函數(shù)， 定義(以冷)=匚皿矽心買，則t是x到x的線性算子。例3,設(shè)x=C 【a ,b】，則牛=；用)虬Tx =x(t

7、)(t是【a ,b】中取定的一個(gè)點(diǎn))200都是x上的線性泛函。例：設(shè)X是賦范線性空間，a是一給定的數(shù)，映射廣:x Tax是X 上的線性算子，稱為相似算子；當(dāng),=1時(shí)，稱廣為單位算子或者恒等 算子，記作/。例：V x e Ms b ，定義 Tx (t)=x G)赤由積分的線性知，廣是Ma,b 到Ma, b 空間中的線性算子。若令f (x ) = fb x G) dt(Vx e C .a, b )a則f是C a,b上的線性泛函。三、泛函分析與數(shù)學(xué)分析的區(qū)別泛函分析的特點(diǎn)是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且還把這些概念和方法幾何化了。比如，不同類型的函數(shù)可以 看作是“函數(shù)空間”的點(diǎn)或矢量，這樣最后得到了 “抽象空間”這個(gè) 一般的概念。它既包含了以前討論過(guò)的幾何對(duì)象，也包括了不同的函數(shù)空間數(shù)學(xué)中的分析分支是專門研究實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)及其函數(shù)的數(shù)學(xué)分支。 它的發(fā)展由微積分開始，并擴(kuò)展到函數(shù)的連續(xù)性、可微分及可積分等 各種特性。這些特性，有助我們應(yīng)用在對(duì)