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文檔簡介
1、離心率離心率是圓錐曲線的重要幾何性質(zhì),是描述圓錐曲線形狀的重要參數(shù).圓錐曲線的離心率及其范圍的 求解是一類常見問題,也是歷年高考考查的熱點,難易題目皆有.求解圓錐曲線的離心率的值或取值范圍, 其關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)牡攘炕虿坏攘筷P(guān)系,以過渡到含有離心率e的等式或不等式使問題獲解.1、求離心率的方法:求橢圓和雙曲線的離心率主要圍繞尋找參數(shù)的比例關(guān)系(只需找出其中兩個參 數(shù)的關(guān)系即可),方法通常有兩個方向:(1)利用幾何性質(zhì):如果題目中存在焦點三角形(曲線上的點與兩焦點連線組成的三角形),那么可考慮 尋求焦點三角形三邊的比例關(guān)系,進(jìn)而兩條焦半徑與。有關(guān),另一條邊為焦距.從而可求解(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算:如果
2、題目中的條件難以開掘幾何關(guān)系,那么可考慮將點的坐標(biāo)用。力,c進(jìn)行表示,再 利用條件列出等式求解2、離心率的范圍問題:在尋找不等關(guān)系時通??蓮囊韵聨讉€方面考慮:(1)題目中某點的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))是否有范圍要求:例如橢圓與雙曲線對橫坐標(biāo)的范圍有要求.如果問 題圍繞在“曲線上存在一點l 那么可考慮該點坐標(biāo)用表示,且點坐標(biāo)的范圍就是求離心率范圍的突破口(2)假設(shè)題目中有一個核心變量,那么可以考慮離心率表示為某個變量的函數(shù),從而求該函數(shù)的值域即可(3)通過一些不等關(guān)系得到關(guān)于力,。的不等式,進(jìn)而解出離心率注:在求解離心率范圍時要注意圓錐曲線中對離心率范圍的初始要求:橢圓:6(0,1),雙曲線:e(l,
3、+oo) 類型一利用幾何性質(zhì)【例1】【2020山東省實驗中學(xué)期中】 耳,心是橢圓與雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且3 j TOC o 1-5 h z | PF2 | PF |,橢圓的離心率為“,雙曲線的離心率為g,1。耳1=1百61 ,那么一+彳的最小值為()A. 4B. 6C. 4+272D. 8【答案】DX2 y2【解析】由題意得:1。片1=1月Kl=2c,設(shè)橢圓方程為= + 7 = 1(00),雙曲線方程為22二七=1(。2。也 。),又|尸耳1 + 1尸。1=2*尸丁 |尸耳|二24,2小 3 %c3a 9。凡+c”| PF21 +2c = 2q PF2 -2c = 2a2A
4、 ax -a2 = 2c ,貝ij 一+, =+ L =-q33a2 c 3ca2【解析】設(shè)雙曲線的左焦點為B,由雙曲線的對稱性可知四邊形MF2PB為平行四邊形,眼聞=歸閭,MFJIPN ,設(shè)|P用=根,那么|加入|=3根,2 二四周一娟=2加,即MFX = a, MF)=3a , /MF?N = 60 ,:/F、MF? = 6。,又忸F)| = 2c,在MFiB 中,由余弦定理可得:4c2 = a2 + 9a2 2-a-3a-cos60 即 4c2=7/,二 J =1,雙曲線的離心率 e = = ,故4.【2020四川成都七中月考】橢圓,+2=1(。匕0)的右焦點為凡 左頂點為A,點P橢圓上
5、, TOC o 1-5 h z 且/_LAF,假設(shè)tanNP4/ =,,那么橢圓的離心率為()21112A. B. -C. D.一4323(b2生【解析】不妨設(shè)P在第一象限,故P G , +“人? a 1,即4改_2/=0,即a tan ZPAF =1 e 2/=0,解得e =不,e = -l (舍去),應(yīng)選C.25.12020.鳳城一中月考】橢圓5 +4的左、右焦點分別為耳,B,點2在橢圓上,。為坐標(biāo)原點,假設(shè)|OP|=;IEKI,且|耳|以冒二。2,那么該橢圓的離心率為()【解析】由橢圓的定義可得,|PFi|4-|PF2|=2a, X|PFi|PF2|=a2,可得PFRPF2I=a,即P為
6、橢圓的短軸的端點, |OP|二b,且|OP|=,|FiF2|二c,即有 c=b=,即為 a=Jc, -,應(yīng)選 C.22r.【2020.黑龍江大慶二中期末】過橢圓二十二= 1(。/?。)的左焦點且斜率為一的直線/與橢圓交 礦 ba于A3兩點.假設(shè)橢圓上存在一點尸,滿足況+礪+而=。(其中點。為坐標(biāo)原點),那么橢圓的離心率為()1D.22222【解析】設(shè)4(%)3(2),48的中點M(為,%),由題意知與+與=1,之+與=1,兩式相減得 a b a ba +%)(%-)+(%+%)(x -必)a2b2a2b2 AB = 0,而 AB=2,所以w+.=。,所 a a bJ以直線OM的方程為y = -
7、x ,聯(lián)立 a以直線OM的方程為y = -x ,聯(lián)立 ab=1hacbe,解倚了尸=-yP =。/、22ay = (x + c)a,又因為。X +礪+而=0,6 在,應(yīng)選A.2標(biāo)為(x,y),那么 x = -(q + |APcos29) = -UAC - C 八 8。 一 一 山 I 一、, / 11。 8。、 9 = |AP|sin20 =,故點P的坐標(biāo)為(,一) be所以而=2加,所以點P(c,)代入橢圓的方程,得2 =2/,所以e a22.【2。及黑龍江省大慶中學(xué)期中】)雙曲線/一方=1(。公)的左、右頂點分別為A,B,尸為雙曲線左支上一點,ZVIBP為等腰三角形且其外接圓的半徑為6,那
8、么該雙曲線的離心率為()【解析】由題意知等腰AABP中,|A5| = |AP| = 2q,設(shè)/ABP = /APB = 6,那么/耳入。=26,其中。必為銳角,A4BP外接圓的半徑為氐,2石。=一jsin,V5 275 x=4=一,cos26 = 2x21 = 3,設(shè)點P的坐5, sin 0 -, cos 6 = ?后,sin 2。= 2 x551 + =1 .選 c. a2 3(11)2 (嗎 22C由點P在雙曲線上得I 55-整理得勺=,.e = a2b2 - a 3 a22.【2020.黑龍江省雙鴨山一中高三期末】雙曲線。=1 (0/0)的左、右焦點分別為 礦 b耳(GO),用(GO),
9、尸是雙曲線。右支上一點,且|尸閭=|月閶.假設(shè)直線PG與圓V + y2=2相切,那么雙 TOC o 1-5 h z 曲線的離心率為()45A. B. -C. 2D. 333【解析】取線段的中點為A,連接AB,又|尸外|=向尸2,那么AF2J_PB, 直線尸尸1與圓2+產(chǎn)=層相切,且。耳=。乃,由中位線的性質(zhì)可知|ABI = 2q, |Rl|=;|P/7i|=a+c,,4c2=(q 乙+ c)2+4,化簡得3c22qc 5a2=0,即3e? 2e5 = 0,.(3e5)(e+l) = 0 ,那么雙曲線的離心率為:,應(yīng)選擇A-J TOC o 1-5 h z 9(2c + %)%+c / 3火c 3
10、% c3% c . o32 cq= 6 + + =+ + 622 1+6 = 8,當(dāng)且僅當(dāng)一 =,即3cdc 3a. c 3w v c 3wc 36)3 36=3時等號成立.,那么二寸的最小值為8.22【例2】【2019 廣東金山中學(xué)期末】月,入分別是橢圓 + = 1(。匕0)的左、右焦點,假設(shè)橢圓上存在點尸,使/耳尸耳=90。,那么橢圓的離心率e的取值范圍為A. (0當(dāng) B. g,l) C 爭 口. g,【解析】由橢圓上存在點P,使/耳尸入=90??傻靡栽c為圓心,以c為半徑的圓與橢圓有公共點,。2,c2b2=a2-c2:.e = -,由0vel,克e)的右頂點和上頂點, 為坐標(biāo)原點,E為線
11、段的中點,”為。在上的射影,假設(shè)OE平分NHQ4,那么該橢圓的離心率為1A.31A.32C.一3d-T【解析】法:設(shè)/EOA = e, ZHOA = 20, KO tan 0=膽= tan 20 =OA a1AB2b結(jié)合正切的二倍角公式知A b2,I2a化簡得2= 3廿,故e,=旦 a 3法二:=.+/,HA = OAcos/HAO = a2ylcr +b2 /ci2 +Z?2HE = HA-EA =a2-b2OA-OB ah2a2+b2AB,由內(nèi)角平分線定理,”=且,代入化簡 OH EH得片=3從,故 = =,應(yīng)選。 a 322q2.【2019寧夏銀川二中月考】設(shè)X、尸2是橢圓石:與+ 3
12、= 1(。匕0)的左、右焦點,P為直線犬=”上一點,A&P片是底角為30。的等腰三角形,那么的離心率為()1A.21A.23C.一44 D.5【解析】如下列圖所示,八匕尸片是底角為30。的等腰三角形,那么因閭=伊用,/刊例助=30。,以ZPF2A = 60%ZF2PA = 30,所以|P閭二2a工ZPF2A = 60%ZF2PA = 30,所以|P閭二2a工又因為忻聞= 2c,所以,c 32c = 3 2c,所以 e =一,應(yīng)選 C.c 32c = 3 2c,所以 e =一,應(yīng)選 C.類型二利用坐標(biāo)運(yùn)算22【例3】【2020河南開封二中期末】橢圓。:A +的兩焦點為月、F2, P為橢圓Ca Z
13、r上一點,且P乙軸,點到6P的距離為:,那么橢圓C的離心率為(1A.一41A.一41 B. 2d-T22【解析】由橢圓C:3+ 27 = 1(匕0)的兩焦點為片(-。,0), F2(c9 0), P為橢圓。上的一點,且 CT /?_軸,可得I4工1= 2c,由X = C,可得y = b.八一;序h2=,即有|pbi=,由橢圓的定義可得,序11PF= 2a-,由得G為直角的內(nèi)切圓圓心,二|桃|耳BI=二NIGBI + |P6I + |P|), a22b2可得片鳥的內(nèi)切圓半徑飛上,即有如=2(。22) = 4(q + c),整理得。=2。,橢圓。的離2a + 2c 2心率為e =一,應(yīng)選B. a
14、222【例4】耳,工是橢圓E:a += l(ab0)的左右焦點,假設(shè)橢圓上存在點P,使得那么橢圓離心率的取值范圍是()A.B.V2C.D.【解析】思路一:考慮在橢圓上的點P與焦點連線所成的角中,當(dāng)P位于橢圓短軸頂點位置時,/RPF?到達(dá)最大值.所以假設(shè)橢圓上存在。耳8的點P,那么短軸頂點與焦點連線所成的角8 2 90。,考慮該角與0的關(guān)系,由橢圓對稱性可知,ZOP=-45,所以tan/OPK =OF26p=-1,即bcb=c2b2c2a2c29 進(jìn)而 er191 口 V2 一即2 一,角牛倚e 2 ,再由6(0,1)可得思路二:由尸片,。巴可得/42工=90,進(jìn)而想到焦點三角形身2鳥的面積:S
15、: =/tan幺絲=/,另一方面:S祈牲b2不,恒國回| =。,回| ,從而。|%| =b2nM = 一 c因為P在橢圓上,所以孫 卜女外 yp= bC9再同思路一可解得:CV2思路三:6_LP鳥可想到PFPE=O,進(jìn)而通過向量坐標(biāo)化,將數(shù)量積轉(zhuǎn)為方程.設(shè)P(羽y),耳(一C0),凡(g。),貝1J有P4=(一。一九,一,)/6=(。一羽一,),那么PFPF2=x2 + y2-c2=0,即P點一定在以。為圓心,c為半徑的圓上,所以只需要該圓與橢圓有交點即可,通過作圖可發(fā)現(xiàn)只有半徑/2人時才可有交點,所以cNZ?,同思路一可解得ew注:此題對P在圓上也可由P片,P入判定出P在以月入為直徑的圓上,
16、進(jìn)而寫出圓方程思路四:開始同思路三一樣,得到P所在圓方程為V + y2=c2,因為P在橢圓上,所以聯(lián)立圓和橢圓方程:b2x2+a2y2=a2b222+ y =cz代入消去X可得:c2-y2 + a2y2 = crb1,整理后可得:卜4c2y2=by2= ,由y4也可可得:y2= cb,同思路一即可解得:ee.例4的眾多思路重點區(qū)別在:一是從條件中想到橢圓的哪些性質(zhì)與結(jié)論,不同的結(jié)論得到不同的突破口;二是在解決離心率時是選擇用幾何特點數(shù)形結(jié)合去解還是通過坐標(biāo)方程用代數(shù)方式計算求解,可靈活選擇.由于橢圓(雙曲線)的元素a, b, c,在圖形、方程中具有一定的幾何意義,所以借助坐標(biāo)關(guān)系或幾何關(guān)系來解
17、決離心率的問題.【舉一反三】221.12017課標(biāo)1,理】雙曲線C:二-二=1 (a0, b0)的右頂點為A,以A為圓心,b為半徑作 a- b-圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點.假設(shè)NMAN=60。,那么C的離心率為依 2a/3【答案】3222.【2020.河南洛陽新安一中月考】耳、尸2是雙曲線=1(0,0)的左右焦點,過點尸2與雙曲 a b線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點,假設(shè)點在以線段耳鳥為直徑的圓外,那么雙曲線離心率的取值范圍是()A. (2, +oo)A. (2, +oo)B. (V3,2)C. (V2,V3)D.(1,揚(yáng)x2【解析】雙曲線: av2b二二
18、1的漸近線方程為廣土一X,不妨設(shè)過點F2與雙曲線的一條漸過線平行的直線方 bab程為 y= (x - c),ahche與y=-聯(lián)立,可得交點M (上,-a22ac2點M在以線段FF2為直徑的圓外,|0M|0F2|,即有一 十 4b2c2 勺。2, 4。b2A 3,即 b23a2, c2 -a23a2,即c2a.那么e= 2, 雙曲線離心率的取值范圍是 a類型三數(shù)形結(jié)合法(2, +oo),應(yīng)選A.22【例5】【2020.廣西南寧二中期末】橢圓C:T + jT = (ab0)的左焦點為方,點A是橢圓C的上頂點,直線/:y = 2x與橢圓。交于N兩點,假設(shè)點A到直線/的距離是1,且MF + N尸不超
19、過6,那么橢圓C的離心率的取值范圍是()A.B.C.。當(dāng)D.【解析】設(shè)橢圓。的右焦點為尸,連接尸,NF,由橢圓的對稱性可知四邊形MFNL是平行四邊形,那么MF +bNF = 2a,那么26,即a3,因為點A到直線/的距離是1,所以l=1,所以b =V4 + 1那么橢圓。的離心率ea1c a2-b255 41-4,因為所以/49,所以。1 - -r即橢圓ca2一 9的離心率的離心率,應(yīng)選:A.22【例6】【2020四川綿陽期末】橢圓C =+ = 1(。80)的左右焦點為6,尸2,直線y =丘與 a b27r橢圓C相交于P, Q兩點,假設(shè)|p片|=2|0用,且NP4Q = ,那么橢圓C的離心率為(
20、)d-T【解析】設(shè)橢圓的右焦點尸2,連接,PF2.QF2 ,由/尸片。=120根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得到 /PQ=60,設(shè)PF、=2m,PF2=m,由余弦定理定理得,!=也優(yōu)+:-4c, : = &,由三2 4斤2 = 3m=26c ,橢圓的離心邊關(guān)系得到 PF/、= 90,那么加=2c =2m, PF? = m.率e = = W,應(yīng)選D求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:求出代入公式e = ;只需要根據(jù)一 a個條件得到關(guān)于。力,。的齊次式,結(jié)合二轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以?;?轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e (e的取值范圍).【舉一反
21、三】 TOC o 1-5 h z 221. (2017新課標(biāo)III,理10)橢圓C:j +斗=1(。人0)的左、右頂點分別為A,4,且以線段A4為 q- b直徑的圓與直線公- + 2 = 0相切,那么。的離心率為()A指R 6正n 13333【答案】A【解析】以線段A4為直徑的圓與直線區(qū)-世+ 2 = 0相切,原點到直線的距離 產(chǎn) =,化為:-y/a2b2a2 = 3b2,,橢圓C的離心率e = = J1 -與=?,應(yīng)選A.2.【2016全國卷HI】O為坐標(biāo)原點,廠是橢圓C,+/=1(。)的左焦點,A,3分別為C的左、右頂點.尸為C上一點,且PRLx軸.過點A的直線/與線段P產(chǎn)交于點M,與y軸
22、交于點E.假設(shè)直線經(jīng)過。石的中點,那么C的離心率為() TOC o 1-5 h z 1A.gB.2一3C3D4【解析】(法一:數(shù)形結(jié)合法)如圖,設(shè)直線5M與y軸的交點為N,且點N的坐標(biāo)為(0, m),根據(jù)題意,點N是OE的中點,那么戊02%),從而直線AE的方程為士+合=1,因此點M的坐標(biāo)為一c, 2m?。?2皿一c)MOBNsAFBM,所以盟=爆,即一R=安,解得所以橢圓C的離心率為/ I 2 V I I V-X JLx Ii!Czt*法二:交點法同法一得直線AE的方程為士+就=,直線BN的方程為?+= 1,又因為直線AE與直線BN交于點M,2m2m且PbLx軸,可設(shè)M( c, ).那么消去小解得所以橢圓C的離心率為9法三:三點共線法同法一得直線AE的方程為士+/=1,由題意可知M(c, 2m(1一), MO, m),即z,0)三點共線,那么c 11解得熱 所以橢圓C的離心率為最法四:方程法設(shè)M( c, m),那么直線AM的方程為y=/?,x+a),所以0, 言,直線的方程為y=Jb;(x0, 與y軸交于點(。,署),由題意知,言=詈,即。+。=2(。一),解得=/所以橢圓C的離心率為今 法五:幾何法
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