函數(shù)模型及其應(yīng)

1、函數(shù)模型及其應(yīng)用一、高考要求：1、利用計(jì)算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長(zhǎng)差異；結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義；2、收集一些社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等）的實(shí)例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用。3、數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題形式多樣，解法靈活。在應(yīng)用題的各種題型中，有這樣一類題型：信息由表格數(shù)據(jù)的形式給出，要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化處理，建立數(shù)學(xué)模型，解答有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。解答此類題型主要有如下三種方法：（1）直接法：若由題中條件能明顯確定需要用的數(shù)學(xué)模型，或題中直接給出了需要用的數(shù)學(xué)模型，則可直接代入表中的數(shù)據(jù)，問(wèn)題即可獲解；（2）列

2、式比較法：若題所涉及的是最優(yōu)化方案問(wèn)題，則可根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)先列式，然后進(jìn)行比較；（3）描點(diǎn)觀察法：若根據(jù)題設(shè)條件不能直接確定需要用哪種數(shù)學(xué)模型，則可根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行描點(diǎn)，作出散點(diǎn)圖，然后觀察這些點(diǎn)的位置變化情況，確定所需要用的數(shù)學(xué)模型，問(wèn)題即可順利解決二、基礎(chǔ)訓(xùn)練1.一等腰三角形的周長(zhǎng)是20，底邊y是關(guān)于腰長(zhǎng)x的函數(shù)，它的解析式為 . 2.我國(guó)為了加強(qiáng)對(duì)煙酒生產(chǎn)的宏觀調(diào)控，除了應(yīng)征稅外還要征收附加稅，已知某種酒每瓶售價(jià)為70元，不收附加稅時(shí)，每年大約銷售100萬(wàn)瓶，若每銷售100元國(guó)家要征附加稅為x元（稅率x%），則每年銷售量減少10 x萬(wàn)瓶，為了要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中收取的附

3、加稅額不少于112萬(wàn)元，則x的最小值為 . 3.已知光線每通過(guò)一塊玻璃板，光線的強(qiáng)度要損失10%，要使通過(guò)玻璃板的光線的強(qiáng)度減弱到原來(lái)強(qiáng)度的以下，則至少需要重疊 塊玻璃板. 4.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2 000萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬(wàn)元.又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，K（Q）=40Q-Q2，則總利潤(rùn)L（Q）的最大值是 萬(wàn)元.三、典型例題例1、用水清洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥對(duì)用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1個(gè)單位量的水可洗掉蔬菜上殘留農(nóng)藥量的，用水越多洗掉的農(nóng)藥量也越多，但總還有農(nóng)藥殘留在蔬菜上設(shè)用x單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的

4、農(nóng)藥量之比為函數(shù)f（x）.（1）試規(guī)定f（0）的值，并解釋其實(shí)際意義；（2）試根據(jù)假定寫出函數(shù)f（x）應(yīng)該滿足的條件和具有的性質(zhì)；（3）設(shè)f（x）=，現(xiàn)有a（a0）單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩次，試問(wèn)用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較少?例2、據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測(cè)：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng)，其移動(dòng)速度v（km/h）與時(shí)間t（h）的函數(shù)圖象如圖所示，過(guò)線段OC上一點(diǎn)T（t，0）作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t（h）內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過(guò)的路程s（km）.（1）當(dāng)t=4時(shí)，求s的值；（2）將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來(lái)；（3）若N

5、城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷這場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城，如果會(huì)，在沙塵暴發(fā)生后多長(zhǎng)時(shí)間它將侵襲到N城？如果不會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由.例3、某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖210中（1）的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖210中（2）的拋物線表示.圖210（1）寫出圖中（1）表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Pf（t）；寫出圖中（2）表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Qg（t）；（2）認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問(wèn)何時(shí)上市的西紅柿純收益最大?（注：市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：元102 ，g，時(shí)間單

6、位：天）課后作業(yè)1.某機(jī)床在生產(chǎn)中所需墊片可以外購(gòu)，也可自己生產(chǎn)，其中外購(gòu)的單價(jià)是每個(gè)1.10元，若自己生產(chǎn)，則每月需投資固定成本800元，并且每生產(chǎn)一個(gè)墊片還需材料費(fèi)和勞務(wù)費(fèi)共0.60元.設(shè)該廠每月所需墊片x個(gè)，則自己生產(chǎn)墊片比外購(gòu)墊片較合算的條件是x .2.某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開源節(jié)流,現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片（如圖中陰影部分）備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時(shí)，矩形兩邊長(zhǎng)x，y應(yīng)為分別為 .3.某工廠8年來(lái)某種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列四種說(shuō)法：前三年中，產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快；前三年中，產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來(lái)越慢；第三年中，產(chǎn)品

7、停止生產(chǎn)；第三年中，這種產(chǎn)品產(chǎn)量保持不變.其中說(shuō)法正確的是 （填序號(hào)）. 4.某產(chǎn)品的總成本y（萬(wàn)元）與產(chǎn)量x(臺(tái)）之間的函數(shù)關(guān)系式是y=3 000+20 x-0.1x2,x(0,240),若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元，則生產(chǎn)者不虧本時(shí)（銷售收入不小于總成本）的最低產(chǎn)量為 臺(tái).5.某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)檢測(cè)，服藥后每毫升血液中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí)）之間的關(guān)系用如圖所示曲線表示.據(jù)進(jìn)一步測(cè)定，每毫升血液中含藥量不少于0.25毫克時(shí)，治療疾病有效，則服藥一次治療該疾病有效的時(shí)間為 小時(shí). 6.某商店計(jì)劃投入資金20萬(wàn)元經(jīng)銷甲、乙兩種商品，已知經(jīng)銷甲商品與

8、乙商品所獲得的利潤(rùn)分別為P（萬(wàn)元）和Q（萬(wàn)元），且它們與投入資金x（萬(wàn)元）的關(guān)系是：P=，Q=（a0）.若不管資金如何投放，經(jīng)銷這兩種商品或其中一種商品所獲得的純利潤(rùn)總和不少于 5萬(wàn)元，則a的最小值應(yīng)為 . 7.某種商品進(jìn)貨單價(jià)為40元，若按每個(gè)50元的價(jià)格出售，能賣出50個(gè)，若銷售單價(jià)每上漲1元，則銷售量就減少1個(gè)，為了獲得最大利潤(rùn)，此商品的最佳售價(jià)應(yīng)定為 元.8.某商場(chǎng)宣傳在節(jié)假日對(duì)顧客購(gòu)物實(shí)行一定的優(yōu)惠，商場(chǎng)規(guī)定：如一次購(gòu)物不超過(guò)200元，不予以折扣；如一次購(gòu)物超過(guò)200元，但不超過(guò)500元，按標(biāo)價(jià)予以九折優(yōu)惠；如一次購(gòu)物超過(guò)500元的，其中500元給予九折優(yōu)惠，超過(guò)500元的給予八五折

9、優(yōu)惠；某人兩次去購(gòu)物，分別付款176元和432元，如果他只去一次購(gòu)買同樣的商品，則應(yīng)付款 元.9.某市居民自來(lái)水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水不超過(guò)4噸時(shí)，每噸為1.80元，當(dāng)用水超過(guò)4噸時(shí)，超過(guò)部分每噸3.00元，某月甲、乙兩戶共交水費(fèi)y元，已知甲、乙兩用戶該月用水量分別為5x，3x噸.（1）求y關(guān)于x的函數(shù)；（2）若甲、乙兩戶該月共交水費(fèi)26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費(fèi).10.某廠生產(chǎn)某種零件，每個(gè)零件的成本為40元，出廠單價(jià)定為60元，該廠為鼓勵(lì)銷售商訂購(gòu)，決定當(dāng)一次訂購(gòu)量超過(guò)100個(gè)時(shí)，每多訂購(gòu)一個(gè)，訂購(gòu)的全部零件的出廠單價(jià)就降低0.02元，但實(shí)際出 廠單價(jià)不能低于51元.（1）當(dāng)一次訂購(gòu)量為多少個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰降為51元？（2）設(shè)一次訂購(gòu)量為x個(gè)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)為P元，寫出函數(shù)P=f（x）的表達(dá)式；（3）當(dāng)銷售商一次訂購(gòu)500個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤(rùn)是多少元？如果訂購(gòu)1 000個(gè)，利潤(rùn)又是多少元？（工廠售出一個(gè)零件的利潤(rùn)=實(shí)際出廠單價(jià)-成本）11.一位牧民計(jì)劃用籬笆為他的馬群圍一個(gè)面積為1 600 m2的矩形牧場(chǎng)，由于受自然環(huán)境的影響，矩形的一邊不能超過(guò)a