空間向量及其坐標(biāo)運(yùn)算(A)

1、9.7空間向量及其坐標(biāo)運(yùn)算（B）【教學(xué)目標(biāo)】掌握空間點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則、空間中兩點(diǎn)間距離及兩向量的夾角公式的坐標(biāo)、的坐標(biāo)表示；會(huì)求平面的法向量。培養(yǎng)學(xué)生的建系意識(shí)，并能用空間向量知識(shí)解決有關(guān)問題。【知識(shí)梳理】1空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：（1），則， ，（2）若，則一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)2 模長公式：若，3夾角公式：4兩點(diǎn)間的距離公式：若， 【點(diǎn)擊雙基】1.若a=（2x，1，3），b=（1，2y，9），如果a與b為共線向量，則A.x=1，y=1 B.x=，y=C.x=，y=D.x=，y=解析：a=（2x，1，3）與b

2、=（1，2y，9）共線，故有=.x=，y=.應(yīng)選C.答案：C2.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（x，y，z），下列敘述中正確的個(gè)數(shù)是點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P1（x，y，z） 點(diǎn)P關(guān)于yOz平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P2（x，y，z） 點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P3（x，y，z） 點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P4（x，y，z）A.3 B.2 C.1 D.0解析：P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P1（x，y，z），關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)為P2（x，y，z），關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P3（x，y，z）.故錯(cuò)誤.答案：C3.已知向量a=（1，1，0），b=（1，0，2），且kab與2ab互相垂直，則k值是A.1B.C.D.

3、解析：ka+b=k（1，1，0）（1，0，2）=（k1，k，2），2ab=2（1，1，0）（1，0，2）=（3，2，2）.兩向量垂直，3（k1）2k22=0.k=.答案：D4.已知空間三點(diǎn)A（1，1，1）、B（1，0，4）、C（2，2，3），則與的夾角的大小是_.解析：=（2，1，3），=（1，3，2），cos，=，=，=120.答案：1205.已知點(diǎn)A（1，2，1）、B（1，3，4）、D（1，1，1），若，則| |的值是_.解析：設(shè)點(diǎn)P（x，y，z），則由=2，得（x1，y2，z1）=2（1x，3y，4z），即則|=.答案： 【典例剖析】【例1】 已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平

4、面ABC的單位法向量.即n=（，1，1），單位法向量n0=（，）.解：設(shè)面ABC的法向量n=（x，y，1），則n且n，即n=0，且n=0，即2x+2y+1=0，4x+5y+3=0， 特別提示一般情況下求法向量用待定系數(shù)法.由于法向量沒規(guī)定長度，僅規(guī)定了方向，所以有一個(gè)自由度，可把n的某個(gè)坐標(biāo)設(shè)為1，再求另兩個(gè)坐標(biāo).平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本題的單位法向量應(yīng)有兩解.【例2】 在三棱錐SABC中，SAB=SAC=ACB=90，AC=2，BC=，SB=.（1）求證：SCBC；（2）求SC與AB所成角的余弦值.解法一：如下圖，取A為原點(diǎn)，AB、AS分別為y、z軸

5、建立空間直角坐標(biāo)系，則有AC=2，BC=，SB=，得B（0，0）、S（0，0，2）、C（2，0）， =（2，2），=（2，0）.（1）=0，SCBC.（2）設(shè)SC與AB所成的角為，=（0，0），=4，| |=4，cos=，即為所求.解法二：（1）SA面ABC，ACBC，AC是斜線SC在平面ABC內(nèi)的射影，SCBC.（2）如下圖，過點(diǎn)C作CDAB，過點(diǎn)A作ADBC交CD于點(diǎn)D，連結(jié)SD、SC，則SCD為異面直線SC與AB所成的角.四邊形ABCD是平行四邊形，CD=，SA=2，SD=5，在SDC中，由余弦定理得cosSCD=，即為所求.特別提示本題（1）采用的是“定量”與“定性”兩種證法.題（2）

6、的解法一應(yīng)用向量的數(shù)量積直接計(jì)算，避免了作輔助線、平移轉(zhuǎn)化的麻煩，但需建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；解法二雖然避免了建系，但要選點(diǎn)、平移、作輔助線、解三角形.【例3】 如下圖，直棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).（1）求的長；（2）求cos的值；（3）求證：A1BC1M.（1）解：依題意得B（0，1，0），N（1，0，1），=.（2）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），=（1，1，2），=（0，1，2），=3，=，=.cos，=.（3）證明：C1（0，0，2），M（，2），=（1

7、，1，2），=（，0），=0，A1BC1M.深化拓展根據(jù)本題條件，還可以求直線AC1與平面A1ABB1所成的角.（答案是arcsin） 【例4】 如下圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn).（1）證明ADD1F；（2）求AE與D1F所成的角；（3）證明面AED面A1D1F.解：取D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系，取正方體棱長為2，則A（2，0，0）、A1（2，0，2）、D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）.（1） =（2，0，0）（0，1，2）=0，ADD1F.（2）=（0，2，1）（0，1，2）=0，AED1F，即AE與D1F成90角.（3）=（2，2，1）（0，1，2）=0，DED1F.AED1F，D1F面AED.D1F面A1D1F，面AED面A1D1F.思考討論本題是高考題，標(biāo)準(zhǔn)答案的解法較為復(fù)雜，而運(yùn)用代數(shù)向量求解則輕而易舉，充分顯示出代數(shù)化方法研究幾何圖形的優(yōu)越性，這應(yīng)作為立體幾何復(fù)習(xí)的一