連續(xù)時間信號處理課件

1、 第三章 連續(xù)時間信號處理3.1 線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型 3.1.1 微分方程的建立 3.1.2 微分方程的求解 3.2 計算零狀態(tài)響應(yīng)的卷積積分法 3.2.1 零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng) 3.2.2 沖激響應(yīng) 3.2.3 用卷積積分計算零狀態(tài)響應(yīng) 3.3 系統(tǒng)函數(shù) 3.3.1 系統(tǒng)函數(shù)的定義 3.3.2 系統(tǒng)的三種描述方式 3.3.3 用系統(tǒng)函數(shù)計算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 3.3.4 由系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布確定時域特性 3.4 信號的頻域處理3.4 信號的頻域處理 3.4.1 系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 3.4.2 信號的無失真?zhèn)鬏敆l件 3.4.3 理想低通濾波器 3.4.4 實際模擬濾波器 信號處理方

2、法：時域、復(fù)頻域、頻域。線性時不變系統(tǒng)的響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)線性時不變系統(tǒng)分析的一個重要思想：將輸入信號表示為某個基本信號的線性組合，當(dāng)系統(tǒng)對該基本信號的零狀態(tài)響應(yīng)已知時，根據(jù)疊加原理和時不變性，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)則為基本信號響應(yīng)的組合，其組合規(guī)律與輸入信號的相同。輸入為零，僅由初始狀態(tài)產(chǎn)生的響應(yīng)初始狀態(tài)為零，僅由輸入信號產(chǎn)生的響應(yīng)例如，若已知系統(tǒng)對基本信號 輸入時的零狀態(tài)響應(yīng)為 ，又已知輸入 可以表示為則輸入為 時的零狀態(tài)響應(yīng)為時域：單位沖激信號就是這樣一種基本信號，任一信號都可以用沖激信號的積分形式表示，即沖激信號的線性組合。卷積積分復(fù)頻域：信號分解為est的線性組合。 系統(tǒng)函數(shù)頻域：信

3、號分解為e jt的線性組合。 頻率響應(yīng)3.1 線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型微分方程3.1.1 微分方程的建立基爾霍夫定律（KCL、KVL）元件的電壓電流約束關(guān)系（VCR）依據(jù)：例：圖示RLC串聯(lián)電路中，e(t)為激勵信號，輸出響應(yīng)為回路中的電流i(t) 。試求該電路中響應(yīng)與激勵的數(shù)學(xué)關(guān)系。 解：根據(jù)KVL，得由元件VCR，有二階線性常系數(shù)微分方程，對應(yīng)于一個二階系統(tǒng) 對于一個n階系統(tǒng)，設(shè)激勵信號為x(t)，響應(yīng)為y(t)，可用一個n階常系數(shù)線性微分方程來描述。 LTI系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型：LTI系統(tǒng)x(t)y(t)式中，an-1, ,a0和bm, ,b0均為常數(shù)，nm。3.1.2 微分方程的

4、求解1、時域經(jīng)典解法 齊次解為齊次微分方程的解，其函數(shù)形式由微分方程的特征根決定。齊次解的形式僅取決于系統(tǒng)本身的特性（特征根），與激勵信號的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的自由響應(yīng)或固有響應(yīng)；特解的函數(shù)形式由激勵信號決定，稱為系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)。 全解：齊次解 特解 例：描述某線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為 試求系統(tǒng)的響應(yīng)。解：特征方程為 其特征根11，22。該方程的齊次解為 激勵，且a1與特征根1相同，故該方程的特解為 將特解代入微分方程，比較方程兩邊系數(shù)可得C0=0 ，C1=1。所以特解 因此方程的完全解為 代入初始條件 解得 C1=1 ，C2=1。從而系統(tǒng)的響應(yīng)為 2、應(yīng)用拉普拉斯變換法解微分方程

5、描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-) ,y(1)(0-),，y(n-1) (0-)。思路：用拉普拉斯變換微分特性若x (t)在t = 0時接入系統(tǒng)，則 x (j )(t) s j X(s)s域的代數(shù)方程t域的微分方程零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)y(t) 例：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2x (t)+ 6 x(t)已知初始狀態(tài)y(0-) = 1，y(0-)= -1，激勵x (t) = 5cost(t)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)。解： 方程取拉氏變換：整理得x (t) = 5cost(t)y(t)= 2e2t (t) e3t (t)

6、- 4e2t (t) + yzi(t)yzs (t)暫態(tài)分量yt (t)穩(wěn)態(tài)分量ys (t)Yzi(s)Yzs(s)3.2 計算零狀態(tài)響應(yīng)的卷積方法3.2.1 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng) 完全響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng) 零輸入響應(yīng)是激勵為零時僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)所引起的響應(yīng)。由于激勵為零，故有零狀態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時僅由激勵所引起的響應(yīng) 。在t=0-時刻激勵尚未接入，故應(yīng)有 例：描述某線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。由特征方程有1= -2，2= -3。則齊次解 代入初始條件解得C1=10 ，C2=10。于是零輸入響應(yīng)為 解：（1）求零輸入響應(yīng)yzi(t

7、)當(dāng)激勵為零時，滿足齊次方程（2）求零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)則方程的特解由于齊次解為則 由于激勵為階躍函數(shù)，在t=0時不會使系統(tǒng)發(fā)生突變，因此，解得C1=3 ，C2=2。于是零狀態(tài)響應(yīng)為 （3）全響應(yīng) 由于激勵3.2.2 沖激響應(yīng)初始條件的確定 起始點的跳變從0到00表示激勵接入之前的瞬時，為起始狀態(tài)。0表示激勵接入以后的瞬時，為初始狀態(tài)。注意：系統(tǒng)微分方程求得之解限于0t 0時的微分方程 方程的特征根為根據(jù)初始條件解得C1=1，C2=-1因此，單位沖激響應(yīng)為 （3）求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t) =高階系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 如果系統(tǒng)為零狀態(tài)，按沖激平衡關(guān)系可得方法二：拉普拉斯變換法 由于對上式作拉氏逆變換

8、，得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為方程兩邊取拉氏變換，得3.2.3 用卷積積分計算零狀態(tài)響應(yīng) 1、連續(xù)時間信號的沖激表示任一信號x(t)可用無限多個不同加權(quán)的沖激函數(shù)的“和”表示： 2、求解LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的卷積方法原理：將信號分解為沖激信號的加權(quán)和，借助沖激 響應(yīng)，求解系統(tǒng)對任一信號的零狀態(tài)響應(yīng)。問題提出：LTI零狀態(tài)已知(t ) h(t )若x(t ) y(t )？當(dāng)x(t )能用(t )表示 時，y(t )能用h(t )表示嗎？推導(dǎo)已知時不變齊次性疊加性h(t )x(t)y(t)在輸入信號x(t)作用下，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為輸入信號與沖激響應(yīng)的卷積積分。 3、卷積運算的定義及性質(zhì) 對于任意兩個信號f

9、1(t)和f2(t),兩者的卷積運算定義為卷積的代數(shù)性質(zhì)交換律分配律結(jié)合律分配律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，等于組成并聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。x(t)h1(t)h2(t)交換律表示兩個函數(shù)卷積，其順序可以交換。有時可使卷積簡便。在系統(tǒng)分析中，這意味著一個沖激響應(yīng)為h(t)的LTI系統(tǒng)對輸入x(t)的響應(yīng)與一個沖激響應(yīng)為x(t)的LTI系統(tǒng)對輸入h(t)的響應(yīng)是一樣的。結(jié)合律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于級聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，等于組成級聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。改變兩個系統(tǒng)的級聯(lián)順序，系統(tǒng)總的響應(yīng)保持不變。 h1(t) h2(t)x(t)卷積的時移性質(zhì)h(t)x(t)y(t)h(t)

10、y(t-t1)x(t-t1)h(t-t2)x(t-t1)y(t-t1-t2)h(t-t2)x(t)y(t-t2)時不變性質(zhì)與沖激函數(shù)的卷積卷積的微積分性質(zhì)（1）卷積的微分 與沖激偶信號的卷積 （2）卷積的積分特別地：特別地：與階躍信號的卷積例1： 求 解： 根據(jù)時移性質(zhì)和微積分性質(zhì)，有 例2: 已知系統(tǒng)的沖激響應(yīng)求輸入 時的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)。 解： 例3: 已知系統(tǒng)的沖激響應(yīng)求輸入 時的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。 解： 3.3 系統(tǒng)函數(shù)3.3.1 系統(tǒng)函數(shù)的定義系統(tǒng)函數(shù)H(s)定義為 它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵、初始狀態(tài)無關(guān)。系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換與激勵的拉氏變換之比。系統(tǒng)函數(shù)

11、的來源由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程(零狀態(tài))產(chǎn)生由時域卷積產(chǎn)生由系統(tǒng)沖激響應(yīng)產(chǎn)生由s域電路模型產(chǎn)生（初始條件為0）I1(s)I2(s)U1(s)U2(s)+3.3.2 系統(tǒng)的三種描述方式時域輸入輸出關(guān)系微分方程 經(jīng)典法時域的沖激響應(yīng)h(t) 卷積法s域的系統(tǒng)函數(shù)H(s) 拉氏變換在這三種描述中，能夠根據(jù)其中任一種形式推導(dǎo)出另外兩種形式。例: 已知當(dāng)輸入x (t)= e-t(t)時，某LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) y(t) = (3e-t -4e-2t + e-3t)(t)求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。 解：h(t)= (4e-2t -2e-3t) (t)微分方程為 y(t)+5y

12、(t)+6y(t) = 2x (t)+ 8x(t) s2Y(s) + 5sY(s) + 6Y(s) = 2sX(s)+ 8X(s) 取逆變換 yzs(t)+5yzs(t)+6yzs(t) = 2x (t)+ 8x (t) 3.3.3 用系統(tǒng)函數(shù)計算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) y(t)= h(t)*x(t)H(s)= L h(t)Y(s)= H(s)X(s)X(s)= L x(t)零狀態(tài)根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的定義，任意激勵下，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)可以表示為系統(tǒng)函數(shù)與激勵信號的象函數(shù)的乘積。 我們可以利用系統(tǒng)函數(shù)，在復(fù)頻域中求得系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)，然后對其作拉普拉斯逆變換，求得時域中零狀態(tài)響應(yīng)的原函數(shù)。 例

13、:如圖所示電路，激勵信號求電路的零狀態(tài)響應(yīng)u2(t)。 解:令1、系統(tǒng)函數(shù)的零、極點LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式，即 3.3.4由系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布確定時域特性D(s)=0的根p1，p2，pn稱為系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點；N(s)=0的根z1，z2，zm稱為系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零點。 例:將零極點畫在復(fù)平面上得零、極點分布圖。 由于多項式的系數(shù)為實數(shù)，因此系統(tǒng)函數(shù)的零極點為： 實數(shù)、共軛虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)零點：z = -2極點：p1 = -1, p2,3 = j研究系統(tǒng)函數(shù)的零、極點有下列幾個方面的意義:（1）從系統(tǒng)函數(shù)的極點分布可以了解系統(tǒng)的固有頻率,進(jìn)而了解系統(tǒng)沖激響應(yīng)的模式,也就是

14、說可以知道系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是指數(shù)型,衰減振蕩型,等幅振蕩型,還是幾者的組合,從而可以了解系統(tǒng)的響應(yīng)特性及系統(tǒng)是否穩(wěn)定。（2）從系統(tǒng)的零、極點分布可以求得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性,從而可以分析系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性。系統(tǒng)的時域、頻域特性都集中地以其系統(tǒng)函數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分布表現(xiàn)出來。2、系統(tǒng)函數(shù)H(s)與時域響應(yīng)h(t) 沖激響應(yīng)的函數(shù)形式由H(s)的極點確定。 所討論系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)。主要討論單極點的情況。 H(s)按其極點在s平面上的位置可分為: 在左半開平面、虛軸和右半開平面三類。 （1）在左半開平面：衰減 若系統(tǒng)函數(shù)有負(fù)實單極點p= (0)，則N(s)中有因子(s+)，其所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為

15、Ke-t(t) (b) 若有一對共軛復(fù)極點p1,2=-j0，則N(s)中有因子(s+)2+ 0 2 K e-tcos(0 t+)(t) 以上兩種情況：當(dāng)t時，響應(yīng)均趨于0。（2）在虛軸上 ：等幅(a)單極點p=0，則響應(yīng)為K(t) (b)共軛虛數(shù)極點p1,2=j 0 則響應(yīng)為 Kcos(0 t+)(t)（3）在右半開平面 ：均為遞增函數(shù)。 正實單極點p= (0)，則響應(yīng)為Ket(t) (b) 一對共軛復(fù)極點p1,2=j0 則響應(yīng)為 K etcos(0 t+)(t) 綜合結(jié)論：LTI連續(xù)因果系統(tǒng)的h(t)的函數(shù)形式由H(s)的極點確定。 H(s)在左半平面的極點所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為衰減的。即當(dāng)t時

16、，響應(yīng)均趨于0。 H(s)在虛軸上的一階極點所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)不增不減。 H(s)在右半平面上的極點，其所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)都是遞增的。即當(dāng)t時，響應(yīng)均趨于。 H(s)的極點的實部決定了沖激響應(yīng)隨時間的衰減或增長情況。極點距離虛軸越遠(yuǎn)，即極點的實部的絕對值越大，沖激響應(yīng)的衰減或增長越快，反之越慢。而極點的虛部決定了沖激響應(yīng)隨時間的正弦振蕩情況。當(dāng)極點距離實軸越遠(yuǎn)，即極點的虛部的絕對值越大，沖激響應(yīng)正弦振蕩的角頻率越高，反之越低。 H(s)的零點分布影響沖激響應(yīng)的幅度和相位，但不影響沖激響應(yīng)的變化規(guī)律。 3.4 信號的頻域處理3.4.1 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)零狀態(tài)頻率響應(yīng)H()可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉

17、變換Y()與激勵x(t)的傅里葉變換X()之比，即 傅里葉變換法H()稱為幅頻特性（或幅頻響應(yīng)）； 稱為相頻特性（或相頻響應(yīng)）。H()是的偶函數(shù)， 是的奇函數(shù)。 頻率響應(yīng)H()的求法1. H() = F h(t) 2. H() = Y()/X()由微分方程求，對微分方程兩邊取傅里葉變換。由電路直接求出。 例：某系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 2y(t) = x(t)求（1）系統(tǒng)的頻率特性（2）x(t) = e-t(t)時的響應(yīng)y(t)。解：（1）微分方程兩邊取傅里葉變換jY() + 2Y() = X() （2）3.4.2 系統(tǒng)的無失真?zhèn)鬏敆l件系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類：一類是信號的傳輸，

18、一類是濾波。傳輸要求信號盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。 1、無失真?zhèn)鬏?（1）定義：信號無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號與輸入信號相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時間的先后不同，而沒有波形上的變化。 即： 輸入信號為x(t)，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽螅敵鲂盘枒?yīng)為 y(t) = K x(tt0)a 時域條件b 頻域條件（2）無失真?zhèn)鬏數(shù)南到y(tǒng)條件即幅頻特性H()=K , 各分量衰減一致相頻特性 ，各分量時延一致（3）線性失真 在線性系統(tǒng)中出現(xiàn)的失真稱為線性失真。 在線性失真時，輸出信號中不會出現(xiàn)輸入信號中所沒有的新的頻率成分。3.4.3 理想低通濾波器具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。 理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫為： c