沖刺熱點(diǎn)圓錐曲線離心率方法歸納教師版

1、離心率離心率是圓錐曲線的重要幾何性質(zhì)，是描述圓錐曲線形狀的重要參數(shù).圓錐曲線的離心率及其范圍的 求解是一類常見問題，也是歷年高考考查的熱點(diǎn)，難易題目皆有.求解圓錐曲線的離心率的值或取值范圍, 其關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)牡攘炕虿坏攘筷P(guān)系，以過渡到含有離心率e的等式或不等式使問題獲解.1、求離心率的方法：求橢圓和雙曲線的離心率主要圍繞尋找參數(shù)的比例關(guān)系(只需找出其中兩個(gè)參 數(shù)的關(guān)系即可)，方法通常有兩個(gè)方向：(1)利用幾何性質(zhì)：如果題目中存在焦點(diǎn)三角形(曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線組成的三角形)，那么可考慮 尋求焦點(diǎn)三角形三邊的比例關(guān)系，進(jìn)而兩條焦半徑與。有關(guān)，另一條邊為焦距.從而可求解(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算：如果

2、題目中的條件難以開掘幾何關(guān)系，那么可考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)用。力,c進(jìn)行表示，再 利用條件列出等式求解2、離心率的范圍問題：在尋找不等關(guān)系時(shí)通?？蓮囊韵聨讉€(gè)方面考慮：(1)題目中某點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))是否有范圍要求：例如橢圓與雙曲線對(duì)橫坐標(biāo)的范圍有要求.如果問 題圍繞在“曲線上存在一點(diǎn)l 那么可考慮該點(diǎn)坐標(biāo)用表示，且點(diǎn)坐標(biāo)的范圍就是求離心率范圍的突破口(2)假設(shè)題目中有一個(gè)核心變量，那么可以考慮離心率表示為某個(gè)變量的函數(shù)，從而求該函數(shù)的值域即可(3)通過一些不等關(guān)系得到關(guān)于力,。的不等式，進(jìn)而解出離心率注：在求解離心率范圍時(shí)要注意圓錐曲線中對(duì)離心率范圍的初始要求：橢圓：6(0,1),雙曲線：e(l,

3、+oo) 類型一利用幾何性質(zhì)【例1】【2020山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中】 耳，心是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且3 j TOC o 1-5 h z | PF2 | PF |,橢圓的離心率為“，雙曲線的離心率為g，1。耳1=1百61 ,那么一+彳的最小值為()A. 4B. 6C. 4+272D. 8【答案】DX2 y2【解析】由題意得：1。片1=1月Kl=2c,設(shè)橢圓方程為= + 7 = 1(00),雙曲線方程為22二七=1(。2。也 。)，又|尸耳1 + 1尸。1=2*尸丁 |尸耳|二24，2小 3 %c3a 9。凡+c”| PF21 +2c = 2q PF2 -2c = 2a2A

4、 ax -a2 = 2c ,貝ij 一+， =+ L =-q33a2 c 3ca2【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為B,由雙曲線的對(duì)稱性可知四邊形MF2PB為平行四邊形，眼聞=歸閭，MFJIPN ,設(shè)|P用=根，那么|加入|=3根，2 二四周一娟=2加，即MFX = a, MF）=3a , /MF?N = 60 ,：/F、MF? = 6。,又忸F）| = 2c,在MFiB 中，由余弦定理可得：4c2 = a2 + 9a2 2-a-3a-cos60 即 4c2=7/,二 J =1，雙曲線的離心率 e = = ,故4.【2020四川成都七中月考】橢圓，+2=1（。匕0）的右焦點(diǎn)為凡 左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P橢圓上

5、, TOC o 1-5 h z 且/_LAF,假設(shè)tanNP4/ =,，那么橢圓的離心率為（）21112A. B. -C. D.一4323（b2生【解析】不妨設(shè)P在第一象限，故P G , +“人？ a 1,即4改_2/=0,即a tan ZPAF =1 e 2/=0,解得e =不，e = -l （舍去），應(yīng)選C.25.12020.鳳城一中月考】橢圓5 +4的左、右焦點(diǎn)分別為耳，B，點(diǎn)2在橢圓上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)|OP|=；IEKI，且|耳|以冒二。2,那么該橢圓的離心率為（）【解析】由橢圓的定義可得,|PFi|4-|PF2|=2a, X|PFi|PF2|=a2,可得PFRPF2I=a,即P為

6、橢圓的短軸的端點(diǎn), |OP|二b,且|OP|=，|FiF2|二c,即有 c=b=,即為 a=Jc, -,應(yīng)選 C.22r.【2020.黑龍江大慶二中期末】過橢圓二十二= 1（。/?。）的左焦點(diǎn)且斜率為一的直線/與橢圓交 礦 ba于A3兩點(diǎn).假設(shè)橢圓上存在一點(diǎn)尸，滿足況+礪+而=。（其中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)），那么橢圓的離心率為（）1D.22222【解析】設(shè)4（%）3（2），48的中點(diǎn)M（為,%）,由題意知與+與=1,之+與=1,兩式相減得 a b a ba +%）（%-）+（%+%）（x -必）a2b2a2b2 AB = 0，而 AB=2,所以w+.=。，所 a a bJ以直線OM的方程為y = -

7、x ,聯(lián)立 a以直線OM的方程為y = -x ,聯(lián)立 ab=1hacbe,解倚了尸=-yP =。/、22ay = (x + c)a，又因?yàn)?。X +礪+而=0,6 在，應(yīng)選A.2標(biāo)為(x,y),那么 x = -(q + |APcos29) = -UAC - C 八 8。 一 一 山 I 一、, / 11。 8。、 9 = |AP|sin20 =,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（,一） be所以而=2加,所以點(diǎn)P（c,）代入橢圓的方程，得2 =2/,所以e a22.【2。及黑龍江省大慶中學(xué)期中】）雙曲線/一方=1（。公）的左、右頂點(diǎn)分別為A，B,尸為雙曲線左支上一點(diǎn)，ZVIBP為等腰三角形且其外接圓的半徑為6,那

8、么該雙曲線的離心率為（）【解析】由題意知等腰AABP中，|A5| = |AP| = 2q,設(shè)/ABP = /APB = 6,那么/耳入。=26,其中。必為銳角，A4BP外接圓的半徑為氐，2石。=一jsin，V5 275 x=4=一,cos26 = 2x21 = 3,設(shè)點(diǎn)P的坐5， sin 0 -, cos 6 = ?后，sin 2。= 2 x551 + =1 .選 c. a2 3(11)2 (嗎 22C由點(diǎn)P在雙曲線上得I 55-整理得勺=,.e = a2b2 - a 3 a22.【2020.黑龍江省雙鴨山一中高三期末】雙曲線。=1 （0/0）的左、右焦點(diǎn)分別為 礦 b耳(GO),用(GO),

9、尸是雙曲線。右支上一點(diǎn),且|尸閭=|月閶.假設(shè)直線PG與圓V + y2=2相切，那么雙 TOC o 1-5 h z 曲線的離心率為()45A. B. -C. 2D. 333【解析】取線段的中點(diǎn)為A,連接AB,又|尸外|=向尸2,那么AF2J_PB, 直線尸尸1與圓2+產(chǎn)=層相切，且。耳=。乃,由中位線的性質(zhì)可知|ABI = 2q, |Rl|=；|P/7i|=a+c,，4c2=(q 乙+ c)2+4，化簡(jiǎn)得3c22qc 5a2=0,即3e? 2e5 = 0,.(3e5)(e+l) = 0 ,那么雙曲線的離心率為：，應(yīng)選擇A-J TOC o 1-5 h z 9(2c + %)%+c / 3火c 3

10、% c3% c . o32 cq= 6 + + =+ + 622 1+6 = 8,當(dāng)且僅當(dāng)一 =，即3cdc 3a. c 3w v c 3wc 36)3 36=3時(shí)等號(hào)成立.，那么二寸的最小值為8.22【例2】【2019 廣東金山中學(xué)期末】月，入分別是橢圓 + = 1（。匕0）的左、右焦點(diǎn)，假設(shè)橢圓上存在點(diǎn)尸，使/耳尸耳=90。，那么橢圓的離心率e的取值范圍為A. （0當(dāng) B. g,l） C 爭(zhēng) 口. g,【解析】由橢圓上存在點(diǎn)P,使/耳尸入=90。可得以原點(diǎn)為圓心，以c為半徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)，。2,c2b2=a2-c2：.e = -，由0vel,克e）的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，E為線

11、段的中點(diǎn)，”為。在上的射影，假設(shè)OE平分NHQ4,那么該橢圓的離心率為1A.31A.32C.一3d-T【解析】法：設(shè)/EOA = e, ZHOA = 20, KO tan 0=膽= tan 20 =OA a1AB2b結(jié)合正切的二倍角公式知A b2，I2a化簡(jiǎn)得2= 3廿,故e，=旦 a 3法二：=.+/,HA = OAcos/HAO = a2ylcr +b2 /ci2 +Z?2HE = HA-EA =a2-b2OA-OB ah2a2+b2AB，由內(nèi)角平分線定理,”=且，代入化簡(jiǎn) OH EH得片=3從，故 = =，應(yīng)選。 a 322q2.【2019寧夏銀川二中月考】設(shè)X、尸2是橢圓石：與+ 3

12、= 1（。匕0）的左、右焦點(diǎn)，P為直線犬=”上一點(diǎn)，A&P片是底角為30。的等腰三角形，那么的離心率為（）1A.21A.23C.一44 D.5【解析】如下列圖所示，八匕尸片是底角為30。的等腰三角形，那么因閭=伊用,/刊例助=30。，以ZPF2A = 60%ZF2PA = 30,所以|P閭二2a工ZPF2A = 60%ZF2PA = 30,所以|P閭二2a工又因?yàn)樾寐? 2c,所以,c 32c = 3 2c,所以 e =一,應(yīng)選 C.c 32c = 3 2c,所以 e =一,應(yīng)選 C.類型二利用坐標(biāo)運(yùn)算22【例3】【2020河南開封二中期末】橢圓。：A +的兩焦點(diǎn)為月、F2, P為橢圓Ca Z

13、r上一點(diǎn)，且P乙軸，點(diǎn)到6P的距離為:，那么橢圓C的離心率為（1A.一41A.一41 B. 2d-T22【解析】由橢圓C：3+ 27 = 1（匕0）的兩焦點(diǎn)為片（-。，0）, F2（c9 0）, P為橢圓。上的一點(diǎn)，且 CT /?_軸，可得I4工1= 2c,由X = C,可得y = b.八一;序h2=,即有|pbi=，由橢圓的定義可得,序11PF= 2a-,由得G為直角的內(nèi)切圓圓心，二|桃|耳BI=二NIGBI + |P6I + |P|）, a22b2可得片鳥的內(nèi)切圓半徑飛上,即有如=2（。22） = 4（q + c）,整理得。=2。，橢圓。的離2a + 2c 2心率為e =一，應(yīng)選B. a

14、222【例4】耳，工是橢圓E：a += l（ab0）的左右焦點(diǎn)，假設(shè)橢圓上存在點(diǎn)P,使得那么橢圓離心率的取值范圍是（）A.B.V2C.D.【解析】思路一：考慮在橢圓上的點(diǎn)P與焦點(diǎn)連線所成的角中，當(dāng)P位于橢圓短軸頂點(diǎn)位置時(shí)，/RPF?到達(dá)最大值.所以假設(shè)橢圓上存在。耳8的點(diǎn)P,那么短軸頂點(diǎn)與焦點(diǎn)連線所成的角8 2 90。，考慮該角與0的關(guān)系，由橢圓對(duì)稱性可知，ZOP=-45,所以tan/OPK =OF26p=-1,即bcb=c2b2c2a2c29 進(jìn)而 er191 口 V2 一即2 一,角牛倚e 2 ，再由6（0,1）可得思路二：由尸片，。巴可得/42工=90,進(jìn)而想到焦點(diǎn)三角形身2鳥的面積:S

15、： =/tan幺絲=/，另一方面：S祈牲b2不,恒國(guó)回| =。,回| ,從而。|%| =b2nM = 一 c因?yàn)镻在橢圓上，所以孫 卜女外 yp= bC9再同思路一可解得：CV2思路三：6_LP鳥可想到PFPE=O,進(jìn)而通過向量坐標(biāo)化，將數(shù)量積轉(zhuǎn)為方程.設(shè)P（羽y）,耳（一C0）,凡（g。），貝1J有P4=（一。一九,一，）/6=（。一羽一，），那么PFPF2=x2 + y2-c2=0,即P點(diǎn)一定在以。為圓心，c為半徑的圓上，所以只需要該圓與橢圓有交點(diǎn)即可，通過作圖可發(fā)現(xiàn)只有半徑/2人時(shí)才可有交點(diǎn)，所以cNZ?,同思路一可解得ew注：此題對(duì)P在圓上也可由P片，P入判定出P在以月入為直徑的圓上，

16、進(jìn)而寫出圓方程思路四：開始同思路三一樣，得到P所在圓方程為V + y2=c2,因?yàn)镻在橢圓上，所以聯(lián)立圓和橢圓方程：b2x2+a2y2=a2b222+ y =cz代入消去X可得：c2-y2 + a2y2 = crb1,整理后可得:卜4c2y2=by2= ,由y4也可可得：y2= cb,同思路一即可解得：ee.例4的眾多思路重點(diǎn)區(qū)別在：一是從條件中想到橢圓的哪些性質(zhì)與結(jié)論，不同的結(jié)論得到不同的突破口;二是在解決離心率時(shí)是選擇用幾何特點(diǎn)數(shù)形結(jié)合去解還是通過坐標(biāo)方程用代數(shù)方式計(jì)算求解，可靈活選擇.由于橢圓（雙曲線）的元素a, b, c,在圖形、方程中具有一定的幾何意義，所以借助坐標(biāo)關(guān)系或幾何關(guān)系來解

17、決離心率的問題.【舉一反三】221.12017課標(biāo)1,理】雙曲線C：二-二=1 （a0, b0）的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心，b為半徑作 a- b-圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn).假設(shè)NMAN=60。，那么C的離心率為依 2a/3【答案】3222.【2020.河南洛陽(yáng)新安一中月考】耳、尸2是雙曲線=1(0,0)的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸2與雙曲 a b線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)在以線段耳鳥為直徑的圓外，那么雙曲線離心率的取值范圍是()A. (2, +oo)A. (2, +oo)B. (V3,2)C. (V2,V3)D.(1,揚(yáng)x2【解析】雙曲線: av2b二二

18、1的漸近線方程為廣土一X,不妨設(shè)過點(diǎn)F2與雙曲線的一條漸過線平行的直線方 bab程為 y= (x - c),ahche與y=-聯(lián)立，可得交點(diǎn)M (上，-a22ac2點(diǎn)M在以線段FF2為直徑的圓外，|0M|0F2|,即有一 十 4b2c2 勺。2, 4。b2A 3,即 b23a2, c2 -a23a2,即c2a.那么e= 2, 雙曲線離心率的取值范圍是 a類型三數(shù)形結(jié)合法(2, +oo),應(yīng)選A.22【例5】【2020.廣西南寧二中期末】橢圓C:T + jT = (ab0)的左焦點(diǎn)為方，點(diǎn)A是橢圓C的上頂點(diǎn)，直線/：y = 2x與橢圓。交于N兩點(diǎn),假設(shè)點(diǎn)A到直線/的距離是1,且MF + N尸不超

19、過6,那么橢圓C的離心率的取值范圍是()A.B.C.。當(dāng)D.【解析】設(shè)橢圓。的右焦點(diǎn)為尸，連接尸，NF，由橢圓的對(duì)稱性可知四邊形MFNL是平行四邊形,那么MF +bNF = 2a,那么26,即a3,因?yàn)辄c(diǎn)A到直線/的距離是1,所以l=1,所以b =V4 + 1那么橢圓。的離心率ea1c a2-b255 41-4，因?yàn)樗?49,所以。1 - -r即橢圓ca2一 9的離心率的離心率，應(yīng)選:A.22【例6】【2020四川綿陽(yáng)期末】橢圓C =+ = 1（。80）的左右焦點(diǎn)為6，尸2,直線y =丘與 a b27r橢圓C相交于P, Q兩點(diǎn)，假設(shè)|p片|=2|0用，且NP4Q = ,那么橢圓C的離心率為（

20、）d-T【解析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)尸2,連接，PF2.QF2 ,由/尸片。=120根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得到 /PQ=60,設(shè)PF、=2m,PF2=m,由余弦定理定理得，!=也優(yōu)+：-4c, ： = &，由三2 4斤2 = 3m=26c ,橢圓的離心邊關(guān)系得到 PF/、= 90,那么加=2c =2m, PF? = m.率e = = W,應(yīng)選D求橢圓的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：求出代入公式e = ；只需要根據(jù)一 a個(gè)條件得到關(guān)于。力,。的齊次式，結(jié)合二轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式（不等式）兩邊分別除以。或/轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e的取值范圍）.【舉一反

21、三】 TOC o 1-5 h z 221. （2017新課標(biāo)III,理10）橢圓C:j +斗=1（。人0）的左、右頂點(diǎn)分別為A，4,且以線段A4為 q- b直徑的圓與直線公- + 2 = 0相切，那么。的離心率為（）A指R 6正n 13333【答案】A【解析】以線段A4為直徑的圓與直線區(qū)-世+ 2 = 0相切，原點(diǎn)到直線的距離 產(chǎn) =,化為：-y/a2b2a2 = 3b2,，橢圓C的離心率e = = J1 -與=?，應(yīng)選A.2.【2016全國(guó)卷HI】O為坐標(biāo)原點(diǎn)，廠是橢圓C，+/=1（。）的左焦點(diǎn)，A，3分別為C的左、右頂點(diǎn).尸為C上一點(diǎn)，且PRLx軸.過點(diǎn)A的直線/與線段P產(chǎn)交于點(diǎn)M,與y軸

22、交于點(diǎn)E.假設(shè)直線經(jīng)過。石的中點(diǎn)，那么C的離心率為（） TOC o 1-5 h z 1A.gB.2一3C3D4【解析】（法一：數(shù)形結(jié)合法）如圖，設(shè)直線5M與y軸的交點(diǎn)為N,且點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0, m）,根據(jù)題意，點(diǎn)N是OE的中點(diǎn)，那么戊02%）,從而直線AE的方程為士+合=1,因此點(diǎn)M的坐標(biāo)為一c, 2m?。?2皿一c）MOBNsAFBM,所以盟=爆，即一R=安，解得所以橢圓C的離心率為/ I 2 V I I V-X JLx Ii!Czt*法二：交點(diǎn)法同法一得直線AE的方程為士+就=，直線BN的方程為?+= 1,又因?yàn)橹本€AE與直線BN交于點(diǎn)M,2m2m且PbLx軸，可設(shè)M（ c, ）.那么消去小解得所以橢圓C的離心率為9法三：三點(diǎn)共線法同法一得直線AE的方程為士+/=1,由題意可知M（c, 2m（1一）, MO, m）,即z,0）三點(diǎn)共線，那么c 11解得熱 所以橢圓C的離心率為最法四：方程法設(shè)M（ c, m）,那么直線AM的方程為y=/?，x+a）,所以0, 言，直線的方程為y=Jb；（x0, 與y軸交于點(diǎn)（。，署），由題意知，言=詈，即。+。=2（。一）,解得=/所以橢圓C的離心率為今 法五：幾何法