高考數(shù)學(xué)真題匯編14推理與證明理解析版

1、2012高考真題分類匯編：推理與證明1.12012 高考真題江西理 6】 觀察下列各式：a +b =1, a2 +b2 =3, a3 +b3 =4,a4 +b4 =7,a5 +b5 =11,|則 a10 +b10 =A. 28 B . 76 C . 123 D . 199【答案】C【命題立意】本題考查合情推理中的歸納推理以及遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式?！窘馕觥康仁接颐娴臄?shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列1,3,4,7,11 ，數(shù)列的前兩項(xiàng)相加后面的項(xiàng)，即an + an4=3門42,所以可推出a10 =123）選C.2.12012高考真題全國卷理 12】正方形ABCD勺邊長為1,點(diǎn)E在邊AB1,點(diǎn)F在邊BC,AE= BF=

2、 7 .動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)沿直線喜愛那個(gè) F運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的方向的邊時(shí)反彈，反3彈時(shí)反射等于入射角，當(dāng)點(diǎn) P第一次碰到E時(shí)，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為(A) 16 (B) 14 (C) 12(D)10【答案】B【解析】結(jié)合已知中的點(diǎn)E,F的位置，進(jìn)行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關(guān)系，作圖，可以得到回到EA點(diǎn)時(shí)，需要碰撞14次即可.3.12012高考真題湖北理10】我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑.“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球3 16 TOC o 1-5 h z 的體積V ,求其直徑d的一個(gè)近似公式

3、d JV .人們還用過一些類似的近似公式.根據(jù)兀=3.14159|判斷，下列近似公式中最精確的一個(gè)是“3 1633 3003 21 11. d 鳧JVB . d 上。2V C , d 5td V D . dV9157. 11【答案】D【解析】 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 由V = 4n(d)3,得d= J6V,設(shè)選項(xiàng)中常數(shù)為3則n=效；a中代入得昨生9=3.375 3 2，二b a16,. ，一 6 1, , ,一 6 157, , ,一 6 11B中代入得:=6-1=3, C中代入得二=67=3.14。中代入得二=3.1428572300

4、21由于中值最接近江的真實(shí)值，故選擇D4.12012高考真題陜西理11】 觀察下列不等式1i1i1 F3 21533117+ + c2N，344照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為. TOC o 1-5 h z 1111111【答案】1 一 一 一 一 一2-2,2l2c2c234566一 _，1111111【解析】通過觀察易知第五個(gè)不等式為1+3+4+二+3+72),將N個(gè)數(shù)x1,x 2,，Xn依次放入編號(hào)為1,2,，N的N個(gè)位置，得到排列P0=X1X2xn.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對應(yīng)的前N和后個(gè)位置，得到排列 P1=X1X3XN-1X2X4Xn,將此操作稱22為C

5、變換，將P1分成兩段，每段 N個(gè)數(shù)，并對每段作 C變換，得到p2 ；當(dāng)2Wi Wn-2時(shí)，2一 ,N *將Pi分成2段，每段 丁個(gè)數(shù)，并對每段C變換，得到Pi+1 ,例如，當(dāng)N = 8時(shí)，P2=X1X5X3X7X2X6X4X8,此時(shí)X7位于P2中的第4個(gè)位置.(1)當(dāng)N=16時(shí)，X7位于P2中的第一個(gè)位置；(2)當(dāng)N=2n (n8)時(shí)，X173位于P4中的第 個(gè)位置.【答案】(1) 6; (2) 3M2n工+11【解析】(1)當(dāng)N=16時(shí)，Po =X X2X3X4X5X6IIIX6,可設(shè)為(1,2,3,4,5,6,111,16),P =XX3%X7l|4X2X4X6川X16,即為(1,3,5,

6、7,9，川 2,4,6,8，川，16),P2 =為乂5乂9%3乂3乂7%兇5乂2%”以16，即(1,5,9,13,3,7,11 ,15,2,6, 111,16) , X7位于 P2中的第 6個(gè)位置，；(2)方法同(1),歸納推理知X173位于P4中的第3M2n”+11個(gè)位置.【點(diǎn)評】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識(shí)，考查運(yùn)算能力，考查創(chuàng)造性解決問題的能力.需要在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)自己動(dòng)腦的習(xí)慣，才可順利解決此類問題6.12012高考真題湖北理13】回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù).如22, 121, 3443, 94249等.顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11, 22, 33,，99. 3位回文數(shù)有

7、90個(gè)：101, 111, 121,，191, 202,，999.則(I ) 4位回文數(shù)有 個(gè)；(n) 2n N(nW N J位回文數(shù)有 個(gè).【答案】90, 9 M10n【解析】(I) 4位回文數(shù)只用排列前面兩位數(shù)字，后面數(shù)字就可以確定，但是第一位不能為0,有9 (19)種情況，第二位有 10 (09)種情況，所以4位回文數(shù)有9M 10 = 90種。答案：90(n)法一、由上面多組數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，2n+1位回文數(shù)和2n+2位回文數(shù)的個(gè)數(shù)相同，所以可以算出2n+2位回文數(shù)的個(gè)數(shù)。2n+2位回文數(shù)只用看前 n+1位的排列情況，第一位不能為0有9種情況，后面n項(xiàng)每項(xiàng)有10種情況，所以個(gè)數(shù)為 9M10n

8、.法二、可以看出 2位數(shù)有9個(gè)回文數(shù)，3位數(shù)90個(gè)回文數(shù)。計(jì)算四位數(shù)的回文數(shù) 是可以看出在2位數(shù)的中間添加成對的“ 00,11,22,99”，因此四位數(shù)的回文數(shù)有 90 個(gè)按此規(guī)律推導(dǎo) 與汽二1加%一 2,而當(dāng)奇數(shù)位時(shí)，可以看成在偶數(shù)位的最中間添加09這十個(gè)數(shù)，因此1sHi = 10喝，貝洛案為9義10n.7.12012高考真題北京理20】(本小題共13分)餒況是由wixn個(gè)實(shí)效期成的榔行同列的數(shù)表.滿足:每個(gè)數(shù)的維射值不大于b且所有數(shù)的和為零，記 S(m.可為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.對于0同理可知b 0 , a +b 0由題目所有數(shù)和為0即 a - b , c = 一1c =-a -b :

9、二-1與題目條件矛盾k(A 戶 1 .易知當(dāng)a=b=0時(shí)，k(A)=1存在，k (A)的最大值為1j 2t 1(3) k(A)的最大值為2t+21首先構(gòu)造滿足k(A)=2t 1的 A=ai,j(i=1,2, j=1,2,.,2t+1)：t -1a” =a1,2 = . =a1,t =1,a,t 二412 =. =&? h =-t2 t 1da2,i =a2,2 =.=a2,t = 及2)色/i =a2,t 2 =.=a2,2t 1 - -1.經(jīng)計(jì)算知，A中每個(gè)元素的絕對值都小于 1,所有元素之和為 0,且2t 1川2（A）M TOC o 1-5 h z 2,一，t2 t 1t 12t 1lG（

10、A）|=|C2（A）. =|q（A）| = 1 1 ,。，t（t 2）t 2t 2t -1 2t 1|ct1（A）Hct2（A）| = .=|C2t1（A）| = 1 =.若不然，則存在一個(gè)數(shù)表Aw S(2,2t+1),使得一 2t 1 一 一 ， 一 下面證明2_是最大值.t 2k（A）= x2t 1t 2由k(A)的定義知A的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對值都不小于x,而兩個(gè)絕對值不超過 1的數(shù)的和，其絕對值不超過2,故A的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對值都在區(qū)間x, 2中.由于x a 1 ,故A的每一列兩個(gè)數(shù)符號(hào)均與列和的符號(hào)相同，且絕對值均不小于x-1.設(shè)A中有g(shù)列的列和為正，有h列的列和為負(fù)，由對稱

11、性不妨設(shè) ghUgEt,h5:t+1.另外，由對稱性不妨設(shè) A的第一行行和為正，第二行行和為負(fù).考慮A的第一行，由前面結(jié)論知 A的第一行有不超過t個(gè)正數(shù)和不少于t+1個(gè)負(fù)數(shù)，每 個(gè)正數(shù)的絕對值不超過 1 (即每個(gè)正數(shù)均不超過 1),每個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值不小于 x-1 (即每個(gè) 負(fù)數(shù)均不超過1-x).因此1rl(A)尸r1(A) t 1+ (t+1)(1 x) =2t +1 (t+1)x = x+ (2t +1 (t+2)x )0),其中r為有理數(shù)，且0r1.求f(x)的 最小值；(n )試用(I)的結(jié)果證明如下命題：設(shè)為至0, a2至0 , b,b2為正有理數(shù).若。性2 =1 ,則&b1a2b2

12、E&bi+a2b2;(m)請將(n)中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題.注：當(dāng)a為正有理數(shù)時(shí)，有求導(dǎo)公式(x) =ax.n1 / _ x +r 1r -1. _ t.一【答案】(I f f (x) =r -rx =r(1 -x )，令 f (x) =0 ,解得 x =1.當(dāng)0 x 1時(shí)，f (x) 1時(shí)，f(x)A0,所以f (x)在(1,十8)內(nèi)是增函數(shù)故函數(shù)f (x)在x=1處取得最小值f(1)=0.(n)由(I )知，當(dāng) xw(0,收)時(shí)，有 f (x)之 f (1)=0,即 xr +HI +bk +bk+ =1 ,此時(shí) 0 bk+ 0 ,于是blb2bka?ab2

13、|abk a* = (a；a，僧 abk) a：*(a1a于 111 a干尸+abt.因一b +|)| +b =1 ,由歸納假設(shè)可得1 -bk 11 -bk 11 -1bk 1bb2bk產(chǎn)廣川尸自b2bkama2b2IIIakbkak -=1 -bk 11 _bk 11 - bk 1從而a；1 a221|Ia；&*工區(qū)+a2b2十5*a6二本 TOC o 1-5 h z I 1bk 書)又因(1 -bk+) +bk + =1,由得d 1k7 bk +.a1bi+a2b2+HI+akbk bk+1ab +a2b2+111+akbk ”4 ak 不三.(1 bk+)十 ak由bk +1 bk 十)

14、1 - bk+= a1b1 +a2b2 +III + akbk +ak4tbk+ ,從而 a/a?2 H|akka?f Eaibi +a2b2 +川+akbk +ak4bk卡.故當(dāng)n =k +1時(shí)，成立.由(1) (2)可知，對一切正整數(shù)n ,所推廣的命題成立.說明：(出)中如果推廣形式中指出式對n 22成立，則后續(xù)證明中不需討論n=1的情況.9.12012高考真題福建理17】(本小題滿分13分)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)sin 213 +cos217 -sin13 cos17 sin 215 +cos2 15 -sin15 cos15 sin 218 +c

15、os2 12 -sin18 cos12 sin 2 (-18 ) +cos248 -sin 2 (-18 )cos248sin 2 (-25 ) +cos255 -sin 2 (-25)cos255I試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)n根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣位三角恒等式，并證明你的結(jié)論【答案】g/j 八，“I ka也工j 17.本小題主要考我同角三角函數(shù)的短本關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二借用公式等基冊知識(shí)，考 查運(yùn)算求斛能力、抽象概括能力、推理論證能力，考五特殊與一般思想出目與轉(zhuǎn)化思想滿分13分. 解法一：I 330F-T 了選擇式,計(jì)算如下：sin2 15v+co62 150-sin 150cas 15 = l-ysin(0)三角恒等式為5in%+c/(3OJa)-疝 a cos(30c-a)=y.岬如下：ftin2a+co82(300-tt) -sin ftc(w(30c-a)= sin2a+(cos30cos a+sin300sin af-sin a(cos3Ocos a+sin300sin a)3.13 23=不川 a+-7cos a=v 444解法二：同解法一. a(U)三角恒等式為疝怔/(309)-疝a cos(30c