平面向量典型例題

1、第 頁共10頁1.2.3.平面向量經(jīng)典例題:已知向量a=(1,2),b=(2,0),若向量Xa+b與向量c=(1,-2)共線，則實數(shù)久等于()A.21B.-3C.-12D-3答案C解析Xa+b=(X,2X)+(2,0)=(2+X,2X),TXa+b與c共線，2(2+X)2X=0,久=1(文)已知向量a=(：3，1)，b=(0,1)，c=(D，3)，若a+2b與c垂直，則D=(B.V3A.-1C.-3D.1答案C解析a+2b=0-3,1)+(0,2)=(詁3,3),.a+2b與c垂直,.(a+2b)c=；3D+35=0,.D=3.(理)已知a=(1,2),b=(3,-1)，且a+b與ab互相垂直

2、，則實數(shù)X的值為(A.-1111B.-1111D-1T答案C解析a+b=(4,l),a久b=(l3久,2+久),：a+b與aXb垂直，6.(a+b)(aXb)=4(13久)+1X(2+X)=611X=0,/.X=背.設(shè)非零向量a、b、c滿足lal=lbl=lcl,a+b=c，則向量a、b間的夾角為()A.150B.120C.60D.30第 頁共10頁答案B解析如圖，在叩D中,=60,/ll=0l=lcl,c=a+b,:,皿為正三角形，/.Z皿a,b=120,故選B.(理)向量a，b滿足la1=1，labI導,ba與b的夾角為60，則lbl=()c.4答案a33解析Tlabl=，.lap+lb|

3、22.b=；,/lal=1,a,b=60,31設(shè)lbl=D,貝打+股一D=4，VD0,/.D=2-4.若+2=0,則厶A.銳角三角形C.鈍角三角形必定是（）B.直角三角形D.等腰直角三角形解析2(+)0,.丄C為直角三角形.5.若向量a=(1,1),b=(1,1),c=(2,4)，則用a,b表示c為(A.a+3方B.a3bC3abD.3a+b答案B解析設(shè)cAa+“b,貝H(2,4)=(久+“，X),1,/.,/-ca3b,3故選B.在平行四邊形中,與交于，是線段的中點,的延長線與交于點，若=a,=b,貝V等于（）A.*+切B.；a+|bcfa+4bD.fa+；b答案B解析/為的中點，：3,.I

4、I-扌i,.i；i；iI,)a+亍(2方一a)ja+3b.6.若厶的三邊長分別為=5,a+1(F=7,B.14A.19C.18D.19答案D72+526219解析據(jù)已知得cos2X7X535IIX|X(cos)7X5X0193519.7.若向量a=(1,2),b=(4,)相互垂直,A.12則9+3的最小值為（）B.25答案B第 #頁共10頁第 頁共10頁D.6C.32答案D第3頁共10頁解析a方=4(X1)+2D=0,.2X+D=2,.9x+3=32x+3。三2乜3咼=6,等號在X=|,D=1時成立.8.若D,D，口是直線D上不同的三個點，若D不在D上，存在實數(shù)X使得X2DD+XDD+皿=0,

5、實數(shù)X為（）A.-1-1+討5c.B.01+嶄2D.2答案A解析Q2DD+皿+叩一皿=0,.門2叩+（口一1）皿+叩=0,由向量共線的充要條件及D、D、D共線知，1D口2=1,.門=0或一1,當x=0時，叩=0,與條件矛盾，.X=1.9.（文）已知D是邊長為2的正DDD邊皿上的動點，則皿（DD+皿）（）A.最大值為8B.最小值為2C.是定值6D.與D的位置有關(guān)答案C懈析以皿的中點D為原點，直線皿為X軸建立如圖坐標系，則D（1,0）,D（1,0）,D（0,3）,而+用=（1,3）+（1,1；3）=（0,21：3）,設(shè)D(XDQ),1WXW1,則而=(X,也),.而.(而+而)=(x,：3).(0

6、,23)=6,故選C.（理）在叩中，D為皿邊中點，若ZD=120,DD皿=-1,；7則時I的最小值是（）C.、】2B.2d答案D解析VZD=120,DD皿=1,.IDDMMIcos120=1,/.IDDX叩1=2,/.IDD|2+1皿|2三21叩X叩1=4,VD為叩邊的中點,/.DDff1ffff1ff11+DD),.IDD|2=4(IDD|2+IDD|2+2DDDD)=J(IDDR+IDD|22)4(42)=2,10.如圖，一直線叩與平行四邊形DDDD的兩邊DD,叩分f1T別交于D、D兩點，且交其對角線于D，其中DD=3DDf，Df=ADf，則久的值為（）第 頁共10頁A-i1B-11D.2

7、答案Cc.3第 #頁共10頁解析Da+4b=(2D-4,3D+8),a2b=(4,1),由條件知(2D4).(1)(3D+8)X4=0,.D=2，故選C.12.在厶DDD中，D=90,且叩=DD=3,點D滿足皿=2叩，貝ODD叩等于(A.2B.C.4D.答案B13.14.解析DDDD=(DD+DD)DD=(DDDD由條件知,IDDl=IDDl=IDD1=3,DD,DD=60,kk2kDD=60,DD=3DD,BID)DD=DDDD1而|而|.cos45=|x2X322=3-在正三角形DDD中，D是DD上的點，DD=3,DD答案解析DD,=1，則而dK=152-K-K-K-K-K-K-K-K2K

8、2.DDDD=DD(DD+DD)=DDDD+DD.DD=3X3Xcos60+3X3X3Xcos已知向量a=(3,4),b=(2,1),則a在b方向上的投影等于答案晉。解析a在b方向上的投影為晉二一第 #頁共10頁第 頁共10頁215.已知向量a與b的夾角為亍，且IaI=1,IbI=4,若(2a+久b)丄a,則實數(shù)A=答案122解析Ta,b=3，IaI=1,bI=4,.ab=IaIJbIcosa,b)=1X4Xcos=2,T(2a+久b)丄a,.a(2a+久方)=2lal2+久ab=22久=0,.久=1.16.已知：IDI=1,IDT匸詁3,dTdT=0,點D在ZDDD內(nèi)，且ZDDD=30,設(shè)d

9、T=0dF+OD(0,o丘+）,則:答案3解析設(shè)ODD=DD,ODD=DD町D=DD+叩,TZDDD=30,.IDDIcos30=D1=0IDD1=0,IdT|.sin30=IDTI=OIDTI=J30,兩式相除得：盲=亠=盅=低訃=3.30IDDIsin3017.（文）設(shè)i、j是平面直角坐標系（坐標原點為D）內(nèi)分別與D軸、D軸正方向相同的兩個單位向量，且DD=-2i+j,DD=4i+3/,則厶DDD的面積等于答案5解析由條件知，i2=1,j2=1,ij=0,DTDT=(2i+j)(4i+3j)=8+3=5,又DTDT=而I而IcosdT,DT=5，r5cosDT,DT,.cosDD,DD.s

10、inDD,DD1tttt/.Dn=-IDDIIDDIsinDD,DDDDD2（理）三角形DDD中，D，口,D分別是角D,D,D所對的邊，能得出三角形DDD一定是銳角三角形的條件是（只寫序號）sinD+cosD=f而而0.答案1tttt解析若D為銳角，則sinD+cosD1,TsinD+cosD=,/D為鈍角，TDDDD0,nD33心/.ZD為銳角，由ZD為銳角得不出DDD為銳角三角形；由正弦定理sinD=$誠得，sin30=sinD，sinD=，./D=60。或120,TDsinD=323,3號0,及D、D、D丘(0,),D+D+D=知D、D、D均為銳角，/.DDD為銳角三角形.18.已知平面

11、向量a=(1,X),b=(2X+3,-X).若a丄b,求X的值.若ab,求Ia-bI.解析(1)若ab,則a-b=(l,x)(2x+3,-x)=1X(2x+3)+x(x)=0,整理得x22x3=0,解得x1或x=3.(2)若allb則有1X(x)x(2x+3)=0,則x(2x+4)=0,解得x=0或x=-2,當x=0時，a=(1,0),b=(3,0),/.labl=l(1,0)(3,0)11(2,0)1=；2+02=2,當x=2時，a=(1,2),b=(1,2),/.labl=l(1,2)(1,2)l=l(2,4)1=；22+-4=5.19.已知向量a=(sinx,1),b=(討3cosx,f

12、)，函數(shù)f(x)(a+b)a_2.(1)求函數(shù)fx)的最小正周期T；(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移彳上個單位后，再將所得圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的3倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的解析式及其對稱中心坐標.解析(1)f(x)=(a+b)a2=a2+ab2sin2x+1+J3sinxcosx+21cos2x313=2+2sin2x2=2sin2x/.周期T=亍.1-2cos2xsin(2x6),(2)向左平移彳個單位得，y=sin2(x+6)6】=sin(2x+彳)，橫坐標伸長為原來的3倍得，g(x)=sin(x+6)，令fx+6=k得對稱中心為4，0)，灼.20.(文)三角

13、形的三個內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c,設(shè)向量m(ca,ba),n(a+b,c),若miln.求角B的大??；若sinA+sinC的取值范圍.caba解析由mln知0+方=c,即得b2=a2+c2ac，據(jù)余弦定理知cosB=2，得B=j.(2)sinA+sinC=sinA+sin(A+B)=sinA+sin(A+亍)sinA+sinA+于cosA|sinA+于CosA=3sin(A+6)B=3，/A+C=2_3，/AW(0,),/A+6丘(6,p/sin+6)丘(2，1，+sinC的取值范圍為(汀3,(理)在鈍角三角形ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，m(2bc,cosC)

14、,n(a,cosA),且min.(1)求角A的大小；(2)求函數(shù)y=2sin2B+cos(2B)的值域.解析由mHn得(2bc)cosAacosC=0,由正弦定理得2sinBcosAsinCcosAsinAcosC=0,/sin(A+C)=sinB，.:2sinBcosA一sinB=0,TB、A(0,),AsinB#0,AA=3(2)y=1cos2B+os2B+*sin2B=1一fcos2B+于sin2B=sin(2B彳)+1,當角B為鈍角時，角C為銳角，則_2mB3,B2第 #頁共10頁第 頁共10頁71113/62b66，sin(2B6)(2,2)，-ye(2,P當角B為銳角時，角C為鈍角

15、，則B225B6，2百-B1113一62B66，：sin(2B6疋(一2,2)，巧綜上，所求函數(shù)的值域為(2；).21.設(shè)函數(shù)fx)=a方，其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,冷3sin2x),x(1)若fx)=1込且x3,3，求x；若函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=(m,n)(lml)平移后得到函數(shù)y=fx)的圖象，求實數(shù)m、n的值.解析(1)依題設(shè)，fx)=2cos2x+V3sin2x=1+2sin(2x+6).由1+2sin(2x+g)=13,得sin(2x+6)=t3x3，-22x+66，：2x+6=3,即x=4.函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=(m,n)平移后得到

16、函數(shù)y=2sin2(xm)+n的圖象，即函數(shù)y=f(x)的圖象.由(1)得fx)=2sin2(x+石)+1.TlmlF2(0,?5),若過行的直線交(1)中曲線C于A、B兩點,求幣FfB的取值范圍.解得b2,所以c2,11廠V6+V21込+1所以屜2寧4，方案二：選擇，可確定ABC,因為A30,a1,B45,C105,sin105sin(45+60)sin45cos60+cos45sin60第 頁共10頁第 #頁共10頁由正弦定理casinCsinA1sin105sin30第 #頁共10頁所以SAABC2acsinB第 頁共10頁3：=Xc23ydM=3屁:o=x第 #頁共10頁代入兀2+y0

17、=4得，亍+y9=1-(2)當直線AB的斜率不存在時，顯然FB=-4,當直線AB的斜率存在時，不妨設(shè)AB的方程為：y=kx+送,=kx+,5由鼻y2得，(9+4k2)x2+8l5kx16=0,4+9=1不妨設(shè)A，y1)，B(x2，y2)，則_8呂+x2-9+4k2169+4k2第 #頁共10頁第 #頁共10頁FA幣=(勺y】+V5)(x2,y2+吳尸曾kx1+2遲)(x2,kx2+/5)=(1+k2)x1x2+2d5k(X+x2)+2016+k2,80k2-96k216,9+4k2+9+4k2+20=9+4k2+20-4+9+2,Vk20，A9+4k29.2009+4k2.2009第 #頁共10頁第 #頁共10頁ff164-4N(x2,y2),l+x2“，第 #頁共