解答題解題策略管理知識(shí)分析

1、 解答題解題策略專(zhuān)題輔導(dǎo)【考情分析】高考數(shù)學(xué)解答題是在高考試卷中的第二部分（或第卷），在近幾年的高考中其題量已基本穩(wěn)定在6題，分值占總分的49.3%，幾乎占總分一半的數(shù)學(xué)解答題（通常6大題，74分）匯集了把關(guān)題和壓軸題，在高考中舉足輕重，高考的區(qū)分層次和選拔使命主要靠這類(lèi)題型來(lái)完成預(yù)設(shè)目標(biāo)。像圓錐曲線(xiàn)綜合題、函數(shù)方程不等式的交匯題、三角向量的結(jié)合問(wèn)題等仍將是12年高考的重點(diǎn)；預(yù)計(jì)12年高考的熱點(diǎn)：1、三角函數(shù)解答題多集中在以下幾個(gè)類(lèi)型上：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)問(wèn)題；涉及解三角形的三角函數(shù)問(wèn)題；三角函數(shù)與平面向量、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等的交匯問(wèn)題。三角形中的邊角關(guān)系特別是正余弦定理

2、，它是三角形本身內(nèi)在的一種確定關(guān)系。近幾年高考考查三角問(wèn)題主要有兩種形式：一是求較為復(fù)雜的三角函數(shù)表達(dá)式的某些性質(zhì)、圖像的變換、值域或者最值；二是三角形中有關(guān)邊角的問(wèn)題。高考試卷中將這兩種形式合二為一，這很可能會(huì)是今后命題的趨勢(shì)。對(duì)于第一種形式的問(wèn)題，一般要根據(jù)角、次、名、結(jié)構(gòu)等方面，進(jìn)行三角公式變換，然后運(yùn)用整體代換思想或者結(jié)合函數(shù)思想進(jìn)行處理。對(duì)于第二種形式的問(wèn)題，一般要結(jié)合正余弦定理和三角形的邊角知識(shí)進(jìn)行處理。備考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)應(yīng)該放在三角恒等式的等價(jià)變形、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、正余弦定理的使用、三角形知識(shí)的掌握和靈活應(yīng)用以及三角函數(shù)常用基本思想、技能、方法方面。 2、立體幾何：多角度訓(xùn)練證

3、明平行、垂直問(wèn)題；注重?cái)?shù)量關(guān)系中空間角、距離的計(jì)算與轉(zhuǎn)化；繼續(xù)關(guān)注作圖，識(shí)圖，空間想象能力。學(xué)會(huì)兩種法解題，側(cè)重于傳統(tǒng)解法。立體幾何解答題的考查近幾年基本形成一定規(guī)律，就是以棱柱、棱錐等簡(jiǎn)單幾何體為載體考查平行、垂直的判定和性質(zhì)、角和距離的計(jì)算、表面積和體積的計(jì)算。試題的設(shè)置一般兩問(wèn)或者三問(wèn)，近幾年大多是兩問(wèn)。若設(shè)置兩問(wèn)，則第一問(wèn)往往考查平行、垂直的判定和性質(zhì)（尤其垂直是重點(diǎn)）；第二問(wèn)考查空間角的計(jì)算（尤其二面角是重點(diǎn)）；出現(xiàn)第三問(wèn)，則一般考查空間距離的計(jì)算（尤其是點(diǎn)面距離）或者體積的計(jì)算，體積經(jīng)常也是以求空間距離為核心。其中空間角和距離的計(jì)算往往轉(zhuǎn)化到三角形中進(jìn)行。另外還要注意立體幾何探索性

4、問(wèn)題的出現(xiàn)，主要是探索空間點(diǎn)的存在性。備考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)應(yīng)該放在三個(gè)方面。第一方面是掌握線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面平行與垂直的判定和性質(zhì)，尤其要注意平行鏈和垂直鏈知識(shí)之間的轉(zhuǎn)化。第二方面是掌握空間角和距離的求法。在空間角中，異面直線(xiàn)所成角要注意定義法和補(bǔ)形法；線(xiàn)面角要注意定義法和點(diǎn)面距離法；二面角要注意三垂線(xiàn)定理法和射影面積法。至于空間距離，要著重注意線(xiàn)面距離、面面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，點(diǎn)面距離的求法以及等體積轉(zhuǎn)化求點(diǎn)面距離。第三方面是注意立體幾何常用的思想方法和解題技巧：方程思想（特別適用于解探索性問(wèn)題）、轉(zhuǎn)化思想、空間問(wèn)題平面化思想。3、概率與統(tǒng)計(jì)：概率作為近幾年應(yīng)用問(wèn)題的考查題型，幾乎是不變的準(zhǔn)則（只有

5、極個(gè)別省市尋求變化沒(méi)出現(xiàn)），注意圖表意識(shí)，向統(tǒng)計(jì)方向轉(zhuǎn)移這一點(diǎn)在有些省市高考試題中已有體現(xiàn)；準(zhǔn)確識(shí)別概率模型；掌握事件間的運(yùn)算關(guān)系；熟悉常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布列并準(zhǔn)確計(jì)算出期望。近幾年概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題經(jīng)常結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題考查，是近幾年的熱點(diǎn)。預(yù)計(jì)2012年仍將突出概率應(yīng)用題的考查，主要分兩個(gè)層次：文科主要考查等可能事件的概率、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的計(jì)算方法以及運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力；理科主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望、方差的計(jì)算。離散型隨機(jī)變量的分布列與正態(tài)分布的內(nèi)容在近幾年的考查中得到了加強(qiáng)，估計(jì)2012年不僅不會(huì)減弱對(duì)的考查，而且還很可能加大對(duì)

6、正態(tài)分布的考查，提醒同學(xué)們注意。備考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)應(yīng)該放在掌握基本題型，搞清楚互斥事件、對(duì)立事件、等可能事件、相對(duì)獨(dú)立事件的概念和算法；掌握離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望、方差的計(jì)算；注意如何抽取樣本、估計(jì)總體以及如何利用正態(tài)分布解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。4、數(shù)列：把握數(shù)列的整體結(jié)構(gòu)，會(huì)求通項(xiàng)和前n項(xiàng)和；數(shù)列就是一列數(shù)，可從函數(shù)與方程思想角度來(lái)理解，多用歸納，猜想，數(shù)列中經(jīng)常出現(xiàn)的一些不等式放縮問(wèn)題要多總結(jié)。近幾年解答題關(guān)于數(shù)列知識(shí)的考查，重點(diǎn)是數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的求和及其應(yīng)用、Sn與an的關(guān)系，且這類(lèi)題目多與函數(shù)、不等式、解析幾何等學(xué)科交叉命題，此類(lèi)題目難度大、綜合性強(qiáng)需要運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想和方法。備考

7、復(fù)習(xí)中，需要同學(xué)們注重基礎(chǔ)，熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式（公比q的討論）；數(shù)列Sn與an的關(guān)系，并項(xiàng)法、裂項(xiàng)法、錯(cuò)位相減法等常用求和方法。另外，還要注意數(shù)列知識(shí)與極限知識(shí)的結(jié)合，三種基本極限對(duì)于q的討論等知識(shí)的掌握。還有兩點(diǎn)想提醒同學(xué)們注意：一是探索性問(wèn)題在數(shù)列中考查較多；二是數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題可能會(huì)在高考題目中出現(xiàn)。5、解析幾何：小題小做，多用圓錐曲線(xiàn)定義、性質(zhì)和平面幾何知識(shí)；大題注重通性通法，強(qiáng)化運(yùn)算代換能力，加強(qiáng)意志品質(zhì)的培養(yǎng)，注意分步得分，踩點(diǎn)得分；有向量背景的幾何問(wèn)題，注意圖形特征及意義，一般情況都是坐標(biāo)表示，實(shí)施數(shù)與形的轉(zhuǎn)化。與解析幾何有關(guān)的試題約占試題總數(shù)

8、的六分之一。試題既堅(jiān)持了注重通性通法、淡化特殊技巧的命題原則，又適度地體現(xiàn)了靈活運(yùn)用的空間，還集中考查了考生的運(yùn)算能力，真正做到了有效檢測(cè)考生對(duì)解析幾何知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度。解析幾何解答題，常常以圓錐曲線(xiàn)為載體，高考一般設(shè)置兩問(wèn)，第一問(wèn)經(jīng)?？疾閳A錐曲線(xiàn)的方程、定義、軌跡、離心率等基礎(chǔ)知識(shí)；第二問(wèn)經(jīng)常研究直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦、參數(shù)范圍、最值問(wèn)題等。經(jīng)常在題目設(shè)置時(shí)，結(jié)合平面向量，有時(shí)還結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)（例如切線(xiàn)問(wèn)題），構(gòu)成知識(shí)交匯問(wèn)題，綜合考查分析和解決問(wèn)題的能力。備考復(fù)習(xí)時(shí)，首先應(yīng)該注意對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和靈活應(yīng)用，熟練掌握直線(xiàn)與圓的方程，圓錐曲線(xiàn)的定義、

9、性質(zhì)；其次突出抓好高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容以及方法的復(fù)習(xí)，如軌跡問(wèn)題、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、參數(shù)范圍問(wèn)題、最值問(wèn)題、弦長(zhǎng)問(wèn)題、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題、向量和解析幾何綜合問(wèn)題等；最后還要重視運(yùn)算能力的培養(yǎng)，盡可能達(dá)到優(yōu)化解題思維、簡(jiǎn)化解題過(guò)程的目的。6、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式：考查求函數(shù)的解析式、定義域、值域、函數(shù)的奇偶性與周期性的問(wèn)題；對(duì)函數(shù)圖象的考查；函數(shù)的單調(diào)性及最值問(wèn)題；函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式，函數(shù)與數(shù)列、不等式等綜合。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，函數(shù)的觀點(diǎn)和方法貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)。導(dǎo)數(shù)作為新課標(biāo)新增內(nèi)容，近幾年已由解決問(wèn)題的輔助地位，上升為分析問(wèn)題和解決問(wèn)題必不可少的工具。不等式與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)之間存在千絲

10、萬(wàn)縷的關(guān)系。在近幾年的高考解答題中，對(duì)于函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的考查，理科基本是利用導(dǎo)數(shù)作為工具研究非初等函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、解決與方程以及不等式相關(guān)的綜合問(wèn)題；文科基本上是以三次函數(shù)為載體考查函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值以及結(jié)合不等式考查參數(shù)的取值范圍問(wèn)題。其中以參數(shù)的取值范圍問(wèn)題和函數(shù)單調(diào)性、最值方面的應(yīng)用為重點(diǎn)，更多的是函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等交叉滲透命題，以導(dǎo)數(shù)、不等式為工具加以解決的綜合性題目。有時(shí)也出現(xiàn)考查解含參數(shù)不等式的解答題。備考復(fù)習(xí)中，應(yīng)將重點(diǎn)放在二次函數(shù)、二次方程、二次不等式之間的關(guān)系；基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)；原函數(shù)與反函數(shù)、原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系；不等式的基本性質(zhì)、均值不等式

11、的使用、八類(lèi)不等式的解法（一元一次不等式、一元二次不等式、絕對(duì)值不等式、分式不等式、高次不等式、無(wú)理不等式、指對(duì)數(shù)不等式、三角不等式）等基本知識(shí)的熟練掌握，以及結(jié)合函數(shù)與方程的思想、分類(lèi)討論思想（含參數(shù)不等式）、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，引進(jìn)變量、運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力提高上。另外，特別提醒兩點(diǎn)注意：一是函數(shù)和不等式結(jié)合，研究命題恒成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題；二是導(dǎo)數(shù)與傳統(tǒng)不等式的證明相互結(jié)合，用導(dǎo)數(shù)法證明不等式也有可能成為新的命題趨勢(shì)。還有高考應(yīng)用性問(wèn)題的熱門(mén)話(huà)題是增減比率型和方案優(yōu)化型，另外,估測(cè)計(jì)算型和信息遷移型也時(shí)有出現(xiàn)。當(dāng)然，數(shù)學(xué)高考應(yīng)用性問(wèn)題關(guān)注當(dāng)前國(guó)內(nèi)外的政治、經(jīng)

12、濟(jì)、文化，緊扣時(shí)代的主旋律，凸顯了學(xué)科綜合的特色，是歷年高考命題的一道亮麗的風(fēng)景線(xiàn)。多數(shù)出現(xiàn)在像理科概率中分布列的期望方差解釋實(shí)際問(wèn)題、函數(shù)和數(shù)列知識(shí)及其性質(zhì)解釋、解決實(shí)際問(wèn)題中?！局R(shí)交匯】在高考數(shù)學(xué)試題的三種題型中，解答題占分的比重最大，足見(jiàn)它在試卷中地位之重要。解答題也就是通常所說(shuō)的主觀性試題，這種題型內(nèi)涵豐富，包含的試題模式靈活多變，其基本架構(gòu)是：給出一定的題設(shè)（即已知條件），然后提出一定的要求（即要達(dá)到的目的），讓考生解答。而且，“題設(shè)”和“要求”的模式則五花八門(mén)，多種多樣。考生解答時(shí)，應(yīng)把已知條件作為出發(fā)點(diǎn)，運(yùn)用有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，進(jìn)行推理、演繹或計(jì)算，最后達(dá)到所要求的目標(biāo)，同時(shí)

13、要將整個(gè)解答過(guò)程的主要步驟和經(jīng)過(guò)，有條理、合邏輯、完整地陳述清楚。1數(shù)學(xué)綜合題的解題策略解綜合性問(wèn)題的三字訣“三性”：綜合題從題設(shè)到結(jié)論，從題型到內(nèi)容，條件隱蔽，變化多樣，因此就決定了審題思考的復(fù)雜性和解題設(shè)計(jì)的多樣性。在審題思考中，要把握好“三性”，即(1)目的性：明確解題結(jié)果的終極目標(biāo)和每一步驟分項(xiàng)目標(biāo)。(2)準(zhǔn)確性：提高概念把握的準(zhǔn)確性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性。(3)隱含性：注意題設(shè)條件的隱含性。審題這第一步，不要怕慢，其實(shí)慢中有快，解題方向明確，解題手段合理，這是提高解題速度和準(zhǔn)確性的前提和保證?！叭保?1)問(wèn)題具體化(包括抽象函數(shù)用具有相同性質(zhì)的具體函數(shù)作為代表來(lái)研究，字母用常數(shù)來(lái)代表)。

14、即把題目中所涉及的各種概念或概念之間的關(guān)系具體明確，有時(shí)可畫(huà)表格或圖形，以便于把一般原理、一般規(guī)律應(yīng)用到具體的解題過(guò)程中去。(2)問(wèn)題簡(jiǎn)單化。即把綜合問(wèn)題分解為與各相關(guān)知識(shí)相聯(lián)系的簡(jiǎn)單問(wèn)題，把復(fù)雜的形式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的形式。(3)問(wèn)題和諧化。即強(qiáng)調(diào)變換問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式符合數(shù)或形內(nèi)部固有的和諧統(tǒng)一的特點(diǎn)，或者突出所涉及的各種數(shù)學(xué)對(duì)象之間的知識(shí)聯(lián)系?！叭D(zhuǎn)”：(1)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力。每個(gè)數(shù)學(xué)綜合題都是由一些特定的文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言所組成。解綜合題往往需要較強(qiáng)的語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力。還需要有把普通語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力。(2)概念轉(zhuǎn)換能力：綜合題的轉(zhuǎn)譯常常需要較強(qiáng)的數(shù)學(xué)概念的轉(zhuǎn)換能力。(3

15、)數(shù)形轉(zhuǎn)換能力。解題中的數(shù)形結(jié)合，就是對(duì)題目的條件和結(jié)論既分析其代數(shù)含義又分析其幾何意義，力圖在代數(shù)與幾何的結(jié)合上找出解題思路。運(yùn)用數(shù)形轉(zhuǎn)換策略要注意特殊性，否則解題會(huì)出現(xiàn)漏洞?！叭肌保?1)思路：由于綜合題具有知識(shí)容量大，解題方法多，因此，審題時(shí)應(yīng)考慮多種解題思路。(2)思想：高考綜合題的設(shè)置往往會(huì)突顯考查數(shù)學(xué)思想方法，解題時(shí)應(yīng)注意數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。(3)思辯：即在解綜合題時(shí)注意思路的選擇和運(yùn)算方法的選擇?！叭?lián)”：(1)聯(lián)系相關(guān)知識(shí)，(2)連接相似問(wèn)題，(2)聯(lián)想類(lèi)似方法。2數(shù)學(xué)綜合題的解題策略求解應(yīng)用題的一般步驟是（四步法）：（1）、讀題：讀懂和深刻理解，譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，找出主要關(guān)系；

16、（2）、建模：把主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題；（3）、求解：化歸為常規(guī)問(wèn)題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；（4）、評(píng)價(jià)：對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證或評(píng)估，對(duì)錯(cuò)誤加以調(diào)節(jié)，最后將結(jié)果應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，作出解釋或驗(yàn)證.4在近幾年高考中，經(jīng)常涉及的數(shù)學(xué)模型，有以下一些類(lèi)型：數(shù)列模型、函數(shù)模型、不等式模型、三角模型、排列組合模型等等。函數(shù)模型 函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的一部分內(nèi)容，現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著的最優(yōu)化問(wèn)題，常?？蓺w結(jié)為函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變量的限制條件，運(yùn)用函數(shù)知識(shí)和方法去解決； 根據(jù)題意，熟練地建立函數(shù)模型； 運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)、不等式等知識(shí)處理所得的函數(shù)模型。幾何模型 諸如航行、建橋、測(cè)

17、量、人造衛(wèi)星等涉及一定圖形屬性的應(yīng)用問(wèn)題，常常需要應(yīng)用幾何圖形的性質(zhì)，或用方程、不等式或用三角函數(shù)知識(shí)來(lái)求解；數(shù)列模型 在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，諸如增長(zhǎng)率、降低率、存款復(fù)利、分期付款等與年（月）份有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，大多可歸結(jié)為數(shù)列問(wèn)題，即通過(guò)建立相應(yīng)的數(shù)列模型來(lái)解決.在解應(yīng)用題時(shí)，是否是數(shù)列問(wèn)題一是看自變量是否與正整數(shù)有關(guān)；二是看是否符合一定的規(guī)律，可先從特殊的情形入手，再尋找一般的規(guī)律?！舅枷敕椒ā款}型1：二次函數(shù)綜合問(wèn)題例1（2011年全國(guó)文20）已知函數(shù)。()證明：曲線(xiàn)（）若,求的取值范圍。【解析】() ，又,曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程是：，在上式中令，得,所以曲線(xiàn)（）由得，（i）當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極小值；(ii)當(dāng)或

18、時(shí)，由得,故。由題設(shè)知，當(dāng)時(shí)，不等式無(wú)解；當(dāng)時(shí)，解不等式得.綜合(i)(ii)得的取值范圍是。點(diǎn)評(píng)：三個(gè)“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系，同時(shí)也是研究包含二次曲線(xiàn)在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具.高考試題中近一半的試題與這三個(gè)“二次”問(wèn)題有關(guān).本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系，掌握函數(shù)、方程及不等式的思想和方法.例2設(shè) SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 , 試證明：對(duì)于任意 SKIPIF 1 0 ，有 SKIPIF 1 0 .分析：同上題，可以用 SKIPIF

19、1 0 來(lái)表示 SKIPIF 1 0 .解： SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 . 當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 綜上，問(wèn)題獲證。點(diǎn)評(píng)：由于二次函數(shù)的解析式簡(jiǎn)捷明了，易于變形（一般式、頂點(diǎn)式、零點(diǎn)式等），所以，在解決二次函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，常常借助其解析式，通過(guò)純代數(shù)推理，進(jìn)而導(dǎo)出二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。題型2：代數(shù)推理題的典例解析例3已知 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 的單調(diào)區(qū)間；（2）若 SKIPIF 1

20、 0 解析：（1） 對(duì) 已 知 函 數(shù) 進(jìn) 行 降 次 分 項(xiàng) 變 形 , 得 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 （2）首先證明任意 SKIPIF 1 0 事實(shí)上： SKIPIF 1 0 而 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .點(diǎn)評(píng)：函數(shù)與不等式證明的綜合題在高考中?？汲Ｐ?是既考知識(shí)又考能力的好題型 , 在高考備考中有較高的訓(xùn)練價(jià)值.針對(duì)本例的求解,你能夠想到證明任意 SKIPIF 1 0 采用逆向分析法, 給出你的想法。例4對(duì)于函數(shù) SKIPIF 1 0 ，若存在 SKIPIF

21、1 0 成立，則稱(chēng) SKIPIF 1 0 的不動(dòng)點(diǎn)。如果函數(shù) SKIPIF 1 0 有且只有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0，2，且 SKIPIF 1 0 （1）求函數(shù) SKIPIF 1 0 的解析式；（2）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列 SKIPIF 1 0 ，求數(shù)列通項(xiàng) SKIPIF 1 0 ；（3）如果數(shù)列 SKIPIF 1 0 滿(mǎn)足 SKIPIF 1 0 ，求證：當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，恒有 SKIPIF 1 0 成立.解析：依題意有 SKIPIF 1 0 ,化簡(jiǎn)為 SKIPIF 1 0 由違達(dá)定理, 得： SKIPIF 1 0 解得 SKIPIF 1 0 代入表達(dá)式 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF

22、 1 0 得 SKIPIF 1 0 不止有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)， SKIPIF 1 0 （2）由題設(shè)得 SKIPIF 1 0 （*）且 SKIPIF 1 0 （*）由（*）與（*）兩式相減得： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 解得 SKIPIF 1 0 （舍去）或 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 這與 SKIPIF 1 0 矛盾， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 是以-1為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列， SKIPIF 1 0 ；（3）采用反證法，假設(shè) SKIPIF 1 0 則由（1）知 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0

23、,有 SKIPIF 1 0 ，而當(dāng) SKIPIF 1 0 這與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立， SKIPIF 1 0 。關(guān)于本例的第(3)題,我們還可給出直接證法,事實(shí)上：由 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 0或 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 結(jié)論成立；若 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 0 從而 SKIPIF 1 0 即數(shù)列 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 時(shí)單調(diào)遞減，由 SKIPIF 1 0 ，可知 SKIPIF 1 0 上成立.點(diǎn)評(píng)：比較上述兩種證法,你能找出其中的異同嗎? 數(shù)學(xué)解題后需要進(jìn)行必要的反思, 學(xué)會(huì)反

24、思才能長(zhǎng)進(jìn)。題型3：解析幾何綜合問(wèn)題例5已知雙曲線(xiàn) SKIPIF 1 0 ，直線(xiàn) SKIPIF 1 0 過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，斜率為 SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，雙曲線(xiàn)的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線(xiàn) SKIPIF 1 0 的距離為 SKIPIF 1 0 ，試求 SKIPIF 1 0 的值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)。分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的一門(mén)學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問(wèn)題的重要手段. 從“有且僅有”這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過(guò)點(diǎn)B作與 SKIPIF 1 0 平行的直線(xiàn)，必與雙曲線(xiàn)C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式 S

25、KIPIF 1 0 . 由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：把直線(xiàn)l的方程代入雙曲線(xiàn)方程，消去y，令判別式 SKIPIF 1 0 直線(xiàn)l在l的上方且到直線(xiàn)l的距離為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 解題過(guò)程略.分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線(xiàn) SKIPIF 1 0 的距離為 SKIPIF 1 0 ”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問(wèn)題求解問(wèn)題關(guān)于x的方程 SKIPIF 1 0 有唯一解解析：設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 0 為雙曲線(xiàn)C上支上任一點(diǎn)，則

26、點(diǎn)M到直線(xiàn) SKIPIF 1 0 的距離為： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 于是，問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于 SKIPIF 1 0 的方程.由于 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，從而有 SKIPIF 1 0 于是關(guān)于 SKIPIF 1 0 的方程 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 可知： 方程 SKIPIF 1 0 的二根同正，故 SKIPIF 1 0 恒成立，于是 SKIPIF 1 0 等價(jià)于

27、SKIPIF 1 0 .由如上關(guān)于 SKIPIF 1 0 的方程有唯一解，得其判別式 SKIPIF 1 0 ，就可解得 SKIPIF 1 0 .點(diǎn)評(píng)：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性。例6已知橢圓C: SKIPIF 1 0 和點(diǎn)P（4，1），過(guò)P作直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在線(xiàn)段AB上取點(diǎn)Q，使 SKIPIF 1 0 ，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所在曲線(xiàn)的方程。分析：這是一個(gè)軌跡問(wèn)題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問(wèn)題可以通過(guò)參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過(guò)消參可達(dá)到解題的目

28、的。由于點(diǎn) SKIPIF 1 0 的變化是由直線(xiàn)AB的變化引起的，自然可選擇直線(xiàn)AB的斜率 SKIPIF 1 0 作為參數(shù)，如何將 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 聯(lián)系起來(lái)？一方面利用點(diǎn)Q在直線(xiàn)AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件： SKIPIF 1 0 來(lái)轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點(diǎn)共線(xiàn)，不難得到 SKIPIF 1 0 ，要建立 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的關(guān)系，只需將直線(xiàn)AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可。通過(guò)這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒(méi)有開(kāi)始解題，但對(duì)于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù)。將直線(xiàn)方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理利用點(diǎn)Q滿(mǎn)足

29、直線(xiàn)AB的方程：y = k (x4)+1，消去參數(shù)k點(diǎn)Q的軌跡方程 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 在得到 SKIPIF 1 0 之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)到：所謂消參，目的不過(guò)是得到關(guān)于 SKIPIF 1 0 的方程（不含k），則可由 SKIPIF 1 0 解得 SKIPIF 1 0 ，直接代入 SKIPIF 1 0 即可得到軌跡方程。從而簡(jiǎn)化消去參的過(guò)程。簡(jiǎn)解：設(shè) SKIPIF 1 0 ，則由 SKIPIF 1 0 可得： SKIPIF 1 0 ，解之得： SKIPIF 1 0 （1）設(shè)直線(xiàn)AB的方程為： SKIPIF 1 0 ，代入橢圓C的方程，消

30、去 SKIPIF 1 0 得出關(guān)于 x的一元二次方程： SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 代入（1），化簡(jiǎn)得： SKIPIF 1 0 (3)與 SKIPIF 1 0 聯(lián)立，消去 SKIPIF 1 0 得： SKIPIF 1 0 在（2）中，由 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，結(jié)合（3）可求得 SKIPIF 1 0 故知點(diǎn)Q的軌跡方程為： SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 ）.點(diǎn)評(píng)：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到. 這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參，而“引參、用參

31、、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問(wèn)題求解的一條有效通道。題型4：立體幾何應(yīng)用問(wèn)題例7在邊長(zhǎng)為a的正三角形的三個(gè)角處各剪去一個(gè)四邊形這個(gè)四邊形是由兩個(gè)全等的直角三角形組成的，并且這三個(gè)四邊形也全等，如圖若用剩下的部分折成一個(gè)無(wú)蓋的正三棱柱形容器，如圖則當(dāng)容器的高為多少時(shí)，可使這個(gè)容器的容積最大，并求出容積的最大值。 SKIPIF 1 0 圖 圖解析：設(shè)容器的高為x則容器底面正三角形的邊長(zhǎng)為 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 0 .故當(dāng)容器的高為 SKIPIF 1 0 時(shí)，容器的容積最大，其最大容積為 SKIPIF 1 0 點(diǎn)評(píng)：對(duì)

32、學(xué)過(guò)導(dǎo)數(shù)的同學(xué)來(lái)講，三次函數(shù)的最值問(wèn)題用導(dǎo)數(shù)求解是最方便的，請(qǐng)讀者不妨一試. 另外，本題的深化似乎與2002年全國(guó)高考文科數(shù)學(xué)壓軸題有關(guān)，還請(qǐng)做做對(duì)照. 類(lèi)似的問(wèn)題是：某企業(yè)設(shè)計(jì)一個(gè)容積為V的密閉容器，下部是圓柱形，上部是半球形，當(dāng)圓柱的底面半徑r和圓柱的高h(yuǎn)為何值時(shí)，制造這個(gè)密閉容器的用料最?。慈萜鞯谋砻娣e最小）。例8（2011，江蘇17）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線(xiàn)折起，使得四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=F

33、B=cm。（1）某廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm）最大，試問(wèn)應(yīng)取何值？（2）某廣告商要求包裝盒容積V（cm）最大，試問(wèn)應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值。P解：設(shè)饈盒的高為h（cm），底面邊長(zhǎng)為a（cm），由已知得：（1）所以當(dāng)時(shí)，S取得最大值.（2）由（舍）或x=20.當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)x=20時(shí)，V取得極大值，也是最小值.此時(shí)裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題要結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際情景，把問(wèn)題分解、轉(zhuǎn)化解決。題型5：數(shù)列中的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題例9某城市2001年末汽車(chē)保有量為30萬(wàn)輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車(chē)保有量的6%，并且每年新增汽車(chē)數(shù)量相同.為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車(chē)保有

34、量不超過(guò)60萬(wàn)輛，那么每年新增汽車(chē)數(shù)量不應(yīng)超過(guò)多少輛?解析：設(shè)2001年末汽車(chē)保有量為 SKIPIF 1 0 萬(wàn)輛，以后各年末汽車(chē)保有量依次為 SKIPIF 1 0 萬(wàn)輛， SKIPIF 1 0 萬(wàn)輛，每年新增汽車(chē) SKIPIF 1 0 萬(wàn)輛，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 所以，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，兩式相減得： SKIPIF 1 0 （1）顯然，若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 0 （2）若 SKIPIF 1 0 ，則數(shù)列 SKIPIF 1 0 為以 SKIPIF

35、 1 0 為首項(xiàng)，以 SKIPIF 1 0 為公比的等比數(shù)列，所以， SKIPIF 1 0 .（i）若 SKIPIF 1 0 ，則對(duì)于任意正整數(shù) SKIPIF 1 0 ，均有 SKIPIF 1 0 ，所以， SKIPIF 1 0 ，此時(shí)， SKIPIF 1 0 （ii）當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，則對(duì)于任意正整數(shù) SKIPIF 1 0 ，均有 SKIPIF 1 0 ，所以， SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，得： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，要使對(duì)于任意正整數(shù) SKIPIF 1 0 ，均有 SKIPIF 1 0 恒成立，即 SKI

36、PIF 1 0 對(duì)于任意正整數(shù) SKIPIF 1 0 恒成立，解這個(gè)關(guān)于x的一元一次不等式 , 得 SKIPIF 1 0 ,上式恒成立的條件為： SKIPIF 1 0 ，由于關(guān)于 SKIPIF 1 0 的函數(shù) SKIPIF 1 0 單調(diào)遞減，所以， SKIPIF 1 0 。點(diǎn)評(píng)：本題是2002年全國(guó)高考題，上面的解法不同于參考答案，其關(guān)鍵是化歸為含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，其分離變量后又轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題。例10（2010湖北文，19）已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為a（單位：m2），其中有部分舊住房需要拆除。當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門(mén)決定每年以當(dāng)年年初住房面積的10%建設(shè)新住房，同事也拆除面積為b（

37、單位：m2）的舊住房。（）分別寫(xiě)出第一年末和第二年末的實(shí)際住房面積的表達(dá)式：（）如果第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了30%，則每年拆除的舊住房面積b是多少？（計(jì)算時(shí)取1.15=1.6）點(diǎn)評(píng)：由于數(shù)列知識(shí)與社會(huì)問(wèn)題聯(lián)系密切，如銀行存、貸；按揭買(mǎi)房、買(mǎi)車(chē)；生產(chǎn)中的增長(zhǎng)率等等，這些都是數(shù)列問(wèn)題也都是生活中的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，當(dāng)我們認(rèn)清本質(zhì)以后，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們其實(shí)都是等比數(shù)列問(wèn)題，只是引發(fā)問(wèn)題的角度不同罷了。題型6：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題例11（2010湖北理，17）為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的房頂和外墻需要建造隔熱層，某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元，該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用為C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿(mǎn)足關(guān)系：C（x）=HYPERLINK / SKIPIF 1 0 （0HYPERLINK / SKIPIF 1 0 xHYPERLINK / SKIPIF 1 0 10），若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元。設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與 20年的能源消耗費(fèi)用之和。（）求k的值及f(x)的表達(dá)式；（）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f（x）達(dá)到最小，并求最小值。解：（）設(shè)隔熱層厚度為x cm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C（x）= SKIPIF 1 0 ，再由C（0）=8，得k=40，因此C（x）= S